精品解析：河南南阳市内乡县2026年春季期八年级期终综合素质测评数学试题

2026年春期八年级期终综合素质测评 数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 2. 我国载人航天工程空间站在轨建造任务稳步推进，神舟十三号乘组计划将于月返回，载人飞船采用的多层隔热材料是一种厚度为米的镀铝聚酯薄膜，以增强隔热效果．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，四边形的对角线互相平分，添加的条件（ ）使它变为矩形． A. B. C. D. 4. 学校举办了“最美少年”主题演讲比赛，规定选手的综合成绩满分为100分，其中演讲内容占，语言表达占，形象风度占．小林的三项成绩（百分制）依次是70，80，80，则他的综合成绩是（ ） A. 76分 B. 75分 C. 74分 D. 72分 5. 已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 7. 已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 8. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B．函数的图象与线段交于点C，且．若的面积为18，则k的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 10. 如图，在中，，点为斜边上一动点，过点作于，于，连接．若，，则的长不可能等于（ ） A. 5 B. C. D. 6 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 给出下列分式：①、②、③、④，其中最简分式是 ___（填序号）． 12. 已知，是一次函数图像上的两个点，则_____．（填“>”、“<”或“=”） 13. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 14. 如图，线段的长为2，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点C，再分别以C、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形的面积为_____． 15. 如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号） 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中a从，0，2中选取恰当的数． 17. 【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① 9 9.5 10 8 8 9 ② 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 18. 证明对角线相等的平行四边形是矩形． 19. 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点在轴上，连接，，若，求点的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 21. 如图，在中，点E、F分别在边上，与相交于点O． （1）求证：； （2）如果．求证：四边形是一个菱形． 22. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y=（k>0，x>0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k>0，x>0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离． 23. 阅读与思考 下面是小颖同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 三角形的“亲密菱形” 【概念理解】 若菱形的一个顶点与三角形的一个顶点重合，其余三个顶点均在三角形的三条边上，则称这个菱形为三角形的“亲密菱形”．如图1，菱形是的“亲密菱形” 【问题解决】 如图2，在中，，点为上一点，连接，，，平分，与边交于点，过点作交于点，连接． 求证：四边形是的“亲密菱形” 证明：，， ． 平分， ． ． （依据）． ，， ． ．…… 任务： （1）笔记中的“依据”是______． （2）请将【问题解决】中的证明过程补充完整． （3）尺规作图：如图3，是任意三角形，请作出的“亲密菱形”，点分别在上（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年春期八年级期终综合素质测评 数学试题 一、选择题（每题3分，共30分） 1. 分式有意义，则x满足的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据分式有意义时分母不为0，列出不等式求解即可得到结果． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， 解得． 2. 我国载人航天工程空间站在轨建造任务稳步推进，神舟十三号乘组计划将于月返回，载人飞船采用的多层隔热材料是一种厚度为米的镀铝聚酯薄膜，以增强隔热效果．数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查用科学记数法表示绝对值小于的数，绝对值小于的非零数可以记作的形式，其中，是正整数，且等于将原数变为时小数点移动的位数． 【详解】解：． 3. 如图，四边形的对角线互相平分，添加的条件（ ）使它变为矩形． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：四边形的对角线互相平分，则这是一个平行四边形，对角线相等的平行四边形是矩形，故选D． 4. 学校举办了“最美少年”主题演讲比赛，规定选手的综合成绩满分为100分，其中演讲内容占，语言表达占，形象风度占．小林的三项成绩（百分制）依次是70，80，80，则他的综合成绩是（ ） A. 76分 B. 75分 C. 74分 D. 72分 【答案】A 【解析】 【分析】用对应项的得分乘以其权重求出对应项的加权成绩，最后求和即可得到答案． 【详解】解：分． 5. 已知正方形在平面直角坐标系中的位置如图所示，点，则点A的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查了点的坐标，正方形的性质，熟练掌握点的坐标，正方形的性质是解决问题的关键. 连接交于点，根据正方形，，，，由此即可得出点的坐标. 【详解】解：连接交于点，如图所示: 四边形是正方形， ，，，， 点， ， ， ，， 点的坐标为． 故选: B． 6. 如图，的对角线，相交于点，的平分线与边相交于点，是中点，若，，则的长为（　　） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质、平行线的性质、角平分线的定义以及等腰三角形的判定可得，进而可得，再根据三角形的中位线解答即可. 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵是中点， ∴； 故选：A. 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、平行线的性质、等腰三角形的判定以及三角形的中位线定理等知识，熟练掌握相关图形的判定与性质是解题的关键. 7. 已知点在第二象限，则一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查判断一次函数经过的象限，根据第二象限内点的符号特征，得到，进一步得到，即可得出结果． 【详解】解：∵点在第二象限， ∴， ∴， ∴一次函数经过第二，三，四象限， 故选：B． 8. 关于 x 的分式方程的解为正数，则a 的取值范围是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】B 【解析】 【分析】先解分式方程得到x关于a的表达式，再根据“解为正数”和“分式分母不为零”两个条件列不等式，求解得到a的取值范围． 【详解】解： 方程两边同乘得：， 移项、合并同类项得：， 方程的解为正数，且分式分母不能为0， ，即， ， 解得：且． 9. 如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，轴于点B．函数的图象与线段交于点C，且．若的面积为18，则k的值为（ ） A. 4 B. 6 C. 8 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】设点的坐标为，先求出点的坐标，再代入计算即可． 【详解】解：∵点在第一象限，轴于点， ∴可设点的坐标为，则， ∵的面积为18， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵轴， ∴， 将点代入函数得：． 10. 如图，在中，，点为斜边上一动点，过点作于，于，连接．若，，则的长不可能等于（ ） A. 5 B. C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】证明四边形为矩形，进而得到，根据垂线段最短，得到时最短，勾股定理求出的长，等积法求出的最小值，进行判断即可． 【详解】解：连接， ∵，，， ∴四边形为矩形， ∴， ∵点P为斜边上一动点， ∴当时最短， 由勾股定理，得：， 当时，则：，即：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的长不可能为． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 给出下列分式：①、②、③、④，其中最简分式是 ___（填序号）． 【答案】②④ 【解析】 【分析】直接利用分式的性质分别化简，再结合最简分式的定义得出答案． 【详解】解：∵， ， ∴最简分式是，； 故答案为：②④． 【点睛】本题主要考查了分式的化简，平方差公式，熟悉掌握分式的性质是解题的关键． 12. 已知，是一次函数图像上的两个点，则_____．（填“>”、“<”或“=”） 【答案】> 【解析】 【分析】根据一次函数的增减性结合横坐标的大小比较纵坐标的大小． 【详解】解：一次函数为，可得，因此随的增大而减小， 已知，，横坐标满足，因此可得． 13. 如图，直线与 交点的横坐标为1，则关于、 的二元一次方程组的解为_____________． 【答案】 【解析】 【详解】解：直线与交点的横坐标为1， 纵坐标为， 两直线交点坐标， 关于，的方程组的解为． 14. 如图，线段的长为2，分别以A、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点C，再分别以C、B为圆心，长为半径画弧，两弧相交于点D，则四边形的面积为_____． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意，则都是以２为边长的等边三角形，作，可求，则题目可解． 【详解】解：由题意， ∴都是以２为边长的等边三角形， 作， 则， ， ∴， 则 ∴四边形的面积． 15. 如图，在正方形和正方形中，点在上，，，是的中点，那么的长为_____．（保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】连接、，如图，根据正方形的性质得，，，，则，再利用勾股定理计算出，然后根据直角三角形斜边上的中线求的长． 【详解】解：连接、，如图， 四边形和四边形都是正方形，，， ，，，， ， 在中，， 是的中点， ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简求值 （1）计算： （2）先化简，再求值：，其中a从，0，2中选取恰当的数． 【答案】（1）0 （2），当时，原式，当时，原式 【解析】 【分析】（1）先计算乘方，零次幂，负指数幂，再进行加减计算； （2）先进行分式的混合运算，再代入使分式有意义的数求值即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： 原式 ， ∴当时，原式； 当时，原式． 17. 【数据收集】某市射击队为了从，两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，现组织两人在相同的条件下进行八轮射击比赛，每轮每人射靶一次，并对，两名选手每轮的射击成绩进行了数据收集． 【数据整理】如图1，将，两名选手八轮射击成绩绘制成如下统计图． 【数据分析】 （1）小明利用平均数、方差进行分析．通过计算平均数，环，________环，可以看出，________（填或）的平均成绩略高；通过计算方差，，，可以看出，________（填或）的射击水平发挥更稳定； 选手 最小值、四分位数和最大值 最小值 最大值 6 ① 9 9.5 10 8 8 9 ② 10 （2）小颖利用四分位数、箱线图（如图2）进行分析．①处应填________环，②处应填________环；基于四分位数或箱线图，可以发现选手的整体成绩较高，选手________（填或）的射击成绩波动大； 【作出决策】 （3）请你根据八轮射击成绩，从、两名选手中选拔一人参加青少年射击比赛，并说明理由． 【答案】（1）9；B；B； （2）7.5；10；A； （3）选择B选手参加青少年射击比赛，理由如下： 因为A，B两名选手的中位数相等，但B选手的方差更小，则成绩更加稳定，且平均数更高，能力更强．（言之有理即可）． 【解析】 【分析】（1）根据平均数计算公式求解，再根据方差的意义判断稳定性； （2）先把选手的数据从小到大排列，再根据上四分位数、下四分位数的定义求解即可； （3）根据中位数、平均数和方差进行决策即可． 【详解】解：（1）， ∵， ∴B的成绩略高； ∵，， ∴， ∴B的射击水平发挥更稳定； （2）选手的数据从小到大排列为6，7，8，9，9，9，10，10， 则下四分位数为，即； 选手的数据从小到大排列为8，8，8，9，9，10，10，10， 则上四分位数为， 由图2知：选手A的射击成绩波动大； （3）略 18. 证明对角线相等的平行四边形是矩形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由全等三角形的判定定理SSS证得△ABC≌△DCB，则∠ABC=∠DCB=90°，所以“有一内角为直角的平行四边形是矩形”． 【详解】已知：四边形ABCD是平行四边形，AC、BD是两条对角线，且AC＝BD． 求证：平行四边形ABCD是矩形． 证明：如图， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝DC，AB∥DC． 在△ABC与△DCB中， ， ∴△ABC≌△DCB（SSS）． ∴∠ABC＝∠DCB． 又∵∠ABC+∠DCB＝180°， ∴∠ABC＝∠DCB＝90°， ∴平行四边形ABCD是矩形． 【点睛】本题考查了矩形的判定．此题通过全等三角形的性质得到同旁内角互补，结合平行线的性质证得平行四边形的两个内角为直角． 19. 某景区需要购买A，B两种型号的帐篷．已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元． （1）求A，B两种帐篷的单价各多少元？ （2）若该景区需要购买A，B两种型号的帐篷共20顶（两种型号的帐篷均需购买），且购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的，则购买A，B两种型号的帐篷各多少顶时，总费用最低？最低总费用是多少元？ 【答案】（1）A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元 （2）当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，一次函数的实际应用，正确理解题意列出方程，不等式和函数关系式是解题的关键． （1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元，根据用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等建立方程求解即可； （2）设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元，根据购买B种型号帐篷的数量不少于A种型号帐篷数量的列出不等式求出m的取值范围，再列出W关于m的一次函数关系式，利用一次函数的性质求解即可． 【小问1详解】 解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为元． 由题意得：， 解得： 经检验：符合题意， ， 答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元． 【小问2详解】 解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷顶，总费用为W元． 由题意得：， 解得：． 又两种型号的帐篷均需购买， ． ， ， 随m的增大而减小 当时，W取最小值，， 此时， 答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于，两点，直线与轴交于点，其中点的坐标为，点的坐标为． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点在轴上，连接，，若，求点的坐标； （3）根据图象，直接写出满足的x的取值范围． 【答案】（1）反比例函数表达式为一次函数的表达式为 （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入反比例函数求出，再求出的坐标，将、代入即可求解； （2）由得，即可求解； （3）由在上方的图象对应的函数值较大进行判断，即可求解． 【小问1详解】 解：将代入反比例函数得： ， 解得， ， 将点的坐标代入反比例函数关系式得∶ ， 解得：， ， 将、代入得， ， 解得， 一次函数的表达式为； 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， 解得：， 对于一次函数，当时， ， 解得：， ， ， ， 解得：或1， 的坐标为或； 【小问3详解】 解：由图象得或． 21. 如图，在中，点E、F分别在边上，与相交于点O． （1）求证：； （2）如果．求证：四边形是一个菱形． 【答案】（1）证明：∵平行四边形， ∴，， 且， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴． （2）证明：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由（1）知，四边形是平行四边形， ∴平行四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）首先利用平行四边形的性质得到、，结合已知，证明，得到，进而推出且，判定四边形是平行四边形，根据平行四边形对角线互相平分得到． （2）首先由得到是直角三角形，结合角的互余关系证明，得到，结合（1）中已得的四边形是平行四边形，根据“一组邻边相等的平行四边形是菱形”完成证明． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 略． 22. 如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点C与原点O重合，点B在y轴的正半轴上，点A在函数y=（k>0，x>0）的图象上，点D的坐标为（4，3）． （1）求k的值； （2）若将菱形ABCD沿x轴正方向平移，当菱形的顶点D落在函数y=（k>0，x>0）的图象上时，求菱形ABCD沿x轴正方向平移的距离． 【答案】（1）k＝32； （2）菱形ABCD平移的距离为． 【解析】 【分析】（1）由题意可得OD＝5，从而可得点A的坐标，从而可得ｋ的值； （2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D’点处，由题意可知D’的纵坐标为3，从而可得横坐标，从而可知平移的距离． 【详解】（1）过点D作x轴的垂线，垂足为F， ∵ 点D的坐标为（4，3）， ∴ OF＝4，DF＝3，∴ OD＝5， ∴ AD＝5，∴ 点A坐标为（4，8）， ∴ k＝xy=4×8=32，∴ k＝32； （2）将菱形ABCD沿x轴正方向平移，使得点D落在函数（x＞0）的图象D’点处，过点D’做x轴的垂线，垂足为F’． ∵DF＝3，∴D’F’=3，∴点D’的纵坐标为3，∵点D’在的图象上，∴ 3 ＝，解得＝， 即∴菱形ABCD平移的距离为． 考点：1．勾股定理；2．反比例函数；3．菱形的性质；4．平移． 23. 阅读与思考 下面是小颖同学的一篇数学笔记，请仔细阅读并完成相应的任务． 三角形的“亲密菱形” 【概念理解】 若菱形的一个顶点与三角形的一个顶点重合，其余三个顶点均在三角形的三条边上，则称这个菱形为三角形的“亲密菱形”．如图1，菱形是的“亲密菱形” 【问题解决】 如图2，在中，，点为上一点，连接，，，平分，与边交于点，过点作交于点，连接． 求证：四边形是的“亲密菱形” 证明：，， ． 平分， ． ． （依据）． ，， ． ．…… 任务： （1）笔记中的“依据”是______． （2）请将【问题解决】中的证明过程补充完整． （3）尺规作图：如图3，是任意三角形，请作出的“亲密菱形”，点分别在上（要求：不写作法，保留作图痕迹，标明字母）． 【答案】（1）等角对等边 （2） 证明：设与相交于点， ， ． ，， ， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形， ， ∴平行四边形是菱形， 即四边形是的“亲密菱形”． （3） 解：如图，作的角平分线，交于，作的垂直平分线，交于，交于，连接、，四边形即为所求． ∵是的垂直平分线， ∴，， ∵，， ∴，即， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， 即四边形是的“亲密菱形”． 【解析】 【分析】（1）根据等角对等边解答即可； （2）根据直角三角形两锐角互余得出，根据等角对等边得出，根据得出四边形是平行四边形，根据得出四边形是菱形，即可得结论； （3）作的角平分线，交于，作的垂直平分线，交于，连接、，四边形即为所求． 【小问1详解】 解：笔记中的“依据”是等角对等边； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $