精品解析：山东泰安市东平县2025-2026学年第二学期期末质量检测八年级数学

2025~2026学年第二学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程），逐一分析各选项即可得出答案． 【详解】解：A、若，不是一元二次方程，不符合题意； B、方程含有分式，不是整式方程，故不是一元二次方程，不符合题意； C、方程化简得，未知数最高次数不是2，不是一元二次方程，不符合题意； D、方程化简得，是一元二次方程，符合题意； 故选：D． 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，先利用二次根式的性质对可以化简的二次根式进行化简，再逐项判断即可． 【详解】解：A，与是同类二次根式，能合并，符合题意； B，与不是同类二次根式，不能合并，不合题意； C，，与不是同类二次根式，不能合并，不合题意； D，与不是同类二次根式，不能合并，不符合题意； 故选：A． 3. 如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查直角三角形斜边中线性质和平移的性质，熟练掌握直角三角形斜边中线的性质是解题的关键． 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，结合，得，由平移得到，根据平移对应线段相等，可知，进而得． 【详解】在中，，是中点， ∴， ∵， ∴， ∵沿方向向右平移至， ∴， 故选：B． 4. 阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（ ）． A. 50 B. 80 C. 90 D. 100 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用，根据题意构造出相似三角形，然后根据相似三角形的对应边成比例求得的长度．解题的关键是正确判定相似三角形并运用相似三角形的性质列出比例式． 【详解】解：，， ， ， ， 的距离为，动力臂，阻力臂， ， ， 的长为． 故选：C． 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对所求分式通分变形，再计算与的值，代入化简后的式子即可求值，利用平方差公式简化计算过程. 【详解】解：先对通分变形，得： ， ， ， 将代入， 得： 6. 如图，公园中有一块长为20，宽为15的矩形场地，场地中间有3块面积都是的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程．设通道的宽为，根据矩形草坪的面积，即可得出关于x的一元二次方程． 【详解】解：根据题意得：， 故选：A． 7. 如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解题关键．先根据正方形的性质可得，再根据翻折的性质可得，设，从而可得，然后在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：正方形的边长为6，点恰好是的中点， ， 由翻折的性质得：， 设，则， 在中，，即， 解得， 即， 故选：A． 8. 已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】A 【解析】 【分析】先根据一元二次方程有两个实根，要求判别式非负，再利用完全平方公式将变形，结合根与系数的关系列方程求解，最后根据判别式范围舍去不符合的解即可． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴判别式 即 解得： 由根与系数的关系，得， ∵，且 ∴ 整理得 解得或 ∵，，舍去，符合要求 ∴． 9. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为（ ） A. 12米 B. 12.5米 C. 14米 D. 15米 【答案】C 【解析】 【分析】利用三角形相似的性质求得，从而求得的高度． 【详解】解：由题意可知：， ∴四边形为矩形 ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为C． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的证明以及性质，熟练掌握相似三角形的有关性质是解题的关键． 10. 如图，在中，于点，于点，过点作交的延长线于点，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，证明四边形为平行四边形，证明，判断A，证明，判断B，证明，判断C，证明，判断D即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴；故选项A正确； ∵， ∴， ∴，故选项B正确； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴；故选项C正确； ∵， ∴， ∴；故选项D错误； 故选D． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（查题共5小题，每小题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 已知，则_______． 【答案】1 【解析】 【分析】此题考查了比例的性质，关键是已知几个量的比值时，常用的解法是：设一个未知数，把题目中的几个量用所设的未知数表示出来，实现约分．根据比例的基本性质，可分别设出x、y、z，再代入进行计算即可得出结果． 【详解】解：已知，可设， 即，，， ∴ 故答案为：1． 12. 已知与互为相反数，则的值是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查相反数的定义以及非负数的性质，根据互为相反数的两个数之和为 0 列出方程，化简后利用平方项和算术平方根的非负性求解即可． 【详解】解：由题意得：， ∴ ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 【答案】##66度 【解析】 【分析】设与交于点，由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，结合矩形的性质可得出四边形为菱形，再进一步可得答案． 【详解】解：设与交于点， 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ，，，． 四边形为矩形， ， ，， ， ， ， 四边形为菱形， ∴，， ∵， ∴， ∴． 14. 如图，在正方形中，是上的点，，连接，作交于，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】先根据正方形的性质、三角形全等的判定证出，根据全等三角形的性质可得，再在中，利用勾股定理即可得． 【详解】解：四边形是正方形，， ， ， ， ， ， 在和中，， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理，正确找出两个全等三角形是解题关键． 15. 《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可列方程为_________． 【答案】 【解析】 【分析】设竿长为x尺，则门的宽为尺，高为尺，根据勾股定理可得方程． 【详解】解：设竿长为x尺，则门的宽为尺，高为尺， 由题意得，． 三、解答题（本题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1）． （2）． 【解析】 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 【答案】（1） （2）， （3） （4） 【解析】 【分析】利用直接开平方法解答即可； 利用公式法解答即可； 把右式移到左边，再利用因式分解法解答即可； 把方程整理成一般式，再利用因式分解法解答即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，，， ∵， ∴， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， 即， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：方程整理成一般式为 ， ∴， ∴或， ∴． 18. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求长方形绿地的周长； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 【答案】（1） （2）2240元 【解析】 【分析】本题考查二次根式的应用，长方形的周长和面积，平方差公式．解题的关键是掌握二次根式的混合运算顺序和运算法则及其性质． （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【小问1详解】 解：由题意，长方形绿地的周长为： ， 答：长方形绿地的周长为； 【小问2详解】 解： ， ， 答：铺地砖需要花费2240元． 19. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的边长为2，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形，对角线相交于点O， ∴， ∵且， ∴，且， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形． （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质、矩形的判定、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，灵活运用相关性质、判定定理成为解题的关键． （1）由菱形的性质得，因为，且，所以，且，则四边形是平行四边形，而，则四边形是矩形； （2）由，证明是等边三角形，则，所以，则，因为，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵菱形的边长为2， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴的长是． 20. 解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 【答案】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴． （2）9 【解析】 【分析】（1）证出即可； （2）先得出，再证出，求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 证明：略． 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， 又∵， ∴． 21. 如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点与交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 【答案】（1）证明：∵矩形， ∴． ∵， ∴四边形是矩形． ∵平分， ∴， ∴四边形是正方形； （2）证明：∵平分， ∴． ∵ ∴ 在和中， ， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的性质证得，根据正方形的判定即可证得结论； （2）根据三角形全等的判定证得，由全等三角形的性质即可得到结论； （3）根据正方形得，再由可得，即可求得，结合即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）知，四边形是正方形； ∴． 由（2）知， ∴， ∴， ∴． 22. 已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． （1）求的长； （2）若交于点，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据平分得，由等腰三角形的性质得，可得，即可证明，得到，求解即可； （2）由平行线的性质得到，有代入求得，结合即可． 【小问1详解】 解：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，， ∴， ∴； 【小问2详解】 ， ∴， ∵， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴， ∴． 23. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 【答案】任务1：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；任务2：下调后每个手办的售价为50元；任务3：不能 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键． 任务1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，，然后根据题意可得方程，进而问题可求解； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，根据题意得到，进而问题可求解． 任务3：假设平均每天能获利2100元，设此时下调后每个手办的售价为元，列出方程求解即可． 【详解】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为， 根据题意得：， 解得：（不符合题意，舍去）． 答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为； 任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个， 根据题意得：， 整理得：， 解得：， 又 ∵要尽量减少库存， ， 答：下调后每个手办的售价为50元． 任务3：设下调后每个手办的售价为元， 则， 整理得：， ， 故平均每天不能获利2100元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第二学期期末质量检测 八年级数学 注意事项： 1．本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题纸或答题纸交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本题共10个小题，每小题4分，共40分．每小题给出的四个答案中，只有一项是正确的．） 1. 下列关于的方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，能与合并的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，，将沿方向向右平移至处，使恰好过边的中点D，连接，若，则（ ） A. 3 B. 2 C. 1 D. 4. 阿基米德曾说过“给我一个支点，我能撬动整个地球．”这句话生动体现了杠杆原理：通过调整支点位置和力臂长度，用较小的力就能撬动重物．这一原理在生活中随处可见，比如用撬棍撬石头、用剪刀剪纸，甚至开瓶器开啤酒，都是杠杆的巧妙运用．如图①，这是杠杆撬动石头的示意图，当用力压杠杆时，另一端会翘起，石头就撬动了．如图②所示，的距离为，动力臂米，阻力臂，则的长度为（ ）． A. 50 B. 80 C. 90 D. 100 5. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，公园中有一块长为20，宽为15的矩形场地，场地中间有3块面积都是的矩形草坪，各草坪四周都是相同宽度的通道，若设通道的宽度为x，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，正方形的边长为6，将正方形折叠，使顶点D 落在边上的点E 处，折痕为．若点E恰好是的中点，则线段的长为（ ） A. B. C. 3 D. 8. 已知、是关于的方程的两个实数根，若，则等于（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，数学兴趣小组利用硬纸板自制的Rt△ABC来测量操场旗杆MN的高度，他们通过调整测量位置，并使边AC与旗杆顶点M在同一直线上，已知AC＝0.8米，BC=0.5米，目测点A到地面的距离AD＝1.5米，到旗杆的水平距离AE＝20米，则旗杆MN的高度为（ ） A. 12米 B. 12.5米 C. 14米 D. 15米 10. 如图，在中，于点，于点，过点作交的延长线于点，则下列结论中错误的是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（查题共5小题，每小题4分，共20分．只要求填写最后结果） 11. 已知，则_______． 12. 已知与互为相反数，则的值是___________． 13. 如图，在矩形中，连接，分别以点为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点，作直线分别交于点，连接若，则的大小为_____． 14. 如图，在正方形中，是上的点，，连接，作交于，则_________． 15. 《增删算法统宗》中记载：“今有门厅一座，不知门广高低，长竿横进使归室，争奈门狭四尺，随即竖竿过去，亦长二尺无疑，两隅斜去恰方齐，请问三色各几？”其大意是今有一房门，不知宽与高，长竿横着进门，门的宽度比竿小4尺进不了；将竿竖着进门，竿比门长2尺；将竿斜着穿过门的对角，恰好进门．试问门的宽、高和竿长各是多少？如图，若设竿长为尺，依题意可列方程为_________． 三、解答题（本题共8小题，共90分．写出必要的文字说明、证明过程或推演步骤） 16. 计算： （1）； （2） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4） 18. 某居民小区有块形状为长方形的绿地，绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛（图中阴影部分），花坛的长为，宽为． （1）求长方形绿地的周长； （2）除去修建花坛的地方，其它地方全部修建成通道，通道上铺地砖的造价为80元，求通道铺地砖需要花费多少元？ 19. 如图，菱形的对角线相交于点O，过点D作，且，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若菱形的边长为2，，求的长． 20. 解决下列问题： （1）如图1，在中，D为上一点，．求证：； （2）如图2，在中，E为上一点，F为延长线上一点，．若，求的长． 21. 如图，在矩形中，的平分线交于点，于点，于点与交于点． （1）求证：四边形是正方形； （2）若，求证：； （3）在（2）的条件下，已知，求的长． 22. 已知，如图，在中，是上的一点，的平分线交于点． （1）求的长； （2）若交于点，求的长． 23. 背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送． 素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元． 素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元． 问题解决 任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率． 任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价． 任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $