动量守恒定律的应用：动量守恒定律解决多过程问题3种高频考点 专项训练-2027届高考物理一轮复习

**基本信息** 以“过程分段-守恒分工-规律迁移”为主线，系统构建动量守恒多过程问题解题框架，融合物理观念与科学思维，实现从模型认知到复杂问题解决的能力进阶。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单次碰撞多过程|2例+2变式|碰撞瞬间动量守恒+后续运动动能定理/牛二律，能量分段分析|从“碰撞-运动”两阶段模型切入，建立守恒方程与运动方程的分工应用逻辑| |两物体多次碰撞|2例+2变式|弹簧模型共速分析+弹性碰撞速度交换，摩擦场景动能损耗规律|以“守恒条件-临界状态-终态特征”为链条，揭示周期性与能量损耗的关联| |多物体多次碰撞|2例+2变式|依次碰撞独立性原则+等质量速度传递规律，系统动量机械能守恒|遵循“两两碰撞-速度传递-整体守恒”递进关系，构建多体作用的简化处理路径|

动量守恒定律的应用：动量守恒定律解决多过程问题3种高频考点专项训练 动量守恒定律的应用：动量守恒定律解决多过程问题3种高频考点专项训练 考点目录 单次碰撞的多过程问题 两物体多次碰撞问题 多物体多次碰撞问题 考点一 单次碰撞的多过程问题 核心知识点 1. 模型结构：完整过程分为两段 ① 阶段1：碰撞瞬间（时间极短，位移忽略），动量守恒； ② 阶段2：碰撞后两物体各自滑行、平抛、滑上曲面、板块滑动等匀变速运动，动量不守恒。 1. 典型题型 子弹打木块后木块滑行、滑块碰撞木板后板块滑动、小球碰撞后平抛、小车碰撞后冲上斜面。 1. 能量分段 碰撞阶段：弹性碰撞动能不变，非弹性碰撞损失动能； 滑行阶段：摩擦力做功，动能转化为内能。 1. 核心方程分工 · 碰撞瞬间：只列动量守恒； · 碰撞后运动：动能定理/牛顿第二定律+运动学。 例1．（2026·四川绵阳·一模）图示为一种缓冲装置的简化模型。两根光滑平行细导轨（足够长）水平放置，一质量为3m的缓冲细滑杆B与轨道垂直且左右对称放于轨道上，其中点通过一根不可伸长的轻绳连接一质量为m的小球A。轻绳所在竖直面垂直于杆，初始状态绳拉直，与水平面夹角成30°，绳长为L。静止释放小球，绳绷直后始终保持伸直状态，绷直瞬间时间极短，A球重力的冲量可忽略不计。重力加速度为g。求： (1)小球A运动到绳即将绷直前的速度大小； (2)小球A运动到绳绷直后瞬间的速度大小； (3)小球A释放后能运动到的最高位置。 【答案】(1) (2) (3)杆上方处 【详解】（1）小球从静止开始做自由落体运动，直至到达与轨道水平面对称的位置。在此过程中，对小球应用动能定理，有 解得。 （2）绷直瞬间，绳的拉力远大于重力，对小球在水平和竖直方向分别应用动量定理。设绳的冲量大小为，绷直后瞬间小球水平速度大小为，竖直速度大小为，滑杆的速度大小为。以水平向左为正方向，有 以竖直向下为正方向，有 滑杆与小球系统在水平方向动量守恒，有 沿绳方向速度关联，满足 联立解得，， 此时小球的速度。 （3）从轻绳绷直后到小球运动至最高点，滑杆与小球系统水平方向动量守恒且机械能守恒。当小球运动到最高点时，小球与滑杆相对静止，即此时 水平动量守恒 解得 设处为零势能面，机械能守恒 解得 即能运动到的最高点为杆上方处。 例2．（2026·河北沧州·三模）如图所示，长为的细线一端固定在点，另一端拴一质量为的小球，小球在点受到一竖直向上的冲量（作用时间极短）后开始向上运动，在点细线刚好被拉直，小球开始做圆周运动，恰好到达点正上方并与光滑水平台面上点处静止的小球在水平方向上发生弹性正碰，之后小球1、2、3、4依次发生弹性正碰。已知、、三点构成等边三角形，与竖直方向的夹角为，每个小球的大小相等，小球的质量为，小球2的质量为，小球3的质量为，小球4的质量为，重力加速度为，不计空气阻力。求： (1)冲量的大小 (2)小球3与小球4碰撞后小球4的速度大小。 【答案】(1) (2) 【详解】（1）小球在点时，根据动量定理可得 小球从点运动到点，由动能定理可得 由题意可知，小球运动到点后，速度方向垂直于细线方向，大小为 小球从点运动到点，由动能定理可得 在点，由牛顿第二定律可得 联立以上各式解得 （2）小球与小球1碰撞的过程中，根据动量守恒和机械能守恒可得， 解得， 小球1与小球2碰撞的过程中，根据动量守恒和机械能守恒可得， 解得， 以此类推，可得小球2与小球3碰撞后小球3的速度 小球3与小球4碰撞后小球4的速度 故小球3与小球4碰撞后小球4的速度大小为。 变式1．（2026·河南南阳·三模）如图，有两块大小不同的圆形薄板（厚度不计），质量分别为M和m，半径分别为R 和r，两板之间用一根长为1.6m的轻质刚绳连接。开始时，两板水平放置并叠合在一起，在其正下方0.8m处有一固定支架 C，支架上有一半径为R'（r<R'<R）的圆孔，圆孔与两薄板的中心均在同一竖直线上。让两个圆形薄板自由下落，大板与支架C发生弹性碰撞，在轻绳绷紧瞬间，两薄板具有共同速度v。取重力加速度 忽略空气阻力。 (1)若，求v的值以及由于轻绳绷紧损失的机械能占绷紧前机械能的百分比； (2)若，要使v的方向向上，求k值的范围。 【答案】(1)，方向向下； (2) 【详解】（1）两块板一开始一起自由下落，下落高度 ，由自由落体公式得碰撞支架前的速度大小 和支架发生弹性碰撞，碰撞后速度反向，大小仍为 继续向下运动，速度大小仍为 ，方向向下。 设从碰撞后到绳绷紧前的运动时间为 ，绳长 ，取向上为正方向， 的位移 的位移 两者相对位移满足 ，代入得 解得 绳绷紧前瞬间， 的速度（向上，为正） 的速度（向下，为负） 绳绷紧瞬间，内力远大于外力，动量守恒。 当 时，由动量守恒 代入 、、 则 解得 即 的大小为 ，方向向下。 绷紧前总机械能 绷紧后总机械能 损失机械能占比 (2) 已知 ，即 ，由动量守恒 则 整理得 ， 要求 方向向上，即 ，因 恒成立，故 解得 变式2．（2026·陕西安康·模拟预测）如图所示，一个质量为M的木质轨道放在光滑的水平地面上，轨道的斜面AB部分光滑，BC部分水平且粗糙，BC的右端有一个固定挡板，轨道左侧不远处固定一障碍物。现把一个质量为的小滑块从斜面AB的最高点A由静止释放，当小滑块滑到B点进入水平轨道时，木质轨道刚好与左侧的障碍物发生碰撞（碰撞时间极短），碰后木质轨道立即原速率反弹，小滑块与C处的固定挡板发生弹性碰撞后刚好没有冲上斜面。已知BC的长度为L，A点到B点的水平距离为、竖直距离为h，重力加速度为g。求： (1)初始时障碍物与木质轨道左端的距离； (2)障碍物对轨道的冲量大小； (3)小滑块与轨道BC之间的动摩擦因数。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小滑块在斜面上下滑过程中与轨道在水平方向上动量守恒，以水平向右为正，由动量守恒定律 有，根据，相同 有，且 解得轨道左端与障碍物的初始距离为 （2）设小滑块滑到斜面的最低点B时，小滑块的速度大小为，轨道的速度大小为，对小滑块和斜面，由机械能守恒定律 有 在水平方向上，由动量守恒定律 有 解得， 对轨道，依题意，碰后轨道立即原速率反弹，以水平向右为正，由动量定理 有 解得障碍物对轨道的冲量大小为 （3）轨道反弹后，设最终小滑块与轨道的共同速度为v，由动量守恒定律 有 解得 依题意，小滑块与C处的固定挡板发生弹性碰撞后刚好没有冲上斜面，设小滑块与轨道BC之间的动摩擦因数为μ，由能量守恒定律 有 解得 考点二 两物体多次碰撞问题 核心知识点 1. 模型条件：光滑水平面，仅两个物体，中间有弹簧/挡板，反复发生弹性碰撞；全程系统水平合外力为0，全过程动量守恒、机械能守恒。 1. 关键结论 ① 任意两次碰撞间隔，系统总动量、总机械能不变； ② 弹簧模型最短/最长形变量时刻，两物体共速； ③ 每次碰撞等效弹性碰撞，速度交换规律持续适用； ④ 若存在摩擦，每次碰撞间隙动能持续损耗，最终两物体共速静止。 1. 临界终点 无摩擦：物体持续循环碰撞，速度周期性变化； 有摩擦：多次碰撞后动能耗尽，两物体保持相对静止。 例1．（2025·湖南岳阳·三模）如图所示，光滑固定的水平桌面，右端足够长，在桌面上A、B完全相同的两物块通过一轻质细绳连接，且A、B之间有一根被压缩的轻质弹簧（未被拴接），B右侧足够远处有一未固定的半径为R＝0.5m的光滑圆弧轨道C，在桌面左端光滑地面上紧靠一小车，小车的上表面与桌面等高。剪断细绳之后，A滑上小车，B恰能滑上圆弧轨道最高点。已知A、B两物块质量m＝3kg，可视为质点，圆弧轨道C的质量M＝5kg，小车质量m0＝1kg，物块A与小车间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取10m/s2。求： (1)物块B在第一次到达圆弧轨道C最低点时对轨道的作用力； (2)剪断细绳之前，弹簧的弹性势能Ep的大小； (3)若在小车的左侧足够远处有一墙面，小车与墙碰撞，碰撞时间极短，且碰后速度与碰前速度大小相等，方向相反，小车足够长，小车第一次与墙相碰之后小车所走的总路程。 【答案】(1)，方向竖直向下 (2) (3) 【详解】（1）设剪断细绳后 B 第一次到达圆弧轨道最低点的速度为 ，B 恰能到达轨道最高点时 B 与轨道 C 水平方向共速为 。 B 滑上 C 的过程中，B、C 系统水平方向动量守恒，有 B、C 系统机械能守恒，有 联立并代入 、、、，得 B 第一次到达轨道最低点时，对 B 由牛顿第二定律得 代入数据得 根据牛顿第三定律，B 对轨道的作用力大小为 ，方向竖直向下。 （2）弹簧释放过程中 A、B 组成的系统水平方向动量守恒。由于 A、B 完全相同，释放后两物块速度大小均为 ，方向相反。 弹簧弹性势能转化为两物块动能，有 代入数据得 （3）A 滑上小车后，与小车达到共同速度前，A 与小车组成的系统水平方向动量守恒，取向左为正方向，有 代入数据得 小车每次与墙碰撞后，小车受 A 的滑动摩擦力大小为 ，由牛顿第二定律得 代入数据得 设第 次碰墙前小车与 A 的共同速度大小为。碰后小车速度反向，A 仍沿原方向运动，二者再次共速过程系统动量守恒，有 所以 从第 次碰墙到第次碰墙，小车先离墙再回墙，所走路程为 因此第一次与墙相碰之后小车所走总路程为 代入数据得 例2．（2026·江西上饶·二模）某次货物装载的碰撞模拟实验如图所示，光滑水平地面上固定一圆弧斜槽，斜槽由半径为的四分之一光滑圆弧和长度为的粗糙水平面组成，斜槽左侧紧挨着一辆小车，小车质量为，其右端和斜槽末端平滑对接但不粘连，小车左侧足够远处有固定于地面的平台P。平台与车的上表面等高，劲度系数N/m的轻质弹簧左端固定在平台上，右端连接一个轻质粘性板Q（下端光滑），弹簧开始处于压缩状态，压缩量。由轻绳拴接固定。现将一质量为的物块（可视为质点）从斜槽顶端点由静止释放，物块经过点后滑上小车，小车与平台的碰撞时间极短，每次碰撞后小车被反弹，速度大小减为碰撞前的一半，整个过程中物块始终未滑离小车。已知物块与段的动摩擦因数，物块与小车上表面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，求： (1)物块运动到点时的速度大小； (2)小车与平台第2次碰撞前瞬间，物块与小车右端的距离； (3)当物块和小车均停下时，物块恰在小车最左端。此时将小车锁住不动，同时剪断轻绳，物块被粘性板Q粘住，经阻尼振动后最终再次停下。弹簧始终处于弹性限度内，求物块阻尼振动的路程以及本次模拟实验全程物块与小车之间产生的摩擦热。 【答案】(1) (2) (3)40m， 【详解】（1）物块从点运动到点的过程中，根据动能定理有 解得 （2）物块滑上小车后，设向左为正方向，由于小车左侧足够远，两者在碰平台前达到共同速度，由动量守恒定律得 解得 此过程中物块相对小车向左滑动的距离为，由能量守恒定律得 解得 小车与平台第1次碰撞后，速度大小减半并反向，变为，方向向右，此时物块速度仍为，方向向左，此后两者再次达到共同速度，由动量守恒定律得 解得 方向向左，此阶段物块相对小车继续向左滑动的距离为，由能量守恒定律得 解得 所以小车与平台第2次碰撞前瞬间，物块与小车右端的距离为 （3）分析可知，小车与平台第次碰撞前的共同速度为 小车在第次碰平台时，系统动能损失量为 在小车与平台无数次碰撞过程中，损失在平台上的总机械能为 由能量守恒定律可知，在小车与平台多次碰撞直至最终停止的整个阶段，物块与小车之间产生的摩擦热为 剪断轻绳后，物块随粘性板在小车上发生阻尼振动，初态弹簧压缩量，初始弹性势能 物块与小车间的滑动摩擦力 阻尼振动每次经过半个周期，振幅减小量为 因初始振幅恰好是的整数倍，故物块最终恰好停在弹簧原长处（），最终弹性势能为零，设阻尼振动的总路程为，由能量守恒定律得 解得 此振动过程中物块与小车间产生的摩擦热为 故本次模拟实验全程，物块与小车之间产生的总摩擦热为 变式1．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在水平地面上，最低点切线水平，紧邻轨道左侧放置着一个下表面光滑、上表面粗糙的木板A，在木板A的左侧放置一小物块C。从与圆心点等高处静止释放小滑块B，经圆弧最低点滑上A，A与B共速后，再与C发生弹性碰撞。在以后的运动过程中，小滑块B始终未脱离木板A。已知，，，B与A间、C与地面间的动摩擦因数均为，木板A与地面间光滑。重力加速度。求： (1)B经过圆弧轨道最低点时受到的支持力大小； (2)A、C第一次碰撞前，A、B系统损失的机械能； (3)C在地面上运动的总路程。 【答案】(1)60N (2)8J (3) 【详解】（1）由机械能守恒可得 解得 在最低点时，由向心力公式得 代入数据解得 （2）由动量守恒定律得 解得A与B共同的速度 由能量守恒可知A、B系统损失的机械能 解得 （3）A、C第一次碰撞，由动量守恒定律得 由机械能守恒可知 解方程得， 此后 解得 A、C第二次碰前，在地面上运动，由牛顿第二定律 解得 减速到零时有 对木板A，有 解得 加速到，有 可得， 可知A、C第二次碰前已停止，且每次A、C再次碰撞前，C的速度都为零。此时A、B已经共速，有 解得 A的速度都为上一次A、C碰后的一半。则有A、C第二次碰后根据速度交换可得 依次类推A、C第n次碰撞，有 C在地面上每次运动的位移 所以C的总路程为无穷等比数列求和，首项，公比 由无穷等比数列求和公式 代入数据得 变式2．（2026·河南·高考真题）如图，水平地面上的球壳内下端有一小球，球壳的直径D = 0.25m，上端距天花板的距离为h = 6m。现以v0 = 11m/s的初速度把球壳连同小球一起竖直向上抛出，球壳与天花板碰撞后经过Δt = 0.1s，小球与球壳发生第1次碰撞。所有的碰撞均为弹性碰撞、时间极短，不计球壳厚度和空气阻力，重力加速度大小取g = 10m/s2。 (1)求小球的直径； (2)求小球与球壳第1次碰撞后瞬间两者速度差的大小，及它们前两次碰撞的时间间隔； (3)若小球与球壳第8次碰撞前瞬间球壳的速度大小为v1 = 6m/s，求球壳首次碰地时的速度大小。 【答案】(1)0.05m (2)2m/s，0.1s (3) 【详解】（1）从抛出至球壳与天花板相碰，小球和球壳一起做竖直上抛运动，末速度大小设为，根据速度位移关系式 解得 球壳与天花板发生弹性碰撞后以原速率反弹，然后向下做匀加速直线运动，小球继续上升，设小球直径为d，从球壳与天花板碰撞后到小球与球壳第1次碰撞，小球与球壳的位移大小之和为D－d，则 解得 （2）设球壳质量为M，小球质量为m，球壳与小球发生第1次碰撞前速度分别为、，以竖直向下为正方向，则 球壳与小球发生弹性碰撞，设碰后速度分别为、 由动量守恒定律 由机械能守恒定律 碰后速度差的大小 拓展：发生弹性碰撞，恢复系数 第1次碰撞后，球壳与小球均做加速度向下、大小为g的匀变速直线运动，设两次碰撞时间间隔为，两者的相对速度大小始终为，两者的相对位移大小为，有 解得 （3）取向下为正，第一次碰前：壳速，球速 弹性碰撞，每次碰撞后相对速度大小恒为，时间间隔 设每次碰撞壳速改变量为（碰前壳快时减速，球快时加速），大小 从第1次碰前到第8次碰前，经历7次碰撞和7个0.1s的重力加速（每次加1m/s） 递推球壳碰前速度 ①碰前：2 ②碰前： ③碰前： ④碰前： ⑤碰前：6 ⑥碰前： ⑦碰前：8 ⑧碰前： 已知⑧碰前壳速为6m/s，故 解得 由 得 则可推导出所有速度如表所示（速度均为m/s，＋向上，－向下） 碰撞序号 时刻 碰前壳速 碰前球速 碰后壳速 碰后球速 天花板碰 0 — — －1 ＋1 ① 0.1 －2 0 ＋1 －1 ② 0.2 0 －2 －3 －1 ③ 0.3 －4 －2 －1 －3 ④ 0.4 －2 －4 －5 －3 ⑤ 0.5 －6 －4 －3 －5 ⑥ 0.6 －4 －6 －7 －5 ⑦ 0.7 －8 －6 －5 －7 ⑧ 0.8 －6 －8 －9 －7 ⑨ 0.9 －10 －8 －7 －9 ⑩ 1.0 －8 －10 －11 －9 ⑪ 1.1 －12 －10 －9 －11 利用上表壳速，每段0.1s匀变速，位移，逐段累加球壳位置： 时段 壳初速 位移 累加位置y 0→0.1s －1 －0.15 5.975 0.1→0.2s ＋1 ＋0.05 6.025 0.2→0.3s －3 －0.35 5.675 0.3→0.4s －1 －0.15 5.525 0.4→0.5s －5 －0.55 4.975 0.5→0.6s －3 －0.35 4.625 0.6→0.7s －7 －0.75 3.875 0.7→0.8s －5 －0.55 3.325 0.8→0.9s －9 －0.95 2.375 0.9→1.0s －7 －0.75 1.625 1.0→1.1s －11 －1.15 0.475 （第⑪次碰前）球壳质心位于。 此时碰撞后壳速变为（见上表⑪碰后），随后匀加速下降至触地（质心触地高度），下落距离 由运动学公式可知 则触地速度大小为 考点三 多物体多次碰撞问题 核心知识点 1. 模型：三个及以上物体在光滑水平面依次碰撞（小球队列、多滑块），遵循依次碰撞、互不干扰原则。 1. 碰撞顺序规律：速度大的先追上相邻物体，两两独立碰撞，同一时刻只发生两个物体碰撞，其余物体暂时匀速； 1. 守恒规则 ① 任意两物体碰撞瞬间，仅这二者动量守恒，第三方速度不变； ② 全部物体组成的大系统，全程总动量、总机械能（弹性碰撞）守恒； 1. 终态规律（等质量弹性小球）：速度依次传递，出现末尾小球弹出，前面小球静止； 1. 含摩擦场景：每次两两碰撞间隙损耗动能，多次碰撞后全部物体共速。 例1．（2026·湖北武汉·三模）如图所示，竖直平面内半径为的四分之一光滑固定圆弧轨道AB，其下端B点与一水平传送带平滑连接，水平传送带右端点C与足够长的光滑水平面平滑连接，水平面上均匀排列着2026个质量均为的滑块（可视为质点），从左到右依次编号为1、2、3、…、2025、2026，相邻滑块间距均为，1号滑块位于C点。一物块a（可视为质点）质量为，以速率从A点沿圆弧切线进入圆弧轨道，其与传送带间的动摩擦因数为，所有碰撞均为弹性正碰且碰撞时间不计。已知传送带长度为，以恒定速率沿顺时针方向转动，g取。 (1)求物块a第一次和1号滑块碰撞前的速率va； (2)若时物块a经过B点，求2026号滑块开始运动的时刻； (3)求物块a与传送带间因摩擦产生的总热量Q（保留至小数点后两位）。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）物块a由A到B点动能定理有 解得 水平传送带上做匀减速直线运动，由牛顿第二定律 解得 设物块a减速运动的位移为，有 解得 由可知，物块能与传送带共速，故物块a第一次和1号滑块碰撞前的速率 （2）设物块a在水平传送带上减速运动时间为，减速时间 物块a在传送带上匀速运动时间为 到达C点时速度为 物块a第一次与1号滑块碰撞，系统动量守恒和机械能守恒有， 解得， 由于2026个小滑块质量相等，碰撞时速度交换，故从1号滑块开始运动到2026号滑块开始运动时间为 故2026号滑块开始运动的时刻 （3）由于第一次碰撞后a物块通过传送带后又以相同速度大小和1号滑块发生第二次碰撞，根据动量守恒和机械能守恒， 解得， 同理可得每发生一次碰撞，a物块速度大小减为碰撞前的一半，即 同时每一次碰撞后，静止滑块就减少一个，直到1号滑块发生第2026次碰撞，所有滑块都运动起来，物块a向左经过传送带反向运动，通过C点后也维持向右匀速直线运动，不会和1号滑块发生碰撞。设第一次碰后，物块a与传送带相对运动为，， 代入数据 由上述每次碰撞后速度为原来一半，可知 物块a第一次碰撞前和传送带的相对位移 物块a与传送带总相对位移 摩擦生热 例2．（2026·浙江绍兴·二模）如图所示为一简化的立体拼接轨道游戏装置。是水平光滑直轨道，是半径的半圆形光滑水平轨道，是光滑直轨道，是倾角、长度、以的速度顺时针运行的传送带，是水平粗糙直轨道，是倾角为的足够长的粗糙倾斜轨道，轨道上每间隔静置质量的障碍物。游戏开始，质量的物块被弹簧弹出，弹簧具有的弹性势能全部转化为物块的动能，物块沿轨道运动，运动到点时速度恰好为0，然后沿倾斜轨道开始下滑，与障碍物发生连续碰撞，碰撞后物块与障碍物均粘在一起。已知物块与传送带和倾斜轨道间的动摩擦因数均为，障碍物与倾斜轨道间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计轨道连接处的能量损失，物块与障碍物均可视为质点，重力加速度大小取，，。 (1)求物块在半圆轨道运动时的向心力大小； (2)求物块在传送带上运动的时间； (3)求物块与第1个障碍物碰后的速度大小； (4)求物块在倾斜轨道上运动中的最大速度。 【答案】(1)0.4N (2)0.3s (3) (4) 【详解】（1）设物块被弹簧弹出后的速度为v，则 解得 则向心力 （2）设物块刚上传送带时的加速度为，运动至与传送带共速度时位移，所用时间，则 则 因为 设物块与传送带共速后的加速度为，所用时间，则 则有 联立解得 物块在传送带上运动时间 （3）设物块与第1个障碍物撞前速度为，由动能定理有 解得 设物块与第1个障碍物撞后速度为，规定方向为正方向，由动量守恒有 联立解得 （4）设第k次碰前速度为，质心位移为，则 因为 联立解得 当时上式有最大值，即k=3时速度有最大值，代入解得 变式1．（2026·河南驻马店·三模）如图所示，水平传送带以的速率沿顺时针方向匀速运行，传送带两端间的距离为4.8m，光滑四分之一圆弧轨道固定在竖直面内，圆弧轨道的最低点紧靠传送带的左端，圆弧轨道的最低点切线与传送带上表面在同一平面内，传送带右端紧靠右侧光滑水平面，且传送带上表面与水平面相平。个质量均为的相同物块一字排开静止在传送带右侧的水平面上，质量为的物块a在圆弧轨道上的最高处点由静止释放，物块a第一次到达传送带右端时速度也为，已知物块a与传送带间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取，物块间的碰撞均为弹性正碰，求： (1)物块a在处对圆弧轨道的压力大小； (2)圆弧轨道半径的取值范围； (3)物块a与水平面上物块1第一次碰撞后，在传送带上运动的总时间。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）设物块a滑上传送带时的速度大小为，a沿圆弧轨道从到，由机械能守恒定律有   物块a在处，根据牛顿第二定律有    联立两式并代入数据解得 根据牛顿第三律，可知物块a在处对圆弧轨道的压力大小 （2）物块a相对传送带滑动时，根据牛顿第二定律 解得    要使物块a到达传送带右端时的速度大小为，物块滑上传送带时的速度最小时有 解得 根据机械能守恒 解得 物块滑上传送带时的速度最大时有 根据机械能守恒 解得 圆弧轨道半径的取值范围为 （3）设物块a与物块1第一次碰撞后，物块a的速度大小为、物块1的速度大小为，根据动量守恒定律有 根据机械能守恒定律有 解得 由于水平面上静止的物块质量相等，因此1与2、2与3、…发生弹性碰撞交换速度。因此物块a与1第一次碰撞后物块n获得的速度大小为 根据物块a、物块1碰撞的特点及水平面上物块间碰撞的特点分析可知，物块a与物块1第二次碰撞后，物块a的速度大小 物块a与物块1共发生次弹性碰撞，第次碰撞后，物块a的速度大小 因此物块a与物块1第一次碰撞后，物块a在传送带上共运动的时间 变式2．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）如图所示，倾角为的斜面足够长，斜面上静止着2025个完全相同的物块，物块质量均为，相邻物块间的距离均为，在物块上方处有一个光滑小球，小球质量，将其从左到右依次编号，光滑小球与斜面间的摩擦忽略不计，物块与斜面间的动摩擦因数为。现将小球由静止释放，题中所有物体之间的碰撞均可视为弹性正碰（已知重力加速度为，不计空气阻力，碰撞时间忽略不计，小球及物块大小忽略不计）。求： (1)1号小球与2号物块第一次碰撞后，两者的速度大小； (2)1号小球与2号物块在第一次碰撞中对2号物块所做的功及小球以后每次与2号物块碰撞前瞬间的速度表达式大小。 【答案】(1)， (2)， 【详解】（1）小球1与斜面间光滑，小球在斜面上运动时所受合外力为，根据动能定理有 可得1号小球与2号物块碰撞前速度 碰撞后根据动量守恒及能量守恒可得， 整理得， 小球1的速度为，物块2的速度为 （2）在此过程中，小球1对物块2做功 小球1对物块2冲量 因物块摩擦因数 即 第一次碰撞后物块2所受合外力为0，做匀速直线运动沿斜面下滑，碰撞物块3，又因物块质量均相等，故发生速度交换，物块2停止，物块3以碰撞物块4，再次速度交换，以此类推，直至最后一个物块以匀速直线运动离开； 第一次碰撞后小球1沿斜面下滑距离，根据动能定理有 可得 再次与物块2发生碰撞，由此可知，每次碰撞后，小球1均下滑距离，速度由恢复至 再次与物块2发生碰撞，并周期性重复； 小球1对物块2做功；小球以后每次与2号物块碰撞前瞬间的速度表达式始终为 2 学科网（北京）股份有限公司 $动量守恒定律的应用：动量守恒定律解决多过程问题3种高频考点专项训练 动量守恒定律的应用：动量守恒定律解决多过程问题3种高频考点专项训练 考点目录 单次碰撞的多过程问题 两物体多次碰撞问题 多物体多次碰撞问题 考点一 单次碰撞的多过程问题 核心知识点 1. 模型结构：完整过程分为两段 ① 阶段1：碰撞瞬间（时间极短，位移忽略），动量守恒； ② 阶段2：碰撞后两物体各自滑行、平抛、滑上曲面、板块滑动等匀变速运动，动量不守恒。 1. 典型题型 子弹打木块后木块滑行、滑块碰撞木板后板块滑动、小球碰撞后平抛、小车碰撞后冲上斜面。 1. 能量分段 碰撞阶段：弹性碰撞动能不变，非弹性碰撞损失动能； 滑行阶段：摩擦力做功，动能转化为内能。 1. 核心方程分工 · 碰撞瞬间：只列动量守恒； · 碰撞后运动：动能定理/牛顿第二定律+运动学。 例1．（2026·四川绵阳·一模）图示为一种缓冲装置的简化模型。两根光滑平行细导轨（足够长）水平放置，一质量为3m的缓冲细滑杆B与轨道垂直且左右对称放于轨道上，其中点通过一根不可伸长的轻绳连接一质量为m的小球A。轻绳所在竖直面垂直于杆，初始状态绳拉直，与水平面夹角成30°，绳长为L。静止释放小球，绳绷直后始终保持伸直状态，绷直瞬间时间极短，A球重力的冲量可忽略不计。重力加速度为g。求： (1)小球A运动到绳即将绷直前的速度大小； (2)小球A运动到绳绷直后瞬间的速度大小； (3)小球A释放后能运动到的最高位置。 例2．（2026·河北沧州·三模）如图所示，长为的细线一端固定在点，另一端拴一质量为的小球，小球在点受到一竖直向上的冲量（作用时间极短）后开始向上运动，在点细线刚好被拉直，小球开始做圆周运动，恰好到达点正上方并与光滑水平台面上点处静止的小球在水平方向上发生弹性正碰，之后小球1、2、3、4依次发生弹性正碰。已知、、三点构成等边三角形，与竖直方向的夹角为，每个小球的大小相等，小球的质量为，小球2的质量为，小球3的质量为，小球4的质量为，重力加速度为，不计空气阻力。求： (1)冲量的大小 (2)小球3与小球4碰撞后小球4的速度大小。 变式1．（2026·河南南阳·三模）如图，有两块大小不同的圆形薄板（厚度不计），质量分别为M和m，半径分别为R 和r，两板之间用一根长为1.6m的轻质刚绳连接。开始时，两板水平放置并叠合在一起，在其正下方0.8m处有一固定支架 C，支架上有一半径为R'（r<R'<R）的圆孔，圆孔与两薄板的中心均在同一竖直线上。让两个圆形薄板自由下落，大板与支架C发生弹性碰撞，在轻绳绷紧瞬间，两薄板具有共同速度v。取重力加速度 忽略空气阻力。 (1)若，求v的值以及由于轻绳绷紧损失的机械能占绷紧前机械能的百分比； (2)若，要使v的方向向上，求k值的范围。 变式2．（2026·陕西安康·模拟预测）如图所示，一个质量为M的木质轨道放在光滑的水平地面上，轨道的斜面AB部分光滑，BC部分水平且粗糙，BC的右端有一个固定挡板，轨道左侧不远处固定一障碍物。现把一个质量为的小滑块从斜面AB的最高点A由静止释放，当小滑块滑到B点进入水平轨道时，木质轨道刚好与左侧的障碍物发生碰撞（碰撞时间极短），碰后木质轨道立即原速率反弹，小滑块与C处的固定挡板发生弹性碰撞后刚好没有冲上斜面。已知BC的长度为L，A点到B点的水平距离为、竖直距离为h，重力加速度为g。求： (1)初始时障碍物与木质轨道左端的距离； (2)障碍物对轨道的冲量大小； (3)小滑块与轨道BC之间的动摩擦因数。 考点二 两物体多次碰撞问题 核心知识点 1. 模型条件：光滑水平面，仅两个物体，中间有弹簧/挡板，反复发生弹性碰撞；全程系统水平合外力为0，全过程动量守恒、机械能守恒。 1. 关键结论 ① 任意两次碰撞间隔，系统总动量、总机械能不变； ② 弹簧模型最短/最长形变量时刻，两物体共速； ③ 每次碰撞等效弹性碰撞，速度交换规律持续适用； ④ 若存在摩擦，每次碰撞间隙动能持续损耗，最终两物体共速静止。 1. 临界终点 无摩擦：物体持续循环碰撞，速度周期性变化； 有摩擦：多次碰撞后动能耗尽，两物体保持相对静止。 例1．（2025·湖南岳阳·三模）如图所示，光滑固定的水平桌面，右端足够长，在桌面上A、B完全相同的两物块通过一轻质细绳连接，且A、B之间有一根被压缩的轻质弹簧（未被拴接），B右侧足够远处有一未固定的半径为R＝0.5m的光滑圆弧轨道C，在桌面左端光滑地面上紧靠一小车，小车的上表面与桌面等高。剪断细绳之后，A滑上小车，B恰能滑上圆弧轨道最高点。已知A、B两物块质量m＝3kg，可视为质点，圆弧轨道C的质量M＝5kg，小车质量m0＝1kg，物块A与小车间的动摩擦因数μ＝0.2，重力加速度g取10m/s2。求： (1)物块B在第一次到达圆弧轨道C最低点时对轨道的作用力； (2)剪断细绳之前，弹簧的弹性势能Ep的大小； (3)若在小车的左侧足够远处有一墙面，小车与墙碰撞，碰撞时间极短，且碰后速度与碰前速度大小相等，方向相反，小车足够长，小车第一次与墙相碰之后小车所走的总路程。 例2．（2026·江西上饶·二模）某次货物装载的碰撞模拟实验如图所示，光滑水平地面上固定一圆弧斜槽，斜槽由半径为的四分之一光滑圆弧和长度为的粗糙水平面组成，斜槽左侧紧挨着一辆小车，小车质量为，其右端和斜槽末端平滑对接但不粘连，小车左侧足够远处有固定于地面的平台P。平台与车的上表面等高，劲度系数N/m的轻质弹簧左端固定在平台上，右端连接一个轻质粘性板Q（下端光滑），弹簧开始处于压缩状态，压缩量。由轻绳拴接固定。现将一质量为的物块（可视为质点）从斜槽顶端点由静止释放，物块经过点后滑上小车，小车与平台的碰撞时间极短，每次碰撞后小车被反弹，速度大小减为碰撞前的一半，整个过程中物块始终未滑离小车。已知物块与段的动摩擦因数，物块与小车上表面间的动摩擦因数为，最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度，求： (1)物块运动到点时的速度大小； (2)小车与平台第2次碰撞前瞬间，物块与小车右端的距离； (3)当物块和小车均停下时，物块恰在小车最左端。此时将小车锁住不动，同时剪断轻绳，物块被粘性板Q粘住，经阻尼振动后最终再次停下。弹簧始终处于弹性限度内，求物块阻尼振动的路程以及本次模拟实验全程物块与小车之间产生的摩擦热。 变式1．（2026·安徽合肥·模拟预测）如图所示，半径的四分之一光滑圆弧轨道固定在水平地面上，最低点切线水平，紧邻轨道左侧放置着一个下表面光滑、上表面粗糙的木板A，在木板A的左侧放置一小物块C。从与圆心点等高处静止释放小滑块B，经圆弧最低点滑上A，A与B共速后，再与C发生弹性碰撞。在以后的运动过程中，小滑块B始终未脱离木板A。已知，，，B与A间、C与地面间的动摩擦因数均为，木板A与地面间光滑。重力加速度。求： (1)B经过圆弧轨道最低点时受到的支持力大小； (2)A、C第一次碰撞前，A、B系统损失的机械能； (3)C在地面上运动的总路程。 变式2．（2026·河南·高考真题）如图，水平地面上的球壳内下端有一小球，球壳的直径D = 0.25m，上端距天花板的距离为h = 6m。现以v0 = 11m/s的初速度把球壳连同小球一起竖直向上抛出，球壳与天花板碰撞后经过Δt = 0.1s，小球与球壳发生第1次碰撞。所有的碰撞均为弹性碰撞、时间极短，不计球壳厚度和空气阻力，重力加速度大小取g = 10m/s2。 (1)求小球的直径； (2)求小球与球壳第1次碰撞后瞬间两者速度差的大小，及它们前两次碰撞的时间间隔； (3)若小球与球壳第8次碰撞前瞬间球壳的速度大小为v1 = 6m/s，求球壳首次碰地时的速度大小。 考点三 多物体多次碰撞问题 核心知识点 1. 模型：三个及以上物体在光滑水平面依次碰撞（小球队列、多滑块），遵循依次碰撞、互不干扰原则。 1. 碰撞顺序规律：速度大的先追上相邻物体，两两独立碰撞，同一时刻只发生两个物体碰撞，其余物体暂时匀速； 1. 守恒规则 ① 任意两物体碰撞瞬间，仅这二者动量守恒，第三方速度不变； ② 全部物体组成的大系统，全程总动量、总机械能（弹性碰撞）守恒； 1. 终态规律（等质量弹性小球）：速度依次传递，出现末尾小球弹出，前面小球静止； 1. 含摩擦场景：每次两两碰撞间隙损耗动能，多次碰撞后全部物体共速。 例1．（2026·湖北武汉·三模）如图所示，竖直平面内半径为的四分之一光滑固定圆弧轨道AB，其下端B点与一水平传送带平滑连接，水平传送带右端点C与足够长的光滑水平面平滑连接，水平面上均匀排列着2026个质量均为的滑块（可视为质点），从左到右依次编号为1、2、3、…、2025、2026，相邻滑块间距均为，1号滑块位于C点。一物块a（可视为质点）质量为，以速率从A点沿圆弧切线进入圆弧轨道，其与传送带间的动摩擦因数为，所有碰撞均为弹性正碰且碰撞时间不计。已知传送带长度为，以恒定速率沿顺时针方向转动，g取。 (1)求物块a第一次和1号滑块碰撞前的速率va； (2)若时物块a经过B点，求2026号滑块开始运动的时刻； (3)求物块a与传送带间因摩擦产生的总热量Q（保留至小数点后两位）。 例2．（2026·浙江绍兴·二模）如图所示为一简化的立体拼接轨道游戏装置。是水平光滑直轨道，是半径的半圆形光滑水平轨道，是光滑直轨道，是倾角、长度、以的速度顺时针运行的传送带，是水平粗糙直轨道，是倾角为的足够长的粗糙倾斜轨道，轨道上每间隔静置质量的障碍物。游戏开始，质量的物块被弹簧弹出，弹簧具有的弹性势能全部转化为物块的动能，物块沿轨道运动，运动到点时速度恰好为0，然后沿倾斜轨道开始下滑，与障碍物发生连续碰撞，碰撞后物块与障碍物均粘在一起。已知物块与传送带和倾斜轨道间的动摩擦因数均为，障碍物与倾斜轨道间的动摩擦因数为，设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，不计轨道连接处的能量损失，物块与障碍物均可视为质点，重力加速度大小取，，。 (1)求物块在半圆轨道运动时的向心力大小； (2)求物块在传送带上运动的时间； (3)求物块与第1个障碍物碰后的速度大小； (4)求物块在倾斜轨道上运动中的最大速度。 变式1．（2026·河南驻马店·三模）如图所示，水平传送带以的速率沿顺时针方向匀速运行，传送带两端间的距离为4.8m，光滑四分之一圆弧轨道固定在竖直面内，圆弧轨道的最低点紧靠传送带的左端，圆弧轨道的最低点切线与传送带上表面在同一平面内，传送带右端紧靠右侧光滑水平面，且传送带上表面与水平面相平。个质量均为的相同物块一字排开静止在传送带右侧的水平面上，质量为的物块a在圆弧轨道上的最高处点由静止释放，物块a第一次到达传送带右端时速度也为，已知物块a与传送带间的动摩擦因数为0.5，重力加速度取，物块间的碰撞均为弹性正碰，求： (1)物块a在处对圆弧轨道的压力大小； (2)圆弧轨道半径的取值范围； (3)物块a与水平面上物块1第一次碰撞后，在传送带上运动的总时间。 变式2．（25-26高三下·海南海口·阶段检测）如图所示，倾角为的斜面足够长，斜面上静止着2025个完全相同的物块，物块质量均为，相邻物块间的距离均为，在物块上方处有一个光滑小球，小球质量，将其从左到右依次编号，光滑小球与斜面间的摩擦忽略不计，物块与斜面间的动摩擦因数为。现将小球由静止释放，题中所有物体之间的碰撞均可视为弹性正碰（已知重力加速度为，不计空气阻力，碰撞时间忽略不计，小球及物块大小忽略不计）。求： (1)1号小球与2号物块第一次碰撞后，两者的速度大小； (2)1号小球与2号物块在第一次碰撞中对2号物块所做的功及小球以后每次与2号物块碰撞前瞬间的速度表达式大小。 2 学科网（北京）股份有限公司 $