精品解析：江西吉安市泰和县2025-2026学年度第二学期期末学业质量检测七年级数学试卷

2025~2026学年度第二学期期末学业质量检测 七年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查合并同类项、完全平方公式、积的乘方运算、去括号，熟记公式，掌握运算法则是解答的关键．根据合并同类项运算法则、完全平方公式、积的乘方运算法则、去括号法则逐项判断即可． 【详解】解：A、x2、x3不是同类项，不能合并运算，故此选项错误； B、，故此选项错误； C、，故此选项错误； D、，故此选项正确， 故选：D． 2. 比亚迪新能源汽车热销海外，其王朝系列尤其受欢迎，该系列秦、汉、唐、宋、元五大车型是以我国五个朝代命名，每个车型都有自己对应的汉字篆体，下列中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据关于某条直线对称的图形叫轴对称图形，进而判断得出即可． 【详解】A．不是轴对称图形，不合题意； B．不是轴对称图形，符合题意； C．不是轴对称图形，不合题意； D．是轴对称图形，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查的是轴对称图形的概念，掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解题的关键在于正确的画出图形，结合图形，利用数形结合思想求解．首先根据题意画出图形，一种情况等腰三角形为锐角三角形，即可推出顶角的度数为，另一种情况等腰三角形为钝角三角形，即可推出顶角的度数为． 【详解】解：如图1，等腰三角形为锐角三角形， ∵，， ∴， 即顶角的度数为； 如图2，等腰三角形为钝角三角形， ∵，， ∴， ∴， 即顶角的度数为； 综上分析可知，顶角的度数是或． 故选：C． 4. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用全等三角形的判定定理，逐一判定即可． 【详解】∵ ∴， ∵， ∴添加，不能得出，故A选项符合题意； 添加，则，可根据得出，故B选项不符合题意； 添加，可根据得出，故C选项不符合题意； 添加，可根据得出，故D选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定，灵活运用全等三角形的判定定理是本题的关键． 5. 如图，等腰直角三角形中，，是的中点，于点，交的延长线于点，若，则的面积为（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了直角三角形的两个锐角互余，全等三角形的判定和性质．证明，可得，即可求解． 【详解】解：∵三角形是等腰直角三角形， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∵是的中点， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 故选：C 6. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形外角性质，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质．先用三角形内角和求出，再用角平分线求出，由线段垂直平分线知，然后用外角性质求出，最后根据三角形的内角和求出． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，平分，垂直平分， ，， ， ， 故选：C． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 华为最新研发的纳米级传感器，其厚度为米，用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，为整数，确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，是正数，当原数绝对值小于1时是负数；由此进行求解即可得到答案． 由即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 8. 计算：_______． 【答案】1 【解析】 【分析】将2024变形为，2026变形为，再利用平方差公式展开化简计算即可得到结果． 【详解】解： ． 9. 已知是完全平方式，则常数的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，根据一次项系数与二次项系数和常数的关系解答即可，掌握一次项系数与二次项系数和常数的关系是解题的关键． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 解得， 故答案为：． 10. 展开后不含的一次项，的值______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘积不含某项求字母的值，把原式按照多项式乘法展开，合并同类项后令的系数为即可得到的值，熟练掌握多项式乘法的方法和多项式系数的意义是解题的关键． 【详解】解： ， ∵原式中不含的一次项， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，则、、的关系是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形的外角性质．根据平行线的性质可得，再由三角形的外角性质以及邻补角的性质可得，即可求解． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 即． 故答案为： 12. 如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】分三种情况讨论（1）是等腰三角形（2）是等腰三角形（3）是等腰三角形，在此基础上再分别讨论三角形三条边中哪两条边相等，留下符合题意的情况． 【详解】解：（1）是等腰三角形： （i）， 由外角性质可求得， ， 又点在射线上， 点与点重合，与题意不符故舍去； （ii），如图所示， ∴， 则； （iii），如图所示， ∴， 则； （2）是等腰三角形： 三点共线， 不可能构成三角形，故舍去； （3）是等腰三角形： ， 有角的等腰是等边三角形， ， ， 示意图如下： 综上所述，或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答以下问题 （1）计算： （2）如图所示，已知，，，且、、、在同一条直线上．试说明：． 【答案】（1） （2）证明：， ， 即， ，， ， 【解析】 【分析】（1）先算负指数幂，乘方运算，零指数幂，再算加减； （2）由可证，利用即可证明． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 证明：略． 14. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是整式的混合运算及求值，先根据平方差公式，完全平方公式，多项式除以单项式，然后合并同类项，将字母的值代入进行计算即可求解． 【详解】解： 当，时，原式 15. 如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数 （2）若，，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得，根据等边对等角可得，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式计算即可得解； （2）求出的周长，代入数据计算即可得解． 【小问1详解】 解：的垂直平分线交于点， ， ， ∵， ∴， ； 【小问2详解】 解：的周长， ， ， ． 16. 如图，在所给网格图每小格均为边长是1的正方形中完成下列各题：用直尺画图 画出格点顶点均在格点上关于直线DE对称的； 在DE上画出点P，使最小； 在DE上画出点Q，使最大 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】分别作出A，B，C的对应点，，即可． 连接交DE于点P，点P即为所求作． 延长CB交DE于点Q，点Q即为所求作． 【详解】解：如图，即为所求作． 如图，点P即为所求作． 如图点Q即为所求作． 【点睛】本题考查作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 17. 完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：（对顶角相等）， （已知）， （等量代换） ________（_____________）． _________（_________________）． 又（已知）， （_________________）． （_________________）． 【答案】证明：（对顶角相等）， （已知）， （等量代换） （同位角相等，两直线平行）． （两直线平行，同旁内角互补）． 又（已知）， （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）． 【解析】 【分析】先根据对顶角相等和等量代换可得，再根据同位角相等，两直线平行可得，进而求得，由等量代换可得，最后根据内错角相等，两直线平行，可得． 【详解】略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． （1）以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上． ①甲到达终点 ； ②甲乙两人相遇 ； ③乙到达终点 ； （2）AB两地之间的路程为 千米； （3）求甲、乙各自的速度． 【答案】（1）①P；②M；③N （2）240千米 （3）40千米/时，80千米/时 【解析】 【分析】根据函数图像和图像中的数据可以解答本题．由图像可得，AB两地之间路程为240千米；出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达A地；6小时时甲到达B地． 【小问1详解】 解：分析函数图像知出发2小时时，甲乙在途中相遇；出发3小时时乙到达A地；6小时时甲到达B地． 故答案为：①P；②M；③N； 【小问2详解】 解：由图像可得，AB两地之间路程为240千米， 故答案为：240； 【小问3详解】 解：甲的速度是：240÷6＝40（千米/时） 则乙的速度是：240÷2﹣40＝80（千米/时）． 【点睛】本题考查函数图像，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用函数的思想和数形结合的思想解答． 19. 已知是的平分线，点是射线上一点，点，分别在射线，上，连接，． 【发现问题】 （1）如图①，当，时，则与的数量关系相等吗？说明理由． 【探究问题】 （2）如图②，点，在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由． 【答案】（1）解：，理由： 是的平分线，， ； （2）解：成立，理由： 如图，过点作于，于， ， 是的平分线， ． ，， ． ， ． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据“角平分线上的点到这个角的两边距离相等”即可判断； （2）根据（1）的解题方法，首先过点作于，于，进而有，再证明即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共50个，它们除颜色外都相同，其中红球26个． （1）若黄球的个数是白球的个数的3倍，求从袋中摸出一个球是黄球的概率； （2）若再往袋中放入若干个黑球，从中任意摸出一个红球的概率为，求放入黑球的个数． 【答案】（1） （2）28 【解析】 【分析】此题主要考查了概率公式：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． （1）先求出黄球的数目，利用概率公式计算即可； （2）设往袋中放入黑球的数目为a个，根据题意列出一元一次方程，即可求解． 【小问1详解】 解：设白球有x个，则黄球有个， 根据题意可得：， 解得：， ∴黄球数目为（个）， ∴P（从袋中摸出一个球是黄球）； 【小问2详解】 解：设往袋中放入黑球的数目为a个， ∵从中任意取出一个红球的概率为， ∴， 解得：． ∴放入黑球的个数为28个． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形．由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：_____． （2）如图2，四个长为，宽为的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：_____． 【知识迁移】 （3）计算：； （4）若，，求． 【拓展探究】 （5）如图3．将边长分别为的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为6，长方形的面积为4，求两个正方形纸片的面积和． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 （5）10 【解析】 【分析】（1）利用面积得出等式； （2）利用面积得出等式； （3）利用平方差公式求解； （4）根据（2）的结论求解； （5）根据面积表示出相关等式，然后利用完全平方公式求解． 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： ； 【小问4详解】 解：由（2）的结论可得， ， ∵， ∴或； 【小问5详解】 解：根据题意得，，则， ∴， ∴， 令， 则， ∴， ∵， ∴或（舍去）， ∴， 即， ∴， ∴． 22. 规定：两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立． 证明如下：设，，则，，， ，即． （1）根据上述规定，填空：_________；________； （2）计算：，结果用的形式表示． （3）若，，．求证：． 【答案】（1）， （2） （3）证明：，，， ，，， ． ， ， ． 【解析】 【分析】（1）直接对照“雅对”的定义，算出底数多少次方等于后数，该指数即为答案； （2）套用题干推导的同底数“雅对”规律，利用同底数幂相乘的知识点即可得到结果； （3）先根据“雅对”写出三组幂等式，利用同底数幂除法算出，结合推出指数相等． 【小问1详解】 解：由定义得，即， 同理可得，． 【小问2详解】 解：设，，则，， ． ． 【小问3详解】 略． 六、（本大题共12分） 23. 问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A． B． C． D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 【答案】（1）①A，②；（2）40；（3）见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形全等的判定及性质，三角形的三边关系，平行线的性质，三角形的中线性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答的关键． （1）①先根据三角形的中线定义得到，可根据“”可证明； ②先根据全等三角形的性质得到，利用三角形的三边关系求得，结合即可求解； （2）延长至，使得，可证明，得，，，可得，根据平行线的性质和已知可证明，即可证明，进而有即可求解； （3）延长交于，证明得到，则，结合可证得结论． 【详解】解：（1）①∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴． 故选：A； ②解：∵，，， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）延长至，使得， ∵是中线， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； （3）延长交于， ∵， ∴， 又∵是的中点， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． 七、附加题（10分） 24. 在四边形中． （1）如图（1），若平分，，，则线段、的长度满足的数量关系是_____．（直接填答案） （2）如图（2），C是边的中点，若平分，，说明线段、、的长度满足的数量关系． （3）如图（3），C是边的中点，平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？ 【答案】（1） （2），理由见解析 （3），理由见解析 【解析】 【分析】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定及性质的运用，等边三角形的性质的运用，解答时证明三角形全等是关键． （1）证明即可得到结论； （2）在上取一点F，使，可以得出，就可以得出，，就可以得出．就可以得出结论； （3）在上取点F，使，连接，在上取点G，使，连接．可以求得，是等边三角形，就有，进而得出结论； 【小问1详解】 解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下： 在上取一点F，使，连接． ∵平分， ∴， 在和中， ∴． ∴，， ∵C是边的中点． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． 【小问3详解】 解：，理由如下： 在上取，，连接，． 与（1）同理，可得，． ∴，，，． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期期末学业质量检测 七年级数学试卷 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 比亚迪新能源汽车热销海外，其王朝系列尤其受欢迎，该系列秦、汉、唐、宋、元五大车型是以我国五个朝代命名，每个车型都有自己对应的汉字篆体，下列中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角是，则顶角的度数是（ ） A. B. 或 C. 或 D. 或 4. 如图，在和中，点B，F，C，E在同一直线上，，，只添加一个条件，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，等腰直角三角形中，，是的中点，于点，交的延长线于点，若，则的面积为（ ） A. 60 B. 65 C. 75 D. 80 6. 如图，在中，，，根据尺规作图痕迹，可知（　　） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 华为最新研发的纳米级传感器，其厚度为米，用科学记数法表示为________． 8. 计算：_______． 9. 已知是完全平方式，则常数的值______． 10. 展开后不含的一次项，的值______． 11. 如图是一款手推车的平面示意图，其中，则、、的关系是____． 12. 如图，已知，，点是射线上一动点（P与不重合），当以、、三点中某两点与点构成的三角形是等腰三角形时，的度数为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 按要求解答以下问题 （1）计算： （2）如图所示，已知，，，且、、、在同一条直线上．试说明：． 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 如图，中，，的垂直平分线交于点． （1）若，求的度数 （2）若，，求的周长． 16. 如图，在所给网格图每小格均为边长是1的正方形中完成下列各题：用直尺画图 画出格点顶点均在格点上关于直线DE对称的； 在DE上画出点P，使最小； 在DE上画出点Q，使最大 17. 完成下列证明： 已知：，，求证：． 证明：（对顶角相等）， （已知）， （等量代换） ________（_____________）． _________（_________________）． 又（已知）， （_________________）． （_________________）． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 甲骑摩托车从A地去B地，乙开汽车从B地去A地，同时出发，匀速行驶，各自到达终点后停止，甲、乙两人间的距离为s（km）与甲行驶的时间为t（h）之间的关系如图所示． （1）以下是点M、点N、点P所代表的实际意义，请将M、N、P填入对应的横线上． ①甲到达终点 ； ②甲乙两人相遇 ； ③乙到达终点 ； （2）AB两地之间的路程为 千米； （3）求甲、乙各自的速度． 19. 已知是的平分线，点是射线上一点，点，分别在射线，上，连接，． 【发现问题】 （1）如图①，当，时，则与的数量关系相等吗？说明理由． 【探究问题】 （2）如图②，点，在射线，上滑动，且，当时，与在【发现问题】中的数量关系还成立吗？说明理由． 20. 一个不透明的袋中装有红、黄、白三种颜色的球共50个，它们除颜色外都相同，其中红球26个． （1）若黄球的个数是白球的个数的3倍，求从袋中摸出一个球是黄球的概率； （2）若再往袋中放入若干个黑球，从中任意摸出一个红球的概率为，求放入黑球的个数． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式． （1）如图1，在边长为的正方形中剪掉一个边长为的小正方形．把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形．由于两图中阴影部分面积是相同的，我们可以得到恒等式：_____． （2）如图2，四个长为，宽为的长方形拼成一个中间镂空的正方形，用不同的方式计算阴影部分面积，我们可以得到恒等式：_____． 【知识迁移】 （3）计算：； （4）若，，求． 【拓展探究】 （5）如图3．将边长分别为的两个正方形纸片叠放在一起，已知阴影部分面积为6，长方形的面积为4，求两个正方形纸片的面积和． 22. 规定：两数，之间的一种运算，记作，如果，那么，我们叫为“雅对”．例如：，．我们还可以利用“雅对”定义证明等式成立． 证明如下：设，，则，，， ，即． （1）根据上述规定，填空：_________；________； （2）计算：，结果用的形式表示． （3）若，，．求证：． 六、（本大题共12分） 23. 问题情境：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题： 如图1，中，若，，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长至点E，使，连接．请根据小明的方法思考并解答： （1）①由已知和作图能得到，依据是___________． A． B． C． D． ②由“三角形的三边关系”可求得的取值范围是___________． 解后反思： 题目中出现“中点”、“中线”等条件，可考虑延长中线，构造全等三角形、平行线、平移线段，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形之中． 类比探究： （2）如图2，已知与，，，，、分别为中边上的中线与高，且，求的面积． 拓展延伸： （3）如图3，四边形中，，M是的中点，若四边形的面积为a，求证：的面积为． 七、附加题（10分） 24. 在四边形中． （1）如图（1），若平分，，，则线段、的长度满足的数量关系是_____．（直接填答案） （2）如图（2），C是边的中点，若平分，，说明线段、、的长度满足的数量关系． （3）如图（3），C是边的中点，平分，平分，若，则线段、、、的长度满足怎样的数量关系？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $