精品解析：吉林省长春市东北师大附中初中部2025-2026学年第二学期期末考试八年级数学学科试卷

东北师大附中初中部2025—2026学年第二学期期末考试初二年级数学学科试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共有8道小题，每小题3分，共24分） 1. 如图为某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（ ） A. 物理实验室 B. 化学实验室 C. 生物实验室 D. 图书馆 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的坐标符号判断该点所在的象限，再结合图形中各功能室的位置即可得出答案； 【详解】解：该功能室的坐标为，横坐标，纵坐标， 该功能室位于第四象限， 由图可知，物理实验室在第一象限，生物实验室在第二象限，图书馆在第三象限，化学实验室在第四象限， 故该功能室是化学实验室． 2. 图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（ ）． A. 30 B. 36 C. 45 D. 56.25 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 3. 若，是方程的两个根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据根与系数的关系求出的值，再根据可得答案． 【详解】解：∵，是方程的两个根， ∴， ∴． 4. 北京时间6月21日，2026美加墨世界杯阿根廷对阵法国的小组赛在达拉斯体育场开赛，现场一共吸引70649名观众入场观赛．为了解本场所有观众各自支持的球队，工作人员随机采访了1000名观众进行统计，下列说法正确的是（ ）． A. 本次调查方式属于普查 B. 70649名观众所支持的球队是总体 C. 70649是该调查的样本容量 D. 被采访的1000名观众是样本 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查统计的基本概念，只要明确普查、总体、样本容量、样本的定义，逐一判断选项即可． 【详解】解：∵本次调查仅随机抽取1000名观众，没有调查全部70649名观众， ∴调查方式是抽样调查，不是普查，A错误； ∵本题的考察对象是本场所有观众各自支持的球队，∴70649名观众所支持的球队是总体，B正确； ∵样本容量是样本中个体的数量，本次抽取的样本数量是1000，∴样本容量为1000，C错误； ∵样本是被抽取的考察对象，本题考察对象是观众支持的球队，∴被采访的1000名观众所支持的球队才是样本，不是观众本身，D错误． 5. 在正比例函数（为常数，且）中，随的增大而减小，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据正比例函数的增减性，可得m的取值范围，即可进行解答． 【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而减小， ∴， ∴， ∴函数的图象大致是 ， 故选项A符合题意． 6. 如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据位似图形的性质可知，位似比等于对应点到位似中心的距离之比，相似三角形的面积比等于相似比的平方，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵三角板与其投影的三角形是位似图形， ∴，且相似比为， ∴三角板的面积与其投影的三角形的面积比是． 7. 如图，在中，为边上一点．下列给出的条件不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据相似三角形的判定方法逐项分析判断即可． 【详解】解：，， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，， ∴ ， 故选项不符合题意； ∵，， ∴， 又∵， ， 故选项不符合题意； ，， ， 故选项不符合题意； 添加条件无法证明， 故选项符合题意． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，证明是等腰直角三角形，证明，设，则，点D在反比例函数图象上，则，根据，，即可求出的值． 【详解】解：设， ∵四边形是矩形， ∴，轴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵轴， ∴， ∵点在同一直线上， ∴， 在中，， ∴， ∴， 设，则， ∵点D在反比例函数图象上， ∴， ∵、在轴的负半轴上， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 解得 二、填空题（本大题共有6道小题，每小题3分，共18分） 9. 对于函数，当________时，的值为0． 【答案】 【解析】 【分析】分式值为0的条件是分子为0，且分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，， ∴． 10. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程无解得到，代入求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程没有实数根， ∴， ∴． 故答案为： 11. 如图，直线与交点的横坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为________． 【答案】 【解析】 【分析】求出两直线的交点的坐标即可得到答案． 【详解】解：在中，当时，， ∴直线与交点的坐标为， ∵， ∴， ∵关于、的二元一次方程组的解为， ∴关于、的二元一次方程组的解为． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式，分别将两点坐标代入，用表示出和，计算后，结合的条件判断其与的大小关系即可． 【详解】解：将点代入，得，即， 将点代入，得，即， ∴． ， ， 即． 13. 如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为__________米． 【答案】9 【解析】 【分析】本题考查视点、视角和盲区，相似三角形的判定和性质，解题的关键是证明，推出，由此求解即可． 【详解】解：设与交于， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：9． 14. 如图，在中，，直线是在外部且经过点的任意一条直线，过点作于点，过点作于点，连结，交于点．下面给出四个结论： ①； ②当点为中点时，； ③当时，的最大值为； ④当时，与相似． 上述结论中，正确结论的序号有________． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】证明，则，故①正确；证明，由①可知，，即可得到，故②正确；取的中点，连接，，则，由，即可得到的最大值为，故③错误；证明，又由，即可证明，故④正确． 【详解】解；①∵过点作于点，过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故①正确； 当点为中点时，在中， ∴， 由①可知，， ∴， 故②正确； ∵， ∴， 取的中点，连接，，则， ∵ ∴在中， ∵， ∴， ∴的最大值为， 故③错误； ④当，由①可知， ∴ ∴， 在中，， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确； 综上可知，正确结论的序号有①②④． 三、解答题（本大题共有10道小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】化简结果为，值为 【解析】 【分析】首先将原式括号中两项通分，再利用同分母分式的减法法则计算合并，然后把除法转化为乘法，接着因式分解后约分得到最简结果，最后将 x 的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ； 当时，原式． 16. 在初二年级期末体育1000米测试中，小明先匀速跑了640米，之后提速进行冲刺，并以这个速度匀速跑完剩余路程，这样一共用了220秒跑完全程，求小明前640米跑步的速度． 【答案】米/秒 【解析】 【分析】设小明前640米跑步的速度是x米/秒，利用前640米所用的时间+后360米所用的时间＝总时间列式运算即可． 【详解】解：设小明前640米跑步的速度是x米/秒， 由题意，得， 解得， 经检验是原方程的解且符合题意． 答：小明前640米跑步的速度是米/秒． 17. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，不要求写作法，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出的中线； （2）在图②中，在的边上找到一点，使； （3）在图③中，在的边上找到一点，使． 【答案】（1）解：的中线如图①所示： （2）解：点如图②所示： （3）点如图③所示： 【解析】 【分析】（1）利用网格的特点找到的中点即可； （2）利用网格的特点得到且，，利用相似三角形的性质即可得到； （3）利用网格的特点找到点，，得，再利用网格的特点找到平行四边形，交于点，得，得，推出是等腰三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 18. 第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 【答案】 【解析】 【分析】先设月平均增长率为，根据4月和6月的销售量列出方程，即可求解． 【详解】解：设月平均增长率为， 由题意得，， 解得，（舍去）， ∴． 答：吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率为． 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点和点（点在点的左侧），且点与点的横坐标之差是4，设点的横坐标为． （1）点的坐标为________，点的坐标为________；（用含有的代数式表示） （2）求反比例函数的关系式； （3）直接写出不等式的解集为________． 【答案】（1）， （2）； （3） 【解析】 【分析】（1）点的横坐标为，则纵坐标为，求得点的横坐标为，则纵坐标为，据此求解即可； （2）由题意得，据此求解即可； （3）求得点的坐标为，点的坐标为，根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：∵点的横坐标为， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点的横坐标之差是4， ∴点的横坐标为， ∴纵坐标为， ∴点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵反比例函数的图象经过点和点， ∴， 解得， ∴点的坐标为， ∴， ∴反比例函数的关系式为； 【小问3详解】 解：由（2）得点的坐标为，点的坐标为， ∴不等式的解集为． 20. 本学期，为迎接第31个世界读书日，我校开展了以“书香递薪火，青春共成长”为主题的读书系列活动．在活动过程中，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 百分比 2 3 15 5 【学生一周课外阅读时间频数分布表】 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中的________ ，________； （2）频数分布直方图的组距是________，请将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，小刚估计学校能够被评选为“阅读之星”的学生人数会超过学生总人数的一半．你同意他的看法吗？请说明理由． 【答案】（1）25， （2）2，图如下 （3）同意，理由如下： 将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”， 占比为， 小刚估计学校能够被评选为“阅读之星”的学生人数会超过学生总人数的一半，是正确的． 【解析】 【分析】（1）根据频数分布表，先求出抽取总人数，计算即可； （2）根据组数和组距的定义，即可求组距；根据a的值，补全频数分布直方图即可； （3）根据样本估计总体，计算样本中每周课外阅读时间在6小时以上的学生占比，与50%比较即可． 【小问1详解】 解：抽取总人数为：（人）， （人）， ； 【小问2详解】 解：由频数分布表和频数分布直方图可知，组数是5，组距是， 频数分布直方图略； 【小问3详解】 解：略 21. 如图，在中，，是边上一点，且，过点作的垂线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，则的长为________． 【答案】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）由等边对等角和对顶角相等可证明，再由垂线的定义得到，据此可证明； （2）由相似三角形的性质得到，设，则，，利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）得， ∴，即， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴， ∴． 22. 本学期，我校地理学科组织了以“粽香润地学，仓韵育家园”为主题的学科文化节活动．活动中，七年级和八年级各组建一支代表队参与包粽子．八年级代表队先独立包粽子，一段时间后，七年级代表队加入，两队共同包粽子，且各自的包粽子速度保持不变．两队包粽子的总个数（个）与活动开始后经过的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）八年级代表队每小时包粽子________个，七年级代表队每小时包粽子________个； （2）求七年级代表队加入后，与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）当包完的粽子数量恰好是总数量的时，求八年级代表队包粽子的个数． 【答案】（1）50；40 （2）； （3）八年级代表队包粽子的个数为个． 【解析】 【分析】（1）根据函数图象求解即可； （2）利用待定系数法求解即可； （3）先求得包完的粽子数量恰好是总数量的时所需要的时间，据此求解即可． 【小问1详解】 解：八年级代表队每小时包粽子个， 两队合作每小时包个， ∴七年级代表队每小时包粽子个； 【小问2详解】 解：当时，设与之间的函数关系式为， 由题意得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问3详解】 解：由题意得包完的粽子数量为个， 当时，只有八年级参加，，不存在； 当时，由题意得， 解得， ∴八年级代表队包粽子的个数为个． 23. 【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ （1）请解答上述习题． 【问题探究】 （2）同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． （3）【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 【答案】（1）与相似，理由如下： ∵，， ∴； （2）①∵， ∴，，即， ∵， ∴， ∴； ②∵，， ∴， ∴； （3）90； 【解析】 【分析】（1）利用两角对应相等即可证明； （2）①利用两边对应成比例且夹角相等证明，推出； ②利用三角形内角和定理即可得到； （3）证明，推出，，利用（2）的结论即可得到；再利用等腰三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 证明：略 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 解：∵在和中，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴，， 在四边形中，， 由（2）得， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 24. 如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上的一个动点（点与点不重合），连接，以、为邻边作，连接． （1）求点到的距离； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）连接，则线段的最小值为________； （4）当与的某一个内角相等时，直接写出的长． 【答案】（1） （2）∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形； （3） （4）的长为5或或． 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理求得，再利用等积法求解即可； （2）根据平行四边形的性质和判定定理，即可得出答案； （3）证明点M在过点P平行于的直线上，过点C作于点H，根据垂线段最短，得出当点M在点H时，最小，过点P作于点G，，证明四边形为矩形，据此求解即可； （4）分三种情况：当时当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 设点到的距离为， ∵， ∴； 【小问2详解】 证明：略 【小问3详解】 解：由（2）得四边形为平行四边形， ∴， ∴点M在过点P平行于的直线上， 过点C作于点H， ∵垂线段最短， ∴当点M在点H时，最小， 过点P作于点G， 则， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， 连接， ∵点为边的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值为； 【小问4详解】 解：设， 当时，如图所示： 此时点M在上， ∵四边形为平行四边形， ∴，，， ∴，， ∵点为边的中点， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，过点A作于点D，延长交于点E，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中根据勾股定理得：， 解得：，即； 当时，延长交于点E，如图所示： ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，即， 解得：， ∴． 综上分析可知，的长为5或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 东北师大附中初中部2025—2026学年第二学期期末考试初二年级数学学科试卷 时长：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共有8道小题，每小题3分，共24分） 1. 如图为某中学部分功能室的大致位置，以田径场所在位置为坐标原点建立平面直角坐标系，若某功能室坐标为，则该功能室是（ ） A. 物理实验室 B. 化学实验室 C. 生物实验室 D. 图书馆 2. 图①是小明家摆放绿植的花架，它的侧面可抽象成如图②所示的图形，其中，已知，，则的长度是（ ）． A. 30 B. 36 C. 45 D. 56.25 3. 若，是方程的两个根，则的值为（ ）． A. B. C. D. 4. 北京时间6月21日，2026美加墨世界杯阿根廷对阵法国的小组赛在达拉斯体育场开赛，现场一共吸引70649名观众入场观赛．为了解本场所有观众各自支持的球队，工作人员随机采访了1000名观众进行统计，下列说法正确的是（ ）． A. 本次调查方式属于普查 B. 70649名观众所支持的球队是总体 C. 70649是该调查的样本容量 D. 被采访的1000名观众是样本 5. 在正比例函数（为常数，且）中，随的增大而减小，则函数的大致图象为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，三角板（）在手电筒（点）发出的光源的照射下形成了投影，三角板与其投影的三角形（）是位似图形，若，则三角板的面积与其投影的三角形的面积比是（ ）． A. B. C. D. 7. 如图，在中，为边上一点．下列给出的条件不能判定的是（ ）． A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点、在轴的负半轴上，且，顶点在函数（）的图象上，在边上取点使，的延长线与轴的负半轴交于点，连结．若的面积为18，则的值为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共有6道小题，每小题3分，共18分） 9. 对于函数，当________时，的值为0． 10. 若关于的一元二次方程没有实数根，则的取值范围为_________． 11. 如图，直线与交点的横坐标为，则关于、的二元一次方程组的解为________． 12. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则________（填“”“”或“”）． 13. 如图所示，某种品牌小轿车左右两个参照点A和F的距离为米，这两个参照点到地面的距离米，若驾驶员的眼睛点P到地面的距离米，则驾驶员的视野盲区的长度为__________米． 14. 如图，在中，，直线是在外部且经过点的任意一条直线，过点作于点，过点作于点，连结，交于点．下面给出四个结论： ①； ②当点为中点时，； ③当时，的最大值为； ④当时，与相似． 上述结论中，正确结论的序号有________． 三、解答题（本大题共有10道小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 在初二年级期末体育1000米测试中，小明先匀速跑了640米，之后提速进行冲刺，并以这个速度匀速跑完剩余路程，这样一共用了220秒跑完全程，求小明前640米跑步的速度． 17. 图①、图②、图③均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，小正方形的边长为1，的顶点均在格点上，要求只用无刻度的直尺，分别按下列要求画图，不要求写作法，保留作图痕迹． （1）在图①中，画出的中线； （2）在图②中，在的边上找到一点，使； （3）在图③中，在的边上找到一点，使． 18. 第33届世界大学生冬季运动会（大冬会）将于2027年1月在吉林省长春市召开．本届大冬会的吉祥物“吉冰”和“吉雪”已于2026年3月21日正式对外发布，并深受大家的喜爱．某商店出售本届大冬会吉祥物毛绒挂件，经统计，2026年4月份的销售量为320个，2026年6月份的销售量为500个．求吉祥物毛绒挂件2026年4月份到6月份销售量的月平均增长率． 19. 如图，已知一次函数的图象与反比例函数（，）的图象相交于点和点（点在点的左侧），且点与点的横坐标之差是4，设点的横坐标为． （1）点的坐标为________，点的坐标为________；（用含有的代数式表示） （2）求反比例函数的关系式； （3）直接写出不等式的解集为________． 20. 本学期，为迎接第31个世界读书日，我校开展了以“书香递薪火，青春共成长”为主题的读书系列活动．在活动过程中，学校随机抽取了部分学生，对他们一周的课外阅读时间进行调查，绘制出频数分布表和频数分布直方图的一部分如下： 课外阅读时间（单位：小时） 频数（人数） 百分比 2 3 15 5 【学生一周课外阅读时间频数分布表】 请根据图表信息回答下列问题： （1）频数分布表中的________ ，________； （2）频数分布直方图的组距是________，请将频数分布直方图补充完整； （3）学校将每周课外阅读时间在6小时以上的学生评为“阅读之星”，小刚估计学校能够被评选为“阅读之星”的学生人数会超过学生总人数的一半．你同意他的看法吗？请说明理由． 21. 如图，在中，，是边上一点，且，过点作的垂线，交的延长线于点． （1）求证：； （2）若，，则的长为________． 22. 本学期，我校地理学科组织了以“粽香润地学，仓韵育家园”为主题的学科文化节活动．活动中，七年级和八年级各组建一支代表队参与包粽子．八年级代表队先独立包粽子，一段时间后，七年级代表队加入，两队共同包粽子，且各自的包粽子速度保持不变．两队包粽子的总个数（个）与活动开始后经过的时间（时）之间的函数图象如图所示． （1）八年级代表队每小时包粽子________个，七年级代表队每小时包粽子________个； （2）求七年级代表队加入后，与之间的函数关系式（不需要写出自变量的取值范围）； （3）当包完的粽子数量恰好是总数量的时，求八年级代表队包粽子的个数． 23. 【知识背景】华师版（2013版）九上第23章《图形的相似》习题23.3第1（2）题： 如图，点、点分别在的边、的延长线上，连接，若，则与相似吗？ （1）请解答上述习题． 【问题探究】 （2）同学们在完成这个习题后，老师进一步提出这样一个问题：如图，连接、，求与的数量关系． ①为了解决这个问题，小明提出了一个好方法： 由（1）中的两个三角形相似，通过更比性质，可进一步证出与相似，从而得到，再通过角度之间的关系，可将问题解决． 请按照小明的思路完成对与相似的证明，具体做法如下： 证明：由（1）得：________， ∴ ∴（相似三角形的对应角相等）． 请补全上述证明过程． ②根据（1）和（2）①中的结论，直接写出与的数量关系为________． （3）【拓展提升】如图，在和中，，，，延长交于点，连接、．当且时，________°，________． 24. 如图，在中，，，，点为边的中点，点为边上的一个动点（点与点不重合），连接，以、为邻边作，连接． （1）求点到的距离； （2）求证：四边形是平行四边形； （3）连接，则线段的最小值为________； （4）当与的某一个内角相等时，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $