精品解析：山东省泰安市肥城市2024-2025学年八年级下学期7月期末数学试题

2024～2025学年度下学期期末考试 八年级数学试题 2025.07 本试卷共8页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把正确答案序号填在答题卡相应的位置． 1. 若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 若，那么的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 4. 我们知道：一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，那么顺次连接某个筝形各边中点得到的图形一定是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 以上都有可能 5. 如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 6. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 如图点P是反比例函数图象上一点，轴于点C，轴于点D，那么四边形的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 8. 报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（ ） A. B. C. D. 9. 若，，三点均在反比例函数图象上，且，那么，，的大小关系不可能正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，为对角线的垂直平分线，交于点，交的延长线于点．若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若反比例函数的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是______． 12. 如图，平分，，，垂足分别为C，D，若，，那么的长为______． 13. 如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 14. 定义为不超过实数x的最大整数，例如，等．那么______． 15. 如图，在四边形中，，，，E为线段上一点，将沿折叠，使点A落在处．若的延长线与交于点F，且，那么______． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 17. 如图所示是由三个小正形组成的网格，连接，，，根据要求完成下列题目．求证： （1）； （2）． 18. 按要求完成下列各题： （1）用配方法解方程：； （2）已知是多项式的一个因式．试求方程的所有解． 19. 如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，，求的长． 20. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 21. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是：______； （2）下列表格是y与x几组对应值． x … 0 2 3 4 5 … y … m … 直接写出m的值______． （3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： （4）结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数随着x的值接近1，其图象越来越靠近直线而永不相交，该函数图象还与直线______越来越靠近而永不相交； ②请再写出该函数的一条性质． 22. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值． 23. 如图，将两个完全相同的菱形和菱形纸片叠放在一起，把菱形纸片固定，让菱形纸片的顶点沿的对角线由向运动，移动过程中边始终过点．对角线与边相交于点，，． （1）求证：； （2）求当为等腰三角形时，的大小； （3）当最短时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度下学期期末考试 八年级数学试题 2025.07 本试卷共8页．满分150分．考试用时120分钟．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 注意事项： 1．答题前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、准考证号和座号填写在答题卡和试卷规定的位置上． 2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案写在试卷上无效． 3．非选择题必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把正确答案序号填在答题卡相应的位置． 1. 若点是反比例函数图象上一点，那么下列各点一定不在其图象上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图象上点坐标的特征，待定系数法，点是反比例函数图象上一点，则，故有反比例函数解析式为，然后逐项代入即可求解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点， ∴， ∴反比例函数解析式为， 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 、当时，，此点不在该反比例函数的图象上，符合题意； 、当时，，此点在该反比例函数的图象上，不符合题意； 故选：． 2. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了最简二次根式，根据最简二次根式的定义：被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；被开方数是整数，因式是整式，进行逐一判断即可，熟练掌握最简二次根式的定义是解本题的关键． 【详解】解：、是最简二次根式，符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 、不是最简二次根式，不符合题意； 故选：． 3. 若，那么的值是（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了分式方程，由已知分式方程出发，通过交叉相乘转化为整式方程，解出x与y的关系式，进而求出结果． 【详解】解：， 交叉相乘得：， 将移到左边，合并同类项：， 两边同时除以2，得：， ， 故选：D． 4. 我们知道：一条对角线所在的直线垂直平分另一条对角线的四边形叫做筝形，那么顺次连接某个筝形各边中点得到的图形一定是（ ） A. 菱形 B. 矩形 C. 正方形 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质及判定、筝形的性质以及三角形中位线定理，解题的关键是利用三角形中位线定理得出中点四边形边的关系，结合筝形对角线性质判断角的情况． 点E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，，首先得到垂直平分，然后利用三角形中位线的性质得到，，证明出四边形是平行四边形，然后证明出，即可得到四边形是矩形． 【详解】如图所示，点E，F，G，H分别是，，，的中点，连接，，，， ∵，， ∴垂直平分， ∴，； ∵点E，F，G，H分别是，，，的中点 ∴，，，， ∴，， ∴四边形是平行四边形； ∵，， ∴； ∵点E，H分别是，的中点， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 故选：B． 5. 如图，用直尺和圆规作菱形，作图过程如下：①作锐角；②以点为圆心，以任意长度为半径作弧，与的两边分别交于点，；③分别以点，为圆心，以的长度为半径作弧，两弧相交于点，分别连接，，则四边形即为菱形，其依据是（ ） A. 一组邻边相等的四边形是菱形 B. 四条边相等的四边形是菱形 C. 对角线互相垂直的平行四边形是菱形 D. 每条对角线平分一组对角的平行四边形是菱形 【答案】B 【解析】 【分析】由作图过程可知，根据菱形的判定定理分析判断即可． 【详解】解：由作图过程可知，， 所以依据是“四条边相等的四边形是菱形”． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了尺规作图和菱形的判定定理，理解并掌握菱形的判定定理是解题关键． 6. 我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．“其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每件椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为株，则符合题意的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“这批椽的价钱为6210文”、“每件椽的运费为3文，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱”列出方程解答． 【详解】解：由题意得：， 故选A. 【点睛】本题考查了分式方程的应用．解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解，准确的找到等量关系并用方程表示出来是解题的关键． 7. 如图点P是反比例函数图象上一点，轴于点C，轴于点D，那么四边形的面积为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，矩形的判定，根据题意设，则，，判定出四边形为矩形，求出矩形面积即可． 【详解】解：点P是反比例函数图象上一点， 设，则，， 轴于点C，轴于点D， 四边形的面积为矩形， 故四边形的面积， 故选：C． 8. 报纸等一些印刷产品的形状通常都是矩形，为了方便阅读和存放，要求对折后的报纸形状与对折前的形状相似，那么这样的矩形较短边与长边的比应是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和，由对折后的报纸形状与对折前的形状相似，，然后求出，关系即可，掌握相似多边形的性质是解题的关键． 【详解】解：设原矩形长边为，短边为（），沿长边对折后，新矩形的边长为和， ∵对折后的报纸形状与对折前的形状相似， ∴原矩形与新矩形的边比相等，， ， ， ∴， 即矩形较短边与长边的比应是， 故选：． 9. 若，，三点均在反比例函数图象上，且，那么，，的大小关系不可能正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解题的关键，根据反比例函数的性质，分情况讨论三个点的位置（全正、全负、正负混合），分析各选项中的大小关系是否可能成立． 【详解】解：∵，，三点均在反比例函数图象上，且， ∴当时，，则C正确； 当时，，则B正确； 当时， ，则D正确； 当时，，则C正确； ∴A始终无法成立， 故选：A． 10. 如图，在矩形中，为对角线的垂直平分线，交于点，交的延长线于点．若，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用矩形的性质，解直角三角形求得，，进而得，根据角平分线的性质可判断项正确，不符合题意；根据三角函数判断项正确，不符合题意；进而得，，故项正确，不符合题意；根据中点与面积关系判断项错误，符合题意； 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴，，，， ∵为对角线的垂直平分线， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故项正确，不符合题意； ∵ ∴， ∴， ∴，故项正确，不符合题意； ∴， ∴，故项正确，不符合题意； ∵，是的中点， ∴，， ∴， ∴，故项错误，符合题意； 【点睛】本题主要考查了解直角三角形，矩形的性质，角平分线的性质，平行线的性质，熟练掌握解直角三角形，矩形的性质是解题的关键． 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分． 11. 若反比例函数的图象在第二、四象限，那么a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象在第二、四象限，得出，即可求解． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， 解得：． 故答案为：． 12. 如图，平分，，，垂足分别为C，D，若，，那么的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理；过作交于，由角平分线的性质得，由可判定，由全等三角形的性质及勾股定理得，，，即可求解；掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． 【详解】解：过作交于， 平分，， ， ，， （）， ， ， 设， 在中，， 在中，， 在中， ， 解得：（负值已舍）， ； 故答案为：． 13. 如果两个不相等的实数a，b满足，，那么的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的应用．解题的关键是熟练掌握一元二次方程的两个根，，满足，．根据两个不相等的实数a，b满足，，得出，是方程的两个根，由根与系数的关系，得即可． 【详解】解：∵两个不相等的实数a，b满足，， ∴可以把，看作是方程的两个根， ∴根据根与系数的关系可知：． 故答案为：． 14. 定义为不超过实数x的最大整数，例如，等．那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算、无理数的估算，理解新定义是解题的关键．分别估算和的大小，再根据新定义得出和的值，再相加即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴． 故答案为：． 15. 如图，在四边形中，，，，E为线段上一点，将沿折叠，使点A落在处．若的延长线与交于点F，且，那么______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质、平行四边形的性质与判定、等角对等边、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键．由垂直的定义和平行线的性质可得，由折叠的性质得，，，利用平行四边形的判定推出四边形是平行四边形，得到，，设，表示出，，则有，推出，求出的长，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 设，则， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题：本题共8小题，共90分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的加减法和二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）二次根式化简后，再合并即可； （2）原式先计算乘方，再化简二次根式后合并即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 如图所示是由三个小正形组成的网格，连接，，，根据要求完成下列题目．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据两条边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似证明即可； （2）根据相似三角形的性质得出，根据等腰三角形的性质得出，根据即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵，， ∴，， ∴， 在和中， 又∵， ∴． 【小问2详解】 证明：由（1）知， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查勾股定理，等腰三角形的性质，三角形内角和定理，三角形相似的判定和性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理． 18. 按要求完成下列各题： （1）用配方法解方程：； （2）已知是多项式的一个因式．试求方程的所有解． 【答案】（1）， （2），， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程、多项式乘多项式，熟练掌握配方法和因式分解法解一元二次方程是解题的关键． （1）利用配方法解方程即可； （2）由题意得，可以分解为的形式，利用多项式乘多项式的运算法则求出的值，再利用因式分解法解方程即可． 【小问1详解】 解：方程可化为：， 配方得：，即， 开平方得：， 所以可得，． 【小问2详解】 解：∵是多项式的一个因式， ∴可以分解为的形式， ∴， ∴，解得， ∴； ∵， ∴ ∴或， 若，则； 若，则，解得或； ∴，，． 19. 如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． （1）求证：四边形为矩形； （2）连接，若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵的平分线交于点D， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为矩形． （2） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，进而推出，再利用矩形的判定即可证明； （2）设，表示出、的长，通过证明得到，代入数据求出的值，再根据矩形的性质得到，再分别在和中利用勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图， 由（1）得，， 设， 则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 20. 项目式学习 某校综合与实践活动小组针对货物的销售单价与日销售量开展项目式学习活动，请你参与活动，并与他们共同完成该项目任务． 项目主题：商品销售策略的制定 驱动问题：某玩具店老板欲购进一批进价为40元/个的益智玩具，请你运用所学数学知识根据市场情况和该玩具店老板的要求，帮助他制定这种益智玩具的销售策略． 任务一：市场调查 调查附近A，B，C，D，E五家玩具店近期销售这种益智玩具的销售单价（元）和日销售量（个）的情况，记录如下表： 玩具店 A B C D E 销售单价元 61 60 59 58 57 日销售量个 28 30 32 34 36 任务二：模型建立 （1）该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为_____． 任务三：问题解决 （2）如果该玩具店的房租、水电费、人工费等每天的支出为300元，该玩具店老板想要每天获得200元的利润，同时为了尽快减少库存，那么该益智玩具的销售单价应定为多少元？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系，故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为，将，代入，得，解方程组即可求出与的值，进而得出该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式； （2）根据“每日利润（销售单价进价）日销售量房租、水电费、人工费等运营成本”可得，解得，，进而可得当销售单价为65元时日销售量为20个，销售单价为50元时日销售量为50个，由于，再结合“为了尽快减少库存”，即可得出答案． 【详解】解：（1）通过分析表中数据可以看出，日销售量与销售单价之间成一次函数关系， 故可设日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 将，代入，得： ， 解得：， 该益智玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式为， 故答案为：； （2）根据题意，得： ， 解得：，， 当销售单价为65元时，日销售量为20个， 当销售单价为50元时，日销售量为50个， ，且为了尽快减少库存， ， 答：该益智玩具的销售单价应定为50元． 【点睛】本题主要考查了一次函数的实际应用（其他问题），一元二次方程的应用（营销问题），用表格表示变量间的关系，求一次函数解析式，解二元一次方程组，因式分解法解一元二次方程等知识点，熟练掌握待定系数法求一次函数解析式并根据题中的数量关系正确列出一元二次方程是解题的关键． 21. 数学兴趣小组根据以往的函数学习经验，决定对函数的图象和性质进行探究．下面是他们的探究过程，请按要求补充完整： （1）函数的自变量x的取值范围是：______； （2）下列表格是y与x几组对应值． x … 0 2 3 4 5 … y … m … 直接写出m的值______． （3）在如图所示的坐标系中描点，并画出函数的大致图象（小方格的边长为1）： （4）结合函数图象，发现函数的下列特征： ①该函数随着x的值接近1，其图象越来越靠近直线而永不相交，该函数图象还与直线______越来越靠近而永不相交； ②请再写出该函数的一条性质． 【答案】（1） （2）1 （3）见解析 （4）①；②当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而减小 【解析】 【分析】本题考查了函数的自变量、描点法画函数图象、从函数的图象获取信息，正确画出函数图象是解题的关键． （1）对于函数，自变量x应满足，即可求出自变量x的取值范围； （2）代入到函数，即可求出的值； （3）利用描点法画函数图象即可； （4）①结合函数图象即可得出答案；②结合函数图象即可写出该函数的性质． 【小问1详解】 解：对于函数，自变量x应满足，解得， ∴自变量x的取值范围是． 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴的值为1． 故答案为：1； 【小问3详解】 解：函数的大致图象如图所示： 【小问4详解】 解：①该函数随着x的值接近1，其图象越来越靠近直线而永不相交，该函数图象还与直线越来越靠近而永不相交； 故答案为：； ②当时，随着的增大而减小；当时，随着的增大而减小． 22. 如图，平面直角坐标系中，反比例函数与一次函数的图象相交于点，两点． （1）求反比例函数与一次函数的解析式； （2）直接写出当时，自变量x的取值范围； （3）已知直线与y轴交于点C，点是x轴上一动点，作轴交反比例函数图象于点Q，当以C，P，Q，O为顶点的四边形的面积等于2时，求t的值． 【答案】（1）反比例函数的解析式为：，一次函数的解析式为： （2）或 （3）当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2． 【解析】 【分析】（1）由题意得把代入得，即可得出A点坐标，将两点代入一次函数求出k、b，从而得出答案； （2）一次函数在反比例函数图像的上方时，自变量x的取值范围即可． （3）由题意得，，再根据面积求出，即可求出P点坐标，可得t的值． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴反比例函数的解析式为： 把代入得， 把，代入； ∴， 解得：， ∴一次函数的解析式为：； 【小问2详解】 ∵不等式的解集即为：的解集， ∴或 【小问3详解】 如图， 由可知， ∴， ∵， 的面积为． ∴四边形的面积为 解得 ∵P点坐标为，点P可能在x轴正半轴或负半轴， ∴或 ∴当或时，以C，P，Q，O为四边形的面积等于2． 【点睛】本题考查了反比例函数和一次函数的交点问题，坐标与图形面积，熟练掌握函数解析式的求法以及利用数形结合得出函数值大小关系是重点． 23. 如图，将两个完全相同的菱形和菱形纸片叠放在一起，把菱形纸片固定，让菱形纸片的顶点沿的对角线由向运动，移动过程中边始终过点．对角线与边相交于点，，． （1）求证：； （2）求当为等腰三角形时，的大小； （3）当最短时，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2）或 （3） 【解析】 【分析】（）由矩形的性质可得，进而由三角形外角性质可得，再根据相似三角形的判定即可求证； （）分三种情况，根据等腰三角形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质解答即可求解； （）由得，即得，可知当时，最小，利用等腰三角形的性质和勾股定理解答即可求解． 【小问1详解】 证明：∵菱形和菱形完全相同， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 【小问2详解】 解：为等腰三角形，分三种情况： ①∵与不可能相等，否则，但， 由（）知，，矛盾； ②若，此时， ∴， ∴， ∴； ， ∴， ∴， ∴； ③若， ∵ ∴， ∴， ∴； 综上，当为等腰三角形时，的值为或； 【小问3详解】 解：由（）知， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴若使最小，只要让最小即可， 显然，当时，最小， ∵， ∴，， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，三角形外角性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质，垂线段最短，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $