第03讲 不等关系与不等式 讲义-2027届高三数学一轮复习（中等难题突破）

该高中数学讲义聚焦不等式高考核心考点，涵盖基本性质、比较大小方法及代数式范围求解，按“性质梳理-方法提炼-应用拓展”逻辑架构知识体系，通过考点解析、题型示例、变式训练和综合练习，帮助学生系统掌握不等式应用规律，突破高考高频难点。 讲义突出“方法-素养”双导向，创新设计比较大小的作差法、构造函数法等专题训练，结合糖水不等式等实际应用案例，培养学生逻辑推理和数学运算素养。设置基础巩固、能力提升、综合应用分层练习，配合即时反馈机制，确保高效复习，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

1．掌握不等式的基本性质，通过不等式的性质进行比较与证明，求出代数式的范围，培养逻辑推理和数学运算素养． 2．会比较两个实数的大小，通过两个数（式子）大小的比较，培养逻辑推理素养． 3．了解日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． 1．两个实数比较大小的方法 （1）作差法 （2）作商法 ； 2．不等式的性质 （1）对称性：a＞bb＜a（双向性）； （2）传递性：a＞b，b＞ca＞c（单向性）； （3）可加性：a＞ba＋c＞b＋c（双向性）； （4）可乘性：a＞b，c＞0ac＞bc（单向性）； a＞b，c＜0ac＜bc（单向性）； （5）同向可加性：a＞b，c＞da＋c＞b＋d（单向性）； （6）同向可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd（单向性）； （7）正数乘方性：a＞b＞0(，n≥2)（单向性）； （8）正数开方性：a＞b＞0(，n≥2)（单向性）． 3．倒数性质 （1）若ab＞0，则a＜b； （2）a＜0＜b； （3）a＞b＞0，d＞c＞0； （4）0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0． 4．糖水不等式 ，，． 题型一：不等式的基本性质 例1．（1）对于实数a，b，c，下列命题正确的是 A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则＞ D．若a＞b＞c＞0，则 （2）已知a，b，cR，使a＞b成立的一个充分不必要条件是 A．a＋c＞b＋c B．a2＞b2 C．＜ D． （3）（多选）若a＞b＞0，c＜d＜0，则 A．a﹣c＞b﹣d B．ad＞bc C． D． 【解析】（1）当c＝0时，ac2＝bc2，A错误；当a＝1，b＝﹣2时，a＞b，此时a2＜b2，B错误；当a＞b＞0，则，则＞，当a＞0＞b时，则＞0＞，C正确；因为a＞b＞c＞0，0＜a﹣b＜a﹣c，所以，又因为b＞c＞0，，D错误．选C． （2）a＞b是a＋c＞b＋c的充要条件，A不选；因为(﹣3)2＞12，﹣3＜1，显然B错误；，﹣2＜2，C错误；，但a＞b不能保证a，b都是正数，故是a＞b成立的一个充分不必要条件，选D． （3）因为c＜d＜0，所以﹣c＞﹣d＞0，因为a＞b＞0，所以a﹣c＞b﹣d，A正确；因为3＞2＞0，﹣3＜﹣2＜0，3×(﹣2)＝2×(﹣3)，故B错误；因为a＞b＞0，所以，﹣c＞0，所以，即，C错误；因为﹣c＞﹣d＞0，根据糖水不等式得，所以，D正确．选AD． 变式训练： 1．（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【解析】取，满足，但，故选项A不正确；因为，，所以，故选项B正确；因为，所以，又，由不等式的性质，得，故选项C正确；当，时，，故选项D正确．故选BCD． 2．（多选）已知实数a，b，c，满足a＜b＜c，ac＜0 A． B． C． D． 【解析】，所以，若，则，故A错误；，，又，所以，所以，所以，故B正确；对于C，因为，所以，所以0＜c﹣b＜c﹣a，所以，故C正确；对于D，当时，，不成立，故D错误；故选：BC． 3．（多选）若，则“”的充分不必要条件是 A． B． C． D． 【解析】，故“”是“”的充要条件，故A错误；由得b＞a＋1＞a，能推出，反之不成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确；若a＝1，b＝﹣2，，不成立，故充分性不成立，若不成立，故必要性不成立，所以“”是“”的既不充分也不必要条件，故C错误；，所以“”是“”的充分不必要条件，故D正确．故选：BD． 题型二：利用不等式的性质求代数式的取值范围 例2．若﹣3＜x＜2，1＜y＜3． （1）求2x﹣y的取值范围； （2）求4xy的取值范围； （3）求的取值范围． 【解析】解：（1）∵﹣3＜x＜2，1＜y＜3， ∴﹣6＜2x＜4，﹣3＜﹣y＜﹣1， ∴﹣9＜2x﹣y＜3，即2x﹣y的取值范围是(﹣9，3)； （2）①当﹣3＜x＜0时，则0＜﹣x＜3，∵1＜y＜3，∴0＜﹣xy＜9，即﹣9＜xy＜0； ②当x＝0时，xy＝0； ③当0＜x＜2时，∵1＜y＜3，∴0＜xy＜6． 综上所述，﹣9＜xy＜6，∴﹣36＜4xy＜24； （3）∵1＜y＜3，∴， ①当﹣3＜x＜0时，则0＜﹣x＜3，∵，∴，即； ②当x＝0时，＝0； ③当0＜x＜2时，∵，∴． 综上所述，． 例3．（1）设实数x，y满足，，则的最大值是 ． （2）已知，，则的取值范围是 ． 【解析】（1）因为实数x，y满足，，所以，，所以×16≤≤，即2≤≤27，即的最大值是27． （2）令，解得，则，原题转化为，，求的范围，易得，，则，即的取值范围是[﹣1，16]． 例4．若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x﹣y＋z＝5，求M＝4x＋3y＋5z的取值范围． 【解析】解：，解得，1≤x≤3，M＝4x＋3y＋5z＝﹣2x＋21， 因为1≤x≤3，所以﹣6≤﹣2x≤﹣2，15≤﹣2x＋21≤19， 所以M＝4x＋3y＋5z的取值范围为[15，19]． 变式训练： 1．（多选）若x＞y＞z，且x＋2y＋z＝0，则 A．x＞0，z＜0 B．xy＞yz C． D．﹣3＜＜ 【解析】因为x＞y＞z，且x＋2y＋z＝0，所以x＞0，z＜0，A正确；由于y的符号无法确定，因此不能比较xy与yz的大小，B错误；因为y＞z，所以﹣y＜﹣z，故0＜x﹣y＜x﹣z，所以，因为z＜0，则，C错误；x＋2y＋z＝0，所以，因为x＞y＞z，所以x＞＞z，因为x＞0，两边同时除以x得，则﹣3＜＜，D正确．故选AD． 2．已知4＜a＜6，3＜b＜4，则的取值范围是 ． 【解析】因为3＜b＜4，所以，因为4＜a＜6，所以，故，即的取值范围是(2，3)． 3．已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是 ． 【解析】因为2a＋b＋c＝0，所以b＝﹣2a﹣c，所以a＞﹣2a﹣c＞c，易知a＞0，两边同时除以a得，1＞﹣2﹣＞，解得﹣3＜＜﹣1，故的取值范围是(﹣3，﹣1)． 4．若实数x，y，z≥0，且x＋y﹣z＝4，x﹣y﹣3z＝﹣20，求M＝3x＋2y＋4z的取值范围． 【解析】解：，解得，4≤z≤12，M＝3x＋2y＋4z＝8z， 因为4≤z≤12，所以32≤8z≤96，所以M＝3x＋2y＋4z的取值范围为[32，96]． 5．已知实数a，b． （1）若﹣3＜a＜1，＜b＜，求的取值范围； （2）若﹣1＜a＋b＜3，2＜a﹣b＜4，求2a＋3b的取值范围． 【解析】解：（1）因为＜b＜，所以， ①当﹣3＜a＜0，则0＜﹣a＜3，所以，即； ②当a＝0时，＝0； ③0＜a＜1，则； 综上所述：． （2）令，则，则2a＋3b＝， 则原题转化为﹣1＜x＜3，2＜y＜4，求的取值范围， 易得，，所以． 题型三：比较大小的方法 （一）不等式性质比较大小、作差法比较大小、利用函数单调性比较大小 例5．已知a＜b＜0，求证：． 【解析】方法一：不等式性质 证明：∵a＜b＜0，∴，∴． 方法二：作差法比较大小 证明：， ∵a＜b＜0，∴a﹣b＜0，ab＞0，∴，∴， ∴，即． 方法三：利用函数单调性比较大小 证明：令，其中x＜0，，所以在(，0)单调递增， 因为a＜b＜0，所以，即，所以． （二）平方法、分子或分母有理化 例6．（1）已知，，则a，b的大小关系是 ． （2）已知c＞1，且，，则x，y的大小关系是 ． 【解析】（1），，因为，所以a2＞b2，又a＞0，b＞0，所以a＞b． （2），同理，又因为，所以，即x＜y． （三）构造函数法、中间值法、放缩法 例7．比较下列a，b，c的大小． （1），，； （2），，； （3），，． 【解析】解：（1）构造函数，易知在(0，e)单调递增，由1.1＜1.5＜e，得，所以，所以1.5ln1.1＜1.1ln1.5，则ln1.11.5＜ln1.51.1，所以1.11.5＜1.51.1，即b＜a， ，，即a＜c， 综上：b＜a＜c； （2）利用常见的放缩不等式：（x＝1取“＝”），（x＝0取“＝”）， ln1.01＜1.01﹣1＝0.01，所以b＜a，e0.01＞0.01＋1，所以e0.01﹣1＞0.01，即c＞a， 综上：b＜a＜c； （3）方法一：构造函数 令，0＜x＜1，， 令，， 所以在(0，1)单调递减，故，所以， 所以在(0，1)单调递减，故，即， 所以，当x＝0.1时，，所以，即a＜b， 令，0＜x＜0.2，， 令，， 所以在(0，0.2)单调递减，故，所以， 所以在(0，0.2)单调递增，故，即， 所以，当x＝0.1时，，所以，即a＞c， 所以c＜a＜b． 方法二：泰勒公式 ，， ， ， ，所以c＜a＜b． 变式训练： 1．已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：． 【解析】证明：因为c＜d＜0，所以﹣c＞﹣d＞0，因为a＞b＞0，所以a﹣c＞b﹣d＞0， 所以，因为e＜0，所以． 2．比较下列a，b，c的大小． （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 【解析】解：（1），，， 因为，所以，即a＞b＞c； （2）构造函数，易知在(e，π)单调递减，由e＜π，得，所以，所以elnπ＜πlne，则lnπe＜lneπ，所以πe＜eπ，即c＜b，又因为eπ＜3π，即b＜a，所以c＜b＜a； （3）因为，所以，则，所以，因为， 所以，即c＞b，构造函数，在(，)单调递减，又，所以，即b＞a，所以c＞b＞a； （4）令，0＜x＜1，， 令，， 所以在(0，1)单调递减，故，所以， 所以在(0，1)单调递减，故，即， 所以，当x＝0.1时，，所以， 所以，即c＜a， 因为，所以，即b＞a，所以c＜a＜b． 1．已知，则下列不等式恒成立的是 A． B． C． D． 【解析】对于A，若取，则，不成立，故A不合题意； 对于B，若取，则，不成立，故B不合题意； 对于C，若取，则，不成立，故C不合题意； 对于D，因，则，于是，故，故D符合题意．故选：D． 2．已知且，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【解析】因为，由，所以，故，充分性成立，由，得或，必要性不成立，所以“”是“”的充分不必要条件．故选：A． 3．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 【解析】选项A，取，，，，满足条件，但，A错误； 选项B，当，时，满足，但，B错误； 选项C，当时，有，， ， 则，所以，C正确； 选项D，且，则，， 则，得，D错误．故选：C． 4．设为实数，满足，则的最大值为 A．27 B．24 C．12 D．32 【解析】由，得，又，所以，所以，即，所以的最大值为27．故选：A． 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 【解析】令，，当时，，，，单调递增，，即，，即； 令，， 令，，令，，当时，，单调递增， ，在上单调递减，，，在上单调递减，，即，，综上所述．故选：C． 6．已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 【解析】由已知及三角形三边关系得，所以，则，两式相加得，所以．故选：C． 7．（多选）已知，则使得成立的充分条件可以是 A． B． C． D． 【解析】由，可得，由，得，即，则，即，即，故A，D正确；B，C错误．故选：AD． 8．（多选）若 ，且 ，则 A． B． C． D． 【解析】选项A：因为，所以，已知，代入得，选项A正确； 选项B：同理，代入，得，选项B正确； 选项C：，因，故符号由决定：若，则，若，则，若，则，因此不一定成立，选项C错误； 选项D：因，故，得，又，两边乘负数不等号变向，得，选项D错误．故选：AB． 9．（多选）若，，则 A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 【解析】由，，得，，所以，，故A正确，B不正确．因为，，且，不能同时成立，所以的取值范围不是，故C不正确．令，则解得因为，，所以，即的取值范围为，故D正确．故选：AD． 10．若正实数满足不等式组，则的大小关系为______（按由小到大排列）． 【解析】由不等式组及均为正实数，得， 则，即，所以． 11．已知实数x，y满足，且，则的取值范围是________． 【解析】因为，，令，则，，所以，显然，当时，，则，所以；当时，，则，所以； 综上，或，即的取值范围是． 12．已知，． （1）求y的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围． 【解析】解：（1）设，则， 所以，解得，所以． 因为，所以．① 因为，所以．② ①＋②得，，所以． （2）∵，，∴，∴， 所以． （3）设，则，所以，解得 所以． 因为，所以．③ 因为，所以． ④ ③＋④得，，所以． 13．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 【解析】解：（1）因为加糖后糖水更甜，即糖水的浓度变大，所以提炼出的不等式为: ； 证明如下：利用作差法证明 ， 所以，不等式成立． （2）因为为三角形的三边长，所以 由（1）知，，， 将上述三个不等式相加可得：，所以． 14．某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比. 已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量． （1）写出的值，并对的值给出一个合理的解释； （2）已知， ①求 ； ②“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用个单位量的洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效果更好？ 【解析】解：（1）由题意得， 的值表示的含义为没有用洗涤溶液漂洗，残留污渍没有变化； （2）①由，，得； 又，则， ②设清洗前物品上污渍残留量为单位1， “用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”后残留污渍量为， “用个单位量的洗涤溶液漂洗两次”后残留污渍量为， ， 当时，，即“用 个单位量的洗涤溶液漂洗两次”效果好； 当时，，两种方案效果相同； 当时，，即“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”效果好． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1．掌握不等式的基本性质，通过不等式的性质进行比较与证明，求出代数式的范围，培养逻辑推理和数学运算素养． 2．会比较两个实数的大小，通过两个数（式子）大小的比较，培养逻辑推理素养． 3．了解日常生活中的不等关系，了解不等式（组）的实际背景． 1．两个实数比较大小的方法 （1）作差法 （2）作商法 ； 2．不等式的性质 （1）对称性：a＞bb＜a（双向性）； （2）传递性：a＞b，b＞ca＞c（单向性）； （3）可加性：a＞ba＋c＞b＋c（双向性）； （4）可乘性：a＞b，c＞0ac＞bc（单向性）； a＞b，c＜0ac＜bc（单向性）； （5）同向可加性：a＞b，c＞da＋c＞b＋d（单向性）； （6）同向可乘性：a＞b＞0，c＞d＞0ac＞bd（单向性）； （7）正数乘方性：a＞b＞0(，n≥2)（单向性）； （8）正数开方性：a＞b＞0(，n≥2)（单向性）． 3．倒数性质 （1）若ab＞0，则a＜b； （2）a＜0＜b； （3）a＞b＞0，d＞c＞0； （4）0＜a＜x＜b或a＜x＜b＜0． 4．糖水不等式 ，，． 题型一：不等式的基本性质 例1．（1）对于实数a，b，c，下列命题正确的是 A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＞b，则＞ D．若a＞b＞c＞0，则 （2）已知a，b，cR，使a＞b成立的一个充分不必要条件是 A．a＋c＞b＋c B．a2＞b2 C．＜ D． （3）（多选）若a＞b＞0，c＜d＜0，则 A．a﹣c＞b﹣d B．ad＞bc C． D． 变式训练： 1．（多选）已知实数a，b，c，则下列结论正确的是 A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 2．（多选）已知实数a，b，c，满足a＜b＜c，ac＜0 A． B． C． D． 3．（多选）若，则“”的充分不必要条件是 A． B． C． D． 题型二：利用不等式的性质求代数式的取值范围 例2．若﹣3＜x＜2，1＜y＜3． （1）求2x﹣y的取值范围； （2）求4xy的取值范围； （3）求的取值范围． 例3．（1）设实数x，y满足，，则的最大值是 ． （2）已知，，则的取值范围是 ． 例4．若实数x，y，z≥0，且x＋y＋z＝4，2x﹣y＋z＝5，求M＝4x＋3y＋5z的取值范围． 变式训练： 1．（多选）若x＞y＞z，且x＋2y＋z＝0，则 A．x＞0，z＜0 B．xy＞yz C． D．﹣3＜＜ 2．已知4＜a＜6，3＜b＜4，则的取值范围是 ． 3．已知a＞b＞c，2a＋b＋c＝0，则的取值范围是 ． 4．若实数x，y，z≥0，且x＋y﹣z＝4，x﹣y﹣3z＝﹣20，求M＝3x＋2y＋4z的取值范围． 5．已知实数a，b． （1）若﹣3＜a＜1，＜b＜，求的取值范围； （2）若﹣1＜a＋b＜3，2＜a﹣b＜4，求2a＋3b的取值范围． 题型三：比较大小的方法 （一）不等式性质比较大小、作差法比较大小、利用函数单调性比较大小 例5．已知a＜b＜0，求证：． （二）平方法、分子或分母有理化 例6．（1）已知，，则a，b的大小关系是 ． （2）已知c＞1，且，，则x，y的大小关系是 ． （三）构造函数法、中间值法、放缩法 例7．比较下列a，b，c的大小． （1），，； （2），，； （3），，． 变式训练： 1．已知a＞b＞0，c＜d＜0，e＜0，求证：． 2．比较下列a，b，c的大小． （1），，； （2），，； （3），，； （4），，． 1．已知，则下列不等式恒成立的是 A． B． C． D． 2．已知且，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．已知a，b，c，d均为实数，则下列命题正确的是 A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若且，则 4．设为实数，满足，则的最大值为 A．27 B．24 C．12 D．32 5．已知，，，则a，b，c的大小关系为 A． B． C． D． 6．已知的三边长分别为，，，且满足，则的取值范围为 A． B． C． D． 7．（多选）已知，则使得成立的充分条件可以是 A． B． C． D． 8．（多选）若 ，且 ，则 A． B． C． D． 9．（多选）若，，则 A．的取值范围是 B．的取值范围是 C．的取值范围是 D．的取值范围是 10．若正实数满足不等式组，则的大小关系为______（按由小到大排列）． 11．已知实数x，y满足，且，则的取值范围是________． 12．已知，． （1）求y的取值范围； （2）求的取值范围； （3）求的取值范围． 13．假设克糖水中含有克糖，若再添加克糖（其中，），生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后，糖水会更甜． （1）根据这个生活常识，提炼出一个不等式，并证明； （2）利用（1）提炼的不等式证明：若为三角形的三边长，则． 14．某物品上的特殊污渍需用一种特定的洗涤溶液直接漂洗，表示用个单位量的洗涤溶液漂洗一次以后，残留污渍量与原污渍量之比. 已知用1个单位量的洗涤溶液漂洗一次，可洗掉该物品原污渍量． （1）写出的值，并对的值给出一个合理的解释； （2）已知， ①求 ； ②“用个单位量的洗涤溶液漂洗一次”与“用个单位量的洗涤溶液漂洗两次”，哪种方案去污效果更好？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $