精品解析：福建省泉州市惠安县2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试卷

2025—2026学年下学期期末七年级综合练习卷 数学试题 （考试满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有解答必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 人工智能技术的快速发展，正深刻改变着我们的生活．以下是四款国产应用，其对应的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. 通义千问 C. 天工 D. 文小言 3. 对于，根据不等式的性质进行变形，结果错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个三角形的两边长分别为6和9，则第三边长可能是（ ） A. 15 B. 12 C. 3 D. 2 5. 在解方程时，去分母过程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有许多涉及买卖的方程问题．某人用钱买物，若买9件，剩余3钱；若买11件，不足4钱．求每件物品的价格．设每件物品的价格为x钱，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，其中点，，的对应点分别为点，，，则能作为旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 8. 如图1，图2都是正方形，图中小正方形边长为，小长方形的边长为，，根据图中数据求得的值为（ ） A. 72 B. 74 C. 75 D. 76 9. 2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为现代科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其平面图形示意图，图中，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 10. 如今超市里每件商品的包装盒（袋）上一般都印有条形码，每个条形码表示一个13位数，其示意图如下：从左起，位是国家代码，位是厂商代码，位是产品代码，最后1位是校验码．若规定条形码的13位数，从左起偶数位上所有数的和乘3后，再加上奇数位上所有数的和，其结果是10的倍数．若某商品的条形码为，则该校验码的数值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 二、填空题：共6小题，每题4分，共24分． 11. 已知方程3x-y=6，用含x的代数式表示y，则y=______． 12. 已知是方程的一个解，那么的值为________． 13. 如图，是的中线，是的中线，则________（填“，或”）． 14. 如图，将沿射线方向平移到的位置，连接．若的周长为，四边形周长为，则的长为________． 15. 若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是________． 16. 长方形纸片，按如图所示方式折叠，，为折痕，且点D的对应点恰好落在折痕上，设，则________．（用含的式子表示） 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解方程组： 19. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 20. 已知，当时，． （1）求k与b的数量关系； （2）当时，证明不等式成立． 21. 如图，是正方形的边上的一点． （1）在图中作出绕着点逆时针旋转得到的图形； （2）若在正方形的边上再取一点，使得，连接交于，此时，请先将图形补充完整后，试证明． 22. 我们知道，数学中用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺成一片，称为平面图形的密铺，或称为平面镶嵌．按要求解答下面问题： （1）仅用同一种类型的正多边形地砖进行密铺，下列可选择________（填序号即可）； （2）若用正三角形和正四边形两种地砖进行平面密铺，求每一个顶点处的正三角形和正四边形的个数． 23. 阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： （1）①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； （2）若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 24. 实践与探究 【主题】如何从饮水机接收适宜温度的温水喝？ 【背景】如图1是某品牌的饮水机，饮水机装有开水、温水两个按钮，水流速度及温度如图2所示． 【实践用具】 容积为的水杯． 【查阅资料】 查阅相关资料得知： ①开水和温水混合时会发生热传递，开水释放的热量等于温水吸收的热量，且满足等量关系：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． ②饮水适宜温度是（包括与）． 【实践操作】 先从饮水机接收温水的时间为，后接收开水，直至盛满容积为的水杯为止（接水期间不计热损失，也不考虑水溢出的情况）． 【问题解决】 （1）按上述操作，水杯中温水的体积是________，开水的体积是________；（用含的代数式表示） （2）假设盛满水时，水杯中水的温度恰好是，求此时的值； （3）若要使盛满水杯后，符合饮水适宜温度，则直接写出：接收温水时间的取值范围． 25. 数学探究 在中，已知． （1）如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） （2）如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） （3）如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年下学期期末七年级综合练习卷 数学试题 （考试满分：150分；考试时间：120分钟） 友情提示：所有解答必须填写到答题卡相应的位置上． 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 下列方程中，是一元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题根据一元一次方程的定义判断即可，一元一次方程的定义为：只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1的整式方程． 【详解】解：∵选项A中，只含有一个未知数，且的次数为1，是整式方程，符合一元一次方程定义，∴A正确； ∵选项B中，未知数的最高次数为2，不符合一元一次方程定义，∴B错误； ∵选项C中，含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，∴C错误； ∵选项D中，含有两个未知数，不符合一元一次方程定义，∴D错误． 2. 人工智能技术的快速发展，正深刻改变着我们的生活．以下是四款国产应用，其对应的图案是中心对称图形的是（ ） A. B. 通义千问 C. 天工 D. 文小言 【答案】C 【解析】 【分析】把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此进行判断即可． 【详解】解：A、不是中心对称图形，故不符合题意； B、不是中心对称图形，故不符合题意； C、是中心对称图形，故符合题意； D、不是中心对称图形，故不符合题意． 故选：C． 3. 对于，根据不等式的性质进行变形，结果错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：已知，根据不等式的基本性质判断： ∵不等式两边同时除以同一个正数，不等号方向不变，∴将两边同时除以，得，A正确； ∵不等式两边同时减去同一个整式，不等号方向不变，∴将两边同时减去，得，B正确； ∵不等式两边同时乘以同一个负数，不等号方向改变，∴将两边同时乘以，得，C正确； 由，两边乘得，两边同时加得，可知D错误． 4. 已知一个三角形的两边长分别为6和9，则第三边长可能是（ ） A. 15 B. 12 C. 3 D. 2 【答案】B 【解析】 【详解】解：设第三边长为，∵三角形中，任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴， 即， 观察选项，只有12满足该范围． 5. 在解方程时，去分母过程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：方程去分母得：． 6. 我国古代数学名著《张丘建算经》中有许多涉及买卖的方程问题．某人用钱买物，若买9件，剩余3钱；若买11件，不足4钱．求每件物品的价格．设每件物品的价格为x钱，根据题意，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 根据“买9件，剩余3钱；若买11件，不足4钱”，即可得出关于x的方程，此题得解． 【详解】解：∵买9件，剩余3钱， ∴总钱数； ∵买11件，不足4钱， ∴总钱数． ∴根据题意可列方程为． 故选：C． 7. 如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，其中点，，的对应点分别为点，，，则能作为旋转中心的是（ ） A. 点 B. 点 C. 点 D. 点 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转中心的定义和性质，利用格点构造对应点连线的垂直平分线，即可解答． 【详解】解：如图，连接，， 分别作，的垂直平分线，交点为点，即点是旋转中心． 8. 如图1，图2都是正方形，图中小正方形边长为，小长方形的边长为，，根据图中数据求得的值为（ ） A. 72 B. 74 C. 75 D. 76 【答案】B 【解析】 【分析】根据图1、图2中两个正方形的边长相等可列出两个含有，，的式子，两式相加即可解得的值． 【详解】解：由图1中的正方形边长相等，可列式：①， 由图2中的正方形边长相等，可列式：②， ①+②得，， ∴， ∴． 9. 2026年央视春晚武术节目《武》以“人机共武”表演惊艳全球，首次实现机器人持武器动态操控，成为现代科技与传统文化融合的典范之作．如图1是机器人在展示中国功夫时的精彩瞬间，图2是其平面图形示意图，图中，，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点作，由题意易得，则有，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 10. 如今超市里每件商品的包装盒（袋）上一般都印有条形码，每个条形码表示一个13位数，其示意图如下：从左起，位是国家代码，位是厂商代码，位是产品代码，最后1位是校验码．若规定条形码的13位数，从左起偶数位上所有数的和乘3后，再加上奇数位上所有数的和，其结果是10的倍数．若某商品的条形码为，则该校验码的数值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到，即可求出答案． 【详解】解：由题意可得，， 又是10的倍数， 结合题意可知，， 解得，． 二、填空题：共6小题，每题4分，共24分． 11. 已知方程3x-y=6，用含x的代数式表示y，则y=______． 【答案】##-6+3x 【解析】 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：方程3x-y=6， 解得：y=3x-6， 故答案为：y=3x-6． 【点睛】本题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 12. 已知是方程的一个解，那么的值为________． 【答案】2 【解析】 【详解】解：∵是方程的一个解， ∴，解得． 13. 如图，是的中线，是的中线，则________（填“，或”）． 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，即可解答． 【详解】解：是的中线， ． 是的中线， ，点为的中点， 是的中线， ． 又， ． 14. 如图，将沿射线方向平移到的位置，连接．若的周长为，四边形周长为，则的长为________． 【答案】3 【解析】 【分析】先由平移的性质得到，，再根据四边形的周长与的周长之差，进行计算即可得解． 【详解】解：由平移得，，． 的周长为：， 四边形周长为：， ， ， ． 又，， ， ． 15. 若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组得到解集，再根据整数解的个数列出关于参数的不等式，即可求解参数的取值范围． 【详解】解：， 解不等式，得； 解不等式，得； 因此不等式组的解集为， 不等式组有个整数解， 整数解为， 可得． 16. 长方形纸片，按如图所示方式折叠，，为折痕，且点D的对应点恰好落在折痕上，设，则________．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质、折叠的性质，以及角的和差关系，进行解答即可． 【详解】解：四边形为长方形， ， ． 由折叠得，，． 设， ， ． ， ， ， ， ． 三、解答题：本题共9小题，共86分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 去括号得， 移项得， 合并同类项得． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【详解】解：， ①②，得， 解得． 把代入①，得， 解得． 所以原方程组的解是． 19. 解不等式组：并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】； 【解析】 【分析】分别求解两个不等式的解集，进而可得不等式组的解集，最后在数轴上表示解集即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 所以不等式组的解集是； 图略． 20. 已知，当时，． （1）求k与b的数量关系； （2）当时，证明不等式成立． 【答案】（1） （2）证明：由（1）可知，， ． ， ． ，， ， ． 【解析】 【分析】（1）把，代入，即可解答； （2）先将代入不等式的左边，得出，再根据，，得出，即可得证． 【小问1详解】 解：当时，， ， 即． 【小问2详解】 略 21. 如图，是正方形的边上的一点． （1）在图中作出绕着点逆时针旋转得到的图形； （2）若在正方形的边上再取一点，使得，连接交于，此时，请先将图形补充完整后，试证明． 【答案】（1）如图，为所求的图形； （2）证明：如图， 在正方形中，． ， ． ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）法：以点为顶点，作一个角等于，然后再以点为圆心，长为半径画弧，交以点为顶点的一个角的边于点，则问题可求解； 法：以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于一点，则问题可求解； 法：过点作，然后以点为圆心，长为半径画弧，交延长线于一点，则问题可求解； （2）由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 22. 我们知道，数学中用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，不留空隙且不重叠地铺成一片，称为平面图形的密铺，或称为平面镶嵌．按要求解答下面问题： （1）仅用同一种类型的正多边形地砖进行密铺，下列可选择________（填序号即可）； （2）若用正三角形和正四边形两种地砖进行平面密铺，求每一个顶点处的正三角形和正四边形的个数． 【答案】（1）①，②，④ （2）每一个顶点处有个正三角形，个正四边形 【解析】 【分析】（1）正多边形的每个内角的度数若能整除，则此多边形能密铺，据此解答即可； （2）根据公共顶点上几个角的度数和正好等于，即可解答． 【小问1详解】 解：因为正三角形的每个内角为，，所以可以进行密铺； 因为正四边形的每个内角为，，所以可以进行密铺； 因为正五边形的每个内角为，，不是整数，所以不能进行密铺； 因为正六边形中的每个内角为，，所以可以进行密铺； 因为正八边形的每个内角为，，不是整数，所以不能进行密铺． 综上，仅用同一种类型的正多边形地砖进行密铺，可选择：①，②，④． 【小问2详解】 解：设需用正三角形地砖块，正四边形地砖块， 依题意，得， ，即． ，为正整数， ， 即每一个顶点处有个正三角形，个正四边形． 23. 阅读与理解 定义：对任意一个两位数，如果满足个位数字大于十位数字，那么称这个两位数为“灵动数”．若将一个“灵动数”的个位数字与十位数字对调后得到一个新的两位数，将新两位数与原两位数的差（大数减小数）与9的商记为，例如：，对调个位数字与十位数字得到新两位数51，则新两位数与原两位数的差为，此差与9的商为，所以．根据上述定义，按要求回答下列问题： （1）①填空：三个数11，21，36中，“灵动数”为________； ②计算：________； （2）若一个“灵动数”的十位数字是，个位数字是，且，求“灵动数”． 【答案】（1）①36；②3； （2）“灵动数”b为79 【解析】 【分析】（1）①先明确“灵动数”判定条件：两位数的个位数字大于十位数字，用该条件逐个判断给出的数即可． ②计算时，先写出原“灵动数”的十位、个位数字，得到对调后的新两位数，计算两数差后除以9即可． （2）先将“灵动数”和对调后的新数用含的代数式表示，再根据的定义列出关于的方程，求解后代入即可得到． 【小问1详解】 解：①三个数11，21，36中，“灵动数”为36； ②； 【小问2详解】 解：依题意得：原两位数为， 新两位数为， ， ， ； ， 十位数字：，个位数字：， ∴“灵动数”b为79． 24. 实践与探究 【主题】如何从饮水机接收适宜温度的温水喝？ 【背景】如图1是某品牌的饮水机，饮水机装有开水、温水两个按钮，水流速度及温度如图2所示． 【实践用具】 容积为的水杯． 【查阅资料】 查阅相关资料得知： ①开水和温水混合时会发生热传递，开水释放的热量等于温水吸收的热量，且满足等量关系：开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度． ②饮水适宜温度是（包括与）． 【实践操作】 先从饮水机接收温水的时间为，后接收开水，直至盛满容积为的水杯为止（接水期间不计热损失，也不考虑水溢出的情况）． 【问题解决】 （1）按上述操作，水杯中温水的体积是________，开水的体积是________；（用含的代数式表示） （2）假设盛满水时，水杯中水的温度恰好是，求此时的值； （3）若要使盛满水杯后，符合饮水适宜温度，则直接写出：接收温水时间的取值范围． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意先得出水杯中温水的体积是，进一步可得开水的体积； （2）根据开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度，列方程求解即可； （3）根据题意先得出的边界值，再根据越大水温越低，即可解答． 【小问1详解】 解：根据题意可知，温水的流速为，接收温水的时间为， 水杯中温水的体积是， 开水的体积是． 【小问2详解】 解：根据题意可得，开水降低的温度为，温水升高的温度为． 开水体积开水降低的温度温水体积温水升高的温度， ， 解得，． 【小问3详解】 解：当混合温度为时， 根据题意可得，， 解得，； 由（2）可知，当混合温度为时，， 又饮水适宜温度是（包括与），且越大水温越低， ． 答：的取值范围是． 25. 数学探究 在中，已知． （1）如图1，，的平分线相交于点． ①当时，________；（直接写出结果） ②的度数为________；（用含的代数式表示） （2）如图2，，的平分线相交于点，作外角，的角平分线交于点．求的度数．（用含的代数式表示） （3）如图3，点，分别为，延长线上的一点，点，分别在内部和外部，且满足，，，．分别求，的度数．（用含、的代数式表示） 【答案】（1）①；② （2） （3）； 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （2）根据外角的性质、角平分线的定义和三角形的内角和定理，进行解答即可； （3）根据外角的性质和三角形的内角和定理，进行解答即可． 【小问1详解】 解：①平分，平分， ，， ， 当时，； ②由①可知，． 【小问2详解】 解：，， ． 点是的外角，的角平分线的交点， ，， ， ． 【小问3详解】 解：， ． ，， ， ． 由（2）可知，． ，， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $