3.2.1单调性与最大(小)值（函数的最值）限时训练（2） 2026-2027学年 高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 聚焦函数最值，通过基础、中档、拔高三层设计，覆盖从概念理解到综合应用，强化数学抽象与推理能力，适配同步教学巩固需求。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一函数最值计算|选择1-5题直接应用单调性求二次函数、分段函数最值，巩固概念理解| |中档|含参/分段函数最值|选择6-10题结合参数讨论、新定义运算（如第9题），提升推理能力| |拔高|综合应用与探究|解答17-19题通过不等式恒成立、函数单调性与最值综合问题，培养模型意识|

3.2.1单调性与最大(小)值（函数的最值）限时训练（2） （完成时间：70分钟） 一、选择题. 1.函数f(x)＝x2＋3x＋2在区间(－5，5)上的最大值、最小值分别为(　　) A． 42，12 B． 42，－ C． 12，－ D． 无最大值，－ 2.已知函数.若有最小值-2，则的最大值为 （ ） A． -1 B． 0 C． 1 D． 2 3．当0≤x≤2时，a<－x2＋2x恒成立，则实数a的取值范围是(　　) A． (－∞，1] B． (－∞，0] C． (－∞，0) D． (0，＋∞) 4.函数f（x）=，则f（x）的最大值、最小值为（　　） A．10，6 B．10，8 C．8，6 D．以上都不对 5.函数f（x）=的最值情况为（　　） A．最小值0，最大值1 B．最小值1，最大值5 C．最小值0，最大值5 D．最小值0，无最大值 6. 当时，函数在时取得最大值，则a的取值范围是（ ） A． B. C. D． 7.函数f（x）=的最大值是（　　） A.    B.       C.        D.  8.已知函数f（x）=存在最小值，则当实数a取最小值时，f[f（﹣2）]=（　　） A．﹣2 B．4 C．9 D．16 9．对于任意实数a，b，定义：，若函数f（x）=x2，g（x）=x+2，则函数G（x）=F（f（x），g（x））的最小值为（　　） A．0 B．1 C．2 D．4 10. 已知函数，若对一切， 都成立，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 11.函数y=的值域为　 　． 12．若函数y=的值域为[0，+∞），求实数a的取值范围． 13．已知函数f(x)＝x2－6x＋8，x∈[1，a]，并且函数f(x)的最小值为f(a)，则实数a的取值范围是________． 14.设0<x<1，则函数y＝＋的最小值是________． 15.若对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立，则实数x的最小值为________． 16.若定义运算a⊙b=，函数f（x）=x⊙（2﹣x）则f（5）=　 ，f（x）的最大值是　 　． 三、解答题. 17.已知函数f（x）=ax2+bx+c（a，b，c∈R且a≠0）， 若对任意实数x，不等式2x≤f（x）（x+1）2恒成立． （1）求f（1）的值； （2）求a的取值范围； 18. 已知函数 . （1）若函数在上不单调，求实数的取值范围； （2）记函数 ，如果对任意的 ， ，有不等式恒成立， 求实数的取值范围. 19.已知，若在上的最大值为，最小值为，令. （1）求的函数表达式； （2）判断函数的单调性，并求出的最小值. 答案 1.D解：因为对称轴为x= ，所以x=时取最小值－，由于为开区间，端点值取不到，无最大值，选D. 2.C解：由题可知，f (x)＝－x2＋4x＋a，对称轴为x=2，故x∈[0,1]时，函数始终是增函数，在x=0处取得最小值-2，即有a=-2，此时f (x)＝－x2＋4x—2，故最大值在对称轴处取得，最大值为1. 3. C解：令f(x)＝－x2＋2x，则f(x)＝－x2＋2x＝－(x－1)2＋1. 又∵x∈[0,2]，∴f(x)min＝f(0)＝f(2)＝0.∴a<0,故选C. 4.C. 5.解：x∈[﹣1，0]，f（x）的最大值为1，最小值为0； x∈（0，1]时，f（x）∈[1，+∞）无最大值，有最小值1， 所以f（x）有最小值0，无最大值．故选：D． 6.D解：试题分析：对称轴为， 1）当a＞0时，要使x=2时候取得最大值，则，解得， 2）当a=0时，f（x）=-4x-3，x=0时候取得最大值，不符合题意， 3）当a＜0时，要使x=2时候取得最大值，则，a≥，与a＜0相悖． 综上所述a的取值范围为[，+∞）． 7.D 解：∵1﹣x（1﹣x）=1﹣x+x2=（x﹣）2+≥， ∴f（x）=≤， f（x）max=． 故选D 8.解：∵函数f（x）=存在最小值，∴﹣1+a≥12，解得a≥2． 则当实数a取最小值2时，x＜1时，f（x）=﹣x+2．∴f（﹣2）=4． f[f（﹣2）]=f（4）=42=16．故选：D． 9.解：由题意F（x）=，可得：F（x）= 作出图象如下：从图象不难看出：函数G（x）=F（f（x），g（x））的最小值为1． 故选：B． 10. C 解：由题意得，对一切，f(x)>0都成立， 即，而， 则实数a的取值范围为.故选C. 11：解：y===1﹣，∵≥0，∴+1≥1， 则0＜≤1，0＜≤2，则﹣2≤﹣＜0， 则﹣1≤1﹣＜1，即﹣1≤y＜1， 则函数的值域为[﹣1，1），故答案为：[﹣1，1） 12.解：∵函数y=的值域为[0，+∞）， ∴函数y=ax2+（1﹣2a）x+1能够取到大于等于0的所有数， 若a=0，函数y=ax2+（1﹣2a）x+1化为y=x+1，满足题意； 若a≠0，则，解得0或a． 综上，实数a的取值范围是[0，]∪[，+∞）． 13.(1,3]解：是对称轴为x＝3，开口向上的抛物线，所以在(－∞，3]上递减，[3，＋∞)上递增.又因为x∈[1，a]，min＝f(a)，所以在[1，a]上递减，故a≤3. 综上，1<a≤3,故填(1，3]. 14.4解：】y＝＋＝，当0<x<1时，x(1－x)＝－(x－)2＋≤.∴y≥4. 15.﹣1 解：∵对任意正实数a，不等式x2≤1+a恒成立， ∴等价于a≥x2﹣1， ∴a≥（x2﹣1）max 0≥（x2﹣1）max ﹣1≤x≤1,∴实数x的最小值为﹣1． 16.解：由a⊙b=得，f（x）=x⊗（2﹣x）=， ∴f（5）=2﹣5=﹣3， ∴f（x）在（﹣∞，1）上是增函数，在[1，+∞）上是减函数， ∴f（x）≤1，∴f（x）的最大值是1，故答案为：﹣3，1． 17.解：（1）令x=1，由2x≤f（x）（x+1）2可得，2≤f（1）≤2，∴f（1）=2； （2）由f（1）=2可得a+b+c=2，即为b=2﹣（a+c）， ∵对于一切实数x，f（x）﹣2x≥0恒成立， ∴ax2+（b﹣2）x+c≥0（a≠0）对于一切实数x恒成立， ∴，即． 可得（a﹣c）2≤0，但（a﹣c）2≥0，即有a=c＞0，则f（x）=ax2+bx+a， f（x）（x+1）2恒成立，即为（a﹣）x2+（b﹣1）x+（a﹣）≤0， 可得a﹣＜0，且△=（b﹣1）2﹣4（a﹣）2≤0， 由b﹣1=1﹣2a，即有△=0成立； 综上可得a的范围是（0，）. 18. 解：（1）要使在上不单调，则 即. . （2）要使原不等式恒成立， 则 ， 此时原不等式恒成立 综上所述实数. 19.（1）因为，又，所以. 当即时， ， ， ； 当，即时， ， ， . 所以. （2）设，则 ，所以在上为增函数； 设，则 ， 所以在上为减函数.所以当时， . 学科网（北京）股份有限公司 $