精品解析：福建省泉州市惠安县2024-2025学年七年级下学期6月期末数学试题

惠安县2024-2025学年度下学期七年级期末质量揣测 数学试题 满分150分；时间：120分钟 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 若代数式的值等于1，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 2. 根据等式的性质，下列变形不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 3. 如图，数轴上表示的不等式组解集为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点在上，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 5. 若一个三角形的两边长分别为3和6，则该三角形的周长可能是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 6. 小华家房屋地面装修，爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，小华告诉爸爸：只用一种正八边形地砖是不能铺满地面的，可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，这种正多边形地砖的形状可以是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 7. 甲、乙两队进行篮球对抗赛，现规定每队胜一场得4分，负一场得2分，双方比赛10场且每一场都赛出胜、负（没有平场），甲队至少要胜多少场才能使得分不少于30分？设甲队胜了x场，则下列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 8. 若，且满足，则的值等于（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 9. 杆秤是中国独立发明的度量物体质量的衡器，它是我国古代劳动人民的智慧结晶．如图是某种简易杆秤示意图，提纽固定于点处，秤盘固定悬挂在点处，秤砣悬挂在点处可以左右移动，当秤盘空载，秤砣位于点时，秤杆恰好平衡即保持水平状态；当秤盘放入一定质量物品时，可移动秤砣使得秤杆保持平衡．若放进秤盘克物品，秤杆处于平衡时，秤砣所挂点与提纽点的距离为毫米，测得（克）与（毫米）的几组对应数据如表：（ ） 克 0 2 4 6 毫米 10 14 18 22 根据上面信息，求当克时，的值是（ ） A. 30毫米 B. 32毫米 C. 38毫米 D. 40毫米 10. 已知实数 满足：，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分． 11. 把方程改写成用含的代数式表示，则_______． 12. 九边形的外角和为____°． 13. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为__________． 14. 如图，将长方形纸片沿折痕折叠后压平，点的对应点分别为，若线段与相交于点，，则_____________． 15. 一个足球的表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成，呈现黑白相间的经典设计．其中黑皮部分形状是正五边形，白皮部分形状是正六边形，如图所示．已知黑皮和白皮共有32块，每个黑块与5个白块相邻，每个白块与3个黑块及3个白块相邻，则缝制这样一个足球需要白皮_____________块． 16. 已知，为上一点，将线段沿方向平移至，与交于点，，若与的面积之和为，点是上一点，则当取得最小值为时，的长为_______________． 三、解答题：共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17. 解方程：． 18. 解方程组： 19. 解不等式组：，并求出不等式组的所有整数解之和． 20. 如图，中，． （1）尺规作图：过点作，垂足为；作出点关于直线的对称点，并连结（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，求当时，的度数． 21. 如图，已知，且三点共线，． （1）填空：先将绕点逆时针旋转__________度，再向右平移线段_____________（填“”，“”或“”）的长度，可得； （2）连结，若，求的面积． 22. 随着电影《哪吒·魔童闹海》的热映，与之相关的玩偶杯、玩偶盲盒等影片衍生品在市场上热销起来，某潮玩店1月份、2月份的销售情况如表： 月份 销售量/个 销售额/元 玩偶杯 盲盒 1月 70 50 7500 2月 90 70 10100 （1）求该店玩偶杯、玩偶盲盒的售价； （2）某商家准备投入2000元资金全部用来购买玩偶杯和盲盒．且要求每种商品的购买数量均不低于10个，问一共有几种购买方案？ 23. 大家知道，数学上常用“作差法”比较两个数或代数式的大小．若比较两个式子与的大小，只要计算的结果，若，则；若，则；若．则．例如：已知，，其中．则， ∵ ∴，则， 依据上述方法，完成下列问题： （1）若，则___________；（填“>”“<”或“=”）； （2）已知，若的值与无关，试比较两个式子与的大小； （3）将边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，设和的面积之和为，阴影部分的面积为，试判断与的大小关系，并说明理由． 24. 如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． （1）【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； （2）【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． （3）【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． 25. 已知直线于点，点在直线上，点在直线上． （1）如图1，射线分别是和的角平分线，问点运动过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求的大小； （2）如图2，延长至，是内的一条射线，与直线相交于点，若的平分线恰好交于点，过点作于，设，试探究和满足的数量关系，并证明； （3）如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线所在直线分别相交于，在的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 惠安县2024-2025学年度下学期七年级期末质量揣测 数学试题 满分150分；时间：120分钟 一、选择题：共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的． 1. 若代数式的值等于1，则（ ） A. 0 B. 1 C. -1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次方程，根据代数式的值等于1列方程求解即可． 【详解】由题意，代数式的值等于1，可列方程： ∴ ∴ ∴ 故选B． 2. 根据等式的性质，下列变形不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考了等式的性质，熟练掌握等式的基本性质是解题的关键．根据等式的性质逐项分析判断即可得出答案． 【详解】解：A、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； B、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； C、若，则，故此选项变形正确，不符合题意； D、若且，则，故此选项变形不正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，数轴上表示的不等式组解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴表示不等式组的解集，根据不等式组的解集为公共部分，空心点表示不含等号，实心点表示含有等号，由此即可求解． 【详解】解：根据图示，不等式组的解集为， 故选：A ． 4. 如图，点在上，，，则的长为（ ） A. B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形对应边相等． 由得，进而可得，利用线段的和差即可求解． 【详解】解：， ， ， ， ， ， ． 故答案为：A． 5. 若一个三角形的两边长分别为3和6，则该三角形的周长可能是（ ） A. 9 B. 12 C. 15 D. 12或15 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 设这个三角形的第三边是x，周长是l，由三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，得到，推出，即可得到答案． 【详解】解：设这个三角形的第三边是x，周长是l， ， ， ， ， ∴该三角形的周长可能是15． 故选：C． 6. 小华家房屋地面装修，爸爸选中了一种漂亮的正八边形地砖，小华告诉爸爸：只用一种正八边形地砖是不能铺满地面的，可以与另外一种边长相等的正多边形地砖组合使用，这种正多边形地砖的形状可以是（ ） A. 正三角形 B. 正方形 C. 正五边形 D. 正六边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平面镶嵌，解决此类题的关键是记住几个常用正多边形的内角度数，以及能够用多种正多边形镶嵌的几个组合．根据题意，先清楚正八边形的每个内角度数为，再求出所给选项中的图形每个内角的度数，看其能否够成的周角，并以此为依据进行求解判断即可． 【详解】解：A项，正八边形、正三角形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意； B项，正方形、正八边形的每个内角度数分别为，，由于，所以能铺满，符合题意 C项，正八边形、正五边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意 D项，正六边形和正八边形的每个内角度数分别为，，显然不能构成的周角，所以不能铺满，不符合题意． 故选：B． 7. 甲、乙两队进行篮球对抗赛，现规定每队胜一场得4分，负一场得2分，双方比赛10场且每一场都赛出胜、负（没有平场），甲队至少要胜多少场才能使得分不少于30分？设甲队胜了x场，则下列不等式正确的为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出不等关系，列出不等式求解．设甲队胜了x场，根据题意列出不等式即可． 【详解】解：设甲队胜了x场， 则， 故选：D． 8. 若，且满足，则的值等于（ ） A. 0 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，得，结合即可求解． 【详解】解： ，得 ∴ ∵ ∴ 解得． 故选D． 9. 杆秤是中国独立发明的度量物体质量的衡器，它是我国古代劳动人民的智慧结晶．如图是某种简易杆秤示意图，提纽固定于点处，秤盘固定悬挂在点处，秤砣悬挂在点处可以左右移动，当秤盘空载，秤砣位于点时，秤杆恰好平衡即保持水平状态；当秤盘放入一定质量物品时，可移动秤砣使得秤杆保持平衡．若放进秤盘克物品，秤杆处于平衡时，秤砣所挂点与提纽点的距离为毫米，测得（克）与（毫米）的几组对应数据如表：（ ） 克 0 2 4 6 毫米 10 14 18 22 根据上面信息，求当克时，的值是（ ） A. 30毫米 B. 32毫米 C. 38毫米 D. 40毫米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的运用，根据表格信息确定一次函数解析式，再把代入计算即可求解． 【详解】解：根据题意，随的增加而增加， ∴设， 当时，， ∴， 解得，， ∴， ∴当时，， 故选：D ． 10. 已知实数 满足：，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，根据不等式的性质逐项判断即可求解，掌握不等式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴，故错误； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故错误； ∵，， ∴， 又∵，， ∴， ∴，故正确； 故选：． 二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分． 11. 把方程改写成用含的代数式表示，则_______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了等式的性质，解方程的一般步骤，熟练掌握等式的性质是解题关键． 利用等式的性质进行将移项到右边即可求解． 【详解】解：， ． 故答案为：． 12. 九边形的外角和为____°． 【答案】360 【解析】 【详解】任意多边形的外角和都是360°，故九边形的外角和为360°． 故答案为：360． 13. 已知关于x的不等式组无解，则a的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，分别求出每一个不等式的解集，再根据原不等式组无解可得，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：， 解不等式②得：， ∵关于x的不等式组无解， ∴， 解得：， 故答案为：． 14. 如图，将长方形纸片沿折痕折叠后压平，点的对应点分别为，若线段与相交于点，，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，由折叠性质可知：，再根据得，再根据角度和差即可求解． 【详解】解：由折叠性质可知：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 一个足球的表面是由若干块黑皮和白皮缝合而成，呈现黑白相间的经典设计．其中黑皮部分形状是正五边形，白皮部分形状是正六边形，如图所示．已知黑皮和白皮共有32块，每个黑块与5个白块相邻，每个白块与3个黑块及3个白块相邻，则缝制这样一个足球需要白皮_____________块． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设缝制这样一个足球需要白皮块，则缝制这样一个足球需要黑皮块，根据“每个黑块与个白块相邻，每个白块与个黑块及个白块相邻(即白皮与黑皮的数量比为：)”，可列出关于的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设缝制这样一个足球需要白皮块，则缝制这样一个足球需要黑皮块， 根据题意得：， 解得：， 缝制这样一个足球需要白皮块． 故答案为：． 16. 已知，为上一点，将线段沿方向平移至，与交于点，，若与的面积之和为，点是上一点，则当取得最小值为时，的长为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形的面积、垂线段最短、平移的性质，掌握平移的性质，平行线间的距离相等、三角形的面积公式等是解题的关键．连接，，根据已知可得，，设，则， 进而求得，根据与的面积之和为，得出，根据当取得最小值为时，，进而根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】解：如图，连接，， ∵， ∴， 设，则， 又∵线段沿方向平移至， ∴， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵， ∴ ∴ ∵与的面积之和为， 即 解得： ∴ ∵当取得最小值为时， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：共9小题，共86分，解答应写出文字说明、证明过程或者演算步骤． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了一元一次方程的求解能力，关键是能准确理解并运用该解法进行计算．通过去括号、移项、合并同类项和化系数为1进行求解． 【详解】解： 去括号得， 移项得，， 合并同类项得，， 化系数为1得，． 18. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】用加减消元法求解即可． 【详解】解：， ，得 ， ∴， 把代入②，得 ， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 19. 解不等式组：，并求出不等式组的所有整数解之和． 【答案】，整数解之和为3 【解析】 【分析】此题考查了解一元一次不等式组，以及一元一次不等式组的整数解，熟练掌握运算法则是解本题的关键．分别求出不等式组中两不等式的解集，找出解集的公共部分确定出解集，找出整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， 则不等式组的解集为：， ∴不等式组的整数解之和为． 20. 如图，中，． （1）尺规作图：过点作，垂足为；作出点关于直线的对称点，并连结（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在（1）所作的图形中，求当时，的度数． 【答案】（1） 如图： （2） 【解析】 【分析】本题考查作垂线、三角形内角和定理以及三角形的外角的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据垂线的作图方法作出即可；以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连结即可． （2）结合题意可得，根据，可得．再根据，可得，即，则，进而可得． 【小问1详解】 解：以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连结； 【小问2详解】 点与点关于直线对称， 垂直平分线段， ， ． ， ． ， ， ， ， ． 21. 如图，已知，且三点共线，． （1）填空：先将绕点逆时针旋转__________度，再向右平移线段_____________（填“”，“”或“”）的长度，可得； （2）连结，若，求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查平移与旋转的性质、三角形的面积、全等三角形的性质，掌握平移与旋转的性质是解题的关键． （1）结合旋转的性质和平移的性质可得答案． （2）由全等三角形的性质可得，．由已知条件可得，则，可得，进而可得的面积． 【小问1详解】 解：由图可知，先将绕点逆时针旋转度，再向右平移线段的长度，可得． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：， ，． ， ， ， ． ∴△ACE的面积为． 22. 随着电影《哪吒·魔童闹海》的热映，与之相关的玩偶杯、玩偶盲盒等影片衍生品在市场上热销起来，某潮玩店1月份、2月份的销售情况如表： 月份 销售量/个 销售额/元 玩偶杯 盲盒 1月 70 50 7500 2月 90 70 10100 （1）求该店玩偶杯、玩偶盲盒的售价； （2）某商家准备投入2000元资金全部用来购买玩偶杯和盲盒．且要求每种商品的购买数量均不低于10个，问一共有几种购买方案？ 【答案】（1）该店玩偶杯的售价是元，玩偶盲盒的售价是元 （2）一共有种购买方案 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，根据题意列出方程组和不等式组是解题的关键； （1）设该店玩偶杯的售价是元，玩偶盲盒的售价是元，利用销售总额销售单价销售量，结合该潮玩店月份、月份的销售情况，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买个玩偶杯，则购买个玩偶盲盒，根据要求每种商品的购买数量均不低于个，可列出关于的一元一次不等式组，解之可得出的取值范围，再结合， 均为正整数，即可得出一共有种购买方案． 【小问1详解】 解：设该店玩偶杯的售价是元，玩偶盲盒的售价是元， 根据题意得：， 解得：． 答：该店玩偶杯的售价是元，玩偶盲盒的售价是元； 【小问2详解】 设购买个玩偶杯，则购买个玩偶盲盒， 根据题意得： ， 解得：， 又， 均为正整数， 可以为，． 答：一共有种购买方案． 23. 大家知道，数学上常用“作差法”比较两个数或代数式的大小．若比较两个式子与的大小，只要计算的结果，若，则；若，则；若．则．例如：已知，，其中．则， ∵ ∴，则， 依据上述方法，完成下列问题： （1）若，则___________；（填“>”“<”或“=”）； （2）已知，若的值与无关，试比较两个式子与的大小； （3）将边长分别为和（其中）的两个正方形按如图摆放，设和的面积之和为，阴影部分的面积为，试判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3），理由见解析 【解析】 【分析】（1）利用整式加减计算化简，再判断差值正负即可； （2）先计算，根据的值与无关，得出,进而得出 ，即可求解． （3）先表示，由完全平方公式表示，然后作，差因式分解可得，再根据平方非负性即可判断正负． 【小问1详解】 解： ， ， ； 【小问2详解】 解：∵ ∴ ∵的值与无关， ∴ 解得： ∴ ∴ 【小问3详解】 ，理由如下： 由题意得， ． 24. 如图1是常见的“8字型”平面图形，设的交点为，根据“三角形的内角和”等相关几何知识，易证得这个重要数学结论． （1）【模型求解】如图2，线段位于四边形内部，连结交于点，运用上述结论，求出的度数； （2）【构造模型】如图3是常见的“五角星”平面图形，求出的角度之和（要求：用两种思路进行求解）． （3）【拓展运用】若将图3中“五角星”的五个角截去，得到如图4，请求出图4中的角度之和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查的是三角形内角和定理，根据题意作出辅助线构造三角形和“8”字模型是解答此题的关键． （1）利用“8”字模型和四边形内角和进行计算即可； （2）连接，构造三角形和“8”字模型即可求解； （3）构造三角形，利用（2）中的结论可得结论． 【小问1详解】 解：（1）由“8字型”可知，， ； 【小问2详解】 如图3：连接， 由（1）得：， ， ， 即五角星的五个内角之和为． 【小问3详解】 如图4，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点，延长，于点， 由（3）得， ， ， ， 同理可得，， ， ， ， ． 25. 已知直线于点，点在直线上，点在直线上． （1）如图1，射线分别是和的角平分线，问点运动过程中，的大小是否会发生变化？若发生变化，请说明变化的情况；若不发生变化，试求的大小； （2）如图2，延长至，是内的一条射线，与直线相交于点，若的平分线恰好交于点，过点作于，设，试探究和满足的数量关系，并证明； （3）如图3，延长至，已知的角平分线与的角平分线所在直线分别相交于，在的三个内角中，若存在一个角是另一个角的3倍，请求出的度数． 【答案】（1） 大小不发生变化， （2） （3） 为 或 【解析】 【分析】本题综合考查角平分线性质、三角形内角和与外角定理，通过设角、利用定理推导关系，分情况讨论求解，关键是熟练运用相关定理和性质． （1）利用直角三角形两锐角和为以及角平分线性质和三角形内角和定理求； （2）设，，．则，通过角平分线性质和三角形外角定理分别表示出与，进而找与关系； （3）先求，再分情况讨论与的倍数关系求． 【小问1详解】 解：不发生变化，理由如下： ∵ ∴， 在中，， ∵射线分别是和的角平分线， ∴，， ∴， 在中，， ∴大小不发生变化，为； 【小问2详解】 ∵的平分线恰好交于点， 设，，． ∴ ∴ 即 ∴ ∴， ， ， ∵ ∴， ∴ ∴． 【小问3详解】 ∵平分，平分， ∴ ∵平分，， ∴． 分情况讨论 情况一：若，， 则，， ∵ ∴ ． 情况二：若，，则，， 而，不合题意，舍去 情况三：若，则， ∴ 而，不合题意，舍去 情况四：若，， ∵ ∴ ． 综上所述，为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $