精品解析：山东省泰安市肥城市2025—2026学年度下学期期末考试八年级数学试题

2025—2026学年度下学期期末考试八年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共8页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等 D. 每条对角线平分一组对角 【答案】D 【解析】 【分析】只需对比两类图形的性质，逐一判断选项即可得出结论． 【详解】解：菱形和矩形都是特殊的平行四边形，平行四边形的性质为二者共有， ∵平行四边形具有对角线互相平分、对边平行且相等的性质， ∴选项A，C都是菱形和矩形共有的性质，不符合题意； ∵对角线相等是矩形具有而菱形不一定具有的性质， ∴选项B不符合题意； ∵菱形的每条对角线平分一组对角，矩形的对角线不一定平分一组对角， ∴该性质是菱形具有而矩形不一定具有的性质，故选项D符合题意． 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】最简二次根式需满足两个条件，被开方数不含分母，被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：A.，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意； B.，被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数，符合定义，是最简二次根式，本选项符合题意； C.，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，本选项不符合题意； D.，被开方数含分母，不是最简二次根式，本选项不符合题意． 3. 点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用已知点坐标求出反比例函数的比例系数，再根据反比例函数图象上点的坐标特征（横纵坐标乘积等于），逐一验证选项即可． 【详解】解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数图象上的点满足， A选项，，满足条件，该点在此函数图象上； B选项，，不满足条件； C选项，，不满足条件； D选项，，不满足条件． 4. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于一元二次方程，当时，方程有两个相等的实数根. 对本题而言， ，解得． 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的运算法则，逐个判断选项即可得到结果． 【详解】解：A.和不是同类二次根式，不能合并，故选项A计算错误，不符合题意； B.，计算正确，符合题意； C.，故选项C计算错误，不符合题意； D.∵当时，， ∴，故选项D计算错误，不符合题意． 6. 如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】延长，交网格于格点，连接，设网格小正方形边长为1，利用勾股定理求出，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，根据三角函数的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长，交网格于格点，连接， 设网格小正方形边长为1， ∴，，， ∵，即， ∴是直角三角形，， ∴． 7. 如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：由点的坐标为可得，由点，在格点上可得，解得，． 8. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，交于点，则的长度是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据尺规作图可知垂直平分，从而得出为中点且，结合可得，进而利用相似三角形性质求解即可． 【详解】解：在中，， ． 由作图可知，是线段的垂直平分线， ， ，， ， ， ． 在中，， 9. 某校计划在一块长米、宽米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为平方米，设小道的宽为米，则可列方程为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用（矩形面积问题），建立关于面积和边长的等量关系，列出一元二次方程并求解即可． 【详解】解：设小道的宽为米，则个小矩形可合成长为米、宽为米的矩形， ∴根据矩形的面积公式可列出关于的一元二次方程：． 10. 如图，正方形中，为边上任意一点（不与点，重合），将绕点逆时针旋转至，连接，取的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接，过点作于点，证明，由全等三角形的性质可得，进而可得点共线，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可得，进一步证明，由全等三角形的性质可得，即为等腰直角三角形，易得；证明，由相似三角形的性质可得，进一步求解即可获得答案． 【详解】解：如图所示，连接，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴， ∵将绕点C逆时针旋转至F， ∴， ∴，则， ∴， ∴，则， ∴点共线， ∵点P是中点， ∴在中，，在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴，即为等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空题（本大题共5个小题，只要求填写结果） 11. 若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 【答案】 【解析】 【分析】点在反比例函数图像上，点的坐标满足反比例函数解析式，将点坐标代入解析式即可求解的值． 【详解】解：将代入， 可得，解得． 12. 2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据黄金矩形的定义，宽与长的比为黄金比，将已知的长代入比例式，化简计算即可求解． 【详解】解：设海报的宽为，已知长为，由黄金矩形的定义可得 ， 解得， 即宽为． 13. 彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意得到，根据三角形中位线定理得到，根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到的长为． 【详解】解：∵点，对应的刻度分别为1，5， ． ∵点，分别为边，的中点， ∴． ∵，点为的中点， ． 14. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 【答案】15 【解析】 【分析】先利用根的定义对所求代数式降次，再根据根与系数的关系得到两根之和与两根之积，代入化简后的代数式计算即可． 【详解】解：是一元二次方程的两个根， 由一元二次方程根的定义得，即， 由根与系数的关系得，， 将代入所求代数式得： ． 15. 如图，在菱形中，，，点E，F分别在，边上运动，连接，，，，则的最小值是____________． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，过点作于点，先解直角三角形，得到，再由平行线分线段成比例得到，证明，求得，当时，有最小值， 有最小值，此时点与重合，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， 在菱形中，， ， 在中，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，有最小值，有最小值，此时点与重合， 的最小值为， 的最小值是． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1） （2）7 （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ； 【小问4详解】 解：原式 ． 17. 解下列方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可． （2）利用公式法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：移项得， 提取公因式得：， ∴， 即，， 解得：，． 【小问2详解】 解：对于方程，其中，，， ∴判别式， ∴， ，． 18. 如图，平分，，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】证明，由相似三角形的性质可得，然后代入数值求解即可． 【详解】解：平分， ， 又， ， ， ∵，， ∴，解得． 19. 某校综合与实践小组测量某塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 某塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点处垂直上升至点，测得塔的顶端的俯角为； 2．再将无人机从点处沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点．此时，测得塔的顶端的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求该塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 【答案】塔高约 【解析】 【分析】延长交于点，延长交于点，由题意得：，，，，，，然后设，则，分别在和中，利用解直角三角形求出的长，即可求解，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：延长交于点，延长交于点，如图： 由题意得：，，，，，， 设， ， 在中，， ， 在中，， ， ， ， 解得：， ， ， 答：塔的高度约为． 20. 为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1） （2）售价应降低20元 【解析】 【分析】（1）设月平均增长率为，根据题意列出一元二次方程并求解，结合实际即可获得答案； （2）设降价元，则单件利润为元，每日销量为件，根据题意列出一元二次方程并求解，结合题意即可获得答案． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， 根据题意，可得， ∴， 解得（不合题意，舍去）， ∴， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设降价元，则单件利润为（元），每日销量为（件）， 根据题意，可得， 整理可得， 解得，， 要求尽快减少库存，选择降价更多的，降价元， 答：售价应降低20元． 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 【答案】（1）， （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出一次函数的解析式和反比例函数的解析式； （2）直线交轴于点，用割补法求出的面积； （3）根据函数图象找到不等式的解集． 【小问1详解】 解：反比例函数过， 可得：， 解得：， 反比例解析式为， 将代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 一次函数过、， 可得：， ， 一次函数解析式：； 【小问2详解】 解：当时，, 直线交轴于点， ， 答：的面积为； 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当或时，变形为， 不等式的解集为或． 22. 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 【答案】（1） （2）第一次加热：；第一次降温： （3）能，计算过程如下： 由题意得，由到，共计时长为1小时25分钟，即85分钟， 对于第一次降温过程的函数解析式， 当时，可得，解得， ∴饮水机一个完整工作周期（加热降温）的时间为分钟， ∴85分钟，可经过3次完整工作循环，且剩余15分钟，此时水温与第15分钟的水温相同， ∴， ∵， ∴同学们能喝到不超过的水． 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：第一次加热：，为一次函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次加热过程的函数解析式为； 第一次降温：，为反比例函数，设， 将点代入，可得，解得， ∴第一次降温过程的函数解析式为； 【小问3详解】 略 23. 探究正方形与矩形背景下的三角形及线段之间的关系，并完成以下问题． （1）如图1，在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接，过点作，，分别交直线于点、．求证：； （2）将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，． ①如图2，求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 【答案】（1）证明：四边形是正方形，为对角线， ， ， ∴， ∴，即为等腰直角三角形， ， ，， ∴， ， 在和中， ， ； （2）①；②7 【解析】 【分析】（1）首先证明为等腰直角三角形，易得，，再证明，利用“”即可证明； （2）①首先证明，由相似三角形的性质可得，进而解得，再证明，由相似三角形的性质可得； ②过点作于点，首先根据勾股定理和三角形面积公式解得，，的长度，由等腰三角形“三线合一”的性质可得，进而可得，然后结合，，由相似三角形的性质解得，，进而由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①解：∵四边形为矩形，，， ∴，，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∴， ，， ∴，， ， ∴， ∴； ②如图，过点作于点， 在中，， ∵， ∴， ∴在中，， ∵，， ∴， ∴， 由（2）①得， ∴，即， ∴， 由（2）①得， ∴，即 ∴， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度下学期期末考试八年级数学试题 注意事项： 1．答题前请将答题卡密封线内的项目填写清楚，然后将试题答案认真书写（填涂）在答题卡的规定位置，否则作废． 2．本试卷共8页，考试时间120分钟． 3．考试结束只交答题卡． 一、选择题（本大题共10个小题，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，把正确答案序号填在答题纸相应的位置） 1. 下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对边平行且相等 D. 每条对角线平分一组对角 2. 下列各式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 点在反比例函数的图象上，则下列各点中，在此函数图象上的是（ ） A. B. C. D. 4. 关于的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 下列各式中，计算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点，，都在正方形网格的格点上，则的值是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在边长为1的正方形网格上建立平面直角坐标系，轴，轴都在格线上，其中反比例函数的图象被撕掉了一部分，已知点，在格点上，设点的坐标为，则（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，分别以点，为圆心大于长为半径画弧，两弧交于点，，交于点，交于点，连接，交于点，则的长度是（ ） A. B. C. D. 9. 某校计划在一块长米、宽米的矩形空地上（如图）修建花坛．现要在中间开辟一横两纵三条等宽的小道，其余部分种植花卉．若花坛的种植面积为平方米，设小道的宽为米，则可列方程为（ ）. A. B. C. D. 10. 如图，正方形中，为边上任意一点（不与点，重合），将绕点逆时针旋转至，连接，取的中点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5个小题，只要求填写结果） 11. 若反比例函数的图像经过点，则的值是____________． 12. 2026年国际数学日的主题为“数学与希望”．某校学生运用所学AI技术围绕该主题设计了一张黄金矩形（宽与长的比为黄金比）海报．若该海报的长为，则它的宽为___________． 13. 彤彤用刻度尺（单位：）对直角三角形的尺寸进行测量．如图，点，对应的刻度分别为1，5，点，分别为边，的中点，点为的中点，则的长为_____． 14. 已知m、n是一元二次方程的两个根，则的值为____________． 15. 如图，在菱形中，，，点E，F分别在，边上运动，连接，，，，则的最小值是____________． 三、解答题（本大题共8个小题，要写出必要的计算、推理、解答过程） 16. 计算： （1） （2） （3） （4） 17. 解下列方程： （1） （2） 18. 如图，平分，，若，，求的长． 19. 某校综合与实践小组测量某塔的高度，形成了如下不完整的实践报告： 测量对象 某塔 测量目的 学会运用三角函数有关知识解决生活实际问题 测量工具 无人机 测量方案 1．先将无人机从地面的点处垂直上升至点，测得塔的顶端的俯角为； 2．再将无人机从点处沿水平方向飞行至点，然后沿垂直方向上升至点．此时，测得塔的顶端的俯角，图中各点均在同一竖直平面内． 测量示意图 请根据以上测量数据，求该塔的高度（结果精确到，参考数据：，，）． 20. 为庆祝中国航天事业成立70周年，某航天科普基地推出了一款运载火箭纪念品，深受青少年喜爱． （1）该纪念品今年1月份的销售量为700件，3月份的销售量为1008件．若1月份到3月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率． （2）该纪念品的进价为每件50元，据市场调查发现，若售价为每件90元，每天能销售30件；售价每降价2元，每天可多售出4件．为推广航天知识，基地决定降价促销，同时尽快减少库存．若使销售该纪念品每天获利1400元，则售价应降低多少元？ 21. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图像交于，两点，连接，． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）求的面积； （3）根据函数图象，直接写出不等式的解集． 22. 教室内饮水机接通电源后自动循环工作：开机后加热升温，当水温达到时停止加热，水温自然冷却下降；当水温回落至时，饮水机自动重启加热，重复上述过程．值日班长于到校接通饮水机电源，记接通电源后第分钟时对应的水温为，水温随时间变化的测量数据如表所示： （分钟） 0 2 5 7 10 14 16 20 … （） 30 50 80 100 70 50 43.75 35 … 请根据上述信息解决下列问题： （1）根据表中数据在如图给出的坐标系中，描出相应的点； （2）选择适当的函数，分别求出第一次加热过程和第一次降温过程的函数关系式并写出自变量的取值范围； （3）上午第一节下课时间为，同学们能不能喝到不超过的水？请通过计算说明． 23. 探究正方形与矩形背景下的三角形及线段之间的关系，并完成以下问题． （1）如图1，在正方形中，点是对角线上的动点（与点，不重合），连接，过点作，，分别交直线于点、．求证：； （2）将（1）中的“正方形”改为“矩形”，其他条件均不变，若，． ①如图2，求的值； ②如图3，连接，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $