2.2 一元二次方程的解法—公式法 同步练习 2026-2027学年苏科版数学九年级上册

**基本信息** 分层梯度清晰，从公式直接应用到综合问题解决，全面巩固公式法及根的判别式，培养运算能力与推理意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|求根公式、判别式概念|选择填空直接考查公式条件与简单计算，如填空7直接默写求根公式| |提升|参数取值、根的情况判断|含参数方程根的判别（如选择3）、根的情况分析（如解答14），发展推理意识| |综合|综合应用与证明|方程根的证明（如解答17）、几何背景应用（如解答18），体现数学思维与应用意识|

答案和解析 1.【答案】D 2.【答案】A 解：解-元二次方程的公式为x=-btb-4ac,X=二4±V4-4×2×1, 2a 2×2 所以a=2,b=4,c=1. 所以方程为2x2+4x+1=0 故选：A 3.【答案】A 解：.方程x2-3X+k=0有两个不相等的实数根， .△=-32-4×1×k=9-4k>0 ∴.9>4k, 即k<9=2.25, 4 .选项A中的值2<2.25，而选项B、C、D中的值均大于2.25， .k的值可能是2 故选：A. 4.【答案】D 解：，一元二次方程x2-2x+c=0有两个相等的实数根， ∴.4=-2-4c=01 解得：c=1, 故选：D 5.【答案】C 【解析】.x*a=3,∴.x2-2x-3a=3,方程化为一般式为x2-2x-3a-3=0. ‘方程有两个不相等的实数根， 第1页，共1页 .△=(-2)2-4×(-3a-3)>0 解得a>-4 故选C. 6.【答案】A 解：.b+C=5, .c=5-b △=b2-4×3×(-c)=b2+12c=b2-12b+60=(b-62+24 .(b-6)2≥0 ∴.(b-62+24>0 ∴.△>0 :.关于x的一元二次方程3X+bx-C=0有两个不相等的实数根. 故选：A. 7.【答案】b2-4ac -b±Vb2-4ac 2a 8.【答案】60 9.【答案】方程有两个相等的实数根 10.【答案】1（答案不唯一） 第2页，共1页 【解析】解：一元二次方程可化为：x2-m=0 由条件可知4=02-4×1×-m>0' ..m>0, .当m取1时，方程有两个不相等的实数根. 故答案为：1（答案不唯一）. 11.【答案】m>0且m≠1 解：根据题意得：4=b-4ac=4+4m-1)=4m>0:且m-1≠0 解得：m>0且m≠1. 故答案为m>0且m≠1. 12.【答案】1 【解析】解：，'一元二次方程x+ax+a=0有两个相等的实数根， ∴.4=a2-4a=0 代入得a2*14a=a2-4a+1=1 13.【答案】解： (1)x2+x-6=0 a=1'b=1'c=-6 b2-4ac=12-4×1×(-6)=25>0 ∴.x=-1±V25=-1±5 2 2 故X1=2,X2=-3 2×-3x-子-0 第3页，共1页 a=1,b=-V3.c=-子b-4c=-y3-4×1×(-=4>0, x=3±4=V3t2 22 故x=3+2,X=V3-2 2，X2 2 (3)3x2-6x+2=0 a=3’b=-6’c=2'b2-4ac=(-6)2-4×3×2=12>0' x=6±12_3±3 6 3 故3+ 3,书=35 3 (4)4x2-6x=0 a=4'b=-6c=0' b2-4ac=(-6)2-4×4×0=36>0' “x=6±366±6 88 3 故x1=2七=0 14.【答案】【小题1】 解：：4=2-4×3×-4=52>0' ·原方程有两个不相等的实数根 【小题2】 第4页，共1页 解：整理，得2y2-2V2y+1=0. :4=-2V2}-4×2×1=0':原方程有两个相等的实数根. 【小题3】 解：整理，得2x+x+2=0 .△=1-4×2×2=-15<0，.原方程没有实数根. 【小题4】 解：△=-k2-4k-1 =k2-4k+4=k-2?≥0'：.原方程有两个实数根. 15.【答案】【小题1】 解：.a=m-1,b=-（2m+1),c=m, ∴.△=[-(2m+1)]2-4m-1)m=8m+1 ,该一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴.△=8m+1>0,且m-1≠0. 解得m>- m1 【小题2】 ,该一元二次方程有两个相等的实数根， .△=8m+1=0,且m-1≠0. 解得m=- 8 【小题3】 ‘该一元二次方程无实数根， ..△=8m+1<0,且m-1≠0. 解得m<- 81 第5页，共1页 16.【答案】解：(1).关于x的方程2x2-5x+k=0的一个根是1， :X=1满足方程2X2-5X+k=0 2-5+k=0'即k=3 (2)由(1)知，k=3 :由原方程，得2X-5x+3=0 x=5±v25-24_5±1 4 4 .3 .x=2,为=1 17.【答案】(1)证明：，m≠0， :.方程为一元二次方程， .△=(2m-12-4m(m-1)）=1>0' :此方程总有两个不相等的实数根； (2小：x=-(2m-1±1 2m x=-1,X=1-1, m :方程的两个实数根都是整数，且m是整数， m=1或m=-1 第6页，共1页 18.【答案】【小题1】 △ABC是直角三角形.理由如下： :方程a+cX+2bx+a-c=0有两个相等的实数根，.2b2-4a+cla-c=0' .4b2-4a+4c2=0,.a2=b2+c2,△ABC是直角三角形. 【小题2】 :△ABC是等边三角形，.a=b=c'a+cX+2bx+la-c=0可整理为2aX+2ax=0' ∴x2+x=0,.X1=0,X2=-1. 第7页，共1页2.2一元二次方程的解法一公式法同步练习 一、选择题： 1.下列方程中，有两个不相等的实数根的是() A.x2+1=0 B.x2-2x+1=0C.x2+x+1=0D.x2+x-1=0 2.x=4生V44×2x1是下列哪个一元二次方程的根(） 2×2 A.2x2+4x+1=0 B.2x2-4x+1=0C.2x2-4x-1=0D.2x2+4x-1=0 3.己知关于x的方程x2-3x+k=0有两个不相等的实数根，则k的值可能是() A.2 B.3 C.4 D.5 4.若一元二次方程x2-2x+c=0有两个相等的实数根，则c的值为() A.-1 B.0 C D.1 5.定义新运算：m*n=m2-2m-3n,例如：3*4=32-2×3-3×4=-9，若关于x的一元二次方程x* a=3有两个不相等的实数根，则a的取值范围是() Aa>青 B.a≥青 c.a>-青 D.a2青 6.当b+c=5时，关于x的一元二次方程3x2+bx-c=0的根的情况为() A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.没有实数根 D.无法确定 二、填空题： 7.求根公式：对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当≥0时，它的根是x= 8.用公式法解方程x2-4x-11=0时，4=■ 9.关于x的一元二次方程x2-4mx+4m2=0的根的情况是 10.已知关于x的一元二次方程x2=m有两个不相等的实数根.请你写出一个符合条件的m的值 11.关于x的一元二次方程(m-1)x2+2x一1=0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 12.若关于x的一元二次方程x2+ax+a=0有两个相等的实数根，其中a为实数，则 a2+1-4a= 三、解答题： 13.用公式法解方程： (1)x2+x-6=0: 第1页，共3页 (2)x2-V3x-4=0: (3)3x2-6x+2=0: (44x2-6x=0. 14.利用根的判别式判断下列方程的根的情况： (1)3x2+2x-4=0: (2)-2W2y+1=-2y2: (3)2(x+1)2-3x=0: (4x2-kx+k-1=0(k为常数). 15.已知关于x的一元二次方程(m-1)x2-(2m+1)x+m=0,分别求出满足下列条件时m的取值. (1)方程有两个不相等的实数根： (2)方程有两个相等的实数根； (3)方程无实数根， 16.已知关于x的方程2x2-5x+k=0的一个根是1. (1)求k的值， (2)解这个方程. 17.己知关于x的方程mx2+(2m-1)x+m-1=0(m≠0). (1)求证：方程总有两个不相等的实数根： (2)若方程的两个实数根都是整数，求整数m的值， 第2页，共3页 18.已知关于x的一元二次方程(a+c)x2+2bx+(a-c)=0,其中a,b,c分别为aABC三边的长. (①)如果方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状，并说明理由： (2)如果·ABC是等边三角形，试求这个一元二次方程的根， 第3页，共3页 2.2 一元二次方程的解法—公式法 同步练习 一、选择题： 1.下列方程中，有两个不相等的实数根的是(    ) A. B. C. D. 2.是下列哪个一元二次方程的根(    ) A. B. C. D. 3.已知关于的方程有两个不相等的实数根，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 4.若一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为(    ) A. B. C. D. 5.定义新运算：，例如：，若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是(    ) A. B. C. D. 6.当时，关于的一元二次方程的根的情况为(    ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 二、填空题： 7.求根公式：对于一元二次方程，当          时，它的根是          ． 8.用公式法解方程时，          ． 9.关于的一元二次方程的根的情况是          ． 10.已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．请你写出一个符合条件的的值          ． 11.关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是          ． 12.若关于的一元二次方程有两个相等的实数根，其中为实数，则__________． 三、解答题： 13.用公式法解方程： ； ； ； ． 14.利用根的判别式判断下列方程的根的情况： ； ； ； 为常数． 15.已知关于的一元二次方程，分别求出满足下列条件时的取值． 方程有两个不相等的实数根 方程有两个相等的实数根 方程无实数根． 16.已知关于的方程的一个根是． 求的值． 解这个方程． 17.已知关于的方程． 求证：方程总有两个不相等的实数根； 若方程的两个实数根都是整数，求整数的值． 18.已知关于 的一元二次方程 ，其中 ， ， 分别为 三边的长． 如果方程有两个相等的实数根，试判断 的形状，并说明理由； 如果 是等边三角形，试求这个一元二次方程的根． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $