第02讲 常用逻辑用语 讲义-2027届高三数学一轮复习（中等难题突破）

该高中数学高考复习讲义聚焦命题与量词、充要条件等核心考点，按概念梳理-逻辑关系-题型应用的层次架构知识体系，通过考点清单梳理、方法规律总结、分层例题精讲等环节，帮助学生构建从基础概念到综合应用的解题路径。 讲义创新采用集合转化、量词逻辑分析等策略，如将充要条件判断转化为集合包含关系，通过“量词互换+结论否定”规则突破命题否定难点，培养学生数学思维与逻辑表达能力。设置基础巩固到综合应用的分层训练，配合即时方法归纳，确保学生在短时间内掌握高考高频题型解法，为教师精准把控复习节奏提供系统支持。

1．理解命题、定理、定义和全称量词与存在量词的概念及意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 2．熟练掌握充要条件的判断，并能根据充要条件确定参数的取值范围． 3．能正确地对充要条件进行证明，区分充分性和必要性． 1．充分条件、必要条件与充要条件 如果“p⇒q”，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 q⇒p且pq p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 2．命题 能够判断真假的语句 原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p 否命题：若¬p，则¬q 逆否命题：若¬q，则¬p 3．从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件． 4．全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题 存在量词命题 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 5．常见词语的否定 词语 是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 至少有n个 至多有一个 所有x都成立 词语的否定 或 至多有n－1个 至少有两个 存在一个x不成立 6．双量词成立问题 （1）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则： ①（“任意＝存在”型）∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＝g(x2)成立，则A⊆B； ②（“存在＝存在”型）∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＝g(x2)成立，则A∩B≠． （2）不等问题 ①（“任意≥(≤、＞、＜)任意”型）)∀x1∈D，∀x2∈E，均有f(x1)＞g(x2)恒成立，则f(x1)min＞g(x2)max． 注：防止误将∀x∈D，均有f(x)＞g(x)恒成立，转化为f(x)min＞g(x)max，一般应作差构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)min＞0． ②（“任意≥(≤、＞、＜)存在”型）∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＞g(x2)成立，则f(x1)min＞g(x2)min． ③（“存在≥(≤、＞、＜)存在”型）∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＞g(x2)成立，则f(x1)max＞g(x2)min． 注：防止误将∃x∈D，使得f(x)＞g(x)成立，转化为f(x)max＞g(x)min，一般应作差构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)max＞0． 题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断 例1．（1）“a＜5”是“a＜3”的 条件． （2）“a＋5是无理数”是“a是无理数”的 条件． （3）“a＝b”是“ac＝bc”的 条件． （4）“a≥2且b≥2”是“a2＋b2＞4”的 条件． （5）p：(x＋2)(x﹣3)＜0，q：，则p是q的 条件． （6）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么r是q的 条件，p是q的 条件．（选填“充分”、“必要”、“充要”“既不充分也不必要”） 【解析】（1）因为“a＜5”⇏“a＜3”，且“a＜3”“a＜5”，所以“a＜5”是“a＜3”的必要不充分条件；（2）因为“a＋5是无理数”“a是无理数”，且“a是无理数”“a＋5是无理数”，所以“a＋5是无理数”是“a是无理数”的充要条件；（3）因为“a＝b”“ac＝bc”，且“ac＝bc”⇏“a＝b”，则“a＝b”是“ac＝bc”的充分不必要条件；（4）因为“a≥2且b≥2”“a2＋b2＞4”，且“a2＋b2＞4” ⇏“a≥2且b≥2”，所以“a≥2且b≥2”是“a2＋b2＞4”的充分不必要条件；（5）p：(x＋2)(x﹣3)＜0，即﹣2＜x＜3，q：，﹣2＜x﹣1＜2，即﹣1＜x＜3，因为﹣1＜x＜3﹣2＜x＜3，且﹣2＜x＜3⇏﹣1＜x＜3，即qp，且p⇏q，所以p是q的必要不充分条件；（6）由题意得，qsrp；qsrq，所以r是q的充要条件，p是q的必要条件． 变式训练： 1．“a＞0且”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的 条件． 【解析】因为“a＞0且”“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”，且“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”“a＞0且”，所以“a＞0且”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的充要条件． 2．“x＞0”是“x＞1”的 条件． 【解析】因为“x＞1”“x＞0”，且“x＞0”⇏“x＞1”，则“x＞0”是“x＞1”的必要不充分条件． 3．已知a，bR，则“ab＞0”是“”的 条件． 【解析】，两边平方化简得，即ab≥0，因为“ab＞0”“ab≥0”，且“ab≥0” ⇏“ab＞0”，所以“ab＞0”是“ab≥0”的充分不必要条件，即“ab＞0”是“”的充分不必要条件． 4．已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是 A．r是q的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 【解析】由题意得，prsqrsq，qr⇏p，则r是q的充要条件，排除A和C；r是s的充要条件，排除D；故选B． 题型二：充分条件、必要条件与充要条件的探求 例2．（1）（多选）已知集合A＝{}，集合B＝{}，则AB＝的一个充分不必要条件是 A．m≤﹣2 B．m＜﹣2 C．m＜2 D．﹣4＜m＜﹣3 （2）设a，bR，则a＜b的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． （3）关于x的方程，，中至少有一个方程有实根的充要条件是 ． 【解析】（1）集合A＝{}，集合B＝{}，且AB＝，则m＋1≤﹣1，解得m≤﹣2，先排除充要条件选项A，因为m＜﹣2m≤﹣2，﹣4＜m＜﹣3m≤﹣2，故选BD． （2）因为b﹣a＞1b﹣a＞0b＞a，故选D． （3）假设三个方程都没有实数根，则，解得﹣1＜a＜2，则至少有一个方程有实数根的充要条件为a≤﹣1或a≥2． 变式训练： 1．设xR，不等式成立的一个充分不必要条件是 A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤3 【解析】因为，所以，因为2≤x≤3，所以2≤x≤3是的一个充分不必要条件，故选D． 2．（多选）已知集合A＝{}，B＝{}，能使A∩B＝A成立的充分不必要条件有 A．m＞0 B．m＞1 C．m＞3 D．m＞4 【解析】因为A∩B＝A，所以AB，所以m＋1≥3，解得m≥2，又m＞3m≥2，m＞4m≥2，故选CD． 题型三：充分条件、必要条件与充要条件的应用 例3．（1）已知p：方程至少有一个负实根，若p成立的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是 ． （2）已知p：，q：(a＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 【解析】（1）方程至少有一个负实根，①当a＝0时，解得x＝，符合题意；②当a≠0时，(i)若4﹣4a＝0，解得a＝1，此时方程的根为x＝﹣1，符合题意；(ii)当方程有一个正根和一个负根，4﹣4a＞0，，解得a＜0；(iii)若方程有两个负实根，则4﹣4a＞0，，，解得0＜a＜1，综上所述，p：a≤1，因为a≤m＋1是a≤1的必要不充分条件，所以m＋1＞1，解得m＞0． （2）p：，解得x＞3或x＜﹣1，q：(a＞0)，即，解得x≥1＋a或x≤1﹣a，因为p是q的充分不必要条件，所以a＋1≤3，1﹣a≥﹣1，解得a≤2，又a＞0，所以0＜a≤2． 例4．已知集合A＝{}和集合B＝{}．若xA是xB的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 【解析】解：因为xA是xB的必要不充分条件， 所以xB是xA的必要不充分条件，即A⫋B， 则（不能同时取等号），解得m≤﹣3， 所以实数m的取值范围是(，﹣3]． 例5．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个异号实根的充要条件是ac＜0． 【解析】证明：充分性 因为ac＜0，所以，且， 所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不相等实根，记为，， ，所以原方程有两个异号实根； 必要性 因为一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个异号实根，记为，， 所以，所以ac＜0． 所以一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个异号实根的充要条件是ac＜0． 变式训练： 1．已知集合A＝{}，B＝{}，若xA是xB的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为 ． 【解析】集合A＝{}＝{2，﹣2}，因为xA是xB的必要不充分条件，所以B⫋A，①当B＝时，a＝0；②当B≠时，即B＝{}，要使B⫋A，则＝2或﹣2，即a＝1或﹣1．综上，a的所有可能取值构成的集合为{﹣1，0，1}． 2．已知集合A＝{}，B＝{}，C＝{}． （1）若xB是xA的必要不充分条件，求a的取值范围； （2）若AC＝A，求实数m的取值范围． 【解析】解：（1）集合A＝{}＝{}， 由于xB是xA的必要不充分条件，则A⫋B， 对于B＝{}，设，要满足A⫋B， 则，即，解得a≤﹣5， 所以a的取值范围为(，﹣5]； （2）因为AC＝A，则CA， 当m＝0时，C＝，满足CA； 当m＜0时，C＝{}，要使CA，则，解得≤m＜0； 当m＞0时，C＝{}，要使CA，则，解得0＜m≤； 综上，实数m的取值范围是[，]． 3．已知a，b，cR，a≠0，求证：“a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的充要条件． 【解析】证明：充分性 因为a﹣b＋c＝0，所以c＝b﹣a，因为ax2＋bx＋c＝0，所以ax2＋bx＋b﹣a＝0， 所以(x＋1)(ax﹣a＋b)＝0，所以方程有一根为﹣1； 必要性 因为二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1，所以a﹣b＋c＝0． 所以“a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的充要条件． 题型四：全称量词命题与存在量词命题 例6．（1）（多选）下列命题是存在量词命题且为真命题的有 A．中国所有的江河都流入太平洋 B．有的四边形既是矩形，又是菱形 C．存在xR，使得x2＋x＋1＝0 D．有的数比它的倒数小 （2）已知p：R，，则p的否定为 A．R， B．R， C．R， D．R， （3）已知命题p：“，”的否定为真命题，则实数a的取值范围为 ． （4）若命题“R，”的否定是假命题，则实数a的取值范围为 ． 【解析】（1）选项A是全称量词命题，选项B是存在量词命题且为真命题，选项C是存在量词命题且为假命题，选项D是存在量词命题且为真命题，故选BD； （2）命题的否定，将全称（存在）量词变为存在（全称）量词，并否定结论，故选B； （3）命题p：“，”，当p为真，则，即1﹣2﹣a＞0，所以a＜﹣1，若p为假，则a≥﹣1，因为p的否定为真命题，即p为假，则a≥﹣1； （4）因为命题“R，”的否定是假命题，所以命题“R，”为真命题，故，即，解得a＞3或a＜﹣1． 变式训练： 1．“，R，x＋y≥0”的否定为 ． 【解析】命题的否定，将全称（存在）量词变为存在（全称）量词，并否定结论，故原命题的否定为“，R，x＋y＜0”． 2．已知命题p：R，使得为假命题，则实数a的取值范围为 ． 【解析】命题p：R，使得，若p为真，则，令，则，令，解得x＝ln2，当x＜ln2，，则在(，ln2)单调递减，当x＞ln2，，则在(ln2，)单调递增，所以min＝＝2﹣2ln2﹣a，所以2﹣2ln2﹣a＜0，解得a＞2﹣2ln2，若p为假，则a≤2﹣2ln2． 3．已知a＞0，且“对任意的x[1，2]，以1，2，为边长的三条线段不能构成三角形”是假命题，则a的取值范围是 ． 【解析】因为原命题为假命题，所以原命题的否定是真命题，即“存在x[1，2]，以1，2，为边长的三条线段能构成三角形”，即存在x[1，2]，使1＜＜3，即2x＜a＜4x，故(2x)min＜a＜(4x)max，所以2＜a＜8． 题型五：双量词成立问题 例7．（1）已知函数，，若对任意的[﹣1，1]，存在唯一的[，2]，使得，则实数a的取值范围是 ． （2）已知函数，，若[1，e]，(0，1]使得成立，则实数a的取值范围是 ． （3）已知函数其中(0＜a≤1)，，若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为 ． （4）已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 【解析】（1）由可得，当时，；当时，；所以在(﹣1，0)单调递减，在(0，1)单调递增，所以，，，所以在[﹣1，1]上的值域为[0，e]，记A＝[0，e]，的对称轴为，，，且在(，2]上单调递减，所以[a﹣4，]，记B＝[a﹣4，]，若对任意的[﹣1，1]，存在唯一的[，2]，使得，则AB，所以，解得：，所以实数a的取值范围是(，4]． （2），则当[1，e]时，，即在[1，e]上单调递增，则；由[1，e]，(0，1]，使得成立，则在(0，1]上有解，即在(0，1]上有解，令，(0，1]，则＝，令，(0，1]，则，故在(0，1]上单调递减，则，故在(0，1]上单调递减，则，即实数a的取值范围是(ln2，)． （3）由于，，，0＜a≤1，，，即，在上单调递增，由任意的，都有成立，所以，即，，，又，得，则实数a的取值范围为[e﹣2，1]． （4），使得成立，则，因为，则，令，则，当时，，当时，，所以函数在单调递减，在单调递增，所以，因为，则，所以． 变式训练： 1．已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为 ． 【解析】，，当时，，单调递减； 当时，，单调递增，由，可得的值域为，，，当时，，单调递增，由，可得的值域为，因为若对，总，使成立，所以，即，解得，故实数a的取值范围为． 2．a＞0，，，[﹣a，a]，[﹣a，a]，使，则实数a的取值范围为 ． 【解析】[﹣a，a]，[﹣a，a]，使，等价于，其中，而，最大值要么是，要么是，则，即，解得，又因为a＞0，则实数a的取值范围为0＜a≤． 3．已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是 ． 【解析】由对任意，总存在，使得，得函数最大值不大于在上的最大值，由函数，求导得，函数在上单调递增，；函数的定义域为，求导得，当时，，函数在上单调递增，当时，，不符合题意；当时，由，得；由，得，函数在上单调递增，在上单调递减，，因此，令，函数在上单调递增，不等式，解得，所以实数a的取值范围是． 1．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 【解析】“，”的否定是“，”．故选：B． 2．命题是命题成立的（     ） 条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 【解析】当时，且成立，即成立，则一定成立，充分性成立；反之，取，满足且成立，但不满足，即成立时，不一定成立，必要性不成立，所以命题是命题成立的充分不必要条件．故选：A． 3．“，使”的一个充分不必要条件是 A． B． C． D．或 【解析】当时，有解；当时，二次函数开口向上，所以有解；当时，有解，则，解得； 综上可得；因为真包含于，所以“，使”的一个充分不必要条件是．故选：C． 4．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是 A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 【解析】由已知有，，，，，由此得且，故AC不正确； ，，故B正确；且，故D不正确．故选：B． 5．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 【解析】因为命题“，”为假命题，所以，命题“，”为真命题； 因为集合，集合，所以，当时，即时，成立，当时，由“，”得，解得，综上所述，实数的取值范围为．故选：A． 6．已知函数（为自然对数的底数），若对任意，总存在，使得，则实数的最大值为 A． B． C． D． 【解析】因为，所以，当时，单调递增；当时，单调递减；故，因为对任意，总存在，使得，所以对，恒成立，若，则，得，又，所以，令，则，令，得，，当或时，单调递增；当时，单调递减；因为，所以，则 ， 同理可得，， 因为，所以，因此，当时，对，恒成立， 故实数的最大值为．故选：B． 7．（多选）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为 A． B． C．0 D． 【解析】若是的充分不必要条件，则．集合，，当时，，则，符合题意；当时，， ∵，∴即或，解得或，综上，的值可以是：．故选：ACD． 8．（多选）若命题“，”是假命题，则可以是 A． B． C．1 D． 【解析】根据题意，知原命题的否定为真命题，所以，， 令，，解得．故选：BD． 9．命题“”是命题“”的 条件． 【解析】充分性：若，即，解得且，故充分性成立； 必要性：若，取，，故必要性不成立．所以命题“”是命题“”的充分不必要条件．故答案为：充分不必要． 10．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是_______． 【解析】由，可得且．因为，所以，故不等式的解集为．由是不等式成立的充分不必要条件，可得是的真子集，故，解得，所以的取值范围是． 11．若曲线恒在直线y＝ax的上方，则实数a的取值范围是_______． 【解析】由曲线恒在直线y＝ax的上方，可得， 令，因为，当且仅当＝0取“＝”，所以，所以＝1，即a＜1． 12．若集合． （1）若，求； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 【解析】解：（1）当时，， ， ； （2）由题意，是的充分条件，则，， 当时，此时，解得：，符合题意； 当时，则或或， 若为单元素集，则， 解得，此时，符合题意； 若，则有，无解． 综上所述，实数的取值范围为． 13．设全集，集合，，其中． （1）若，求 （2）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （3）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 【解析】解：（1）当时，，所以， 所以； （2）， “”是“”的必要而不充分条件，是的真子集， ，解得，即实数的取值范围为； （3）若命题“，使得”是假命题，则， ，或， ①当时，，解得， ②当时，则，无解， 即命题为假命题时，实数的取值范围为， 命题为真命题时，实数的取值范围为． 14．已知，其中． （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）对任意的，总存在，使得，求a的取值范围． 【解析】（1）因为，，所以，则，， 故点处的切线方程为，即． （2）由题意得， 0 0 0 递减 极小值0 递增 极大值 递减 所以的单调增区间是，单调减区间是和． 由，当时，，当时，． 因为对于任意的，总存在，使得， 故，所以，所以． 设，，问题转化为． 下面分两种情况讨论：                  情形一：当，即时，有，在上单调递减， 故在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，故， 所以，不符合题意； 情形二：当时，，在上单调递减， 故的取值范围，故， 而，在上单调递减，故， 满足，故符合题设要求． 情形三：当，即时，此时， 故此时在上的取值范围，故， 而在上的取值范围，即， 而，故成立， 综上，a的取值范围为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．理解命题、定理、定义和全称量词与存在量词的概念及意义，能正确地对含有一个量词的命题进行否定． 2．熟练掌握充要条件的判断，并能根据充要条件确定参数的取值范围． 3．能正确地对充要条件进行证明，区分充分性和必要性． 1．充分条件、必要条件与充要条件 如果“p⇒q”，那么称p是q的充分条件，也称q是p的必要条件 p是q的充分不必要条件 p⇒q且qp p是q的必要不充分条件 q⇒p且pq p是q的充要条件 p⇔q p是q的既不充分也不必要条件 pq且qp 2．命题 能够判断真假的语句 原命题：若p，则q 逆命题：若q，则p 否命题：若¬p，则¬q 逆否命题：若¬q，则¬p 3．从集合的角度理解充分必要性 若条件p，q以集合的形式出现，即A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则： （1）若A⊆B，则p是q的充分条件，q是p的必要条件； （2）若A⫋B，则p是q的充分不必要条件，q是p的必要不充分条件； （3）若A＝B，则p是q的充要条件． 4．全称量词命题与存在量词命题 全称量词命题 存在量词命题 量词 所有的、任意一个 存在一个、至少有一个 符号 ∀ ∃ 命题形式 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，¬p(x) ∀x∈M，¬p(x) 5．常见词语的否定 词语 是 都是 大于 小于 词语的否定 不是 不都是 小于或等于 大于或等于 词语 且 至少有n个 至多有一个 所有x都成立 词语的否定 或 至多有n－1个 至少有两个 存在一个x不成立 6．双量词成立问题 （1）若f(x)，g(x)的值域分别为A，B，则： ①（“任意＝存在”型）∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＝g(x2)成立，则A⊆B； ②（“存在＝存在”型）∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＝g(x2)成立，则A∩B≠． （2）不等问题 ①（“任意≥(≤、＞、＜)任意”型）)∀x1∈D，∀x2∈E，均有f(x1)＞g(x2)恒成立，则f(x1)min＞g(x2)max． 注：防止误将∀x∈D，均有f(x)＞g(x)恒成立，转化为f(x)min＞g(x)max，一般应作差构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)min＞0． ②（“任意≥(≤、＞、＜)存在”型）∀x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＞g(x2)成立，则f(x1)min＞g(x2)min． ③（“存在≥(≤、＞、＜)存在”型）∃x1∈D，∃x2∈E，使得f(x1)＞g(x2)成立，则f(x1)max＞g(x2)min． 注：防止误将∃x∈D，使得f(x)＞g(x)成立，转化为f(x)max＞g(x)min，一般应作差构造函数F(x)＝f(x)－g(x)，转化为F(x)max＞0． 题型一：充分条件、必要条件与充要条件的判断 例1．（1）“a＜5”是“a＜3”的 条件． （2）“a＋5是无理数”是“a是无理数”的 条件． （3）“a＝b”是“ac＝bc”的 条件． （4）“a≥2且b≥2”是“a2＋b2＞4”的 条件． （5）p：(x＋2)(x﹣3)＜0，q：，则p是q的 条件． （6）已知p，q都是r的必要条件，s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么r是q的 条件，p是q的 条件．（选填“充分”、“必要”、“充要”“既不充分也不必要”） 变式训练： 1．“a＞0且”是“一元二次不等式ax2＋bx＋c≥0的解集为R”的 条件． 2．“x＞0”是“x＞1”的 条件． 3．已知a，bR，则“ab＞0”是“”的 条件． 4．已知p是r的充分不必要条件，q是r的充分条件，s是r的必要条件，q是s的必要条件，下列命题正确的是 A．r是q的充分不必要条件 B．p是q的充分不必要条件 C．r是q的必要不充分条件 D．r是s的充分不必要条件 题型二：充分条件、必要条件与充要条件的探求 例2．（1）（多选）已知集合A＝{}，集合B＝{}，则AB＝的一个充分不必要条件是 A．m≤﹣2 B．m＜﹣2 C．m＜2 D．﹣4＜m＜﹣3 （2）设a，bR，则a＜b的一个充分不必要条件是 A． B． C． D． （3）关于x的方程，，中至少有一个方程有实根的充要条件是 ． 变式训练： 1．设xR，不等式成立的一个充分不必要条件是 A．1＜x＜5 B．x＞0 C．x＜4 D．2≤x≤3 2．（多选）已知集合A＝{}，B＝{}，能使A∩B＝A成立的充分不必要条件有 A．m＞0 B．m＞1 C．m＞3 D．m＞4 题型三：充分条件、必要条件与充要条件的应用 例3．（1）已知p：方程至少有一个负实根，若p成立的一个必要不充分条件为a≤m＋1，则实数m的取值范围是 ． （2）已知p：，q：(a＞0)，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围是 ． 例4．已知集合A＝{}和集合B＝{}．若xA是xB的必要不充分条件，求实数m的取值范围． 例5．求证：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个异号实根的充要条件是ac＜0． 变式训练： 1．已知集合A＝{}，B＝{}，若xA是xB的必要不充分条件，则实数a的所有可能取值构成的集合为 ． 2．已知集合A＝{}，B＝{}，C＝{}． （1）若xB是xA的必要不充分条件，求a的取值范围； （2）若AC＝A，求实数m的取值范围． 3．已知a，b，cR，a≠0，求证：“a﹣b＋c＝0”是“二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根为﹣1”的充要条件． 题型四：全称量词命题与存在量词命题 例6．（1）（多选）下列命题是存在量词命题且为真命题的有 A．中国所有的江河都流入太平洋 B．有的四边形既是矩形，又是菱形 C．存在xR，使得x2＋x＋1＝0 D．有的数比它的倒数小 （2）已知p：R，，则p的否定为 A．R， B．R， C．R， D．R， （3）已知命题p：“，”的否定为真命题，则实数a的取值范围为 ． （4）若命题“R，”的否定是假命题，则实数a的取值范围为 ． 变式训练： 1．“，R，x＋y≥0”的否定为 ． 2．已知命题p：R，使得为假命题，则实数a的取值范围为 ． 3．已知a＞0，且“对任意的x[1，2]，以1，2，为边长的三条线段不能构成三角形”是假命题，则a的取值范围是 ． 题型五：双量词成立问题 例7．（1）已知函数，，若对任意的[﹣1，1]，存在唯一的[，2]，使得，则实数a的取值范围是 ． （2）已知函数，，若[1，e]，(0，1]使得成立，则实数a的取值范围是 ． （3）已知函数其中(0＜a≤1)，，若对任意，恒成立，则实数a的取值范围为 ． （4）已知，，若，使得成立，则实数a的取值范围是 ． 变式训练： 1．已知，，若对，总，使成立，则实数a的取值范围为 ． 2．a＞0，，，[﹣a，a]，[﹣a，a]，使，则实数a的取值范围为 ． 3．已知函数，，若对于任意，总存在，使得，则实数a的取值范围是 ． 1．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．命题是命题成立的（     ） 条件． A．充分不必要 B．必要不充分 C．充分必要 D．既不充分也不必要 3．“，使”的一个充分不必要条件是 A． B． C． D．或 4．已知是的充分不必要条件，是的充分条件，是的必要条件，是的必要条件，下列命题正确的是 A．是的充分不必要条件 B．是的充分不必要条件 C．是的必要不充分条件 D．是的充分不必要条件 5．已知集合，集合，如果命题“，”为假命题，则实数的取值范围为 A． B． C． D． 6．已知函数（为自然对数的底数），若对任意，总存在，使得，则实数的最大值为 A． B． C． D． 7．（多选）设集合，．若是的充分不必要条件，则实数a的值可以为 A． B． C．0 D． 8．（多选）若命题“，”是假命题，则可以是 A． B． C．1 D． 9．命题“”是命题“”的 条件． 10．已知，使得不等式成立的一个充分不必要条件是，则的取值范围是_______． 11．若曲线恒在直线y＝ax的上方，则实数a的取值范围是_______． 12．若集合． （1）若，求； （2）设命题；命题，若是的充分条件，求实数的取值范围． 13．设全集，集合，，其中． （1）若，求 （2）若“”是“”的必要而不充分条件，求实数a的取值范围； （3）若命题“，使得”是真命题，求实数a的取值范围． 14．已知，其中． （1）若，求函数在点处的切线方程； （2）对任意的，总存在，使得，求a的取值范围． 2 学科网（北京）股份有限公司 $