2.3二次根式（七大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 聚焦二次根式核心概念与运算，通过七类题型系统覆盖最简判断、化简化、参数求解、同类识别及混合运算，构建从概念到应用的逻辑链条，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |最简二次根式的判断|3题|概念辨析与个数统计|从定义出发，强化最简二次根式的双重条件认知| |化为最简二次根式|3题|结合几何最短路径与同类条件|体现概念的应用转化，培养几何直观| |已知最简二次根式求参数|3题|参数取值与合并条件|逆向考查概念，发展推理意识| |同类二次根式|3题|识别与字母求值|衔接最简概念，构建性质应用逻辑| |二次根式的加减运算|3题|运算正误判断与化简|基于同类概念，形成运算规则| |二次根式的混合运算|3题|综合运算与代数式求值|整合加减与乘除，提升运算能力| |分母有理化|3题|分母有理化与代数式化简|深化运算技巧，培养应用意识|

2.3 二次根式 题型一 最简二次根式的判断 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 2．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 3．已知，，，A，B为同类最简二次根式，且，求代数式的值． 题型二 化为最简二次根式 4．如图是一个长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的顶点A处沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它须爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 5．与最简二次根式是同类二次根式，则________． 6．计算 (1)； (2)． 题型三 已知最简二次根式求参数 7．若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0.1 B．12 C．15 D． 8．若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 9．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 题型四 同类二次根式 10．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 11．最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 12．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求x，y的值． (2)求的平方根． 题型五 二次根式的加减运算 13．下列计算正确的是（     ）． A． B． C． D． 14．若，则__________． 15．计算： (1) (2)． 题型六 二次根式的混合运算 16．若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 17．计算：____________． 18．计算： (1) (2) 题型七 分母有理化 19．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 20．计算：_______． 21．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2.3 二次根式 题型一 最简二次根式的判断 1．下列二次根式中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式需满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此逐一判断即可求解． 【详解】解：、是最简二次根式，该选项符合题意； 、被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 、被开方数是小数，不是最简二次根式，该选项不符合题意； 、被开方数是分数，不是最简二次根式，该选项不符合题意． 2．在二次根式，，，，中，最简二次根式的个数有______个． 【答案】 【分析】根据最简二次根式的定义，最简二次根式需要满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式，逐个判断所给二次根式即可． 【详解】解：满足两个条件，是最简二次根式； 中被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式； 中被开方数含分母，不是最简二次根式； 中，被开方数可开得尽方，不是最简二次根式； 中，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式， 因此符合条件的最简二次根式共个． 3．已知，，，A，B为同类最简二次根式，且，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式，一元一次方程，二次根式的混合运算，结合已知条件得到是解题的关键． 根据最简二次根式及同类二次根式的定义可得，解得x的值后根据求得y的值，然后将其代入原式计算即可． 【详解】解：已知，，，A，B为最简二次根式，且， 则， 解得：， 那么，， 则， 那么， 即， 解得：， 原式． 题型二 化为最简二次根式 4．如图是一个长、宽、高分别是的长方体木块，一只蚂蚁要从长方体木块的顶点A处沿着长方体的表面到顶点B处吃食物，那么它须爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分三种情况展开，将A和B放在同一平面内，根据两点之间线段最短和勾股定理可求得的长度，取最小值即可． 【详解】解：第一种情况：     则这个长方形的长和宽分别是9和4， ∴； 第二种情况：     则这个长方形的长和宽分别是7和6， ∴； 第三种情况：     则这个长方形的长和宽分别是10和3， ∴， 由于 综上所述，此时爬行路径最短为． 5．与最简二次根式是同类二次根式，则________． 【答案】 【分析】先将化为最简二次根式，再根据同类二次根式的定义得到关于的一元一次方程，求解方程即可得到的值． 【详解】解：，且与最简二次根式是同类二次根式， 二者最简形式的被开方数相同，即， 解得． 6．计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型三 已知最简二次根式求参数 7．若是最简二次根式，则a的值可以是（     ） A．0.1 B．12 C．15 D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式满足两个条件，①被开方数不含分母，②被开方数不含能开得尽方的因数或因式； 对选项逐一判断： A、，被开方数含分母，不满足条件，错误； B、，是能开得尽方的因数，不满足条件，错误； C、，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数，满足条件，正确； D、，被开方数含分母，不满足条件，错误． 8．若最简二次根式与可以合并，则的值为________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式被开方数相同列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与可以合并， 二者为同类二次根式，被开方数相等，即， 移项得， ， 系数化为得． 9．已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根； （3）， ∴ ． 题型四 同类二次根式 10．下列二次根式中，与是同类二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先将各选项的二次根式化为最简二次根式，再比较被开方数，被开方数与相同的即为同类二次根式． 【详解】解：选项A：，化为最简后被开方数为，与是同类二次根式； 选项B：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式； 选项C：是最简二次根式，被开方数为，与不是同类二次根式； 选项D：，化为最简后被开方数为，与不是同类二次根式． 11．最简二次根式与是同类二次根式，则__________． 【答案】 【分析】根据同类二次根式的定义列方程求解即可． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：． 12．若最简二次根式和是同类二次根式． (1)求x，y的值． (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是同类二次根式的题目，求一个的平方根，算术平方根，解题的关键是掌握同类二次根式的定义． （1）首先由二次根式被开方数为2，可知，据此求出的值；再根据同类二次根式的定义可得，将的值代入计算即可解答； （2）先求出，则，故可求5的平方根． 【详解】（1）解：根据同类二次根式的定义，得，解得． 又， 把代入解得． （2）解：， ∴， ∴5的平方根为：． ∴的平方根为． 题型五 二次根式的加减运算 13．下列计算正确的是（     ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据二次根式的运算法则分别计算各选项，即可判断正误． 【详解】对于选项A，，，A错误； 对于选项B，，计算符合二次根式加减法则，B正确； 对于选项C，，C错误； 对于选项D，，D错误． 14．若，则__________． 【答案】 【分析】先移项，然后根据二次根式的性质化简计算即可． 【详解】解：∵， ∴． 15．计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型六 二次根式的混合运算 16．若，，则（     ） A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】A 【分析】先将所求代数式变形为含和的形式，再计算与的值后代入计算． 【详解】解： ∵， ∴， 将，代入得： 原式． 17．计算：____________． 【答案】1 【详解】解：． 18．计算： (1) (2) 【答案】(1)3 (2) 【分析】（1）运用平方差公式求解； （2）先计算完全平方公式和括号内的二次根式减法，再计算二次根式的除法，最后计算加减法． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型七 分母有理化 19．已知，，则与的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对进行分母有理化化简，再对比化简后与的关系即可. 【详解】解：. 20．计算：_______． 【答案】 【分析】利用分母有理化，解答即可； 【详解】解：； 21．小明在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解的： ， ， ， ， ， 请你根据小明的分析过程，解决如下问题： (1)观察上面解答过程，请写出________； (2)化简； (3)若，请按照小明的方法求出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）把分母有理化即可； （2）把算式中各部分进行分母有理化，再合并同类二次根式； （3）按照小明的方法，先把分母有理化，可得：，两边同时平方可得：，等式两边同时乘以可得：，然后利用整体代入法求出代数式的值． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解：， ， ， 即， ， ， ， ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $