暑假预习：判断二次方程根的情况、根据二次方程根的情况求参数、二次方程根与系数的关系讲义-2026年八升九暑假数学（人教版）

暑假预习：判断二次方程根的情况、根据二次方程根的情况求参数、二次方程根与系数的关系讲义 暑假预习：判断二次方程根的情况、根据二次方程根的情况求参数、二次方程根与系数的关系讲义 考点目录 判断二次方程根的情况 根据二次方程根的情况求参数 二次方程根与系数的关系 考点一 判断二次方程根的情况 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 一元二次方程标准形式： 1. 判别式 ，根的三种情况： · ：方程有两个不相等的实数根； · ：方程有两个相等的实数根； · ：方程没有实数根。 1. 前提条件：必须是一元二次方程，隐含 ； 若题目未说明是二次方程，需分一次、二次分类讨论。 二、解题原理 1. 先把方程整理为一般式，准确找出 、、； 1. 代入计算 ； 1. 根据 正负，对照结论直接判定根的数量； 1. 含参数方程先化简判别式，再判断代数式正负。 【例题分析】 例1．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 例2．（25-26九年级上·广东惠州·月考）下列方程，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 变式2．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 考点二 根据二次方程根的情况求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 已知根的限制，转化为判别式不等式： · 两个不等实根 ； · 两个相等实根 ； · 无实数根 。 1. 双重限制（高频易错）： 方程为一元二次方程，必须同时满足 ； 最终参数范围是两个条件的公共解集。 二、解题原理 1. 整理方程，写出二次项系数、一次项、常数项； 1. 列两个限制条件： ① 二次项系数 ； ② 根据根的情况列出 / / ； 1. 解不等式/方程，取两者交集； 1. 若题目只说“方程有实数根”，即 。 ※注意不要忽略二次方程的定义，二次项系数不为0. 【例题分析】 例1．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 例2．（2026·北京·三模）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 例3．（2026·上海·模拟预测）已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 例4．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 例5．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 变式2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 变式3．（2026·黑龙江大庆·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 变式4．（2026·河南平顶山·三模）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 变式5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 考点三 二次方程根与系数的关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 前提：，两根为 1. 常见变形（代数式求值必考） · · · 1. 逆用：已知两根可构造方程： 二、解题原理 1. 使用前提两步验证： ① 是一元二次方程 ； ② 方程有实数根 ； 1. 直接代入韦达公式得到两根和、两根积； 1. 所求代数式通过配凑、通分转化为只含 、 的式子，整体代入求值； 1. 已知两根关系求参数：结合韦达定理列方程，解出参数后代回检验 ，舍去增根。 ※利用韦达定理求参数，注意检验 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 例2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 例3．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 例4．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则k的值为_________． 例5．（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 例6．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·广西贺州·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 变式2．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 变式3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 变式4．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 变式5．（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 变式6．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 2 学科网（北京）股份有限公司 $暑假预习：判断二次方程根的情况、根据二次方程根的情况求参数、二次方程根与系数的关系讲义 暑假预习：判断二次方程根的情况、根据二次方程根的情况求参数、二次方程根与系数的关系讲义 考点目录 判断二次方程根的情况 根据二次方程根的情况求参数 二次方程根与系数的关系 考点一 判断二次方程根的情况 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 一元二次方程标准形式： 1. 判别式 ，根的三种情况： · ：方程有两个不相等的实数根； · ：方程有两个相等的实数根； · ：方程没有实数根。 1. 前提条件：必须是一元二次方程，隐含 ； 若题目未说明是二次方程，需分一次、二次分类讨论。 二、解题原理 1. 先把方程整理为一般式，准确找出 、、； 1. 代入计算 ； 1. 根据 正负，对照结论直接判定根的数量； 1. 含参数方程先化简判别式，再判断代数式正负。 【例题分析】 例1．（2026·江苏扬州·中考真题）关于x的一元二次方程根的情况是（     ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断根的情况 【答案】A 【分析】计算根的判别式，根据判别式的符号即可判断根的情况． 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，， ， 又无论取任意实数，都有， ，即， 该方程有两个不相等的实数根． 例2．（25-26九年级上·广东惠州·月考）下列方程，有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有实数根，计算各选项的判别式即可得出结论． 【详解】解：A、，，故方程无实数根； B、，，故方程无实数根； C、，，故方程有实数根； D、，，故方程无实数根． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程的根的情况是（    ） A．没有实数根 B．有两个相等的实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法判断 【答案】C 【详解】解：对于一元二次方程，可得，，． ， 该一元二次方程有两个不相等的实数根． 变式2．（2026·上海·中考真题）下列方程中，没有实数根的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程没有实数根，计算各选项的判别式即可判断． 【详解】解：对于一元二次方程，判别式为． 选项A：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项B：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项C：方程为，， ，方程有两个不相等的实数根． 选项D：方程为，， ，方程没有实数根． 考点二 根据二次方程根的情况求参数 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 已知根的限制，转化为判别式不等式： · 两个不等实根 ； · 两个相等实根 ； · 无实数根 。 1. 双重限制（高频易错）： 方程为一元二次方程，必须同时满足 ； 最终参数范围是两个条件的公共解集。 二、解题原理 1. 整理方程，写出二次项系数、一次项、常数项； 1. 列两个限制条件： ① 二次项系数 ； ② 根据根的情况列出 / / ； 1. 解不等式/方程，取两者交集； 1. 若题目只说“方程有实数根”，即 。 ※注意不要忽略二次方程的定义，二次项系数不为0. 【例题分析】 例1．（2026·河北邯郸·三模）关于的方程有实数根，则的取值范围为（     ） A． B． C．且 D．且 【答案】A 【分析】分为和两类讨论，结合根的判别式求出的取值范围． 【详解】解：①当时，该方程为关于的一元二次方程， ∵方程有实数根， ∴， 解得， ∴且； ②当时，该方程为关于的一元一次方程， 原方程为，有实数根，符合题意； 综上所述，的取值范围为． 例2．（2026·北京·三模）若关于的一元二次方程有两个不等的实数根，则实数的值可以为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由一元二次方程根的情况与判别式关系列出不等式求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不等的实数根， ，解得， 观察四个选项，只有． 例3．（2026·上海·模拟预测）已知关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是__________． 【答案】 且 【分析】根据一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，列不等式求解即可． 【详解】解：由题意知，， 又∵方程有实数根， ∴， 解得：， ∴且． 例4．（2026·辽宁盘锦·模拟预测）对于实数，定义新运算：，例如：．若关于的方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是_________． 【答案】 【分析】由新定义运算得出，再根据一元二次方程根的判别式计算即可得出结果． 【详解】解：∵对于实数，定义新运算：， ∴， ∴， ∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 例5．（25-26九年级上·山东菏泽·月考）已知关于x的方程有实数根，求k的取值范围． 【答案】 【分析】根据根的判别式，列出关于k的不等式，然后解不等式即可．注意一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 【详解】解：∵关于x的方程有实数根， ∴， ∵方程有实数根， ∴， ∴． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的一元二次方程满足，且有两个相等的实数根，则下列结论正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用方程有两个相等实数根得到判别式为0，结合已知条件整理得到a，b，c的关系，进而判断选项． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ，且， ， ， 将代入，得， 整理，得， ， ， 将代入，得， ， 故C正确； ， ， 故A错误； ， 故B错误； ，a的值不确定， 不一定等于， 故D错误． 变式2．（25-26九年级上·山东临沂·阶段检测）若关于x的方程有两个实数根，则k的取值范围是（     ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】根据一元二次方程需满足二次项系数不为0，且判别式大于等于0，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根 ∴，解得且． 综上，的取值范围是且． 变式3．（2026·黑龙江大庆·二模）若关于的方程有实数根，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】分两种情况讨论，分别根据方程有实数根求解，再综合得到的取值范围即可． 【详解】解：当时，原方程为， 解得：，方程有实数根，符合题意； 当时，方程是一元二次方程， ∵一元二次方程有实数根， ∴，即， 解得且； 综上所述：的取值范围是． 变式4．（2026·河南平顶山·三模）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】根据题意得，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根， ∴， 整理，得， 解得． 变式5．（25-26八年级上·上海·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个实数根，求的取值范围． 【答案】且 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得到且，求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴，且， 即，且， ∴且． 考点三 二次方程根与系数的关系 【知识点解析】 一、核心知识点 1. 前提：，两根为 1. 常见变形（代数式求值必考） · · · 1. 逆用：已知两根可构造方程： 二、解题原理 1. 使用前提两步验证： ① 是一元二次方程 ； ② 方程有实数根 ； 1. 直接代入韦达公式得到两根和、两根积； 1. 所求代数式通过配凑、通分转化为只含 、 的式子，整体代入求值； 1. 已知两根关系求参数：结合韦达定理列方程，解出参数后代回检验 ，舍去增根。 ※利用韦达定理求参数，注意检验 【例题分析】 例1．（25-26八年级下·重庆·期末）已知关于的一元二次方程的两个实数根为，，且满足，则的值为（     ）． A． B． C．或 D．或 【答案】A 【分析】先根据两根之积得到关于的方程，求解后再利用判别式验证，舍去无实根的情况，得到最终结果． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个实数根，， ∴由根与系数的关系得， 又∵， ∴，整理得：，解得：或， ∵方程有两个实数根， ∴判别式， ， 当时，，此时方程无实数根，舍去； 当时，，符合题意， ∴的值为． 例2．（25-26八年级下·浙江杭州·期末）已知关于的一元二次方程的一个根是4，那么它的另一个根是（     ） A． B． C．1 D．2 【答案】B 【分析】设方程的另一个根为t，由根与系数的关系可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设方程的另一个根为t， 由根与系数的关系可得， 解得， ∴该方程的另一个根为． 例3．（2026·四川眉山·中考真题）若方程的两个根是，，则的值为________． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积，再将所求代数式因式分解，最后整体代入求值即可． 【详解】解：对于一元二次方程 ，两个根为， 根据根与系数的关系可得： ， ∵ ∴将，代入得：原式． 例4．（25-26八年级下·浙江绍兴·阶段检测）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，．若，则k的值为_________． 【答案】1 【分析】先根据方程有两个不相等的实数根得到k的取值范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，将变形为，即可列方程求解． 【详解】解：由根与系数的关系可得，， ， ， ， 解得， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得， 的值为1． 例5．（25-26八年级下·北京顺义·期末）已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根． (1)求k的取值范围； (2)设，是原方程的两个实数根．若k为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根，可得，进一步求解即可； （2）根据，结合k为正整数，再进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴ ， 解得，， ∴的取值范围为； （2）解：∵，是原方程的两个实数根，， ∵k为正整数， ∴， ∴方程为， ∴． 例6．（25-26八年级下·江苏扬州·期末）已知关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个不相等的实数根； (2)若方程的两个实数根分别为，，且，求的值． 【答案】(1)证明：已知一元二次方程为， 可得，，， ∴， ， ，即， 方程总有两个不相等的实数根． (2) 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算，通过判断证明结论； （2）根据根与系数的关系得到两根之和，联立已知条件求出两根，再根据两根之积得到关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】（1）略 （2）解：方程的两个实数根为，，由根与系数的关系得：，， 又， 可得方程组， 解得， 将，代入，得，即， 解得． 【变式训练】 变式1．（25-26八年级下·广西贺州·期末）已知方程的两根分别为，，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，确定方程中二次项系数和一次项系数后代入公式计算即可得到结果． 【详解】对于一元二次方程 ， 若方程两根为 ， 则两根之和 ， ∵ 原方程为 ， ∴ ，， ∴ ． 变式2．（2026·河北邯郸·模拟预测）若一元二次方程的两根为，，则的值是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对于一元二次方程，若两根为，由根与系数的关系得，，先得到两根之和与两根之积，再代入所求式子计算即可得到结果． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴． 变式3．（25-26八年级下·安徽马鞍山·期末）已知，是方程的两个实数根，则代数式的值是___________． 【答案】7 【分析】根据，是方程的两个实数根，利用一元二次方程解的定义得到降次关系式，再利用根与系数的关系得到两根之和，将所求代数式逐步降次变形，代入计算即可． 【详解】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，，且， 整理得，， 则 ． 变式4．（2026·四川广安·中考真题）已知，是关于的一元二次方程的两个实数根，且，则的取值范围是_____． 【答案】 【分析】先根据一元二次方程有两个实数根，利用根的判别式得到的初步范围，再利用根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入已知不等式求解的范围，最后取交集得到最终结果． 【详解】解：，是关于的一元二次方程的两根 方程的根的判别式 即 解得 ， 由根与系数的关系可得： ， 代入得： 移项，系数化为1得： ，两个不等式解集的交集为． 变式5．（25-26八年级下·北京平谷·期末）已知关于的方程有两个不相等的实数根． (1)求的取值范围； (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2)5 【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式可得，求解即可； （2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，结合求出k的值． 【详解】（1）解：∵关于的方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴． （2）解：∵该方程的两个不相等的实数根分别为，， ∴，， ， ， ， ∴， 解得， ， ． 变式6．（25-26八年级下·浙江金华·阶段检测）设，为方程的两根，试求下列各式的值； (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先根据一元二次方程根与系数的关系，得到两根之和与两根之积的值，再将所求代数式通分后代值计算即可． （2）将所求代数式通分后代值计算即可． （3）先对所求式子平方，结合第二问结果计算后再开方得到最终结果． 【详解】（1）解：∵是方程的两根， ∴， ∴． （2）解： ． （3）解：∵， ， ∴ ， ． 2 学科网（北京）股份有限公司 $