4.3 一次函数的图像（七大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦一次函数图像的概念理解与性质应用，通过分层题型构建从基础到综合的知识逻辑链，培养几何直观与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |正比例函数图像与性质|6题|点在图像上的判断、解析式求解、性质应用|从图像定义到性质推导，建立“点-解析式-图像”关联| |一次函数图像判断与象限|7题|图像识别、象限判断、参数范围确定|结合k/b符号分析图像特征，强化数形结合思维| |图像交点与坐标轴问题|5题|交点坐标计算、面积求解|通过方程思想解决图像交点，体现运算能力| |描点法与图像应用|3题|图像绘制、数据纠错、性质探究|从动手操作到规律总结，培养数学探究能力|

4.3 一次函数的图像 题型一 正比例函数的图像 1．以下四点中，在函数图像上的是（     ） A． B． C． D． 2．若点和点在同一正比例函数图象上，则______． 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 题型二 正比例函数的性质 4．正比例函数的图象（     ） A．必过点 B．必过点 C．必过点 D．必过点 5．若点，都在正比例函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 6．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点，都在该函数图象上，且，试判断，的大小关系． 题型三 判断一次函数的图像 7．函数的图象为（     ） A． B． C． D． 8．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 9．如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． (1)求点的坐标． (2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 10．已知关于的一次函数，下面结论正确的是（     ） A．该函数图象与轴的交点在轴的负半轴上； B．当时，该函数图象不经过第三象限； C．当时，若点和在该函数图象上，则； D．时，该函数的图象经过点． 11．在平面直角坐标系中，直线与的交点不可能在第________象限． 12．联系一次函数的图象，回答下列问题： (1)当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？ (2)当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？ 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 13．如图，某一次函数的图象过图中A，B两点，则下面结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 14．一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是________． 15．已知关于的函数关系式为：． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若是的一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 题型六 一次函数图像与坐标轴的交点问题 16．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 17．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 18．在如图所示平面直角坐标系中，画出直线． (1)若直线与，轴分别交于，两点，直接写出，两点的坐标； (2)求的面积． 题型七 用描点法画函数图像 19．小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 20．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 21．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量x的取值范围是________； (2)下表是y与x的几组对应值： x … 1 2 3 4 … y … 2 a … 求a的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①已知，是函数图象上的两点，若对于，都有，则m的取值范围为________； ②过点作平行于x轴的直线l，若直线l与函数的图象有三个交点，则n的取值范围为________． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 4.3 一次函数的图像 题型一 正比例函数的图像 1．以下四点中，在函数图像上的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将点的横坐标代入函数解析式，验证点的纵坐标是否相等即可． 【详解】解：A．点的横纵坐标都为，满足，因此该点在函数的图像上； B．点中时，，不满足，不在函数图像上； C．点中时，，不满足，不在函数图像上； D．点中时，，不满足，不在函数图像上． 2．若点和点在同一正比例函数图象上，则______． 【答案】0 【分析】设出正比例函数的一般形式，将两点坐标分别代入解析式，得到和的表达式，计算的值即可. 【详解】解：设该正比例函数的解析式为， 点和点在该正比例函数图象上， 将代入解析式得：， 将代入解析式得：， . 3．已知正比例函数的图象经过点． (1)求这个函数的解析式； (2)在如图所示的平面直角坐标系中画出这个函数的图象； (3)判断点，是否在这个函数的图象上． 【答案】(1) (2)见解析 (3)不在 【分析】（1）直接把点代入正比例函数，求出k的值即可； （2）利用描点法画出函数图象即可； （3）把点的横坐标代入正比例函数的解析式求出y的值，进一步比较得出答案即可． 【详解】（1）解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， 解得， ∴这个函数的解析式； （2）解：当时，， 当时，， ∴经过点，，描点画出图象如下： （3）解：∵正比例函数的解析式为， ∴当时，， ∴点不在这个函数的图象上． 题型二 正比例函数的性质 4．正比例函数的图象（     ） A．必过点 B．必过点 C．必过点 D．必过点 【答案】A 【分析】判断点是否在函数图象上，只需将点的横坐标代入函数解析式，若计算得到的纵坐标与点的纵坐标相等，则点在函数图象上，反之不在，据此验证各选项即可． 【详解】解：A、当时，， ∴正比例函数的图象必过点，该选项符合题意； B、当时，， ∴正比例函数的图象不过点，该选项不符合题意； C、当时，， ∴正比例函数的图象不过点，该选项不符合题意； D、当时，， ∴正比例函数的图象不过点，该选项不符合题意； 5．若点，都在正比例函数的图象上，则________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【分析】利用正比例函数的增减性比较与的大小，也可代入横坐标计算出函数值再比较大小． 【详解】解： 正比例函数中，比例系数， 随的增大而增大， 又点，的横坐标满足， ． 6．已知与成正比例，且当时，． (1)求关于的函数表达式； (2)若点，都在该函数图象上，且，试判断，的大小关系． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据与成正比例设出关系式，利用待定系数法求出比例系数，整理得到关于的函数表达式； （2）根据一次函数的增减性，结合判断和的大小关系． 【详解】（1）解：由题意，设， 把，代入上式，得， 解得， 将代入所设关系式，得， 整理得； （2）解：函数的一次项系数为，且， 随的增大而增大， 点，都在该函数的图象上，且， ． 题型三 判断一次函数的图像 7．函数的图象为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， 当时，，当时，则， ∴函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为， ∴A符合题意. 8．一次函数，与的图象如图所示，，，的大小关系是______．（用“”连接） 【答案】 【分析】本题考查了一次函数图象与性质，掌握一次函数的性质是解题的关键．首先根据直线经过的象限判断的符号，再根据直线的平缓趋势判断的大小，即可得解． 【详解】解：由函数图象经过的象限可知：，，， 直线越陡，越大， ， ． 故答案为：． 9．如图一次函数与的图象交于点，其中直线分别交，轴于，两点，直线分别交，轴于，两点． (1)求点的坐标． (2)连接，若点为图象上不同于点的任意一点，且，求点坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）解析式联立成方程组，解方程组即可求得； （2）利用直线的解析式求得，即可求得，，利用三角形面积求得，，然后分两种情况讨论，设的纵坐标为，列出关于的方程，解方程组求得的纵坐标，把纵坐标代入函数解析式求得横坐标即可． 本题是两条直线相交问题，考查了交点的求法，一次函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解， 得：， 一次函数与的图象交点为． （2）由可知， 由 可知， ， ， ， ， 设的纵坐标为， 当在的上方，则， 解得， 当在的下方，则， 解得， 把代入，得， 把代入，得， 点的坐标为或． 题型四 根据一次函数解析式判断其经过的象限 10．已知关于的一次函数，下面结论正确的是（     ） A．该函数图象与轴的交点在轴的负半轴上； B．当时，该函数图象不经过第三象限； C．当时，若点和在该函数图象上，则； D．时，该函数的图象经过点． 【答案】D 【分析】根据一次函数的图象与性质判断即可． 【详解】解：A选项：令，得，即函数图象与轴交点为，在轴正半轴，故A错误; B选项：∵时，，函数图象经过第一、二、三象限，经过第三象限，故B错误； C选项：当时，一次函数随的增大而减小， ， ，故C错误； D选项：当时，函数为，将代入得， 函数图象经过点，故D正确． 11．在平面直角坐标系中，直线与的交点不可能在第________象限． 【答案】 四 【分析】根据一次函数图象与系数的关系，确定已知直线经过的象限，结合交点在直线上，即可得到结论． 【详解】解：对于直线，由一次函数图象与系数的关系可知，，， 因此直线经过第一、二、三象限，不经过第四象限， 因为直线与的交点一定在直线上，所以交点不可能在第四象限． 12．联系一次函数的图象，回答下列问题： (1)当时，函数的图象经过哪几个象限？当时呢？ (2)当时，函数的图象不经过哪个象限？当时呢？ 【答案】(1)当时，函数的图象经过第一、三象限；当时，函数的图象经过第二、四象限． (2)当时，函数的图象不经过第四象限；当时，函数的图象不经过第二象限 【分析】（1）画出和时函数的图象，根据图象解答即可； （2）画出时，时的图象，根据图象解答即可． 【详解】（1）解：当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第一、三象限； 当时，函数的图象如图，则函数的图象经过第二、四象限； （2）解：当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第四象限； 当时，函数的图象如图，函数的图象不经过第二象限． 题型五 已知函数经过的象限求参数范围 13．如图，某一次函数的图象过图中A，B两点，则下面结论正确的是（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据图象在坐标平面内的位置确定k、b的取值范围即可得答案． 【详解】解：如图，作直线，则一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴，． 14．一次函数的图象经过第一、第二、第三象限，则的取值范围是________． 【答案】 【详解】解：一次函数的图象经过第一、第二、第三象限， 对于一次函数，当图象经过第一、二、三象限时，满足且， ， 不等式恒成立， 解不等式， 得． 15．已知关于的函数关系式为：． (1)若是的正比例函数，求的值； (2)若是的一次函数，且图象经过第一、二、三象限，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意得出，即可解答； （2）根据题意得出，即可解答． 【详解】（1）解：依题意可得：， 解得，， ． （2）解：依题意可得：， ， 解得，． 题型六 一次函数图像与坐标轴的交点问题 16．在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴的交点坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】对于，当时，即， 解得， ∴ 一次函数的图象与轴的交点坐标是. 17．如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点B，则的面积为___________． 【答案】3 【分析】本题考查一次函数与坐标轴的交点计算，当时，值为点纵坐标，同理，当时，值为点横坐标，从而求得，，计算的面积． 【详解】当时，， 当时，，， 则，， 的面积． 18．在如图所示平面直角坐标系中，画出直线． (1)若直线与，轴分别交于，两点，直接写出，两点的坐标； (2)求的面积． 【答案】(1)解：列表， 描点，连线， ， ∴点，； (2)． 【分析】通过列表、描点、连线的步骤即可画出函数图象，再由图象可得，两点的坐标； 由，，则，，然后通过的面积为即可求解． 【详解】（1）解：画图略， 由图象可知，，； （2）解：∵，， ∴，， ∴的面积为． 题型七 用描点法画函数图像 19．小王用描点法画一次函数图象时，列出如下表格，其中有一组数据是错误的，这组错误的数据是（    ） … 0 1 2 … … 3 1 … A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数的图象； 设一次函数为，把点代入，得，得到，再验证各点即可求出． 【详解】解：设一次函数为， 把点代入，得， ∴， 验证各点： 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； 把代入，得； ∴数据错误． 故选：C． 20．在学习了“利用函数的图象研究函数”后，为了研究函数的性质，小美用描点法画它的图象，列出了如下表格： x … 0 1 2 3 … … … 下列五个结论： ①该函数图象在x轴下方； ②该函数图象有最高点； ③该函数图象与直线只有一个公共点； ④若和是该函数图象上两点，则； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是． 其中正确的结论是______（填写序号）． 【答案】①③⑤ 【分析】本题主要考查一次函数的图象与几何变换，一次函数的图象和性质，会用描点法画出函数图象，画出函数的图象；结合图象可从函数的增减性、对称性以及平移的规律进行判断． 【详解】解：画出函数的图象如图： 根据函数图象： ①该函数图象在x轴下方，①说法正确； ②该函数图象有最低点，②说法错误； ③该函数图象与直线只有一个公共点，③说法正确； ④由图象可知，图象是轴对称图形，图象的对称轴为直线，在对称轴的左侧y随x的增大而减小，在对称轴的右侧y随x的增大而增大，若和是该函数图象上两点，则到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，所以，④说法错误； ⑤若将该函数图象向右平移1个单位长度，则平移后的图象的函数解析式是，⑤说法正确． 故答案为：①③⑤． 21．小明根据学习函数的经验，对函数的图象与性质进行了探究并解决了相关问题，请补全下面的过程． (1)函数的自变量x的取值范围是________； (2)下表是y与x的几组对应值： x … 1 2 3 4 … y … 2 a … 求a的值； (3)如图，在平面直角坐标系中，描出以补全后的表中各对对应值为坐标的点，画出该函数的图象； (4)小明结合该函数图象，解决了以下问题： ①已知，是函数图象上的两点，若对于，都有，则m的取值范围为________； ②过点作平行于x轴的直线l，若直线l与函数的图象有三个交点，则n的取值范围为________． 【答案】(1) (2) (3) (4)① ② 【分析】（1）根据分式分母不为0计算即可 （2）将代入函数即可计算a的值； （3）根据表格描点，连线即可画出该函数的图象； （4）①观察函数图象，结合题目要求即可得m的取值范围； ②作出直线，结合函数图象和题目条件即可得n的取值范围． 【详解】（1）略 （2）解：当时，； （3）略 （4）解：①由函数图象得，当时，随增大而减小， 符合当时，， ； ②直线如图所示， 由图得，当时，直线l与函数的图象有两个交点，不符合题意； 由图得，当时，直线l与函数的图象有三个交点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $