精品解析：山东省泰安市东平县2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题 

2024-2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 注意事项 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　） A. B. 0 C. 1 D. 1或 5. 如图，在矩形中，的平分线交的延长线于点，若，，则的长为（ ） A 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 6. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其中对应点C和F坐标分别为，，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 8. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A. 9.5米 B. 10.75米 C. 11.8米 D. 9.8米 9. 新年来临之际，某班同学向班上其他同学互赠新年贺卡，全班共互赠贺卡2980张，设全班有x名学生，那么根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上．） 11. 如图，在菱形中，点E，F分别是边的中点，若，则长为________． 12. 式子有意义，则点在第______象限． 13. 点C是线段的黄金分割点，且，则的长为___________． 14. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点G，作射线AG，交DC于点H．若AD＝6，AB＝8，则△AHC的面积为 _____． 15. 如图，学校为了照明，在墙上方安装一个小型灯杆（点为灯泡的位置，、、三点在一直线上），当小明站在处时，他在地面上的影长，小亮站在处时，他在地面上的影长．小亮和小明之间的距离，已知小明的身高为．小亮的身高为，灯杆的高为，则墙的高为___________． 三、解答题（本大题共8个题，共90分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 16 计算 （1）； （2）； （3）． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 18 对一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使与重合，得到折痕，展开； 第二步：再一次折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到线段，，展开，如图①； 第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图②． 求证：四边形为菱形． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值及方程的根． 20. 如图，矩形的边长为的中点，在边上，分别与相交于点 求证: 若， 求的长 21. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝． 因为+＞，所以，﹣＜． 再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝． 当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣+3的最大值． 22. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 23. 某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； （2）变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度第二学期期末质量检测 八年级数学试题 注意事项 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，其中选择题40分，非选择题110分，满分150分，考试时间120分钟； 2．选择题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的正确答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，答案写在试卷上无效； 3．数学考试不允许使用计算器，考试结束后，应将答题卡交回． 第Ⅰ卷（选择题共40分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 在下列各式中，一定是二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】试题解析：：A、是三次根式；故本选项错误； B、被开方数-10＜0，不是二次根式；故本选项错误； C、被开方数a2+1≥0，符合二次根式的定义；故本选项正确； D、被开方数a＜0时，不是二次根式；故本选项错误； 故选C． 点睛：式子（a≥0）叫做二次根式，特别注意a≥0，a是一个非负数． 2. 如图，菱形对角线交点与坐标原点重合，点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的中心对称性，A、C坐标关于原点对称，利用横反纵也反的口诀求解即可． 【详解】∵菱形是中心对称图形，且对称中心为原点， ∴A、C坐标关于原点对称， ∴C的坐标为， 故选B． 【点睛】本题考查了菱形的中心对称性质，原点对称，熟练掌握菱形的性质，关于原点对称点的坐标特点是解题的关键． 3. 已知，则下列各式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据比例的性质，逐项分析即可. 【详解】A. ∵，∴，∴，正确； B. ∵，∴，∴ ，故不正确； C. ∵，∴，故不正确； D. ∵，∴，∴ ，故不正确； 故选A. 【点睛】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解答本题的关键，如果，那么或或. 4. 关于的一元二次方程的一个根是0，则的值为（　　） A. B. 0 C. 1 D. 1或 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，熟知方程的解满足方程是解答的关键．根据一元二次方程的定义及根的性质求解，注意二次项系数不能为0的限制条件． 【详解】解：将代入方程，得， 解得，即， ∵二次项系数，即， ∴， 故选：A． 5. 如图，在矩形中，平分线交的延长线于点，若，，则的长为（ ） A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】由平行线的性质和角平分线的性质可得BE＝BD，在Rt△ADB中，由勾股定理可求AB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴CDAB， ∴∠CDE＝∠E． 又∵∠BDC的平分线交AB的延长线于点E， ∴∠CDE＝∠BDE， ∴∠BDE＝∠E． ∴BE＝BD． ∵AE＝9， ∴BD＝BE＝9−AB． ∵DB2＝AD2＋AB2， ∴（9−AB）2＝9＋AB2， ∴AB＝4， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形性质，角平分线的性质，勾股定理，利用方程的思想解决问题是解题的关键． 6. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件及乘除法则进行化简再进行一一判断得出答案． 【详解】解：∵a+b＜0，ab＞0， ∴a，b同为负数， ∴无意义，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除及有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中，矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形，其中对应点C和F的坐标分别为，，则位似中心的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据题意证明，再根据位似比和点的坐标求出线段长度，得到，求出点P的坐标即可． 【详解】由题意可知，点P为位似中心， ，，，， 矩形OEFG与矩形ABCD是位似图形 即 故位似中心P的坐标为． 故选B． 【点睛】本题考查位似图形的性质、相似图形的应用，解决本题的关键是借助相似比求出线段长度． 8. 兴趣小组的同学要测量树的高度．在阳光下，一名同学测得一根长为1米的竹竿的影长为0.5米，同时另一名同学测量树的高度时，发现树的影子不全落在地面上，有一部分落在教学楼的第一级台阶上，测得此影子长为0.2米，一级台阶高为0.3米，如图所示，若此时落在地面上的影长为4.4米，则树高为（ ） A. 9.5米 B. 10.75米 C. 11.8米 D. 9.8米 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的应用．设树高为，则第一级台阶上的树高为，根据同一时刻物高与物影成比例，即可求解． 【详解】解：如图，设树高为，则第一级台阶上的树高为，根据同一时刻物高与物影成比例， 可得， 解得， 故选A． 9. 新年来临之际，某班同学向班上其他同学互赠新年贺卡，全班共互赠贺卡2980张，设全班有x名学生，那么根据题意可列方程（ ） A B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，这是一道典型的双循环问题，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．根据题意可知，每名同学都有（x-1）名同学赠送贺卡，从而可以得到相应的方程，本题得以解决． 【详解】解：由题意可得， ， 故选C． 【点睛】此题考查一元二次方程的应用，根据题意找出等量关系式列方程即可． 10. 如图，在正方形中，E是的中点，F是上一点，且，下列结论： ①；②；③；④；⑤，其中正确的个数为（　　） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质和相似三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．借助正方形的性质和已知条件，易证，故结论①正确；利用①可得，故结论③正确；且可得，可证得，故结论④正确；而，所以结论⑤不正确；根据相似三角形的性质得到，可判断②错误． 【详解】解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵为中点，， ∴， 又∵， ∴，结论①正确； ∴， ∵， ∴， ∴，即，故结论③正确； ∵， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴，结论④正确； ∵，， ∴， ∴和不相似，结论⑤不正确． ∵，，和不相似，， ∴，，， ∴， ∴，故②错误， 综上可知正确的结论为：①③④，共计3个． 故选：C． 第Ⅱ卷（非选择题共110分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．把答案填在题中的横线上．） 11. 如图，在菱形中，点E，F分别是边的中点，若，则长为________． 【答案】4 【解析】 【分析】由三角形中位线定理可求，由菱形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵点E，F分别是边的中点， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了菱形性质，三角形的中位线定理，掌握菱形的四边相等是解题的关键． 12. 式子有意义，则点在第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】根据式子有意义，可以判断出字母x、y符号，从而可以得出点P所在的象限． 【详解】由题意得：－x≥0，且xy>0 由－x≥0得：x≤0 但当x=0时，xy=0，不合题意 所以x<0 当x<0时，由xy>0得y<0 所以x<0，且y<0 则点P在第三象限 故答案为：三． 【点睛】本题主要考查了使代数式有意义的字母的取值范围，判断点所在的象限，关键是根据式子确定字母x与y的符号． 13. 点C是线段的黄金分割点，且，则的长为___________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查黄金分割点，根据黄金分割点的定义，分两种情况进行求解即可． 【详解】解：∵点C是线段的黄金分割点， ∴或， ∴或； 当时，； 故答案为：或． 14. 如图，在矩形ABCD中，连接AC，以点A为圆心，小于AD的长为半径画弧，分别交AD，AC于点E，F，分别以点E，F为圆心，大于EF的长为半径画弧，两弧在∠DAC内交于点G，作射线AG，交DC于点H．若AD＝6，AB＝8，则△AHC的面积为 _____． 【答案】15 【解析】 【分析】由作图过程可得AH平分∠DAC，过点H作HQ⊥AC于点Q，根据角平分线的性质可得DH＝QH，然后证明Rt△ADH≌Rt△AQH（HL），可得AD＝AQ＝6，所以CQ＝AC﹣AQ＝10﹣6＝4，再根据勾股定理可得HQ，进而可以解决问题． 【详解】解：由作图过程可知：AH平分∠DAC， 如图，过点H作HQ⊥AC于点Q， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠D＝90°， ∴DH＝QH， ∵AD＝6，DC＝AB＝8， ∴AC10， ∴HC＝DC﹣DH＝8﹣HQ， 在Rt△ADH和Rt△AQH中， ， ∴Rt△ADH≌Rt△AQH（HL）， ∴AD＝AQ＝6， ∴CQ＝AC﹣AQ＝10﹣6＝4， 在Rt△CHQ中，根据勾股定理得： CH2＝CQ2+HQ2， ∴（8﹣HQ）2＝42+HQ2， 解得HQ＝3， ∴△AHC的面积AC•HQ10×3＝15， 故答案为：15． 【点睛】本题考查了作图一基本作图、角平分线的性质,矩形的性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，掌握基本作图方法是解决本题的关键． 15. 如图，学校为了照明，在墙上方安装一个小型灯杆（点为灯泡的位置，、、三点在一直线上），当小明站在处时，他在地面上的影长，小亮站在处时，他在地面上的影长．小亮和小明之间的距离，已知小明的身高为．小亮的身高为，灯杆的高为，则墙的高为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质与判定，根据得到，根据得到，根据相似三角形对应边成比例可得：，，把用含的代数式表示出来，可得：，解方程即可求出墙的高度. 【详解】解：设墙高为，则， ， ， ， ， ， ，， ， 整理得：， ， ， ，，， ， 整理得：， ， 解得：， ， 答：墙的高为． 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个题，共90分，解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．） 16. 计算 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2） （3）0 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键： （1）先化简，再合并即可； （2）先进行乘方和乘法运算，再合并即可； （3）利用平方差公式，乘方，零指数幂，负整数指数幂的法则进行计算，再合并即可． 【小问1详解】 解：原式； 【小问2详解】 原式； 【小问3详解】 原式． 17. 解下列方程： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解法，解一元二次方程的常用方法有：直接开方法、配方法、公式法、分解因式法． 利用完全平方公式分解因式，可得：，从而可得方程的解为； 用十字相乘法分解因式，可得：，因为两个数的乘积为，所以这两个因数中致少有一个为，可得：或，分别解这两个一元一次方程即可得到一元二次方程的解． 【小问1详解】 解：， 分解因式可得：， 解得：； 【小问2详解】 解：， 分解因式可得：， 或， 解得：，． 18. 对一张矩形纸片进行折叠，具体操作如下： 第一步：先对折，使与重合，得到折痕，展开； 第二步：再一次折叠，使点A落在上的点处，并使折痕经过点B，得到折痕，同时，得到线段，，展开，如图①； 第三步：再沿所在的直线折叠，点B落在上的点处，得到折痕，同时得到线段，展开，如图②． 求证：四边形为菱形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换的性质、矩形的性质和菱形的判定，其中对翻折变换的性质的理解是解决问题的关键． 根据点M是的中点判断出是的中点，再判断出垂直平分，根据线段垂直平分线上的点到两端点的距离相等可得，根据翻折变换的性质可得，，然后求出，再根据四条边相等的四边形是菱形证明结果． 【详解】解：∵对折与重合，折痕是， ∴点M是的中点， ∴是的中点， ∵， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∵沿所在的直线折叠，点B落在上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形为菱形． 19. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）若，求的值及方程的根． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】(1)由方程有两个不相等的实数根，可知△>0，据此可得关于k的不等式，解不等式即可求得答案； (2)由根与系数的关系结合已知可求得k的值，进而可求得原方程的根. 【详解】(1)∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴△>0， 即， 整理得，， 解得：， 故实数的取值范围为； (2)∵方程的两个根分别为， ∴， 解得：， ∴原方程为， ∴，． 【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解一元二次方程等，熟练掌握相关知识是解题的关键. 20. 如图，矩形的边长为的中点，在边上，分别与相交于点 求证: 若， 求的长 【答案】（1）见解析；（2） 【解析】 【分析】(1)由AD∥BF，可证得即可证得结论； (2)首先过F作FH⊥AD于H，交ED于O，于是得到FH=AB=2，根据勾股定理求得AF，根据平行线分线段成比例定理求得OH，由相似三角形的性质求得AM与AF的长，根据相似三角形的性质，求得AN的长，即可得到结论． 【详解】(1) ∵AD∥BF， ∴∠ADN=∠FBN， 又∵∠AND=∠FNB， ∴， ∴， ∴； (2)过F作FH⊥AD于H，交ED于O，则FH=AB=2， ∵BF=2FC，BC=AD=3， ∴BF=AH=2，FC=HD=1， ∴AF=， ∵OH∥AE， ∴， ∴OH=AE=， ∴OF=FH-OH=2-=， ∵AE∥FO， ∴△AME∽FMO， ∴， ∴AM=AF=， ∵AD∥BF， ∴△AND∽△FNB， ∴， ∴AN=AF=， ∴MN=AN-AM=． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，矩形的性质，勾股定理，比例的性质，准确作出辅助线，求出AN与AM的长是解题的关键． 21. 阅读材料：我们在学习二次根式时，熟悉了分母有理化及其应用．其实，有一个类似的方法叫做“分子有理化”，即分母和分子都乘以分子的有理化因式，从而消掉分子中的根式．比如：﹣＝＝． 分子有理化可以用来比较某些二次根式的大小，也可以用来处理一些二次根式的最值问题．例如：比较﹣和的大小可以先将它们分子有理化如下：﹣＝，＝． 因为+＞，所以，﹣＜． 再例如，求y＝﹣的最大值、做法如下： 解：由x+2≥0，x﹣2≥0可知x≥2，而y＝﹣＝． 当x＝2时，分母﹣有最小值2．所以y的最大值是2． 利用上面的方法，完成下述两题： （1）比较﹣和﹣的大小； （2）求y＝﹣+3的最大值． 【答案】（1）＜；（2）+3 【解析】 【分析】（1）先根据材料分别给﹣和﹣，分子有理化，然后再进行比较即可； （2）先根据二次根式有意义的条件确定x的取值范围，然后再对无理数部分分子有理化，然后再求最大值即可． 【详解】解：（1）， ， 而， ∴＞， ∴＜； （2）∵x+1≥0，x﹣1≥0， ∴x≥1， ∵y＝＝， 当x＝1时，分母有最小值， ∴y＝有最大值是+3． 【点睛】本题考查了分母有理化的应用以及阅读理解能力，根据分母有理化理解分子有理化的方法是解答本题的关键． 22. 研究背景：某校数学兴趣小组到蔬菜基地了解某种有机蔬菜的销售情况，并利用所学的数学知识对基地的蔬菜销售提出合理化建议． 材料一：某种蔬菜的种植成本为每千克10元，经过市场调查发现，该蔬菜的日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系； 材料二：该种蔬菜销售单价为12元时，日销售量为1800千克；销售单价为15元时，日销售量为1500千克． 任务一：建立函数模型 （1）求出y与x的函数表达式，并写出自变量的取值范围； 任务二：探究销售情况 （2）市场监督管理部门规定，除去每日其他正常开支总计1000元外，该蔬菜销售单价不得超过每千克21元，那么该种蔬菜的销售能否获得日销售利润8600元？如果能，蔬菜的销售单价应定为多少元？如果不能，请说明理由． 任务三：设计销售方案 （3）在（2）的基础上，蔬菜的销售单价定为多少元才能使日销售利润最大？最大利润为多少元？ 【答案】（1）；（2）当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元；（3）该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，一元二次方程的实际应用，正确列出关系式，和一元二次方程是关键． （1）运用待定系数法求解析式即可； （2）根据总利润等于单件利润乘以销量，再减去其他开支，列出方程进行求解即可． （3）根据题意得到每千克的利润为元，，由此销售数量关系列式，根据完全平方公式的非负性即可求解． 【详解】解：（1）日销售量y（千克）与销售单价x（元）是一次函数关系， 设，销售单价为12元时，日销售量为1800千克，销售单价为15元时，日销售量为1500千克， ∴， 解得，， 根据题意，销售单价不应低于成本10元，且日销售量不应为负数，即， 解得， ∴； （2）能； 由题意，得：，， ∴， 解得：， ∵， ∴； ∴当蔬菜的销售单价定为18元时，日销售利润为8600元； （3）设总利润为，由题意，得： ， ∵， ∴当时，有最大值， ∴该蔬菜的销售单价为元时，才能使日销售利润最大，最大日销售利润是元． 23. 某校数学活动小组探究了如下数学问题： （1）问题发现：如图1，中，，．点P是底边BC上一点，连接AP，以AP为腰作等腰，且，连接CQ、则BP和CQ的数量关系是______； （2）变式探究：如图2，中，，．点P是腰AB上一点，连接CP，以CP为底边作等腰，连接AQ，判断BP和AQ的数量关系，并说明理由； （3）问题解决：如图3，在正方形ABCD中，点P是边BC上一点，以DP为边作正方形DPEF，点Q是正方形DPEF两条对角线的交点，连接CQ．若正方形DPEF的边长为，，求正方形ABCD的边长． 【答案】（1） （2） （3）3 【解析】 【分析】（1）根据已知条件利用边角边证明，再利用全等三角形的性质即可得到BP和CQ的数量关系； （2）根据任意等腰直角三角形的直角边与斜边的比是相等的，利用两边长比例且夹角相等的判定定理证明，之后再由相似三角形对应边成比例即可得到BP和AQ的数量关系； （3）连接BD，如图（见详解），先由正方形的性质判断出和都是等腰直角三角形，再利用与第二问同样的方法证出，由对应边成比例，依据相似比求出线段BP的长，接着设正方形ABCD的边长为x，运用勾股定理列出方程即可求得答案． 【小问1详解】 解：∵是等腰直角三角形，， 在中，，， ∴，， ∴． 在和中， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：判断，理由如下： ∵是等腰直角三角形，中，，， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接BD，如图所示， ∵四边形与四边形是正方形，DE与PF交于点Q， ∴和都是等腰直角三角形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，设，则， 又∵正方形的边长为， ∴， ∴， 解得（舍去），． ∴正方形的边长为3． 【点睛】本题是一道几何综合题，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性质，以及正方形和等腰三角形的性质，正确识图并能熟练地掌握几何图形的性质与判定定理进行证明是解题的关键． 第1页/共1页 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