精品解析：江苏省南京市燕子矶初级中学2025-2026学年第二学期期初九年级数学调研卷

2025～2026学年第二学期期初调研试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据因式分解法求解即可． 【详解】解：∵原方程为， ∴可得或， 解得． 【点睛】多个因式乘积为0，则至少一个因式为0． 2. 在中，， ，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形，勾股定理， 在直角中，根据勾股定理可以求出的长，再根据三角函数的定义就可以求出函数值． 【详解】解：∵在中，， ，， ∴， ∴． 故选：B． 3. 某校七年级有 名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这 名同学成绩的（　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 极差 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了中位数的应用，寻找出题意所述的隐含条件，即找中位数是关键．根据小梅需要在前才能晋级，知道 个人的成绩的中位数后即可确定自己是否可以晋级． 【详解】共有13名学生参加竞赛，取前6名， 所以小梅需要知道自己的成绩是否进入前六、我们把所有同学的成绩按大小顺序排列，第7名学生的成绩是这组数据的中位数， 所以小梅知道这组数据的中位数，才能知道自己是否进入决赛． 故选：A． 4. 如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例解答即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴，即， 解得： ． 5. 如图，四边形内接于，是直径，是弧的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的性质可得，再由是直径，可得到，再由是弧的中点，可得，即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于， ∴ ， ∵， ∴， ∵是直径， ∴ ， ∴， ∵是弧的中点， ∴， ∴， ∴． 6. 若二次函数的图象经过四个象限，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质及一元二次方程根与系数的关系，将“图象经过四个象限”转化为“方程有两个异号实根”是解题的关键． 二次函数图象经过四个象限，则必须与轴有两个交点且分别位于原点两侧，即方程有两异号实根，故根的积，从而得． 【详解】解：∵二次函数图象经过四个象限， ∴方程有两个实根、，且两根异号，即， ∵， ∴， ∴． 故选：C． 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． 利用比例的性质，进行计算即可解答． 【详解】解：， ， 故答案为：． 8. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，则摸到黄球的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先算出总的球的个数，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：总的球数为：3+2=5个， ∴从中随机摸出一个球，恰好是黄球的概率为：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了概率公式：随机事件A的概率P（A）=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数． 9. 设是关于的方程的两个根，则___________． 【答案】1 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的两个根， ∴， ∴． 10. 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为，则该圆锥的侧面积为______.（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查求圆锥的侧面积. 根据圆锥的侧面积公式进行计算即可． 【详解】解：由题意得：这个圆锥的侧面积是； 故答案为：． 11. 如图，AE是正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则∠BAE=_____°． 【答案】67.5 【解析】 【详解】试题分析：∵图中是正八边形， ∴各内角度数和=（8﹣2）×180°=1080°， ∴∠HAB=1080°÷8=135°， ∴∠BAE=135°÷2=67.5°． 故答案为67.5． 考点：多边形的内角 12. 下列关于二次函数的图像的结论：①对称轴为直线；②最高点的坐标为；③与轴有两个公共点；④与轴的交点坐标为．其中所有正确结论的序号是___________ 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，根据二次函数顶点解析式的性质，分析对称轴和最值，分别令、判断结论③④即可． 【详解】解：由于二次函数的图象开口向下， 则对称轴为，顶点坐标为，即最高点的坐标为， 故①②正确； 令得： 整理得： 判别式 则该二次函数与轴有两个公共点， 故③正确； 令得：， 则该二次函数与轴的交点坐标为， 故④错误； 综上所述，所有正确结论的序号是①②③． 13. 已知二次函数（a、b、c是常数，且），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … 当时，x的取值范围是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，解题关键是根据表格得出抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标．根据表格中的数据可知抛物线的开口方向，对称轴及顶点坐标，结合表格及抛物线特征可得当时，自变量的取值范围． 【详解】解：由表格知：抛物线开口向上，顶点坐标为， 故当时与时函数值相同， ∴，当时，即当时， 由表格得． 故答案为：． 14. 如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则______． 【答案】##40度 【解析】 【分析】本题考查三角形内切圆、切线长定理，根据内切圆的定义和切线长定理，可以计算出的度数和的度数，然后即可计算出的度数． 【详解】解：连接交 于点G， ， ， ∵点O为的内切圆的圆心， ， ， ， 垂直平分， ， ， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，是边上的点，以为直径的与相切．若，则的长为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】令切点，连接 、相交于点，由切线的性质得，由正方形的性质得，从而得，，，于是，，在中利用勾股定理即可得解． 【详解】解：令切点，连接 、相交于点， ∵与相切， ∴ ， ∴， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 即N、M分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， 即， 解得 ． 16. 如图，在中，，．平分 ，为延长线上一点，且，那么的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作 交的延长线于点，延长交于点，根据题意设，则，证明，得到，根据勾股定理，得到，根据解直角三角形得到，证明，得到，即可得出答案． 【详解】解：过点作 交的延长线于点，延长交于点，如图： 在中，， ∴， 设，则， ∵，平分 ， ∴ ， ∴，即 ， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴ ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵ ， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 计算与解方程： （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或， 解得：， 【小问2详解】 解： ． 18. 如图为、两家酒店今年上半年（ 月份）的月营业额折线统计图． （1）将表格补充完整． 酒店 平均数（百万元） 中位数（百万元） 方差（百万元） A ①_______ ③_______ B ②_______ （2）根据上述信息，你认为A、B两家酒店哪家经营状况较好？请简述理由． 【答案】（1）① ；② ；③ （2） 酒店的经营情况较好，理由： 因为酒店的 月月营业额的平均数和中位数都大于酒店，说明的平均营业额更多，同时酒店的 月月营业额逐月上升，说明酒店的营业额处于增长状态． 综上所述，酒店的经营情况较好． （另解：酒店的经营情况较好．因为酒店的 月月营业额的平均数与酒店相差不大且方差小于酒店，说明酒店的营业额情况稳定，因此酒店的经营情况较好．） 【解析】 【分析】本题考查求平均数，求中位数，平均数、中位数和方差的性质．读懂题意，看懂折线统计图，从图中得到必要的信息和数据是解题关键． （1）根据求平均数和方差的公式、根据中位数的定义即可求解； （2）由平均数，中位数和方差的性质结合图象解答即可． 【小问1详解】 解：酒店营业额的平均数 ． 酒店营业额的方差 ， 将酒店的营业额按从小到大排列为： ， 故酒店营业额的中位数 ， 故答案为：① ；② ；③ ； 【小问2详解】 略 19. 某校计划在暑假第二周的星期一条星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动． （1）甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是_______； （2）乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少?（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）甲同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）；其中有一天是星期二的结果有2个，由概率公式即可得出结果； （2）由树状图得出共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个，由概率公式即可得出结果． 【小问1详解】 解：同学随机选择连续的两天，共有3个等可能的结果，即（星期一，星期二），（星期二，星期三），（星期三，星期四）； 其中有一天是星期二的结果有2个，即（星期一，星期二），（星期二，星期三）， ∴甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是：， 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图如图所示：共有12个等可能的结果，其中有一天是星期二的结果有6个， ∴甲同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率为：． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式求出事件A或B的概率． 20. 如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． （1）如图①，点在外． （2）如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 【答案】（1）作图见解析 （2）作图见解析 【解析】 【分析】（1）过点作直线，则直线为的切线； （2）连接，作的垂直平分线得到的中点，再以为圆心，为半径作圆交于、两点，则直线、为的切线； 【小问1详解】 如图，直线为所作． 【小问2详解】 如图，、为所作． 21. 如图，在中， ，， ． （1）求的长； （2）直接写出的值是___________． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）作 于点，求得，，再利用勾股定理求解即可； （2）构造，其中 ，延长到，使 ，连接，根据构造的直角三角形，设，用表示出，即可求出的值． 【小问1详解】 解：作 于点， ∵ ， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵ ， ∴， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：构造，其中， ，延长到，使 ，连接， 则， ， 设则，， ， ， ． 22. 如图，在□ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE． （1）求证：△ADE∽△DEC； （2）若AD＝6，DE＝4，求BE的长． 【答案】（1）证明见解析； （2）． 【解析】 【分析】（1）根据 ，可以证得，然后根据即可证得； （2）根据相似三角形对应边的比相等，即可求得的长，则即可求解． 【详解】（1）证明：中 ， ， 又， ； （2）解：， ， ， ． 又， ． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，解题的关键是掌握证明两个三角形相似最常用的方法是证明两组角对应相等． 23. 已知二次函数（a为常数，）． （1）求证：该函数的图象与轴总有公共点； （2）该函数的图象经过的定点的坐标是___________、___________ 【答案】（1）见解析 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用根的判别式大于或等于0即可证明； （2）把函数化为，令即可求解． 【小问1详解】 证明：二次函数， ， 该函数的图象与轴总有公共点； 【小问2详解】 解： ． 令，则或． 当时，． 当时， ． 不论a为何值，该函数的图象经过的定点坐标是，． 24. 如图是燃烧的蜡烛经凸透镜在屏幕上成像的光路示意图，．点在同一直线上，点在同一直线上，且都与垂直，交于点．若，求像的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定与性质求出，证明，，得出，，联立解方程组即可． 【详解】解：∵都与垂直， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，， ∴，， 即，， 解得 ，（经检验，符合题意）， 答：像的长为． 25. 如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径， 与相交于点，． （1）求证：； （2）若， ，求的半径和的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）的半径为3， 【解析】 【分析】（1）如图，连接，证明 ，，即，可得 ，进一步证明 ，可得； （2）求解 ，设的半径为，结合，可得，可得：，，求解，证明，可得，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵以为半径的⊙与相切于点， ∴ ， ∵， ∴，即， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴ ， ∴； 【小问2详解】 解：∵ ，， ∴ ， 设的半径为， ∴，，而 ，， ∴， 解得：，即的半径为3， ∴， ，， ∵ ，则， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 26. 如图1，为了丰富学生的课余生活，某校九年级组织开展跳长绳活动．如图2，假设两名摇绳的学生握绳的手A，B之间的水平距离为，当手A，B与地面的距离均为 时，绳子的最高点C与地面的距离为 ，此时绳子的形状可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，设该抛物线表示的二次函数为．当摇绳两端握绳的手同时向上平移时，绳子整体也相应向上平移且形状不变． （1）求该抛物线表示的二次函数； （2）如果参加跳长绳活动的学生身高均为，且相邻学生站位间隔均为，除摇绳的学生外，求最多有多少名学生能同时参加跳长绳活动； （3）由于还有1名学生没能同时参加跳长绳活动，在（2）的情况下，若加入这名学生，在不改变摇绳的学生手A，B之间的水平距离和绳长的情况下，只需将手A，B同时向上平移，直接写出h的最小值（精确到0.01）． 【答案】（1） （2）最多有9名学生能同时参加跳长绳活动 （3）0.05 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质是解此题的关键． （1）由题意并结合图象可得二次函数的顶点坐标为，二次函数的解析式为，将代入可得，计算即可得出结果； （2）在中，当时，，求得或，从而可得与轴的两交点间的水平距离为 ，再求出间隔数，即可得出结果； （3）抛物线上移后，解析式为，求出总水平距离为，令，则，求出水平距离为，由题意可得，求解即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：，，， 由图象可得：二次函数的顶点坐标为， ∴二次函数的解析式为， 将代入可得， 解得：， ∴该抛物线表示的二次函数为； 【小问2详解】 解：在中，当时，， 解得：或， ∴与轴的两交点间的水平距离为， ∵相邻学生站位间隔均为， ∴间隔数为，取整数部分， ∴人数为（人）， 故最多有9名学生能同时参加跳长绳活动； 【小问3详解】 解：抛物线上移后，解析式为， ∵需要容纳人， ∴总水平距离为， 令，则， 解得：或， ∴水平距离为， 由题意可得：， 解得：， ∴h的最小值为． 27. 课本内容再探索： （1）将定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”中的“夹角”改为“其中一边的对角”． ①改变后得到的命题是___________命题；（填“真”或“假”） ②若“其中一边的对角”是直角，请完成下面的证明． 如图（1），在和中，，． 求证：． （2）将定理“相似三角形对应线段的比等于相似比”逆向思考． 已知和均为锐角三角形， ，，，是高，且．在满足下列情形时，证明． ①如图（2），，是中线，且； ②如图（3），，是中线，且． （说明：以上两种情形，只需选择其中一种完成．） 【答案】（1）①假；②见解析 （2）①见解析；②见解析 【解析】 【分析】（1）①通过相似三角形的判定定理，结合反例来判断命题真假； ②利用勾股定理证明三边对边成比例，从而证明两个三角形相似； （2）①根据三角形中线和高的性质易证得，进而证得，则，从而得到结论； ②取的中点，取的中点，连接，，根据三角形中位线的性质证得，设，进而证得，则，从而得到结论． 【小问1详解】 解：①由于仅两边成比例且其中一边的对角相等，不能保证两个三角形相似，存在反例情况， 因此，改变后得到的命题是假命题； ②在和中，， 设，则、， 在中，由勾股定理得： ， 在中，由勾股定理得： ， ， ， ； 【小问2详解】 ①证明： ，是中线， 、， 、， ， ，是高， ， 、， ， ， ， ， ， ， ，， ； ②证明： ，是高， ， 如图，，是中线，取的中点，取的中点，连接，， 、分别为和的中位线， 、、、， 、， 、， ， ， 设， 、、， ， ， ， 、， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025～2026学年第二学期期初调研试卷 九年级数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分） 1. 一元二次方程的解是（ ） A. B. C. D. 2. 在中，， ，，则的值是（ ） A. B. C. D. 3. 某校七年级有 名同学参加百米竞赛，预赛成绩各不相同，要取前名参加决赛，小梅已经知道了自己的成绩，她想知道自己能否进入决赛，还需要知道这 名同学成绩的（　　） A. 中位数 B. 众数 C. 平均数 D. 极差 4. 如图，直线，直线、与、、分别交于点、、和、、，若，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 5. 如图，四边形内接于，是直径，是弧的中点．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 若二次函数的图象经过四个象限，则下列判断一定正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 7. 若，则的值为______． 8. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中随机摸出一个小球，则摸到黄球的概率为__________． 9. 设是关于的方程的两个根，则___________． 10. 已知圆锥的底面半径为 ，母线长为，则该圆锥的侧面积为______.（结果保留） 11. 如图，AE是正八边形ABCDEFGH的一条对角线，则∠BAE=_____°． 12. 下列关于二次函数的图像的结论：①对称轴为直线；②最高点的坐标为；③与轴有两个公共点；④与轴的交点坐标为．其中所有正确结论的序号是___________ 13. 已知二次函数（a、b、c是常数，且），函数y与自变量x的部分对应值如下表： x … 0 1 2 3 4 … y … 10 m 2 1 2 5 … 当时，x的取值范围是________． 14. 如图，在中，，是的内切圆，与边分别相切于点D，E，与的延长线交于点F，则______． 15. 如图，在正方形中，是边上的点，以为直径的与相切．若，则的长为___________． 16. 如图，在中，，．平分 ，为延长线上一点，且，那么的值为___________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分） 17. 计算与解方程： （1）解方程：； （2）计算：． 18. 如图为、两家酒店今年上半年（ 月份）的月营业额折线统计图． （1）将表格补充完整． 酒店 平均数（百万元） 中位数（百万元） 方差（百万元） A ①_______ ③_______ B ②_______ （2）根据上述信息，你认为A、B两家酒店哪家经营状况较好？请简述理由． 19. 某校计划在暑假第二周的星期一条星期四开展社会实践活动，要求每位学生选择两天参加活动． （1）甲同学随机选择连续的两天，其中有一天是星期二的概率是_______； （2）乙同学随机选择两天，其中有一天是星期二的概率是多少?（请用“画树状图”或“列表”等方法写出分析过程）． 20. 如图，已知及点，利用直尺和圆规过点作的切线． （1）如图①，点在外． （2）如图②，点在外． （要求：不写作法，保留作图痕迹） 21. 如图，在中， ，， ． （1）求的长； （2）直接写出的值是___________． 22. 如图，在□ABCD中，点E在BC上，∠CDE＝∠DAE． （1）求证：△ADE∽△DEC； （2）若AD＝6，DE＝4，求BE的长． 23. 已知二次函数（a为常数，）． （1）求证：该函数的图象与轴总有公共点； （2）该函数的图象经过的定点的坐标是___________、___________ 24. 如图是燃烧的蜡烛经凸透镜在屏幕上成像的光路示意图，．点在同一直线上，点在同一直线上，且都与垂直，交于点．若，求像的长． 25. 如图，点在的边上，以为半径的与相切于点，与相交于点，为的直径， 与相交于点，． （1）求证：； （2）若， ，求的半径和的长． 26. 如图1，为了丰富学生的课余生活，某校九年级组织开展跳长绳活动．如图2，假设两名摇绳的学生握绳的手A，B之间的水平距离为，当手A，B与地面的距离均为 时，绳子的最高点C与地面的距离为 ，此时绳子的形状可以看作是抛物线的一部分．建立平面直角坐标系，设该抛物线表示的二次函数为．当摇绳两端握绳的手同时向上平移时，绳子整体也相应向上平移且形状不变． （1）求该抛物线表示的二次函数； （2）如果参加跳长绳活动的学生身高均为，且相邻学生站位间隔均为，除摇绳的学生外，求最多有多少名学生能同时参加跳长绳活动； （3）由于还有1名学生没能同时参加跳长绳活动，在（2）的情况下，若加入这名学生，在不改变摇绳的学生手A，B之间的水平距离和绳长的情况下，只需将手A，B同时向上平移，直接写出h的最小值（精确到0.01）． 27. 课本内容再探索： （1）将定理“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”中的“夹角”改为“其中一边的对角”． ①改变后得到的命题是___________命题；（填“真”或“假”） ②若“其中一边的对角”是直角，请完成下面的证明． 如图（1），在和中，，． 求证：． （2）将定理“相似三角形对应线段的比等于相似比”逆向思考． 已知和均为锐角三角形， ，，，是高，且．在满足下列情形时，证明． ①如图（2），，是中线，且； ②如图（3），，是中线，且． （说明：以上两种情形，只需选择其中一种完成．） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $