第二章特殊三角形单元测试卷 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 本单元卷聚焦特殊三角形核心知识，通过基础巩固、能力提升及创新应用的梯度设计，适配初中数学第二章复习，有效落实抽象能力、推理意识与应用意识等核心素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题/30分|等腰三角形性质（第1题）、勾股定理应用（第5题）、等边三角形判定（第3题）|结合梯子移动（第5题）、池塘距离（第6题）等实际情境，落实应用意识| |填空题|6题/18分|直角三角形斜边中线（第13题）、折叠性质（第15题）、等腰三角形腰长计算（第12题）|通过折叠（第15题）、竹竿滑动（第16题）考查几何直观，体现抽象能力| |解答题|7题/52分|垂直平分线性质（第18题）、勾股定理实际应用（第20题）、等边三角形综合探究（第21题）|设计拉船问题（第20题）、等边三角形内点探究（第21题），强化推理意识与创新应用|

第二章特殊三角形单元测试卷 一、单选题 1.若△ABC≌aDEF,△ABC是等腰三角形，且它的周长是23cm,BC=4cm,则△DEF 必有一条边等于() A.9.5cm B.9.5cm或15cmC.15cm D.4cm或15cm 2.若等腰△ABC的周长为20，其中一边长为8，则这个等腰三角形的底边长与其腰长的比 值为() 4 4 4 A.3 B. C.3或2 D.3或对 3.下列命题，假命题是() A.有一个内角等于60°的等腰三角形是等边三角形 B.有一个角是40°，腰相等的两个等腰三角形全等 C.三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 D.三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等 4.下列条件不能判断△ABC是直角三角形的是() A.∠A+∠B=90 B.∠4∠B:∠C=3:45 C.∠4：∠B:∠C=1:23 D.∠A+∠B=∠C 5.如图，一架长为2.5m的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点A 处，底端位于地面的点B处，点B到墙面的距离BO为0.7m.如果将梯子底端沿OB向外 移动0.8m,那么梯子顶端沿墙A0下滑() B 试卷第1页，共3页 A.0.8m B.0.7m c.0.5m D.0.4m 6.如图，池塘边有两点A,B,点C是与BA方向成直角的AC方向上一点，测得 AC=60m BC=100m ·则、“两点间的距离为() 20W34m A B.10W34m C.80m D.40m 7.如图，将△ABC沿BC向右平移一定距离后得到△DEF,点B的对应点E在BC边上.若 ∠A=∠F,DE=12,BC=3CF,则平移的距离是() A.3 B.4 C.5 D.6 8.如图，己知AB=AC,BE=CE,D是线段AE上一点（不与A,D重合），下列结论 不一定正确的是() B A.AE平分∠BAC和∠BEC B.AE垂直平分BC C.∠DBE=∠DCE D.BD=DE 9.在R△ABC中，∠ACB=90°，AB=10,E,F为AB上的两个动点，且AE=BF,求 CE+CF的最小值为() 试卷第2页，共3页 B A.6 B.8 C.10 D.12 10.如图，在△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACD的平分线交于点E,连接AE,如果要 求出∠CAE的度数，只需知道下列哪个角的度数() D A.∠ABC B.∠ACB C.∠BAC D.∠AEC 二、填空题 11.如图，在△ABC中，∠B=90°，点D是AB边上一点，连接CD,DE⊥AC于点E, BD=DE,若∠ACD=20°，则∠A的度数为 D B 12.等腰三角形△ABC的周长是18cm,一条边的长是8cm,则它的腰长是 cm 1B.如图，在。ABC中，AB=AC,D是AB的中点，若DE=BE=AB,则∠C的度数 为 D 试卷第3页，共3页 14.如图，在Rt△ABC中，CD是斜边AB上的中线，以点C为圆心，CD长为半径作弧， 与AB的另一个交点为E.若∠A=35°，则∠DCE= 度 16.如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动5分米，测得顶端从 点A沿墙下滑1分米到点B,那么竹竿长度为 分米. 15.如图，将长方形ABCD沿着BE折叠，点C恰好落在AD边上点F处，若AB=8, DF 2 BC=5,则BF= F B 三、解答题 17.已知等腿三角形一边长为a,一边长为b,且2a-h+1+b-网=0， 求它的周长 18.如图，在△ABC中，DF垂直平分BC,与AB交于点E,BE=EF,连接CF, ∠F=32° 试卷第4页，共3页 (1)求∠ABC的度数： (2)若AB=BC,求∠A的度数. 19.如图，长方形ABCD沿对角线AC折叠，顶点B落在点E处，EC与AD交于点O E D B (I)求证：△AOC是等腰三角形： (2)若AB=4,BC=8,求线段E0的长 20.如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子BC的长为17 米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置，问船向岸边移动了多少米？ 8米 21.(1)如图1,0是等边△ABC内一点，连接0A、0B、0C,且OA=3,0B=4,0C=5, △BAO兰△BCD,连接OD B D 图2 D 图1 ①∠OBD=_度；（答案直接填写在横线上） ②OD=；(答案直接填写在横线上) ③求∠BDC的度数. 试卷第5页，共3页 △ABC(∠ABC=90) (2)如图2所示， 0是等腰直 内一点，连接OAOB、OC △BAO兰△BCD 连接OD.当O1O8、OC满足什么条件时， ∠ODC=90° 请给出证 明. 22.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=120°，AD⊥BC于点G,且AD=AB,E, F分别是边AB,AC上的点，且∠BDE=∠ADF. G D (I)求证：△ABD是等边三角形： (2)若AB=AC=11,CF=8,求BE的长. 24.如图，AD∥BC,点E在AD上，且满足∠ABE=2∠EBC. A ED (I)尺规作图：在BC上求作点G,使得∠ABC+∠BAG=90;(不写作法，保留作图痕迹) (2)在(I)的条件下，若AG交BE于点H,F是EH的中点，连接AF,求证：AB=AF 试卷第6页，共3页 第二章特殊三角形单元测试卷 一、单选题 1．若，是等腰三角形，且它的周长是，，则必有一条边等于（     ） A． B．或 C． D．或 【答案】A 【分析】本题需分情况讨论为等腰三角形的腰或底，结合三角形三边关系舍去不能构成三角形的情况，再利用全等三角形对应边相等得到结论． 【详解】解：∵是等腰三角形，周长为，，分两种情况讨论： 情况1：若为腰，则另一腰长为，底边长为， ∵，不满足三角形三边关系， ∴此情况不成立，舍去； 情况2：若为底，则两腰长相等， ∴腰长为，此时三边长为，，，满足三角形三边关系， ∵， ∴的边长与对应相等， ∴必有一条边等于或， 综上，必有一条边等于或，没有一条边等于， 故选项A符合题意． 2．若等腰的周长为20，其中一边长为8，则这个等腰三角形的底边长与其腰长的比值为（     ） A． B． C．或2 D．或 【答案】D 【分析】分边长8为腰长和底边长两种情况，根据等腰三角形的定义求出该三角形的三边长，再根据构成三角形的条件判断能否构成三角形，并计算对应的底边长与其腰长的比值． 【详解】解：当为腰长时， ∵等腰三角形周长为， ∴底边长为， ∴此时三边长为， ∵， ∴能构成三角形，符合题意 ∴底边长与腰长的比值为； ② 当为底边长时， ∵等腰三角形周长为， ∴腰长为 ， ∴此时三边长为， ∵ ∴能构成三角形，符合题意， ∴底边长与腰长的比值为； 综上，底边长与腰长的比值为或． 3．下列命题，假命题是（  ） A．有一个内角等于的等腰三角形是等边三角形 B．有一个角是，腰相等的两个等腰三角形全等 C．三角形两边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 D．三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等 【答案】B 【分析】根据等边三角形判定、全等三角形判定、三角形外心与内心的性质，逐一判断各命题真假即可得到答案． 【详解】解：、∵等腰三角形有一个内角为，若是顶角，则两个底角均为；若是底角，则顶角为， ∴三个内角均为，该三角形是等边三角形，故该选项是真命题，不符合题意； 、∵题目中的角未说明是顶角还是底角，当一个等腰三角形的是顶角，另一个等腰三角形的是底角时，两个三角形的内角度数不相等， ∴即使腰长相等，两个三角形也不全等，故该选项是假命题，符合题意； 、∵线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等， ∴三角形两边垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意； 、∵角平分线上的点到角两边的距离相等， ∴三角形两个内角平分线的交点到三边的距离相等，故该选项是真命题，不符合题意． 4．下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了直角三角形的判定，解题的关键是求出三角形中有一个角是． 根据三角形的内角和定理，结合有一个角是的三角形时是直角三角形，进行判断即可． 【详解】解：三角形内角和为， A、，，故是直角三角形，此选项不符合题意； B、设，则，， ，无角，故不是直角三角形，此选项符合题意； C、设，则， ， ，故是直角三角形，此选项不符合题意； D、，又， ，即，，故是直角三角形，此选项不符合题意； 故选：B． 5．如图，一架长为的梯子斜靠在竖直的墙上，此时梯子一边的顶端位于墙面的点处，底端位于地面的点处，点到墙面的距离为．如果将梯子底端沿向外移动，那么梯子顶端沿墙下滑（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】梯子顶端沿墙下滑的距离为．利用勾股定理求出，．即可得到答案． 【详解】解：在中，根据勾股定理得， 在中，根据勾股定理得， 所以，． 因此，当梯子底端向外移动时，梯子顶端下滑． 6．如图，池塘边有两点，，点是与方向成直角的方向上一点，测得，．则、两点间的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用勾股定理求出的长度即可． 【详解】解：，，， ． 7．如图，将沿向右平移一定距离后得到，点的对应点在边上．若，，，则平移的距离是（     ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据平移的性质可得、，进而得到，证得，从而求出平移距离的长． 【详解】解：将沿向右平移一定距离后得到， 、， ， ， ， ， ， 解得：， 平移的距离是4． 8．如图，已知，，D是线段上一点（不与A，D重合），下列结论不一定正确的是（     ） A．平分和 B．垂直平分 C． D． 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的判定定理，由，可得是的垂直平分线，利用全等三角形的判定与性质或轴对称性质逐一判断选项即可． 【详解】解：，， 点，都在线段的垂直平分线上 ， 垂直平分，故B选项正确； 在和中， ， ，， 平分和，故A选项正确 ； 垂直平分，在上 ， ， 在和中， ， ，故C选项正确 ； 与的长度取决于点在上的位置，无法确定，故D选项不一定正确 ． 9．在中，，，，为上的两个动点，且，求的最小值为（     ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】C 【分析】 作，使得，连接交于点，连接，通过全等三角形的判定与性质结合直角三角形斜边中线等于斜边的一半可求出，的长，故，据此即可求解． 【详解】解：作，使得，连接交于点，连接，如图所示， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 的最小值为10． 10．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 二、填空题 11．如图，在中，，点是边上一点，连接，于点，，若，则的度数为___________． 【答案】 【分析】由角平分线的判定定理求出的大小，再由直角三角形的两个锐角互余即可得． 【详解】解：，，， 平分， ， ， ． 12．等腰三角形的周长是，一条边的长是，则它的腰长是________． 【答案】或/5或8 【分析】分类讨论已知边长为腰长或底边长两种情况，再结合三角形三边关系判断能否构成三角形，即可求解． 【详解】解：当的边为等腰三角形的腰时，底边的长为，此时三边长为， ，，满足三角形三边关系，符合要求． 当的边为等腰三角形的底边时，腰长为，此时三边长为， ，，满足三角形三边关系，符合要求． 综上可知，它的腰长是或． 13．如图，在中，，是的中点，若，则的度数为________． 【答案】/75度 【分析】先证明是等边三角形，，然后求出的度数，再由三角形内角和定理以及等腰三角形的性质求解即可． 【详解】解：∵是的中点， ∴ ∵ ∴ ∴是等边三角形， ∴ ∴ ∵ ∴． 14．如图，在中，是斜边上的中线，以点C为圆心，长为半径作弧，与的另一个交点为E．若， 则____________度． 【答案】 【分析】由直角三角形斜边中线的性质得到，由等腰三角形的性质得到，由三角形的外角性质求出，由题意得到，推出，由三角形内角和定理求出． 【详解】解：∵是斜边上的中线， ∴， ∴， ∴， 由题意得到：， ∴， ∴． 16．如图，一根竹竿紧贴竖直墙面放置，若竹竿底部沿地面向外移动分米，测得顶端从点沿墙下滑分米到点，那么竹竿长度为________分米． 【答案】 【分析】设竹竿的长度为分米，利用勾股定理构造方程，求解即可． 【详解】解：设竹竿的长度为分米， 由勾股定理可得，， 解得， ∴竹竿的长度为分米． 15．如图，将长方形沿着折叠，点C恰好落在边上点F处，若，，则_______． 【答案】10 【分析】根据折叠的性质可得，由长方形的性质可得，从而得到，结合已知比例关系用表示出，最后在中利用勾股定理建立方程求解即可 ． 【详解】解：由折叠的性质得，， ∵四边形是长方形 ， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴ ， 在中，由勾股定理得， ∴，解得：（已舍去负值）． 三、解答题 17．已知等腰三角形一边长为，一边长为，且，求它的周长． 【答案】 【分析】几个非负数的和为0，则这几个非负数分别等于0，从而得出，，根据等腰三角形的定义分类讨论，再结合构成三角形的条件求解即可． 【详解】解：， ，， ，， ，， ， 当腰长为时，，不能构成三角形； 当腰长为时，周长． 18．如图，在中，垂直平分，与交于点，，连接，． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直平分，得到，即可得到，再求出，由得到，最后根据计算即可； （2）根据等腰三角形的性质和三角形内角和求解即可． 【详解】（1）解：连接， 垂直平分， ， ∵， ， 在中，， ， ， ， ； （2）解：， ， ∵， ． 19．如图，长方形沿对角线折叠，顶点落在点处，与交于点． (1)求证：是等腰三角形； (2)若，，求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】（1）由折叠和平行线的性质得到，进而证明即可； （2）由折叠得，，，设，则，然后根据勾股定理求解． 【详解】（1）证明：四边形是长方形， ， ， 由折叠得，， ， ， 是等腰三角形； （2）解：由折叠得，，， 设，则， 在中，根据勾股定理得：， ， 解得， ． 20．如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以0.7米/秒的速度收绳，10秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？ 【答案】9米 【分析】先算收绳后绳长，再分别在两个直角三角形中用勾股定理求出初始水平距离和收绳后水平距离，最后用得到船移动的距离． 【详解】解：∵此人以米每秒的速度收绳，10秒后船移动到点D的位置， ∴收绳长度：（米）， ∵开始时绳子的长为17米， ∴（米）， 在中，米，米， ∴（米） 在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， 答：船向岸边移动了9米． 21．（1）如图1，是等边内一点，连接，且，连接． ① __度；（答案直接填写在横线上） ②_ __﹔（答案直接填写在横线上） ③求的度数． （2）如图2所示，是等腰直角内一点，连接，，连接．当满足什么条件时，．请给出证明． 【答案】（1）①；②；③；（2），证明见解析． 【分析】（1）①由得到，继而证明即可解题； ②由得到，结合①结论，可证明是等边三角形，即可解题； ③根据得到，在中根据三角形三边关系即勾股定理的逆定理，可证明为直角三角形，继而得到，再结合是等边三角形即可解得据此解题即可； （2）由可得，可证明为等腰直角三角形，根据等腰直角三角形边的关系可得，最后根据直角三角形三边满足勾股定理解题即可． 【详解】解:（1）① 即 故答案为：； ② ， 由①得 是等边三角形， 故答案为：； ③ 为直角三角形 为等边三角形 ； （2）当时，． 理由如下: ， 为等腰直角三角形， ， 当时，为直角三角形， ， 当满足时，． 【点睛】本题考查勾股定理及其逆定理、全等三角形的性质、等边三角形的判定、等腰直角三角形的判定与性质等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 22．如图，在中，，，于点，且，，分别是边，上的点，且． (1)求证：是等边三角形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：在中，，，于点， ， ， 是等边三角形， (2)的长为 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一可知，又因为，则题目可证； （2）由已知可证，则即可求解． 【详解】（1）略； （2）解：，， ，       由（1）可知：是等边三角形，， ，， ， 在和中， ， ，       ， 即的长为． 24．如图，，点在上，且满足． (1)尺规作图：在上求作点，使得；（不写作法，保留作图痕迹） (2)在（1）的条件下，若交于点，是的中点，连接，求证：． 【答案】(1)作图见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以点A为圆心，以大于之间的距离为半径画弧，交于点H，K，再以点H，K为圆心，以为半径画弧，两弧交于点P，作射线，交于点G，则是的垂直平分线，则，即； （2）由（1）知，再根据平行线的性质得，然后根据直角三角形的性质得接下来根据三角形外角的性质得出，即可得出，最后根据等角对等边得出答案． 【详解】（1）解：如图所示，点G即为所求； （2）证明：由（1）知， ∵， ∴， ∴为直角三角形． ∵点F是的中点， ∴ ∴， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $