精品解析：湖南长沙市湖南师大附中联考2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025-2026师大附中八年级下学期期末考试数学试卷 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年．为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发．科考队从海拔米的珠峰大本营出发，如果向上（往峰顶方向）攀登米记作米，那么完成任务后，他们向下（往返回方向）行走米应记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【详解】解：向上攀登米记作米，则向下行走米应记作米． 2. 根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】先明确勾股数的定义：若三个正整数中，两个较小数的平方和等于最大数的平方，则这组数是勾股数，本题根据定义逐一验证各选项即可得到结果． 【详解】∵A选项，最大数为，且，，， ∴A不是勾股数； ∵B选项，最大数为，且，，， ∴B是勾股数； ∵C选项，最大数为，且，，， ∴C不是勾股数； ∵D选项，最大数为，且，，， ∴D不是勾股数； 综上，选B． 3. 某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（　　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了众数的定义：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，它反映了一组数据的多数水平，一组数据的众数可能不是唯一的．利用众数的定义求解，找出数据中出现次数最多的数据即可． 【详解】解：在所给数据中，数据出现了三次，次数最多， 故众数为． 故选：B． 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式，解题的关键是根据把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式进行解答． 【详解】解：A、与是同类二次根式，故符合题意； B、与不是同类二次根式，故不符合题意； C、2与不是同类二次根式，故不符合题意； D、与不是同类二次根式，故不符合题意； 故选：A． 5. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义：对于  的每一个确定的值， 都有唯一确定的值与其对应．在图象上，可以通过“垂线法”判断，即作垂直于  轴的直线，若直线与图象最多只有一个交点，则是函数图象． 【详解】解： A. 作垂直于  轴的直线，可能与图象有多个交点， 即对于同一个 ，有多个  值与之对应， 故  不是  的函数； B. 作垂直于  轴的直线（），与图象有两个交点， 即对于同一个 ，有两个  值与之对应， 故  不是  的函数； C. 作垂直于  轴的直线，与图象有两个交点， 即对于同一个 ，有两个  值与之对应， 故  不是  的函数； D. 对于任意一个 ，都有唯一的  值与之对应， 符合函数的定义． 6. 如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的面积等于两条对角线乘积的一半进行计算即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴． ∵， ∴． 7. 已知方程的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. −3 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程根的定义，方程的根可使方程左右两边相等将已知根代入原方程，解关于的一元一次方程即可得到结果． 【详解】∵ 是方程的一个根， ∴ 将代入原方程得， ， 整理得 ，即 ， 解得 ． 8. 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：今有一个正方形粮仓，若边长增加2尺，面积就增加20平方尺．设原正方形边长为尺，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别表示出原正方形和边长增加后新正方形的面积，再根据面积增加20平方尺的等量关系列方程即可． 【详解】解：∵原正方形边长为尺， ∴原正方形面积为平方尺， ∵边长增加2尺后，新正方形边长为尺， ∴新正方形面积为平方尺， 又∵面积增加了20平方尺，即新面积比原面积大20平方尺， ∴列方程得 ． 9. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是（ ） A. 若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形 B. 若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 C. 若AB=DC，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形 D. 若AO=OC，BO=OD，则四边形ABCD是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形及特殊平行四边形的判定方法，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A：对角线相互垂直平行四边形才是菱形，四边形ABCD不一定是平行四边形，故选项错误，不符合题意； B：对角线相等的平行四边形才是矩形，四边形ABCD不一定是平行四边形，故选项错误，不符合题意； C：一组对边相等，另外一组对边平行，不一定是平行四边形，还有可能是等腰梯形，故选项错误，不符合题意； D：对角线互相平分的四边形是平行四边形，故选项正确，符合题意； 故选D． 【点睛】此题考查了平行四边形的判定方法，熟练掌握平行四边形及特殊平行四边形的判定方法是解题的关键． 10. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y（单位：L）与时间（单位：min）之间的关系如图所示.则每分的出水量是（ ）L． A. 5 B. 3.75 C. 4 D. 2.5 【答案】B 【解析】 【分析】观察函数图象找出数据，根据“每分钟进水量=总进水量÷放水时间”算出每分钟的进水量，再根据“每分钟的出水量=每分钟的进水量-每分钟增加的水量”即可算出结论． 【详解】每分钟的进水量为：20÷4=5（升）， 每分钟的出水量为：5-（30-20）÷（12-4）=3.75（升）． 故选B． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，解题的关键是根据函数图象找出数据结合数量关系列式计算． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的一次项系数是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】一元二次方程的一般形式为，其中是二次项系数，是一次项系数，是常数项，根据定义即可确定一次项系数． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵一次项为， ∴一次项系数是1． 12. 要使函数有意义，自变量x的取值范围是___． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了函数自变量的取值范围．根据二次根式的被开方数是非负数，据此列出关于x的不等式求解． 【详解】解：∵函数有意义， ∴， 解得，． 故答案为：． 13. 添加一个条件：_________，使平行四边形成为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了矩形的判定，正确记忆相关知识点是解题关键．根据矩形的判定方法“对角线相等的平行四边形是矩形；有一个角是直角的平行四边形是矩形”，由此得到答案． 【详解】解：根据矩形的判定，添加的条件可以是， 故答案为：（答案不唯一）． 14. 某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是______． 【答案】87分 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的意义和计算方法，理解加权平均数的意义，掌握加权平均数的计算方法是正确解答的前提． 按照的比例算出本学期的体育成绩即可． 【详解】解：小云这学期的体育综合成绩是（分）， 故答案为：87分． 15. 如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点，N．若测得米，则两点间的距离为_______________米． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线定理，三角形中位线定理：三角形的中位线长平行于第三边且等于第三边的一半．熟记性质是解决实际问题的关键．由、分别是、的中点可知，是的中位线，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：，分别为、的中点， 是的中位线， 米， （米）． 故答案为：40． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于、的二元一次方程组的解为________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数交点解二元一次方程组，根据题意，把代入得到交点坐标，由此即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴交点坐标为， ∴关于x、y的二元一次方程组的解为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第2425题每题10分，共72分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题利用乘方、绝对值、算术平方根、零指数幂的初中运算法则，分别计算原式中每一项，再合并同类项得到最终结果． 【详解】 解： 原式    ． 18. 解方程： （1）x2＝4； （2）x2﹣4x+3＝0． 【答案】（1），；（2）， 【解析】 【分析】（1）直接利用开平方的方法解一元二次方程即可； （2）利用因式分解的方法解一元二次方程即可 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴，； （2）∵， ∴， ∴，． 【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，解题的关键在于能够熟练掌握解一元二次方程的方法． 19. 5月份，我校开展了第十三届语文风采大赛，为了解本校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了名学生，对他们一周阅读的总时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）的值是_________，扇形统计图中“”对应的扇形圆心角大小是_________°； （2）我校共有3185名学生，试估计一周中阅读总时间不低于的人数； （3）从中位数和平均数这两个统计量中任选一个，写出它的值并说明它的实际意义． 【答案】（1）50，108 （2）2548（名） （3）选平均数： 平均数：，实际意义：被调查学生一周阅读的平均总时间是 【解析】 【分析】（1）先借助阅读时间为的已知人数与扇形占比，求出抽样总人数，再算出阅读时间为的人数、占比，再乘得到对应圆心角度数； （2）汇总阅读时长不低于的样本占比，利用样本占比去估算全校符合条件的总人数； （3）选中位数：按大小排布数据，定位第25、26个数据求均值，解释现实含义，选平均数：套用加权平均数公式运算，结合场景解读统计量意义． 【小问1详解】 解：从条形统计图可知，阅读时间为的人数是25名，从扇形统计图可知，阅读时间为的人数占比为， ∴， 阅读时间为的人数：（名）， 对应的占比：， ∴对应的扇形圆心角：； 【小问2详解】 解：∵一周阅读总时间不低于的是：和， ∴一周阅读总时间不低于的占比为：， ∵全校总人数为3185名， ∴估计人数为：（名）； 【小问3详解】 解：选中位数： 将50个数据从小到大排列，中位数是第25、26个数据的平均数， ∵阅读时间有5人、有5人、有25人，前两组共10人，第11~35个数据都是， ∴第25、26个数据都是， ∴中位数为：， 实际意义：约有一半学生一周阅读总时间不低于； ​选平均数： 平均数：， 实际意义：被调查学生一周阅读的平均总时间是． 20. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长 【答案】（1）证明见解析 （2）4 【解析】 【分析】本题主要查了平行四边形的判定和性质，勾股定理： （1）根据，可得，再由，可得，从而得到，即可求证； （2）先，再通过勾股定理可得，即可求解． 【小问1详解】 证明：， ， ， ， ， 四边形是平行四边形； 【小问2详解】 解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， ， ， ． 21. 如图直线：经过点，．若直线：与直线相交于点M，与x轴相交于点D． （1）求直线的函数解析式； （2）连接，求的面积． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法即可求出答案； （2）求出和，根据进行解答即可． 【小问1详解】 解：将，代入得， ，解得，， ∴直线的表达式为； 【小问2详解】 解：联立， 解得，， ∴， 当时，， 解得，， ∴， ∴， ∴． 22. 为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） （1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ （2）若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 【答案】（1）A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元 （2）要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组、一元一次不等式在实际问题中的应用，正确理解题意即可． （1）设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元，由题意得即可求解； （2）设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克，由题意得．即可求解； 【小问1详解】 解：设A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元， 由题意得解得 答：A等级农产品每千克销售单价为元，B等级农产品每千克销售单价为元． 【小问2详解】 解：设需加工A等级农产品千克，则需加工B等级农产品千克， 由题意得． 解得， 答：要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品千克． 23. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明过程见解答 （2）20 【解析】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，菱形的判定和性质，平行四边形的判定，矩形的性质等知识点，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关键． （1）根据线段的垂直平分线得出，根据矩形的性质得出，求出，根据全等三角形的判定定理得出，求出，得出四边形为平行四边形，再得出答案即可； （2）根据菱形的性质得出，设，根据勾股定理求出，再求出面积即可． 【小问1详解】 证明：∵是的垂直平分线， ， ∵四边形是矩形， ， ， 在和中 ， ， ， ， ∴四边形为平行四边形， ， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵四边形为菱形， ， 设， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得：， 即， 解得：， 即， ， ∴菱形的面积． 24. 阅读下面的例题： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 原方程的根是． （1）请参照例题解方程． （2）请参照例题解方程． （3）若方程有解，求的取值范围． 【答案】（1） 原方程无解 （2） （3） 【解析】 【分析】本题参照例题解法，根据绝对值内的符号分和两种情况讨论，去掉绝对值符号将原方程转化为常规方程求解． 第（1）题利用绝对值的非负性判断． 第（2）题去掉绝对值符号分类求解，化为一元二次方程后，舍去不符合范围的解． 第（3）题整理出关于的表达式，去绝对值符号分类求解，利用二次函数的最值性质，得到的取值范围． 【小问1详解】 解：原方程， 移项得， ∵任意实数的绝对值是非负数， 即， ∴，不成立， ∴原方程无解． 【小问2详解】 解：原方程， 分情况讨论： 情况1：当，即时， 原方程化为， 整理得， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， 符合题意． 情况2：当，即时， 原方程化为， 整理得， 解得， ∵， ∴不合题意，舍去， 符合题意． ∴原方程的根是． 【小问3详解】 解：方程， 整理得， 分情况讨论： 情况1：当时， ， 该二次函数开口向下，对称轴为， 当时，随增大而减小， ∴时，取得最大值， 即此范围满足条件的． 情况2：当时，， 该二次函数开口向下，对称轴为，， ∴时，取得最大值， 即此范围满足条件的． 方程有解，即至少存在一个满足方程， 因此的最大取值为， ∴的取值范围是． 25. 对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h=PQ，则称该三角形为点P，Q的“完美三角形”． （1）如图1，已知点A，B在x轴上，点C在y轴上，AB=3，BC=6，∠OBC=30°，试判断△ABC是否是点A，B的“完美三角形”，并说明理由； （2）如图2，已知A(4，0)，点B在x轴上，点C在直线上，若Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，求点B的坐标； （3）如图3，已知过点R（-1，1）的直线与直线交于点S，点M是直线RS右侧一点，且满足△RSM为点R，S的“完美三角形”，点N是x轴上的一个动点，请直接写出RN+NM的最小值和此时点M的坐标． 【答案】（1）△ABC是点A，B的“完美三角形” （2）（1，0）或（7，0）或（3，0） （3），M（2，﹣2） 【解析】 【分析】（1）根据定义直接判定即可； （2）设B（x，0），分三种情况讨论：①当∠ACB＝90°时，过点C作CE⊥x轴交于点E，取AB的中点D，连结CD，可得CD＝CE，又由CD＞CE，则此情况不成立；②当∠BAC＝90°时，C（4，3），由|x﹣4|＝3，可求B点坐标（1，0）或（7，0）；③当∠ABC＝90°时，C（x，2x﹣5），由|x﹣4|＝|2x﹣5|，可求B点坐标为（3，0）或（1，0）； （3）求出S（2，4），则RS＝，由题意可得M点到RS的距离为，过点D作DE⊥RS，并且RS＝DE＝，过点E作交x轴于F点，所以M点在直线EF上，过点R作RM⊥EF交于点M，交x轴于点N，此时RN+MN最小，求出直线EF的解析式为y＝x﹣4，设M（t，t﹣4），即可求M（2，﹣2）． 【小问1详解】 解：（1）△ABC是点A，B的“完美三角形”，理由如下： ∵BC＝6，∠OBC＝30°， ∴OC＝BC＝3， ∵AB＝3， ∴CO＝AB， ∴△ABC是点A，B的“完美三角形”， 【小问2详解】 解：设B（x，0）， ①如图1，当∠ACB＝90°时， 过点C作CE⊥x轴交于点E，取AB的中点D，连结CD， ∴CD＝AB， ∵AB＝CE， ∴CD＝CE， 在Rt△CED中，CD＞CE， ∴∠ACB≠90°； ②当∠BAC＝90°时， ∵A（4，0）， ∴C点横坐标为4， ∴C（4，3）， ∴AC＝3， ∴AB＝3， ∴|x﹣4|＝3， ∴x＝7或x＝1， ∴B点坐标（1，0）或（7，0）； ③当∠ABC＝90°时， ∴C点横坐标为x， ∴C（x，2x﹣5）， ∴|x﹣4|＝|2x﹣5|， ∴x＝3或x＝1， ∴B点坐标为（3，0）或（1，0）； 综上所述：B点坐标为（1，0）或（7，0）或（3，0）； 【小问3详解】 解：将点R（﹣1，1）代入y＝x+m， ∴m＝2， ∴y＝x+2， 联立方程组， 解得x＝2， ∴S（2，4）， ∴RS＝， ∵△RSM为点R，S的“完美三角形”， ∴M点到RS的距离为， 如图2，过点D作DE⊥RS，并且RS＝DE＝， 过点E作交x轴于F点， ∴M点在直线EF上， 过点R作RM⊥EF交于点M，交x轴于点N， ∴RN+MN＝RM＝，此时RN+MN最小， ∵D（﹣2，0），H（0，2）， ∴∠HDO＝45°， ∴∠EDO＝45°， ∵DE＝， ∴DF＝6， ∴F（4，0）， ∴直线EF的解析式为y＝x﹣4， 设M（t，t﹣4）， ∴， ∴t＝2， ∴M（2，﹣2）． 【点睛】本题是一次函数的综合题，熟练掌握一次函数的图象及性质，勾股定理的应用，利用平方根的含义解方程，理解新定义，将定义与所学的一次函数的知识结合解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026师大附中八年级下学期期末考试数学试卷 时量：120分钟 分值：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 年是我国成功完成珠穆朗玛峰高程测量六周年．为持续开展高原气候变化研究，我国科考队员再次向世界之巅进发．科考队从海拔米的珠峰大本营出发，如果向上（往峰顶方向）攀登米记作米，那么完成任务后，他们向下（往返回方向）行走米应记作（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 2. 根据我国数学典籍《周髀算经》记载，在约公元前11世纪，人们就知道了勾股定理．下列各组数中，“是勾股数”的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 3. 某班8名同学垫排球的测试成绩（单位：个）分别为：，，，，，，，，则这组数据的众数是（　　） A. 25 B. 26 C. 27 D. 30 4. 下列二次根式中，与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. 2 D. 5. 下列图象中，表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在菱形中，对角线相交于点，菱形的面积是（ ） A. B. C. D. 7. 已知方程的一个根是2，则的值为（ ） A. 2 B. 1 C. 3 D. −3 8. 《九章算术》是中国古代数学名著，其中记载：今有一个正方形粮仓，若边长增加2尺，面积就增加20平方尺．设原正方形边长为尺，根据题意，列出方程为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于O，下列判断正确的是（ ） A. 若AC⊥BD，则四边形ABCD是菱形 B. 若AC＝BD，则四边形ABCD是矩形 C. 若AB=DC，AD∥BC，则四边形ABCD是平行四边形 D. 若AO=OC，BO=OD，则四边形ABCD是平行四边形 10. 一个有进水管与出水管的容器，从某时刻开始4min内只进水不出水，在随后的8min内既进水又出水，每分的进水量和出水量是两个常数.容器内的水量y（单位：L）与时间（单位：min）之间的关系如图所示.则每分的出水量是（ ）L． A. 5 B. 3.75 C. 4 D. 2.5 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 一元二次方程的一次项系数是_________． 12. 要使函数有意义，自变量x的取值范围是___． 13. 添加一个条件：_________，使平行四边形成为矩形． 14. 某中学将晨练及体育课外活动、期中成绩、期末成绩按照的比例确定学期体育综合成绩．若小云这三项的成绩（百分制）依次是95，90，80，则小云这学期的体育综合成绩是______． 15. 如图，两点被池塘隔开，在外选一点C，连接和，并分别找出它们的中点，N．若测得米，则两点间的距离为_______________米． 16. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与（、为常数，且）的图象交点的横坐标为3，则关于、的二元一次方程组的解为________ 三、解答题（本大题共9小题，第17、18、19题每题6分，第20、21题每题8分，第22、23题每题9分，第2425题每题10分，共72分） 17. 计算：． 18. 解方程： （1）x2＝4； （2）x2﹣4x+3＝0． 19. 5月份，我校开展了第十三届语文风采大赛，为了解本校学生阅读的情况，现从各年级随机抽取了名学生，对他们一周阅读的总时间进行了调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图： （1）的值是_________，扇形统计图中“”对应的扇形圆心角大小是_________°； （2）我校共有3185名学生，试估计一周中阅读总时间不低于的人数； （3）从中位数和平均数这两个统计量中任选一个，写出它的值并说明它的实际意义． 20. 如图，在四边形中，，，对角线，相交于点． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，，，求的长 21. 如图直线：经过点，．若直线：与直线相交于点M，与x轴相交于点D． （1）求直线的函数解析式； （2）连接，求的面积． 22. 为落实科技兴农政策，某乡办食品企业应用新科技推动农产品由粗加工向精加工转变．根据市场需求，该食品企业将收购的农产品加工成A，B两种等级的农产品对外销售，已知销售6千克A等级农产品和4千克B等级农产品共收入元，销售4千克A等级农产品和2千克B等级农产品共收入元．（不考虑加工损耗） （1）求每千克A等级农产品和每千克B等级农产品的销售单价分别为多少元？ （2）若该食品企业以每千克8元购进千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于元，则至少需加工A等级农产品多少千克？ 23. 如图所示，在矩形中，对角线的垂直平分线分别交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求菱形的面积． 24. 阅读下面的例题： 解方程 解：当时，原方程化为，解得：（不合题意，舍去）； 当时，原方程化为，解得：，（不合题意，舍去）； 原方程的根是． （1）请参照例题解方程． （2）请参照例题解方程． （3）若方程有解，求的取值范围． 25. 对于平面直角坐标系xOy中的点P，Q，给出如下定义：若P，Q为某个三角形的顶点，且边PQ上的高h，满足h=PQ，则称该三角形为点P，Q的“完美三角形”． （1）如图1，已知点A，B在x轴上，点C在y轴上，AB=3，BC=6，∠OBC=30°，试判断△ABC是否是点A，B的“完美三角形”，并说明理由； （2）如图2，已知A(4，0)，点B在x轴上，点C在直线上，若Rt△ABC是点A，B的“完美三角形”，求点B的坐标； （3）如图3，已知过点R（-1，1）的直线与直线交于点S，点M是直线RS右侧一点，且满足△RSM为点R，S的“完美三角形”，点N是x轴上的一个动点，请直接写出RN+NM的最小值和此时点M的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $