精品解析：吉林省长春外国语学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷

长春外国语学校2024-2025学年第二学期期末考试 初二年级数学试卷 本试卷共三道大题，24道小题，共6页．满分120分，考试时间90分钟．考试结束，交回答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 若y与x的关系式为y=30x﹣6，当x=时，y的值为（　 　） A. 5 B. 10 C. 4 D. ﹣4 2. 若关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. ，且 C. D. 3. 如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（ 　　） A. x=2 B. x=0 C. x=﹣1 D. x=﹣3 4. 张掖市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 5. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 B. 明天太阳从东方升起 C. 掷一次骰子，向上一面的点数是8 D. 射击员射击一次，命中靶心 6. 已知x1＝＋，x2＝－，则x₁²＋x₂²等于( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 7. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 在一次大学新生射击训练中，甲，乙两位同学射击成绩的方差分别是，，则 _____（填甲或乙）的射击成绩更稳定． 10. 已知：2、3、y是一个三角形的三条边，则的化简结果________． 11. 如图，点A、D分别在函数、图像上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，且点A在第二象限，则点A的坐标为______． 12. 如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为________． 13. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，此时恰好经过点C，则_______°． 14. 如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．当点运动到的中点时，的面积为____________________． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. （1）计算： （2）解方程：． 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 小白和小天准备从《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》三部古代数学著作中选择一本进行阅读．现制作正面分别写有《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》且背面完全相同的三张卡片，将卡片混合后小白先从中抽出一张，将卡片放回后混合均匀，小天再从中抽出一张，将《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》分别记为A、B、C，请利用列表法或画树状图法，求两人抽到同一张卡片的概率． 18. 张师傅今年初开了一家商店，二月份开始盈利，二月份的盈利是5000元，四月份的盈利达到7200元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．求每月盈利的平均增长率． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按要求画图． （1）在图1中以A为顶点作面积为5的正方形 （2）在图2中以A为顶点作面积为4的菱形 （3）在图3中以A为顶点作面积为3的平行四边形（） 20. “直播+电商”作为新兴销售形式，对于拓宽农特产品销售渠道，助力乡村振兴起到了重要作用、某农村合作社帮助该村农民利用网络平台计划销售1000箱苹果，为确保苹果质量，检测人员随机抽取20箱进行测量，每箱苹果的质量统计如下： （1）补全条形统计图． （2）抽取20箱苹果质量的中位数为______，众数为______． （3）经调查，苹果市场的售价为6元/kg，若这批苹果全部售完，请估计这批苹果的总销售额． 21. 如图，，是中点，，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，是上一点，且，求的长． 22. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其他函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图、观察图象、归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数的图象． ①列表： x 0 1 2 y 3 a 1 0 1 2 3 其中，表格中a的值为________； ②描点，连线：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． （2）观察函数的图象，回答下列问题． ①当________时，函数有最小值，最小值为________， ②当________时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大； （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是________． 23. [模型建立]如图，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“形图”，接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： [模型运用] （1）如图，若，，则的面积为________； （2）如图，在等腰中，，，点，点，则点的坐标________． （3）已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转至直线（如图），求直线的函数表达式； 24. 如图1，已知直线l1：y＝kx＋b与直线l2：y＝x交于点M，直线l1与坐标轴分别交于A，C两点，且点A坐标为（0，7），点C坐标为（7，0）． （1）求直线l1的函数表达式； （2）在直线l2上是否存在点D，使△ADM的面积等于△AOM面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点P是线段OM上的一动点（不与端点重合），过点P作PB∥x轴交CM于点B，设点P的纵坐标为m，以点P为直角顶点作等腰直角△PBF（点F在直线PB下方），设△PBF与△MOC重叠部分的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出相应m的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春外国语学校2024-2025学年第二学期期末考试 初二年级数学试卷 本试卷共三道大题，24道小题，共6页．满分120分，考试时间90分钟．考试结束，交回答题卡． 注意事项： 1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区． 2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚． 3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑． 5．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 1. 若y与x的关系式为y=30x﹣6，当x=时，y的值为（　 　） A. 5 B. 10 C. 4 D. ﹣4 【答案】C 【解析】 【详解】本题考查了函数值的知识. 将x=代入函数解析式可得出y的值． 解：由题意得：y=30×-6=4． 故选C． 2. 若关于的一元二次方程无实数根，则实数的取值范围为（ ） A. B. ，且 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查由一元二次方程解的情况求参数，根据一元二次方程定义得到，再由关于的一元二次方程无实数根，得到，解不等式即可得到答案．熟记一元二次方程定义及一元二次方程判别式与根的情况是解决问题的关键． 【详解】解：关于的一元二次方程无实数根， ，， 解得， 故选：A． 3. 如图，直线y=ax+b过点A（0，2）和点B（﹣3，0），则方程ax+b=0的解是（ 　　） A. x=2 B. x=0 C. x=﹣1 D. x=﹣3 【答案】D 【解析】 【详解】∵方程ax+b=0的解是直线y=ax+b与x轴的交点横坐标， ∴方程ax+b=0的解是x=-3. 故选D. 4. 张掖市创建全国文明城市已经进入倒计时！某环卫公司为清理卫生死角内的垃圾，调用甲车3小时只清理了一半垃圾，为了加快进度，再调用乙车，两车合作小时清理完另一半垃圾．设乙车单独清理全部垃圾的时间为x小时，根据题意可列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可以得到甲乙两车的工作效率，从而可以得到相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选：B． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题的关键是明确题意，找出题目中的等量关系，列出相应的方程． 5. 在下列事件中，不可能事件是（ ） A. 随意翻到一本书的某页，这页的页码是偶数 B. 明天太阳从东方升起 C. 掷一次骰子，向上一面的点数是8 D. 射击员射击一次，命中靶心 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了不可能事件，解题的关键是正确理解随机事件，必然事件，不可能事件的概念． 根据随机事件，必然事件，不可能事件的概念对各项判断即可． 【详解】A、随意翻到一本书的某页，页码可能是偶数或奇数，属于随机事件，故本选项不符合题意； B、太阳从东方升起是必然事件，故本选项不符合题意； C、骰子只有6个面，点数范围为1至6，因此点数为8的情况不可能发生，属于不可能事件，故本选项符合题意； D、射击命中靶心的结果可能发生也可能不发生，属于随机事件，故本选项不符合题意； 故选：C． 6. 已知x1＝＋，x2＝－，则x₁²＋x₂²等于( ) A. 8 B. 9 C. 10 D. 11 【答案】C 【解析】 【详解】，， 所以=， 故选：C． 【点睛】对于形如的式子，改变其中两个字母的位置后，并不改变代数式的值，通常将具有这个特点的代数式称为轮换对称式，如，，等，轮换对称式都可以用，来表示，所以求轮换对称式的值，一般是先将式子用，来表示，然后再整体代入计算． 7. 如图，在矩形中，，对角线与相交于点，，垂足为，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，线段垂直平分线的性质，证明是等边三角形是本题的关键． 由矩形的性质得出，得出，由已知条件得出，由线段垂直平分线的性质得出，得出为等边三角形，因此，由三角形的外角性质得出，由含角的直角三角形的性质即可得出的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，函数y＝kx与的图像交于A，B两点，过A作y轴的垂线，交函数的图像于点C，连接BC，则△ABC的面积为（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称，可得出A、B两点坐标的关系，根据垂直于y轴的直线上任意两点纵坐标相同，可得出A、C两点坐标的关系，设A点坐标为（x，），表示出B、C两点的坐标，再根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】∵正比例函数y=kx与反比例函数的图象交点关于原点对称， ∴设A点坐标为（x，），则B点坐标为（-x，），C（-2x，）， ∴S△ABC=×（-2x-x）•（）=×（-3x）•（）=12． 故选C． 【点睛】本题考查了反比例函数与正比例函数图象的特点，垂直于y轴的直线上任意两点的坐标特点，三角形的面积，解答此题的关键是找出A、B两点与A、C两点坐标的关系． 二、填空题（本大题共8小题，每题3分，共24分） 9. 在一次大学新生射击训练中，甲，乙两位同学射击成绩的方差分别是，，则 _____（填甲或乙）的射击成绩更稳定． 【答案】乙 【解析】 【分析】本题考查了方差的意义，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 根据方差的定义，方差越小数据越稳定即可求解． 【详解】解：因为，，方差小的是乙， 所以乙的射击成绩更稳定． 故答案为：乙． 10. 已知：2、3、y是一个三角形的三条边，则的化简结果________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质化简，三角形的三边关系，解不等式，熟练掌握各知识点是就解题的关键． 先根据三角形三边关系求出，再根据二次根式的性质化简得到，再去绝对值即可． 【详解】解：∵2、3、y是一个三角形的三条边， ∴， ∴ ， 故答案为：4． 11. 如图，点A、D分别在函数、图像上，点B、C在x轴上，若四边形ABCD为正方形，且点A在第二象限，则点A的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据正方形和反比例函数图像上点的坐标特征，设A点坐标为，则D点坐标为，进而列出方程求解． 【详解】解： 设A点坐标为， 将代入得：，解得：， ∴点D坐标为， ∵四边形为正方形， ∴， ∴，解得：（舍去），， 经检验，是方程的解， ∴D点坐标为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查反比例函数与平面几何的综合，掌握反比例函数图像上点的坐标特征，是解题的关键． 12. 如图，在正方形中，，点E在边上，连结，将沿翻折，点A的对应点为点F．当直线恰巧经过的中点M时，的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正方形的折叠问题，勾股定理，熟练掌握正方形与折叠的性质是解题的关键． 连接，先由勾股定理求出，再由折叠的性质可知：，，则，设，则，由勾股定理得：，即，解得：，即可求解． 【详解】解：连接， ∴正方形中，， ∴， ∵点M是的中点， ∴， 由折叠的性质可知：，， ， 设，则， 由勾股定理得：， ， 解得：， ， 故答案为：． 13. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转到的位置，此时恰好经过点C，则_______°． 【答案】20 【解析】 【分析】由旋转的性质可知：全等于，所以，所以，又因为旋转角，根据等腰三角形的性质计算即可． 【详解】解：∵绕顶点B顺时针旋转到， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：20． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、旋转的性质、等腰三角形的判定和性质以及三角形的内角和定理，解题的关键是证明三角形是等腰三角形． 14. 如图1，四边形中，，，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度，按的顺序在边上匀速运动，设点的运动时间为，的面积为，关于的函数图象如图2所示．当点运动到的中点时，的面积为____________________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据图象可得点P从点C到点D的运动时间为，，即可求出，进而求出，再根据当点P与点B重合时，求出，最后用待定系数法求解点P在线段上时，关于的函数的函数表达式，即可求解． 【详解】解：根据题意可得： 点P从点C到点D的运动时间为：， 当点P与点C重合时，， ∴点P从点C到点D的运动路程为：， 即， ∴，即， 解得：， ∵当点P与点B重合时，， ∴，即， 解得：， ∴当点P在于点B重合时，， ∴点点P运动到中点时， 设点P在线段上时，关于的函数的函数表达式为：， 把代入得： ，解得：， ∴点P在线段上时，关于的函数的函数表达式为：， 把代入得：， 故答案为：7． 【点睛】本题主要考查了函数动点问题，解题的关键是掌握用待定系数法求解函数表达式的方法，根据图象得出需要数据，熟练运用三角形的面积公式． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. （1）计算： （2）解方程：． 【答案】（1）；（2）或 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，负整数幂，因式分解法解一元二次方程．熟练掌握二次根式运算法则，因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）先计算负整数幂，化简二次根式，绝对值，然后进行乘法运算，最后进行减法运算即可； （2）利用因式分解法解一元二次方程即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2） 或， 解得：或． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查分数的化简求值，先计算小括号，将除法化为乘法，再计算乘法得到化简结果，再将字母的值代入求出结果． 【详解】解： 当时，原式． 17. 小白和小天准备从《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》三部古代数学著作中选择一本进行阅读．现制作正面分别写有《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》且背面完全相同的三张卡片，将卡片混合后小白先从中抽出一张，将卡片放回后混合均匀，小天再从中抽出一张，将《九章算术》《周髀算经》和《五经算术》分别记为A、B、C，请利用列表法或画树状图法，求两人抽到同一张卡片的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用列表法或画树状图法求概率，熟练掌握用列表法或画树状图法求概率的方法是解题的关键． 根据题意画树状图，得到共有种等可能的结果，其中两人抽到同一张卡片的结果有种，用概率公式计算即可． 【详解】解：画树状图如下： ∴共有种等可能的结果，其中两人抽到同一张卡片的结果有种， 两人抽到同一张卡片的概率为． 18. 张师傅今年初开了一家商店，二月份开始盈利，二月份的盈利是5000元，四月份的盈利达到7200元，且从今年二月到四月，每月盈利的平均增长率都相同．求每月盈利的平均增长率． 【答案】20% 【解析】 【分析】设该商店的月平均增长率为x，根据等量关系：二月份盈利额×（1＋增长率）2＝四月份的盈利额列出方程求解即可． 【详解】解：设每月盈利平均增长率为x， 根据题意得：5000（1＋x）2＝7200． 解得：x1＝20%，x2＝−220%（不符合题意，舍去）， 答：每月盈利的平均增长率为20%． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程的应用，属于增长率的问题，一般公式为原来的量×（1±x）2＝后来的量，其中增长用＋，减少用−，难度一般． 19. 如图，在的正方形网格中，每个小正方形的顶点叫做格点，以格点为顶点按要求画图． （1）在图1中以A为顶点作面积为5的正方形 （2）在图2中以A为顶点作面积为4的菱形 （3）在图3中以A为顶点作面积为3的平行四边形（） 【答案】（1） 如图，正方形即为所求， （2） 如图，菱形即为所求， （3） 如图，平行四边形即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，菱形、正方形的判定和性质，勾股定理； （1）作一个边长为的正方形即可； （2）根据菱形的性质作图即可； （3）根据平行四边形的性质作图即可 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 20. “直播+电商”作为新兴销售形式，对于拓宽农特产品销售渠道，助力乡村振兴起到了重要作用、某农村合作社帮助该村农民利用网络平台计划销售1000箱苹果，为确保苹果质量，检测人员随机抽取20箱进行测量，每箱苹果的质量统计如下： （1）补全条形统计图． （2）抽取20箱苹果质量的中位数为______，众数为______． （3）经调查，苹果市场的售价为6元/kg，若这批苹果全部售完，请估计这批苹果的总销售额． 【答案】（1） 补全条形统计图如下： （2）5；5.1 （3）这批苹果的总销售额约为30150元 【解析】 【分析】（1）先求出质量为和的箱数，再补全条形统计图即可； （2）根据中位数和众数的确定方法确定中位数和众数即可； （3）先求出每箱的平均质量，即可求出这批苹果全部售完的总销售额． 本题考查条形统计图，扇形统计图，中位数，众数，用样本估计总体，能从统计图中获取数据是解题的关键． 【小问1详解】 解：质量为的箱数：（箱）， 质量为的箱数：（箱）， 【小问2详解】 解：中位数为质量由小到大排列第10，第11个数据的平均数， ，， 第10，第11个数据都为， 中位数为：； 个数据中，出现6次，是出现次数最多的数据， 众数为：． 故答案为：5；5.1 【小问3详解】 解：箱） （元）． 答：这批苹果的总销售额约为30150元． 21. 如图，，是中点，，． （1）求证：四边形是矩形． （2）若，，是上一点，且，求的长． 【答案】（1）详见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理． 根据等腰三角形的三线合一性质可证，，从而可证，又因为，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可证四边形是平行四边形，又因为，可证四边形是矩形； 利用勾股定理可以求出，利用等面积法可知，从而可求的长度． 【小问1详解】 证明：， 是等腰三角形， 是中点， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形； 【小问2详解】 解：在中，，，， ， 于， ， ， ， 解得：． 22. 数学小组在学习“一元一次不等式与一次函数”这一节课后，尝试解决“一元一次不等式与其他函数”的关系问题．他们确定以函数为研究对象，通过作图、观察图象、归纳性质等探究过程，进一步理解一元一次不等式与函数的关系． 请根据以下探究过程，回答问题． （1）作出函数的图象． ①列表： x 0 1 2 y 3 a 1 0 1 2 3 其中，表格中a的值为________； ②描点，连线：根据表格的数据，请在直角坐标系中描出对应值为坐标的点，并画出该函数的图象． （2）观察函数的图象，回答下列问题． ①当________时，函数有最小值，最小值为________， ②当________时（填自变量x的取值范围），y随x的增大而增大； （3）已知直线，请结合图象，直接写出不等式的解集是________． 【答案】（1）①；②见解析 （2）①，；② （3） 【解析】 【分析】本题属于“新函数”类型的题目，掌握函数的定义、函数图象的画法、函数的性质以及利用数形结合思想解决不等式问题、交点问题是解决此类问题的关键． （1）根据解析式即可求出的值； （2）观察函数图象，即可得出相应结论； （3）画出直线的图象，确定交点坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时， 故的值为， 故答案为：2； ②函数图象如图所示：     【小问2详解】 解：由图象可知： ①当时，函数有最小值，最小值为； 故答案为：，； ②当时，随的增大而增大， 故答案为：； 【小问3详解】 解：在同一坐标系中画出直线的图象，如图所示：     交点坐标为和 故当时，， 故答案为：． 23. [模型建立]如图，等腰直角中，，，直线经过点，过作于点，过作于点，易证明（无需证明），我们将这个模型称为“形图”，接下来我们就利用这个模型来解决一些问题： [模型运用] （1）如图，若，，则的面积为________； （2）如图，在等腰中，，，点，点，则点的坐标________． （3）已知直线与轴交于点，与轴交于点，将直线绕着点逆时针旋转至直线（如图），求直线的函数表达式； 【答案】（1）； （2）； （3）直线的函数表达式为． 【解析】 【分析】（）过作于点，过作于点，则，然后通过同角的余角相等得出，证明，所以，由勾股定理得，然后通过面积公式即可求解； （）过作轴，过作于点，过作于点，易得四边形，四边形是矩形，则，，，，证明，故有，，从而得，故有解析式为，然后通过一次函数的性质即可求出点的坐标； （）过作交于点，过作轴于点，则有，则，同（）理可证，然后求出点，点，，再通过待定系数法即可求解． 【小问1详解】 解：过作于点，过作于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图，过作轴，过作于点，过作于点，易得四边形，四边形是矩形， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵点，点， ∴，， ∴，，， ∴， ∴， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 当时，， ∴点， 故答案为：； 【小问3详解】 解：如图，过作交于点，过作轴于点， ∴， ∴， ∴， 同（）理可证：， ∴，， 由直线可得，当时，；当时，； ∴点，点， ∴，， ∴， ∴， 设直线的函数表达式为， ∴，解得：， ∴直线的函数表达式为． 【点睛】本题考查了一次函数的性质，待定系数法求解析式，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，同角的余角相等，等腰三角形的判定等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 24. 如图1，已知直线l1：y＝kx＋b与直线l2：y＝x交于点M，直线l1与坐标轴分别交于A，C两点，且点A坐标为（0，7），点C坐标为（7，0）． （1）求直线l1的函数表达式； （2）在直线l2上是否存在点D，使△ADM的面积等于△AOM面积的2倍，若存在，请求出点D的坐标，若不存在，请说明理由； （3）若点P是线段OM上的一动点（不与端点重合），过点P作PB∥x轴交CM于点B，设点P的纵坐标为m，以点P为直角顶点作等腰直角△PBF（点F在直线PB下方），设△PBF与△MOC重叠部分的面积为S，求S与m之间的函数关系式，并写出相应m的取值范围． 【答案】（1）y＝﹣x＋7；（2）存在，D（9，12）或（﹣3，﹣4）；（3）当0＜m＜时，；当≤m＜4时， 【解析】 【分析】（1）将点A，C坐标代入直线y＝kx＋b中，求解，即可得出结论； （2）先求出点M的坐标，再分点D在射线OM和射线MO上，利用面积的关系求出OD，即可得出结论； （3）先表示出PF＝PB＝7﹣m，再分两种情况，利用面积公式，即可得出结论． 【详解】解：（1）∵直线l1：y＝kx＋b与坐标轴分别交于A（0，7），C（7，0）， ∴，解得， ∴直线l1的函数表达式为：y＝﹣x＋7； （2）联立方程组，解得，， ∴M（3，4）， 如图1，过点M作ME⊥x轴于E， ∴OE＝3，ME＝4，根据勾股定理得，OM＝5， 设D（3n，4n）， ①当点D在射线OM上时，△ADM的面积等于△AOM面积的2倍， ∴DM＝2OM＝10， ∴OD＝15， ∴（3n）2＋（4n）2＝152， ∴n＝3或n＝﹣3， 由于点D在第一象限内， ∴n＝3， ∴D（9，12）； ②当点D在射线MO上时，△ADM的面积等于△AOM面积的2倍， ∴DM＝2OM， ∴OM＝OD＝5， ∴（3n）2＋（4n）2＝52， ∴n＝1或n＝﹣1， 由于点D在第三象限内， ∴n＝﹣1， ∴D（﹣3，﹣4）， 即点D（9，12）或（﹣3，﹣4）； （3）∵点P的纵坐标为m， ∴P（m，m）， ∵PB∥x轴， ∴B（7﹣m，m）， ∴PB＝7﹣m﹣m＝7﹣m， ∵以点P为直角顶点作等腰直角△PBF， ∴PF＝PB＝7﹣m， 当7﹣m＝m时，m＝； ①当0＜m＜时，如图2，记PF与x轴相交于G，BF与x轴相交于H， ∴PG＝m， FG＝PF﹣PG＝7﹣m﹣m＝7﹣m， ∵△PBF是等腰直角三角形， ∴∠F＝∠PBF＝45°， ∵PB∥x轴， ∴∠GHF＝45°＝∠F， ∴FG＝HG， ∴S＝S△PBF﹣S△FGH＝PB2﹣FG2 ＝[（7﹣m）2﹣（7﹣m）2] ＝﹣m2＋7m； ②当≤m＜4时，如图3， S＝S△PBF＝PB2＝（7﹣m）2＝m2﹣m＋ 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形的面积公式，等腰直角三角形的性质，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $