精品解析：黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题

黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题 一、单选题:本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项. 1. 已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的40%分位数为（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 2. 复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 4. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 5. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 6. 某校高一年级1000名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40~70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50~60分的人数是（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 7. 一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（ ） A B. C. D. 8. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 棱始终与水面所在平面平行 C. 水面所在四边形的面积为定值 D. 当容器倾斜如图所示时，定值 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，错选不得分. 9. 小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（ ） A. B. 该组数据的均值一定为90 C. 该组数据众数一定为84和96 D. 若要使该总体标准差最小，则 10. 袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（ ） A. 至少有一个白球与都是白球 B. 恰有一个红球与白、黑球各一个 C. 至少一个白球与至多有一个红球 D. 至少有一个红球与两个白球 11. 正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（ ） A. 该正三棱台的上底面积是 B. 该正三棱台的侧面面积是 C. 该正三棱台的表面积是 D. 该正三棱台的高是 三、填空题：本题3个小题，每题5分，共15分. 12. 已知复数z为纯虚数，满足，则__________. 13. 球员罚球命中的概率是0.7，球员罚球命中的概率是0.6，且两人罚球是否命中相互独立．那么在一次两人罚球过程中，至少有一人罚球命中的概率是______．（用小数表示） 14. 如图所示，在正方体中，则四棱锥的体积与正方体体积的比为__________. 四、解答题：本题共四个小题，共47分 15. 已知平面向量，． （1）若，求的值； （2）若，求． 16. 如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: （1）平面AEC; （2）平面AEC⊥平面PBD． 17. 在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求角C； （2）若△的面积，且，求△的周长． 18. 长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 黑龙江省哈尔滨市第三十二中学校2024-2025学年高一下学期7月期末考试数学试题 一、单选题:本题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一个正确选项. 1. 已知一组数据从小到大排列：10，20，30，40，50，60，70，80，90，100，则该组数据的40%分位数为（ ） A. 35 B. 40 C. 45 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】根据百分位数求解规则直接求解即可. 【详解】由题知该组数据共有10个， ， 组数据的40%分位数为. 故选：C. 2. 复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的除法运算先求复数，最后求复数的模即可求解. 【详解】由题意有，所以， 故选：D. 3 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用向量共线的坐标表示列式计算. 【详解】向量，，由，得，所以. 故选：B 4. 在中，若，，，则角的大小为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理求得，由此求得角的大小. 【详解】由正弦定理得，即， 又因为，则， 所以或. 故选：D 5. 甲、乙两名运动员在一次射击训练中各射靶20次，命中环数的频率分布条形图如下．设甲、乙命中环数的众数分别为，，方差分别为，，则（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】A 【解析】 【分析】观察给定的图表，利用众数的意义运动员命中环数的集中与分散程度判断即可. 【详解】根据图表知，甲､乙命中环数的众数均为7环，则； 甲运动员命中的环数比较分散，乙运动员命中的环数比较集中，则． 故选：A 6. 某校高一年级1000名学生在一次考试中的成绩的频率分布直方图如图所示，现用分层抽样的方法从成绩40~70分的同学中共抽取80名同学，则抽取成绩50~60分的人数是（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】B 【解析】 【分析】先求出三个分数段的同学的频率之比，从而求出抽取成绩50~60分的人数. 【详解】从频率分布直方图可以看出三个分数段的同学的频率之比为， 所以抽取成绩50~60分的人数为， 故选：B 7. 一个不透明袋子中有大小和质地均相同的3个小球，分别标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，若第二次摸出球的号码比第一次大，则选择第二次摸出的球，否则选择未被摸出的球，则选到3号球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别列举选球的可能性，再根据互斥事件的概率公式求解即可. 【详解】从标有数字1，2，3，先后不放回地摸出两个球，则所有可能结果有，，，，，， 选到3号球有两种可能：第二次摸出的为3号球，或第一次摸出2号球，第二次摸出1号球， 则满足第二次摸出的为3号球的有，，所以第二次摸出的为3号球的概率； 第一次摸出2号球，第二次摸出1号球的概率； 所以选到3号球的概率. 故选：C. 8. 如图，透明塑料制成的长方体容器内灌进一些水，固定容器底面一边于地面上，再将容器绕边倾斜.随着倾斜度的不同，在下面四个命题中错误的是（ ） A. 没有水的部分始终呈棱柱形 B. 棱始终与水面所在平面平行 C. 水面所在四边形的面积为定值 D. 当容器倾斜如图所示时，是定值 【答案】C 【解析】 【分析】对于A：根据棱柱的特点进行判断；对于B：根据线面平行的判定定理来判断；对于C：观察不同倾斜度下的面积变化来判断；对于D：根据水的体积和高均不变来判断. 【详解】对于A：将容器绕边倾斜，随着倾斜度的不同，平面平面， 平面，平面，平面，平面都是平行四边形， 所以没有水部分始终呈棱柱形，故A正确； 对于B：面，面， 所以面，即棱始终与水面所在平面平行，故B正确； 对于C：如下图： 水面所在四边形的面积等于长方形的面积， 如下图： 水面所在四边形的面积大于长方形的面积，故C错误； 对于D：当容器倾斜如图所示时，有水的部分形成一个直三棱柱， 三棱柱的底面为三角形，高为，根据水的体积为定值， 可得底面三角形的面积为定值，故是定值，故D正确. 故选：C. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对按比例得分，错选不得分. 9. 小明用某款手机性能测试APP对10部不同品牌的手机的某项性能进行测试，所得的分数按从小到大的顺序（相等数据相邻排列）排列为：81，84，84，87，，y，93，96，96，99，已知总体的中位数为90，则（ ） A. B. 该组数据的均值一定为90 C. 该组数据的众数一定为84和96 D. 若要使该总体的标准差最小，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】依题意可得，即可求出平均数，即可判断A、B，再利用特殊值判断C，利用基本不等式判断D； 【详解】解：因为总体的中位数为90，所以，所以该组数据的均值为，故A正确，B正确，当时，众数为84，90，96，当，时，众数为84，87，93，96，故C错误；要使该总体的标准差最小，即方差最小，即最小，又，当且仅当时，即时等号成立，故D正确． 故选：ABD 10. 袋中有红球3个，白球2个，黑球1个，从中任取2个，则互斥的两个事件是（ ） A. 至少有一个白球与都是白球 B. 恰有一个红球与白、黑球各一个 C. 至少一个白球与至多有一个红球 D. 至少有一个红球与两个白球 【答案】BD 【解析】 【分析】根据互斥事件的定义和性质判断. 【详解】袋中装有红球3个、白球2个、黑球1个，从中任取2个， 在A中，至少有一个白球和都是白球两个事件能同时发生，不是互斥事件，故A不成立. 在B中，恰有一个红球和白、黑球各一个不能同时发生，是互斥事件，故B成立； 在C中，至少一个白球与至多有一个红球，能同时发生，故C不成立； 在D中，至少有一个红球与两个白球两个事件不能同时发生，是互斥事件，故D成立； 故选：BD. 【点睛】本题考查互斥事件的判断，根据两个事件是否能同时发生即可判断，是基础题. 11. 正三棱台的上、下底面边长分别是2和6，侧棱长是5，则下列说法正确的是（ ） A. 该正三棱台的上底面积是 B. 该正三棱台的侧面面积是 C. 该正三棱台的表面积是 D. 该正三棱台的高是 【答案】AC 【解析】 【分析】根据正三棱台的结构特征和表面积公式进行计算求解即可. 【详解】对于选项A： 因为正三棱台的上底面为正三角形，其边长为2， 所以上底面面积为，所以A正确； 对于选项B： 正三棱台的侧面为等腰梯形，所以侧面积为： ，所以B错误； 对于选项C： 该正三棱台的下底面面积为. 所以该三四棱台的表面积为，所以C正确； 对于选项D： 设为正三棱台的高，根据勾股定理可得， 解得，所以D错误. 故选：AC. 三、填空题：本题3个小题，每题5分，共15分. 12. 已知复数z为纯虚数，满足，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】设，，根据模长得到，求出答案. 【详解】设，，因为，所以，故. 故答案为： 13. 球员罚球命中的概率是0.7，球员罚球命中的概率是0.6，且两人罚球是否命中相互独立．那么在一次两人罚球过程中，至少有一人罚球命中的概率是______．（用小数表示） 【答案】## 【解析】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“球员和球员至少一人罚球命中”， 则其对立事件为“罚球命中两人都未罚球命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得，， 所以. 故答案为：. 14. 如图所示，在正方体中，则四棱锥的体积与正方体体积的比为__________. 【答案】 【解析】 【分析】令正方体棱长为，求出正方体的体积及四棱锥的体积即可判断. 【详解】设正方体棱长为，则，. 所以四棱锥的体积与正方体体积的比为. 故答案：. 四、解答题：本题共四个小题，共47分 15. 已知平面向量，． （1）若，求的值； （2）若，求． 【答案】（1）或； （2）或. 【解析】 【分析】（1）由向量垂直可得数量积为零，计算即可得； （2）借助向量平行的性质计算计算可得，再利用坐标形式的模长公式计算即可得. 【小问1详解】 若，则，故或； 【小问2详解】 若，则，即， 则或， 若，则，，则， 若，则，，则， 即或. 16. 如图,在四棱锥P－ABCD中,四边形ABCD是菱形,PA=PC,E为PB的中点．求证: （1）平面AEC; （2）平面AEC⊥平面PBD． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】(1) 设,连接,根据中位线可得,再根据线面平行的判定定理即可证明; (2)根据可得,根据四边形为菱形,可得,再根据线面垂直的判断定理可得平面,再根据面面垂直的判定定理即可得出结果. 小问1详解】 设,连接,如图所示: 因为O,E分别为,的中点,所以, 又因为平面,平面, 所以平面． 【小问2详解】 连接,如图所示: 因为,为的中点,所以, 又因为四边形为菱形,所以, 因为平面,平面,且, 所以平面,又因为平面, 所以平面平面． 17. 在△中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且． （1）求角C； （2）若△的面积，且，求△的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求得的值，进而求得角C的值； （2）依据题给条件得到关于的方程组，求得的值，进而求得△的周长． 【小问1详解】 因为，由余弦定理，得到， 又，所以； 【小问2详解】 因为△的面积，且， 所以有， 联立，则， 所以△的周长为 18. 长沙是一座历史悠久、文化旅游资源丰富的城市．为更好地了解游客对长沙旅游体验的感受，长沙市旅游部门随机选择100名游客对长沙旅游体验进行满意度评分（满分100分），根据这100名游客的评分，制成如图所示的频率分布直方图． （1）根据频率分布直方图，求的值； （2）估计这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）； （3）旅游部门的工作人员采用按比例分层抽样的方法从评分在，的两组中共抽取6人，再从这6人中随机抽取2人进行单独访问，求选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据各个小长方形的面积之和即频率之和为1，列式计算即可求出值； （2）根据频率分布直方图求平均数的公式计算即可； （3）先根据分层抽样的特点计算出评分在，内应抽取的人数，再列出从这6人中随机抽取2人的所有可能结果，再根据古典概型的计算公式计算即可. 【小问1详解】 由，解得； 【小问2详解】 ， 所以这100名游客对长沙旅游体验满意度评分的平均数为分； 【小问3详解】 评分在的人数为人， 评分在人数为人， 按比例分层抽样的方法从两组中共抽取6人， 则从评分在中抽取人，分别为表示； 从评分在中抽取人，分别用表示， 则从这6人中随机抽取2人的所有结果为 共15种. 则恰有1人评分在内，另1人在内的所有结果为 共8种， 所以选取的2人中，恰有1人评分在内，另1人在内的概率为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $