1.3 勾股定理的应用（十大题型）2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 该专项训练通过十大题型系统覆盖勾股定理应用场景，从网格计算到实际问题解决，构建“概念应用—情境转化—综合拓展”的知识逻辑链，培养几何直观与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |勾股定理与网络问题|3题|网格中构造直角三角形求边长、高及图形面积|基于网格特性转化为直角三角形计算，培养空间观念| |勾股定理与折叠问题|3题|折叠前后线段等量关系建立方程求解|利用轴对称性质转化未知量，体现数学思维的逻辑性| |梯子滑落等实际应用|18题|梯子、航海、河宽等情境中已知两边求第三边|将实际问题抽象为直角三角形模型，发展应用意识| |最短距离与逆定理应用|6题|长方体/圆柱表面最短路径及三角形形状判断|结合空间展开与逆定理，提升推理能力与创新意识|

1.3 勾股定理的应用 题型一 勾股定理与网络问题 1．如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 2．如图是的正方形网格，已知小正方形的边长为1．则格点边上的高是____． 3．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： (1)直接写出AB的长为______； (2)在网格中找到一格点C，使得，，判断的形状，并求点A到BC的距离． 题型二 勾股定理与折叠问题 4．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 5．如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 6．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 题型三 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 7．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 8．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 9．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 题型四 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 10．欧阳修在《醉翁亭记》中写道：“射者中，弈者胜”，其中“射”指投壶，是古人宴饮时的一种游戏，如图所示，现有一圆柱形投壶，内部底面直径为，内壁高为，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 11．如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径，内壁高，高出笔筒部分为，则这支铅笔的长度可能是______． 12．如图，一根直立于水中的芦苇比水面高出，即，一阵风吹来，芦苇的顶端恰好到达水面的处，且到的距离，已知，求水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 题型五 解决航海问题（勾股定理的应用） 13．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 14．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 15．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 题型六 求河宽（勾股定理的应用） 16．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 17．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 18．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 题型七 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 19．为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 20．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 21．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 题型八 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 22．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 23．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 24．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 题型九 求最短距离（勾股定理的应用） 25．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 26．一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 27．综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 题型十 勾股定理逆定理的实际应用 28．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 29．如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____． 30．如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.3 勾股定理的应用 题型一 勾股定理与网络问题 1．如图，网格中每个小正方形的边长都是1．以点为圆心，长为半径画弧，交网格线于点，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，利用勾股定理进行求解即可. 【详解】解：连接，由作图可知，， 在中，，， ∴. 2．如图是的正方形网格，已知小正方形的边长为1．则格点边上的高是____． 【答案】/ 【分析】首先利用网格结构和勾股定理计算出边的长度，然后利用割补法（即矩形面积减去周围三个直角三角形面积）计算出的面积，最后根据三角形面积公式求出边上的高． 【详解】解：由图可知，点A、B、C均在格点上，设边上的高为， 根据勾股定理得：， ， ， ， 解得：， 即边上的高是． 3．如图，正方形网格中每个小正方形边长都是1，点A，B在格点上（每个小正方形的顶点称为格点）．按要求回答问题： (1)直接写出AB的长为______； (2)在网格中找到一格点C，使得，，判断的形状，并求点A到BC的距离． 【答案】(1) (2)如图：点C即为所求的格点；是直角三角形；点A到BC的距离为2． 【分析】（1）直接利用勾股定理求解即可； （2）根据勾股定理画出线段，，并根据勾股定理的逆定理判断的形状，再利用等面积法求点A到BC的距离即可． 【详解】（1）解：． （2）解：作图略； ∵，，， ， 是直角三角形． 设点A到BC的距离为h， ∵， ∴，解得：， ∴点A到BC的距离为2． 题型二 勾股定理与折叠问题 4．如图，折叠长方形的一边，使点落在边上的点处，若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先由勾股定理求得，则，在中，由勾股定理求解即可． 【详解】解：在长方形中，，，， 由折叠性质得，， 在中，， ∴ 在中，由勾股定理得， ∴，解得． 5．如图，在中，，，，将折叠，使点C 与点A重合，得折痕，则的周长等于_______． 【答案】7 【分析】根据勾股定理，可得的长，根据翻折的性质，可得与的关系，根据三角形的周长公式，可得答案． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理，得， 由翻折的性质，得． 的周长． 6．有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：，现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，求的长． 【答案】3 【分析】先由勾股定理求解，然后利用折叠的性质得到，再由面积法得到，据此求解即可． 【详解】解：∵有一块直角三角形纸片，两直角边分别为：， ∴， 由折叠可得， ∵， ∴， 解得． 题型三 求梯子滑落高度（勾股定理的应用） 7．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】梯子顶端沿墙下滑的距离为．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端下滑． 8．一架云梯长分米，如图斜靠在一面墙上，梯子的底端离墙分米，如果梯子的顶端下滑了分米，那么梯子的底端在水平方向滑动了______分米． 【答案】 【分析】由题意知分米，分米，分米，由勾股定理求得分米，分米，然后通过线段的和与差即可求解． 【详解】解：如图，由题意知分米，分米，分米， 在中，（分米）， ∴（分米）， 在中，（分米）， ∴（分米）， ∴梯子的底端在水平方向滑动了分米． 9．消防车上的云梯示意图如图所示，云梯最多只能伸长到米，消防车高米，如图，某栋楼发生火灾，在这栋楼的处有一老人需要救援，救人时消防车上的云梯伸长至最长，此时消防车的位置与楼房的距离为米． (1)求处与地面的距离； (2)完成处的救援后，消防员发现在处的上方米的处有一小孩没有及时撤离，为了能成功地救出小孩，消防车从处向着火的楼房靠近的距离为多少米？ 【答案】(1)处与地面的距离是米 (2)消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米 【分析】（1）利用勾股定理求出的长度，再根据求出处与地面的距离； （2）利用勾股定理求出的长度，根据求出结果． 【详解】（1）解：在中， 米，米，米， （米），                （米）， 答：处与地面的距离是米；                                （2）解：由题意得米， 米，（米）， （米），        （米）． 答：消防车从处向着火的楼房靠近的距离为米． 题型四 解决水杯中筷子问题（勾股定理的应用） 10．欧阳修在《醉翁亭记》中写道：“射者中，弈者胜”，其中“射”指投壶，是古人宴饮时的一种游戏，如图所示，现有一圆柱形投壶，内部底面直径为，内壁高为，若箭长，则箭在投壶外面部分的长度可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用勾股定理求出箭在投壶内部的最大长度，再用箭的总长度减去这个最大值，得到箭在投壶外面部分的最小长度，最后判断选项中哪个数值小于这个最小长度． 【详解】解：如图， ∵投壶内部底面直径，内壁高， ∴箭在投壶内部的最大长度 ∵箭总长为， ∴箭在投壶外面部分的最小长度为：， 箭在投壶外面部分的最大长度为：， ∴箭在投壶外面部分的长度可能为． 11．如图，一支铅笔放在圆柱形笔筒中，笔筒的内部底面直径，内壁高，高出笔筒部分为，则这支铅笔的长度可能是______． 【答案】19 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，首先根据题意画出图形， 利用勾股定理计算出的长． 【详解】解：根据题意可得图形： ，， 在中：， 这支铅笔的长度可能是 12．如图，一根直立于水中的芦苇比水面高出，即，一阵风吹来，芦苇的顶端恰好到达水面的处，且到的距离，已知，求水的深度与这根芦苇的长度分别是多少? 【答案】水的深度为，芦苇的长度是． 【分析】设水的深度为，根据题意表示出芦苇的长度，根据勾股定理列出方程，问题得解． 【详解】解：设水的深度为，则芦苇的长度是， ∵， ∴在中，， ∵， ∴， ∴， ∴. ∴水的深度为，则芦苇的长度是． 题型五 解决航海问题（勾股定理的应用） 13．如图，甲、乙两船同时从港口出发，甲船以海里时的速度沿北偏东方向航行，乙船沿南偏东方向航行，小时后，甲船到达岛，乙船到达岛，若，两岛相距海里，乙船的速度是 （    ） A．海里时 B．海里时 C．海里时 D．海里时 【答案】C 【分析】根据已知判定为直角，根据路程公式求得的长．再根据勾股定理求得的长，从而根据公式求得其速度． 【详解】解：如图， 甲的速度是海里时，时间是小时， 海里． ，， ． 海里， 海里． 乙船也用小时， 乙船的速度是40海里时． 14．某港口位于东西方向的海岸线上，“远航”号、“海天”号轮船同时离开港口，“远航”号以每小时的速度沿北偏西方向航行，“海天”号以每小时的速度沿北偏东方向航行，它们离开港口半小时后分别位于，处，此时两艘轮船相距_________． 【答案】 【分析】先由速度与时间算出、的长度，再根据方位角推出，最后用勾股定理求出两船距离． 【详解】解：由题意得，，，， ∴， 在中，， 即此时两艘轮船相距． 15．如图，某日两艘渔船和渔船与灯塔的位置如图所示，其中渔船在灯塔的北偏西方向上，与灯塔的距离是400海里，渔船在灯塔的南偏西方向上，与灯塔的距离是300海里． (1)求渔船与渔船之间的距离； (2)若灯塔发射的信号有效覆盖半径为300海里，已知渔船沿所在直线向渔船靠拢的过程中，段可以接收到信号，段无法接收到信号，请你求出渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是多少？ 【答案】(1)500海里 (2)360海里 【分析】（1）根据题意可求出，再利用勾股定理求解即可； （2）过点C作于点E，利用等面积法求出的长，再利用勾股定理求出的长即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得，，海里，海里， ∴由勾股定理得海里， 答：渔船与渔船之间的距离为500海里； （2）解：如图所示，过点C作于点E， 则， ∵， ∴， ∴海里， 在中，由勾股定理得海里， 在中，由勾股定理得海里， ∴海里 答：渔船B在行驶过程中，能持续收到信号的里程（线段的长）是360海里． 题型六 求河宽（勾股定理的应用） 16．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：，，， ． 17．机械狗可以用于水质监测．如图，机械狗从A处出发，计划沿与河岸垂直的方向到达B处，由于水流的影响，实际上岸地点C与目的地B处相距9米，机械狗实际行走的路程为15米，则的长为_______ 米． 【答案】12 【分析】根据勾股定理计算即可． 本题考查的是勾股定理的应用，灵活运用勾股定理是解题的关键． 【详解】解：在中，米，米， 由勾股定理得： 米． 故答案为：12． 18．小刚准备测量一段河水的深度，他把一根竹竿插到离岸边远的水底，竹竿高出水面，把竹竿的顶端拉向岸边，竿顶和岸边的水面刚好相齐，则河水的深度为多少米？ 【答案】2米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意画示意图找出与所求边长相关线段所构成直角三角形是解题关键． 根据河水深度、竹竿到岸边的距离、竹竿长构成直角三角形，利用勾股定理进行计算即可． 【详解】解：根据题意画出示意图，如图，则， 所以即为河水深度，， ， 是直角三角形， ， ， 解得：， 答：河水的深度为2米． 题型七 求台阶上地毯长度（勾股定理的应用） 19．为了提升通行安全，防止上下楼滑倒，某小区某单元楼在楼梯改造工程中，铺设防滑红地毯，如图所示，已知楼梯的斜面长度为米，楼梯的竖直总高度为2米，则铺设地毯的长度为（     ） A．36米 B．6米 C．8米 D．10米 【答案】C 【分析】如图（见解析），利用勾股定理求出的长，再根据铺设地毯的长度等于的长解答即可． 【详解】解：如图，由题意得：米，米，， ∴在中，米， ∴铺设地毯的长度为（米）． 20．如图，在一个高为 的楼梯表面铺地毯，地毯的总长度为，则楼梯斜面的长为_______m． 【答案】5 【分析】根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是，再利用勾股定理求解即可； 【详解】解：如图所示，地毯的总长度为， 根据题意，所有台阶高的和，恰好是，所有台阶宽的和，恰好是， 故， 故， 根据勾股定理，得； 21．某宾馆装修，需在一段楼梯台阶上铺上一块地毯，将楼梯台阶完全盖住．楼梯台阶剖面图如图，已知，，． (1)求BC的长； (2)若已知楼梯宽，需要购买________的地毯才能铺满所有台阶． 【答案】(1)； (2)． 【分析】此题考查了平移的性质，勾股定理的应用． （1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意，结合图形，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，进一步求出面积即可． 【详解】（1）解：由题意可得，； （2）解：利用平移可知，把楼梯台阶的横竖分别向上向左平移，地毯的长为， ∴地毯面积为， 故答案为： 题型八 选址使到两地距离相等（勾股定理的应用） 22．如图，公路上A、B两点相距，C、D为两村庄，已知，，于点A，于点B，现要在上建一个服务站E，使得C、D两村庄到E站的距离相等，则E站离A站的距离是（    ）． A． B．16 C．11 D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用． 设，则，由勾股定理得：，，再根据，得到，求出，即可求出E站离A站的距离． 【详解】解：设，则， 由勾股定理得：在中，， 在中，， 由题意可知：， ∴， 解得：， ∴的长是， ∴． 故选：D． 23．如图，一个长方体盒子的内部是的长方体，如果将一根直杆（不计粗细）完全放入盒子中，那么直杆的长度的取值范围是__________． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，灵活运用勾股定理解决实际问题是解题的关键． 由题意可得：当木棒为该长方体的对角线时木棒最长，再根据勾股定理求解即可． 【详解】解：该长方体盒子底面的对角线为：， 当木棒为该长方体的对角线时木棒最长， 根据勾股定理得：． ∴直杆的长度a的取值范围是． 故答案为：． 24．如图，在一条东西走向的街道l上有两个快递投放点B，C．快递投放点C的正北方向处有一小区A，小区A到快递投放点B的距离为． (1)求快递投放点B，C之间的距离； (2)为了方便居民取件，优化快递配送服务，计划在街道l上增设一个快递自提柜D，并且使得自提柜D到小区A与快递投放点B的距离相等，求自提柜D与快递投放点B之间的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据勾股定理求解即可； （2）设出未知数，根据勾股定理求解未知数即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴快递投放点B，C之间的距离为； （2）解：设， ∴， 在中，， ∴， 则有，解得， ∴自提柜D与快递投放点B之间的距离为． 题型九 求最短距离（勾股定理的应用） 25．如图，长方体的长，宽，高，点在上，且．如果一只蚂蚁要沿着长方体的表面从点爬到点，那么它爬行的最短路程是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将长方体表面展开，利用勾股定理计算到的距离，需分三种情况讨论：一是将前面和右面展开在同一平面；二是将前面和顶面展开在同一平面，三是将长方体的底面和右面展开在同一平面内，比较三种情况下的路径长度即可得出答案． 【详解】解：分三种情况讨论： 情况一：将长方体的前面和右面展开在同一平面内，如图1， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况二：将长方体的前面和顶面展开在同一平面内，如图2， 此时、、在同一直线上， 在中，，， 根据勾股定理得：； 情况三：将长方体的底面和右面展开在同一平面内，如图3， 由题意得：，， 在中，根据勾股定理得：， ，， ， 需要爬行的最短路程是． 26．一个圆柱形饮料罐底面周长为5cm，高为3cm，一只蚂蚁从底面圆周上的点A处出发，沿圆柱侧面爬行一周到点B处．则蚂蚁爬行的最短路径长度为______cm． 【答案】 【分析】 将圆柱侧面展开为矩形，蚂蚁爬行的最短路径即为矩形的对角线长度，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：圆柱形饮料罐底面周长为，高为， 将圆柱侧面展开得到一个矩形，该矩形的长为，宽为， 由勾股定理得，蚂蚁爬行的最短路径长度为． 27．综合与实践 【项目主题】 几何模型在最短路径问题中的应用 【项目准备】 求代数式的最小值，可看作直角边分别是x和3的直角三角形的斜边，是直角边分别是和2的直角三角形的斜边．因此，构造两个直角三角形，使它们的一个顶点重合、各有一条直角边在同一直线上（如图1所示），这时，，．原问题就变成“点E在线段的何处时，的值最小？” 解决方法：如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为_____①_____，将延长至点F，使得_____②_____（填线段），连接，则，，易求得_____③_____，即的最小值为的长． (1)请将上述材料中横线上所缺内容补充完整： ①__________；②__________；③__________． 【项目应用】 (2)如图3，一条河的两岸平行，河宽5km，A村庄到河岸的垂直距离为2km，B村庄到河岸的垂直距离为3km，且A，B之间的水平距离为12km．现计划在河上建一座垂直于河岸的桥，使得从A到B的路程最短，求出这个最短路程的长． 【答案】(1)①两点之间，线段最短；②；③13 (2) 【分析】本题考查轴对称的性质，勾股定理，能够掌握最短路径的解题思路是解题的关键． （1）根据题意填空即可； （2）连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，当点A，P，共线时，有最小值，最小值为，据此利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）如图2，连接，交于点，此时当点E与点重合时，的值最小，依据为①两点之间，线段最短，将延长至点F，使得②，连接，则，，易求得③，即的最小值为的长． （2）解：如图，连接，将沿的方向平移，使点Q平移至点P的位置，点B的对应点为，连接，则，， 当点A，P，共线时，有最小值，最小值为， 过点A作交其延长线于点E， 到的垂直距离为，，， ， ， 从A到B的最短路程是． 题型十 勾股定理逆定理的实际应用 28．我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里记载有这样一题：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜七里，中斜二十四里，大斜二十五里，欲知为田几何？”其大意是：有一块三角形沙田，三条边分别为7里，24里，25里，问这块沙田的面积为（   ） A．30平方里 B．32.5平方里 C．84平方里 D．65平方里 【答案】C 【分析】根据勾股定理的逆定理可证明该沙田是直角三角形，再根据三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：已知三角形沙田的三条边分别为7里，24里，25里， ，， ， 故该三角形沙田是直角三角形，且两条直角边的长分别为7里，24里 则沙田的面积为 （平方里）． 29．如图，学校A前面有一条笔直的公路，学生放学后走两条路可到达公路．经测量，，，现需新修建一条从学校到公路的路，则学校到公路的最短距离为_____． 【答案】 【分析】由勾股定理逆定理得出，再根据计算即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 30．如图所示，某小区的两个喷泉，之间的距离为，现要为喷泉铺设供水管道，，供水点在小路上，供水点到的距离的长为，的长为． (1)求供水点到喷泉需要铺设的管道的长； (2)试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】(1)供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； (2)解：， 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【分析】（1）在中利用勾股定理求出的长，则可得到的长，再在中利用勾股定理求出的长即可得到答案； （2）根据（1）所求可证明，则，即． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵的长为，的长为， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：供水点M到喷泉A需要铺设的管道的长为； （2）略 1 学科网（北京）股份有限公司 $