4.5 培优课 函数零点的综合问题(Word练习)（Word练习）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

培优课　函数零点的综合问题 1.C　因为2是函数f（x）＝xn－8（n为常数）的零点，所以2n＝8，得n＝3，所以f（x）＝x3－8，因为f（m）＝56，所以m3－8＝56，得m＝4，故选C. 2.D　当m＝0时，则f（x）＝1，此时f（x）无零点，符合题意；当m≠0时，令f（x）＝0，则x＝，故x＝＜0或x＝＞1，解得0＜m＜1或m＜0，综上可知f（x）＝mx－m＋1在区间[0，1]上无零点，则m＜1，故选D. 3.D　因为函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0，1，x0，所以解得所以f（x）＝x3＋ax2＋（－1－a）x＝x（x－1）（x＋a＋1），所以x0＝－1－a，又x0∈（1，2），所以1＜－1－a＜2，解得－3＜a＜－2. 4.B　由y＝f（x）－m2有两个不同的零点，即方程f（x）＝m2有两个不同的解，即函数y＝f（x）与y＝m2的图象有两个不同的交点，画出函数y＝f（x）的图象，如图所示，结合图象可得m2＝1或m2＝0，解m＝±1或m＝0，即m∈{－1，0，1}.故选B. 5.A　由题意：f（x）＝（x－a）（x－b）－2的零点为α，β，则f（α）＝0，f（β）＝0，令g（x）＝（x－a）（x－b），则g（a）＝0，g（b）＝0，而f（x）＝g（x）－2，则其图象可由g（x）＝（x－a）（x－b）图象向下平移2个单位长度得到，故可作出函数f（x），g（x）的大致图象如图，由此可知a，b应介于α，β两数之间，结合选项可知可能的结果为α＜a＜b＜β，故B、C、D错误，A正确，故选A. 6.BD　在同一平面直角坐标系中作出函数y＝ax与y＝x＋a的图象，当a＞1时，如图1，y＝ax与y＝x＋a有2个交点，则f（x）有2个零点；当0＜a＜1时，如图2，y＝ax与y＝x＋a有1个交点，则f（x）有1个零点. 7.CD　函数f（x）的大致图象如图所示，方程f（x）＝0一定有两实数根，故Δ＝b2－4ac＞0，所以4ac－b2＜0，故B错误；由图可知，必有f（2）＜0，f（3）＜0，所以C、D一定成立；若f（x）＝x2－7x＋6，方程f（x）＝0的根为x1＝1＜2，x2＝6＞3，此时－＝，所以此时2＜－＜3不成立.故A错误.故选C、D. 8.1　2　解析：∵函数f（x）＝3x＋x－5，∴f（1）＝31＋1－5＝－1＜0，f（2）＝32＋2－5＝6＞0，∴f（1）f（2）＜0，且函数f（x）在R上是增函数，∴f（x）的零点x0在区间[1，2]内.∴a＝1，b＝2. 9.1（答案不唯一）　解析：不妨取a＝1，则f（x）＝x2＋4x－1，则f（1）＝4，f（－1）＝－4，即得f（1）f（－1）＜0，又f（x）＝x2＋4x－1图象的对称轴为x＝－2，则f（x）在（－1，1）上单调递增，故f（x）＝x2＋4x－1在（－1，1）上恰有一个零点. 10.（－8，－4]　解析：由解析式可得图象如图所示，由图象知，∃x1，x2，x3∈R，当x1＜x2＜x3时，有f（x1）＝f（x2）＝f（x3）成立，则f（x1）＝f（x2）＝f（x3）∈[2，4），且＝－1，即x1＋x2＝－2，∴（x1＋x2）·f（x3）∈（－8，－4]. 11.解：（1）由f（0）＝f（4）得3＝16－4b＋3，即b＝4，所以f（x）＝x2－4x＋3，令f（x）＝0即x2－4x＋3＝0得x1＝3，x2＝1. 所以f（x）的零点是1和3. （2）因为f（x）的零点一个大于1，另一个小于1，如图. 需f（1）＜0，即1－b＋3＜0，所以b＞4. 故b的取值范围为（4，＋∞）. 12.解：（1）当m＝－2时，f（x）＝2x－4x＋2， 令2x－4x＋2＝0，得2x＝2或2x＝－1（舍去）， 解得x＝1. ∴函数f（x）的零点为1. （2）f（x）＝2x－4x－m＝0⇔2x－4x＝m， 令g（x）＝2x－4x， 函数f（x）有零点等价于方程2x－4x＝m有解，等价于m在g（x）的值域内， 设t＝2x，∵x∈[－1，1]， ∴t∈， 则y＝t－t2＝－＋， 当t＝时，ymax＝，当t＝2时，ymin＝－2. ∴g（x）的值域为. ∴m的取值范围为. 13.解：（1）假设函数f（x）＝有“漂移点”x0，则＝＋2， 即＋x0＋1＝0，由此方程无实根，与题设矛盾，所以函数f（x）＝没有漂移点. （2）证明：令h（x）＝f（x＋1）－f（x）－f（1）＝（x＋1）2＋－（x2＋3x）－4＝2×3x＋2x－3， 所以h（0）＝－1，h（1）＝5. 所以h（0）h（1）＜0， 又h（x）在（0，1）上连续，所以h（x）＝0在（0，1）上至少有一个实根x0， 即函数f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移点. （3）若f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点x0，所以lg ＝lg ＋lg a成立，即＝·a，a＞0， 整理得a＝＝， 由x0＞0，得0＜＜1，则0＜a＜1. 则实数a的取值范围是（0，1）. 1 / 59 学科网（北京）股份有限公司 $ 培优课　函数零点的综合问题 1.已知2是函数f（x）＝xn－8（n为常数）的零点，且f（m）＝56，则m的值为（　　） A.－3 B.－4 C.4 D.3 2.若函数f（x）＝mx－m＋1在区间[0，1]上无零点，则m的取值范围为（　　） A.0＜m＜1 B.m＞1 C.m＜0 D.m＜1 3.若函数f（x）＝x3＋ax2＋bx＋c有三个零点0，1，x0，且x0∈（1，2），则a的取值范围是（　　） A.（－2，0） B.（1，2） C.（2，3） D.（－3，－2） 4.已知函数f（x）＝若函数y＝f（x）－m2有两个不同的零点，则实数m的取值范围为（　　） A.（0，1） B.{－1，0，1} C.[0，1] D.{0，1} 5.已知f（x）＝（x－a）（x－b）－2的零点为α，β，那么a，b，α，β大小关系可能是（　　） A.α＜a＜b＜β B.a＜α＜β＜b C.a＜α＜b＜β D.α＜a＜β＜b 6.〔多选〕已知函数f（x）＝ax－x－a（a＞0，a≠1），则下列说法中正确的是（　　） A.当a＞1时，f（x）有1个零点 B.当a＞1时，f（x）有2个零点 C.当0＜a＜1时，f（x）没有零点 D.当0＜a＜1时，f（x）有1个零点 7.〔多选〕已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a＞0），分析该函数图象的特征，若方程f（x）＝0一根大于3，另一根小于2，则下列推理一定成立的是（　　） A.2＜－＜3 B.4ac－b2≤0 C.f（2）＜0 D.f（3）＜0 8.已知函数f（x）＝3x＋x－5的零点x0∈[a，b]，且b－a＝1，a，b∈N*，则a＝　　　　，b＝　　　　. 9.试写出一个实数a＝　　　　，使得函数f（x）＝ax2＋4x－1在（－1，1）上恰有一个零点. 10.已知函数f（x）＝若存在实数x1，x2，x3，当x1＜x2＜x3时，有f（x1）＝f（x2）＝f（x3）成立，则（x1＋x2）·f（x3）的取值范围是　　　　. 11.已知函数f（x）＝x2－bx＋3. （1）若f（0）＝f（4），求函数f（x）的零点； （2）若函数f（x）一个零点大于1，另一个零点小于1，求b的取值范围. 12.已知函数f（x）＝2x－4x－m，x∈[－1，1]. （1）当m＝－2时，求函数f（x）的零点； （2）若函数f（x）在[－1，1]上有零点，求实数m的取值范围. 13.若在定义域内存在实数x0，使f（x0＋1）＝f（x0）＋f（1）成立，则称函数有“漂移点”x0. （1）请判断函数f（x）＝是否有漂移点？并说明理由； （2）求证：函数f（x）＝x2＋3x在（0，1）上存在漂移点； （3）若函数f（x）＝lg 在（0，＋∞）上有漂移点，求实数a的取值范围. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $