第2章 特殊三角形 单元测试卷 2026-2027学年浙教版八年级数学上册

**基本信息** 《特殊三角形》单元测试卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三级梯度设计，覆盖直角三角形、等腰三角形等核心知识，融合赵爽弦图、台阶铺地毯等文化与生活情境，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|直角三角形判定（第1题）、轴对称性质（第2题）|基础概念与图形性质结合，如第7题规律探究考查空间观念| |填空题|6/18|赵爽弦图（第12题）、规律探究（第15题）|文化传承与几何变换融合，如第14题折叠问题培养几何直观| |解答题|8/72|实际应用（17题台阶面积）、综合探究（24题正方形与三角形）|突出推理能力与模型意识，如22题最短路径问题体现数学思维|

第2章《特殊三角形》单元测试卷 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。） 1.下列长度（单位：Cm)的各组线段中，能组成直角三角形的是() A.2,3,4B.2,2,2 C.3,4,5 D.6,6,8 2.如图，在△ABC中，∠C=∠ABC=70°，△ABC与△ABC关于直线EF对称， ∠CAF=10,连接BB,则∠ABB的度数是() A.30° B.35° C.40° D.45° 3.如图，△ABC是等边三角形，高BD与CE交于点O,则∠BOC等于() E B A.60 B.90° C.120° D.150° 4.如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，AB=8,则CD的长为() A.7 B.6 C.5 D.4 5.将一束平行光射向凸透镜，得到如图所示的光路图.已知AB‖ED,BC=CD, ∠ABC=∠EDC=162,则∠BCD的度数是() 光屏 A E 光具座 A.18° B.28° C.36 D.38° 6.如图，某公司举行周年庆典，准备在门口长25米，高7米的台阶上铺设红地毯，已知台阶 的宽为3米，则共需购买()m的红地毯. 25m 7m A.21 B.75 C.93 D.96 7.如图，∠BOC=7°，点A在OB上，且OA=1.按下列要求画图：以A为圆心，1为半径向 右画弧交OC于点A1,得第1条线段AA1;再以A1为圆心，1为半径向右画弧交OB于点A2, 得第2条线段A1A2;再以A2为圆心，1为半径向右画弧交OC于点A3,得第3条线段A2A3: …这样画下去，直到得第n条线段，之后就不能再画出符合要求的线段了，则的值是（ ) A A A2 A4 的 A.9 B.10 C.11 D.12 8.如图所示，已知△ABC和△BDE都是等边三角形.下列结论：①AE=CD;②BF=BG; ③BH平分∠AHD;④∠AHC=T0°，⑤△BGF是等边三角形；⑥BG‖AC.其中正确的有 () H B D A.3个 B.4个 C.5个 D.6个 9.如图，在△ABC中，DM,EN分别垂直平分AB和AC,垂足为M,N,且分别交BC于点D, E:若∠DAE=20,则∠BAC的度数为（） M B D E A.90° B.100° C.105° D.110° 10.如图，在Rt△OAB中，OA=OB,∠AOB=90°，点C在边B0延长线上一点，过点B作 D1CA交CM的延长线于点D,若∠0AC=∠BAD,则D:(） D B B.2 c.4 二、填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分.） 11.如图，在△ABC和△FED中，AB⊥BC,EF⊥DE,AD=CF,要使△ABC≌△FED,则需 再添加一个条件为一·（写出一个即可） B C E 12.如图所示的是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图.此图是由四个全等的直角三角形 拼接而成，其中AE=5,BE=13,则EF2的值是一 D G H B 13.如图所示，在数轴上点A所表示的数为a,则a的值为」 0 14.如图a是长方形纸带，∠=a°，将纸带沿EF折叠成图b,再沿BF折叠成图c,则图c中 的∠CFE的度数是 。(用含a的代数式表示). E D 图a 图b 图c 15.如图，在等腰Rt△OAA1中，∠OAA1=90°，OA=1,以0A1为直角边作等腰Rt△OA1A2, 以OA2为直角边作等腰Rt△OA2A3,…,则OA3的长度为 A ▣A A 16.如图，在等腰△ABC中，AB=AC,AD⊥BC于点D,E、F两动点分别在线段AD、AB 上运动，若∠BAC=40°，则当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为 D 三、解答题（本题共8小题，共72分.） 17.(8分)如下图，某开发区有一块四边形空地ABCD,现计划在这块空地上种植草皮，经 测量，∠ADC=90°，AD=40m,CD=30m,AB=130m,BC=120m.若种植每平方米草皮 需要100元，则在这块空地上种植草皮共需要多少元？ D 18.(8分)如图，△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°，点F在线段AD上，点C在BD 的延长线上，连接BF,AC,且BF=AC. F B (1)求证：Rt△ADC≌Rt△BDF: (2)若AC=13,DF=5,求BC的长. 19.(8分)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线分别交AB,AC于点D,E,且 CB2=AE2-CE2· D E B (1)求证：∠ACB=90°； (2)若AC=12,CB=9,求CE的长. 20.(8分)几何直观【阅读理解】 B 图① 图② 图③ (1)若一个三角形的三边长a,b,c满足a2+2b2=c2,则我们称该三角形为“变异直角 三角形”.如图①，在△ABC中，AB=2,BC=4,AC2=24,则△ABC “变异直 角三角形”（填“是”或“不是”）. 【变式迁移】(2)如图②，在△ABC与△DCE中， AC=BC,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90,∠ADC=45·试说明：以线段AD,CD: BD的长为边长的三角形是“变异直角三角形”， 【拓展创新】(3)如图③，在四边形ABCD中， ∠DAB=90°，AB=3,AD=4,BC=5,CD2=50:E为线段AD上一点，以AE为边向外 作正方形AEFH.若以线段AE,AC,BC的长为边长的三角形是“变异直角三角形”， 请求出正方形AEFH的面积. 21.(8分)如图，在等腰Rt△ABC中，∠ACB=90°，D为BC的中点，DE⊥AB,垂足为E, 过点B作BF‖AC交DE的延长线于点F,连接CF,交AD于点G. C G (I)求证：E是线段DF的中点； (2)求证：AD⊥CF; (3)连接AF,试判断△ACF的形状，并说明理由. 22.(10分)【任务一】某小区要在街道旁修建一个奶站，向居民区A,B提供牛奶，奶站 应建在什么地方，才能使A,B到它的距离之和最短？该问题给牛奶公司造成了困扰，现向居 民们征求意见. B B 街道 街道 A 图1 图2 图3 图4 小明同学将小区和街道抽象出的平面图形，并用轴对称的方法巧妙地解决了这个问题. 如图1，作A关于直线m的对称点A,连接AB与直线m交于点C,点C就是所求的位置. 请你在下列阅读、应用的过程中，完成解答并填空： 证明：如图2，在直线m上另取任一点D,连结AD,AD,BD, 直线m是点A,A的对称轴，点C,D在m上， .'.CA=, DA= ∴.AC+CB=AC+CB= 在△ADB中， .A B<A D+DB, ∴.AC+CB<AD+DB .AC+CB<AD+DB,即AC+CB最小， 【任务二】如图3，有两条公路A0和B0经过村庄O,它们的夹角∠AOB=30°，现要在距 离村庄500米的种植园P处新建如图所示的三条小路PM,PW,W,使三条小路刚好围成 一个三角形△PMN,△PMN周长的最小值为米. 【任务三】实践应用：如图4，在△ABC中，AC=6,BC=8,AB=10,∠ACB=90°，AD 平分∠BAC,M、N分别是AD、AC边上的动点，求CM+MN的最小值. 23.(10分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5Cm,AC=3Cm,动点P从点B出发沿 射线BC以2cm/s的速度移动，设运动的时间为ts. 备用图① 备用图② (1)若点P运动到BC的中点时，t的值为； (2)若BP=AP,求BP的长； (3)当△ABP为直角三角形时，求t的值. 24.(12分)【探究发现】 (1)如图1，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,垂足是O,求证： AB2+CD2=AD2+BC2. 【拓展迁移】 (2)如图2，以三角形ABC的边AB、AC为边向外作正方形ABDE和正方形ACFG,求证： CE⊥BG. (3)如图3，在(2)小题条件不变的情况下，连接GE,若∠EGA=90°，i=6,AG=8, 求BC2. 图1 图2 图3 参考答案 一、选择题 1.C 解：A:2+32=13≠4，此选项不符合题意； B:2+2=8≠2，此选项不符合题意； C:32+42=25=52,此选项符合题意； D:62+62=72≠8，此选项不符合题意； 故选：C. 2.C 在△ABC中，∠C=∠ABC=70°， ∴.AB=AC,∠BAC=180°-∠C-∠ABC=180°-70°-70°=40°， ,△ABC与△ABC关于直线EF对称， ∴.△BAC≌△B'AC',∠CAF=∠C'AF=10°， ∴∠BAC=∠B'AC'=40°，AB=AB, .∴.∠BAB=40°+10°+10°+40°=100°， ∴.∠ABB=∠AB'B=40°， 故选：C. 3.C 解：，△ABC是等边三角形， .∴.∠ABC=∠ACB=60°， .高BD与CE交于点O, :∠0BC=∠0CB=×60°=30， ∴.∠B0C=180°-∠OBC-∠0CB=180°-30°-30°=120°， 故选：C. 4.D 解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点， ..CD=-AB=4, 故选：D. 5.C 解：如图，连接BD, 光屏 光具座 .CB=CD. ∴.∠CBD=∠CDB, .AB ED, .∠ABD+∠EDB=180°， :∠ABC=∠EDC=162°， .∴.∠CBD+∠CDB=162°+162°-180°=144°， ∴.∠BCD=180°-144°=36°. 故选：C 6.C 解：依题意图中直角三角形一直角边为7米，斜边为25米， 另-直角边长：√252-7=24（米）， :.需购买红地毯的长为24+7=31（米)， ·:红地毯的宽则是台阶的宽3米， :.红地毯面积是：31×3=93（平方米)， 故选：C 7.D 解：由题意可知：AO=A1A,A1A=A2A1,…, 则∠AOA1=∠0AA,∠A1AA2=∠A1A2A,…, :∠B0C=7, .∠A1AA2=14°，∠A3A1A2=21°，∠A3A2A4=28°，∠A4A3A5=35°，， .7°n<90°， 解得n<90, 7 n为整数， ∴.n=12. 故选：D. 8.C 解：，△ABC和△BDE都是等边三角形， ∴.AB=BC,BD=BE,∠ABC=∠CAB=∠DBE=∠BDE=∠BED=60°， :∠ABC+∠CBE=∠DBE+∠CBE,即∠ABE=∠CBD,BG‖AC,故⑥正确； .△ABE≌△CBD|SAS, ∴.AE=CD,∠BDC=∠BEA,故①正确； .∠FBE=180°-∠ABC-∠DBE=60°=∠DBG, ∴.△DBG≌△EBF ASA, .BF=BG,故②正确； ∴.△BFG为等边三角形，故⑤正确； 如图，作BM⊥AE于M,BN⊥CD于N, M D .△ABE≌△CBD SAS, .S△ABE=SACBD, 号An-RM,Sace号CD-BN,C=GD. SAABE-2 ∴.BM=BN, .BM⊥AE,BN⊥CD, 点B在∠AHD的角平分线上， ∴.BH平分∠AHD,故③正确： .'∠AHD=∠HED+∠GDE=∠HEG+∠BED+∠GDE=∠BED+∠BDE=120°， ∴.∠AHC=180°-∠AHD=60°，故④错误， 综上所述，正确的有①②③⑤⑥，共5个， 故选：C. 9.B 解：，DM垂直平分AB,EN垂直平分AC, ∴.DA=DB,EA=EC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)· ∴.∠B=∠BAD,∠C=∠CAE(等边对等角). 设∠BAD=∠B=X,∠CAE=∠C=y. 在△ABC中，∠BAC+∠B+∠C=180°（三角形内角和定理）， 即∠BAC+x+y=180°①. .∠DAE=20°，且∠BAC=∠BAD+∠DAE+∠CAE=X+20°+y, ∴.∠BAC-x-y=20°②. 将①中X+y=180°-∠BAC代入②，得∠BAC-180°-∠BAC=20°， 即2∠BAC-180°=20°， 解得∠BAC=100°. 故选：B. 10.B 解：如图，延长BD,OA交于点E, D A B .BD⊥AC, ∴.∠COA=∠BDA=∠EDA=90, ∴.∠C+∠CBD=90=∠E+∠OBE, .∠C=∠E, ∴.∠OAC=∠DAE,∠OAC=∠BAD. .∠DAE=∠BAD, 在△ADB和△ADE中： ∠BAD=∠EAD AD=AD ∠BDA=∠EDA .△ADB≌△ADE(ASA) .BD=DE, ∴.BE=2BD 在△BOE和△AOC中： ∠E=∠C ∠BOE=∠AOC OB=OA ∴.△BOE≌△AOC(AAS, ∴.AC=BE=2BD, 2 故选：B 二、填空题 11.BC=ED(答案不唯一) 解：条件可以是：BC=ED; 证明：，AD=CF, ..AD+DC=DC+CF, 即AC=FD, .AB⊥BC,EF⊥DE, ∴.∠B=∠E=90°， 在Rt△ABC和Rt△FED中， AC=FD BC=ED' ∴.Rt△ABC≌Rt△FED|HL. 故答案为：BC=ED(答案不唯一)· 12.128 解：：由题意可知，四个直角三角形全等，AE=5,BE=13, .AG=BE=13'EG=AG-AE=13-5=8 同理，可得GF=8: .在Rt△EGF中，应用勾股定理得到： EF2=EG2+GF2=128 故答案为：128， 13.-1-5 解：如图， .BC=12+22=5,AB=BC, 设A点表示的数是x, .AB=-1-x, .-1-x=5, x=-1-5, 故答案为-1-V5: B 0 14.180°-3a 解：根据图a,.ADBC,∠=a, .∠BFE=∠g=a, ∴.∠EFC=180°-a: 根据图b,.∠BFC=180°-a-a=180°-2a, 根据图c,∴.∠CFE=180°-2a-a=180°-3a, 故答案为：180°-3a. 15.2V2 解：：Rt△OAA1是等腰三角形， .∴.OA=AA1=1 ∴.0A1=V0A2+AA12=2: 同理可得：0A=20A=2, ∴.0A3=20A,=2V2, 故答案为：2V2. 16.40° 解：如图所示，连接CE, .AB=AC,AD⊥BC, ∴.CD=BD,∠ADC=∠ADB=90°， 又DE是公共边， ∴.△CDE≌△BDE SAS, ∴.CE=BE, BE+EF=CE+EF, ∴.当C、E、F三点共线且CF⊥AB时CE+EF最小，即此时BE+EF最小， 过点C作CF⊥AB于点F,交AD于点E,连接BE, .∠BAC=40°， :∠BMD=克<AC=20, AD⊥BC, .∠ABD=70°， 同理可得CE=BE, .∠CFB=90°， ∴.∠CBE=∠BCE=20°， ∴.∠BEF=∠BCE+∠CBE=40°， ∴.当BE+EF取得最小值时，∠BEF的度数为40°， 故答案为：40°」 三、解答题 17.解：如下图所示，连接AC, D B .∠ADC=90, .△ADC为直角三角形， .:AD=40m,CD=30m' .∴.AC2=AD2+CD2=402+302=2500: ∴.AC=50m' .:BC=120m'AB=130m’ ∴.AC2+BC2=AB2, △ABC为直角三角形，且∠ACB=90, :这块空地的面积为SAA-SADC 号BCAc-AD-CD -分×120×50-×40×30 =2400m2 :.在这块空地上种植草皮共需要100×2400=240000元. 18.(1)证明：：△ABD是等腰直角三角形，∠ADB=90°， .AD=BD, :点C在BD的延长线上，点F在线段AD上， ∴.∠ADC=∠BDF=90°， 在Rt△ADC和Rt△BDF中， AC=BF AD=BD' ∴.Rt△ADC≌Rt△BDF HL. (2)解：由(1)得Rt△ADC≌Rt△BDF, .'DC=DF=5. .∠ADC=90°，AC=13, ∴AD=BD=VAC2-DC2=132-52=12, ∴.BC=BD+DC=12+5=17, ∴.BC的长为17. 19.(1)证明：连接BE D E DE是AB的垂直平分线 ∴.EA=EB(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等) CB2=AE2-CE2,且EA=EB ∴.CB2=EB2-CE2 即EB=CB2+CE2 ∴.△BCE是直角三角形，且∠ECB=90°（勾股定理的逆定理） 即∠ACB=90 (2)解：设CE的长为x AC=12 .'.AE=AC-CE=12-x ..EA=EB ∴.EB=12-X 在Rt△BCE中，∠ACB=90°，CB=9,由勾股定理得：EB=CB+CE2 即12-x2=92+x2 展开得：144-24x+x2=81+x2 化简得：144-24x=81,即24x=63 …*21 8 0防长为器 20.解：（1).42+2×2=24， .BC2+2A B2=AC2, △ABC是“变异直角三角形”， 故答案为：是； (2)如图②，连接AE. 图② .∠ACB=∠DCE=90°， .∠ACE=∠BCD' AC=BC,CD=CE' ∴.△BCD≌△ACE(SAS) ∴.BD=AE· .DC=CE,∠DCE=90, .∴.DE2=CD+CE2=2CD2,∠CDE=45, .:∠ADC=45, .∠ADE=90, .BD2=AE=AD2+DE2=AD2+2CD2, 故以线段AD,CD,BD的长为边长的三角形是“变异直角三角形”. (3)如图③，连接DB,过点C作CM⊥AB,交AB的延长线于点M. B M 图③ .·∠DAB=90, .DB2=AD2+AB2=25' .DB=5, ∴.DB2+BC2=25+25=50=CD2, ∴.∠DBC=90, .∴.∠DBA+∠CBM=90°， ..∠DBA+∠BDA=90°， .'.∠BDA=∠CBM' .∠DAB=∠M=90°，DB=BC=5' .∴.△BMC≌△DAB(AAS)' .MB=AD=4,MC=AB=3 .∴.AM=7, .∴.AC2=MC2+AM2=9+49=58 E为线段AD上一点， ∴.AE<4 ∴.AE2<16 .AC2>2AE2,AC2>2BC2, :以线段AE?AC,BC的长为边长的三角形是“变异直角三角形”， :分两种情况讨论： ①当2AE2+BC2=AC时，得AE2=16.5>16,不符合题意，舍去； ②当AE2+2BC2=AC时，AE2=8. 综上所述，正方形AEFH的面积为8. 21.(1)证明：.·∠ACB=90°，BF‖AC, ∴.∠CBF=90o, .AC=BC, .∴.∠ABC=45, :DE⊥AB,即∠BED=90, .∴.∠BDE=180°-∠ABC-∠BED=45, .∴.∠BFD=180°-∠CBF-∠BDE=45o, ∴.∠BDE=∠BFD' .∴BD=BF ,DE⊥AB, DE=EF,即E是线段DF的中点. (2)证明：由(1)可得∠CBF=90°，BD=BF. ∠ACB=90,D为BC的中点， .∴.∠CBF=∠ACB,CD=BD' ∴.CD=BF, .AC=BC, ∴.△ACD≌△CBF, .∴.∠CAD=∠BCF .∠ACB=90, .∴.∠ACF+∠BCF=90, ∴.∠ACF+∠CAD=90, .∠AGC=180°-∠ACF+∠CAD=90,即AD⊥CF: (3)解：△ACF为等腰三角形. 理由：如图，连接AF, ,E是线段DF的中点，DE⊥AB, .AD=AF' 由(2)，得△ACD≌△CBF, ∴.AD=CF, .'AF=CF' ∴△ACF为等腰三角形. 22.任务一：证明：如图2，在直线m上另取任一点D,连结AD,A'D,BD, m 街道 图2 直线m是点A,A的对称轴，点C,D在m上， .'CA=CA'DA=DA', .∴.AC+CB=A'C+CB=A'B 在△A'DB中， .A'B<A'D+DB' .A'C+CB<A'D+DB ∴AC+CB<AD+DB, 即AC+CB最小， 故答案为：CA',DA',A'B: 任务二：作点P关于直线OA的对称点F,作点P关于直线OB的对称点G,连接FG, 分别交OA、OB于M、N,如图： G ∴.MP=MF,NP=NG' :△PMN的周长为PM+PN+MN=FM+GN+MN=FG, ,:.此时△PMN的周长取得最小值，且最小值为FG, 由轴对称的性质得：∠FOA=∠AOP,∠POB=∠GOB, OP=OF'OP=OG' .∠AOP+∠POB=∠AOB=30°，OP=500 .∴.∠FOG=∠FOA+∠AOP+∠POB+∠GOB=60,OF=OG=500' :△FOG为边长为500的等边三角形， .FG=500' :△PMN的周长的最小值为500米， 故答案为：500； 任务三：如图，过点C作CD⊥AB交AB于点D,交AD于点M,过点M作MN⊥AC于点N, 图4 :AD是∠BAC的平分线. .∴.MN=DM' ∴.CM+MN=CM+DM=CD' :.这时CM+MN有最小值，即CD的长度， .AC=6,AB=10?∠ACB=90,BC=8, 5e=号AB-GD-号AGBC. ∴.CD=AC·BC_24 AB 5' 即CM+MN的最小值为24 23.(1)解：在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5cm,AC=3cm, ..BC=A B2-AC2=52-32=4cm, 若点P运动到BC的中点，则BP=号BC=2cm, 则t=2÷2=1s. (2)解：由题知BP=2tcm, 如图，当BP=AP时，AP=2tcm,PC=BC-BP=4-2tcm, 在Rt△APC中，AP=PC2+AC2, .2t2=4-2t2+32, *总 BP=2t= 8cm. (3)解：如图①，当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP=BC=4cm,即t=2; 如图②，当∠BAP为直角时BP=2tcm,CP=2t-4cm,AC=3cm, 在Rt△ACP中，AP2=32+2t-42, 在Rt△BAP中，AB+AP=BP2, 即52+32+2t-4=2t 解得t=25 8 故=2或t=25时，△ABP为直角三角形. 8 C(P) 图① 图② 24.(1)证明：：AC⊥BD于点O, .∴.∠AOB=∠COD=∠AOD=∠BOC=90, .AB2=0A2+0B2,CD2=0C2+0D2,AD=0A2+0D2,BC2=0B2+0C2, ∴.AB2+CD2=0A2+0B2+0C2+0D2,AD2+BC2=0A2+0B2+0C2+0D2, .∴.AB2+CD=AD2+BC. (2)证明：.'四边形ABDE和四边形ACFG都是正方形， ∴.AE=AB'AC=AG’∠BAE=∠CAG=90 .∠EAC=∠BAG=90°+∠EAG, 在△BAG和△EAC中， AE=AB ∠EAC=∠BAG, AC=AG ∴.△EAC≌△BAG SAS .∠AEC=∠ABG, .'∠MNE=∠ANB, .∴.∠AEC+∠MNE=∠ABG+∠ANB=90, .∴.∠EMN=90°， ..CE⊥BG. (3)解：如图3，连接BE、CG, GM B 图3 由2得CE1BG, ∴.GE2+BC2=CG2+BE2, .∠EGA=90,乙=6，AG=8, ∴.GE2=62=36'AE=VGE2+AG-V62+82=10: .∠CAG=90,AC=AG=8' ∴.CG=AC2+AG2=82+82=128 .∠BAE=90°，AB=AE=10' .BE2=AB+AE2=10+10=200' .∴.36+BC2=128+200 .∴.BC2=292.