精品解析：黑龙江省绥化市第七中学2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题

绝密★启用前 黑龙江省绥化市第七中学2025-2026学年度下学期期末试卷 高一数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】共轭复数的概念. 【详解】复数的共轭复数为. 故选：B. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. ﹣4 B. 1 C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】由坐标形式的共线定理即可求解. 【详解】由题得. 故选：D. 3. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据正弦定理得出；再根据三角形中大边对大角及特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】由正弦定理可得：. 因为， 所以. 又因为， 所以或. 故选：C. 4. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在正方体中， 由，根据异面直线所成角的定义，的大小即可所求，然后根据正方体的几何特征求解. 【详解】如图所示： 在正方体中， ， 所以是异面直线与所成的角， 因为， 所以异面直线与所成的角为. 故选：B 【点睛】本题主要考查异面直线所成角的求法，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 5. 已知圆锥高为2，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题目条件求出圆锥的母线长和底面半径，进而根据圆锥表面积公式求出圆锥的表面积. 【详解】因为圆锥的高为2，母线与底面成角为45°， 所以母线长为.圆锥底面半径为2. 所以圆锥的表面积为. 故选：C. 6. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A. 20 m B. 30 m C. 20 m D. 30 m 【答案】D 【解析】 【详解】根据题意，结合在中，求得,再在中，由正弦定理，求得的长，最后在直角中，结合，即可求解. 【分析】由， 由题意知，所以， 在中，可得, 在中，由正弦定理得， 所以， 在直角中， 故选：D. 7. 已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二面角的平面角的概念，做出二面角的平面角，求出各边长，在求出二面角的平面角的正弦值，判断角的大小. 【详解】取的中点，连接， 因为，为的中点，则，由垂径定理可得， 所以二面角的平面角为， 因为平面，平面，则， 因为，，则为等腰直角三角形， ，则，，， 因平面，则为直线SA与圆锥底面所成角，即， 则在中，，故， 所以，， 因为，故，即二面角的大小为. 故选：C. 8. 若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（ ） A. B. 5 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】正三棱柱的外接球和内切球的球心相同，根据题意画出图形分别求出外接球和内切的半径，再求比值即可 【详解】由于三棱柱的外接球和内切球的球心相同，如图，，， 因为为正三角形，为的中心， 所以， 所以， 在中，， 所以， 所以，， 所以， 故选：A 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 正方体的外接球的表面积为 D. 三棱锥的体积为 【答案】ABC 【解析】 【分析】对选项A，根据线面垂直的判定于性质判断A正确；对选项B，根据题意得到，再利用线面平行的判定即可得到平面，即B选项正确；对选项C，首先求出正方体外接球半径，再求表面积即可判断C正确；对选项D，根据，即可判断D错误. 【详解】对选项A，连接，因为平面，且平面，则， 又因为，平面， 所以平面，又因为平面，所以，故A正确； 对选项B，因为， 所以四边形为平行四边形，所以，因为平面，平面， 所以平面，故B正确； 对选项C，正方体外接球半径， 所以球体表面积，故C正确； 对选项D，，故D错误. 故选：ABC 10. 已知的内角的对边分别为，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若的面积，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据正弦定理结合余弦定理判断A，根据角的范围计算判断三角形形状判断B，应用正弦单调性判断C，应用面积公式结合余弦定理结合角的范围判断D. 【详解】对于A：由正弦定理可将转化为，则，所以，但无法判断的范围，A错误； 对于B：由得：或，即或， 所以为等腰三角形或直角三角形，B正确； 选项C：因为是锐角三角形，所以，所以，又，所以，又因为在单调递增，所以，C正确； D选项，因为面积，即，所以， 即，因为，所以，故D正确， 故选：BCD． 11. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则是等边三角形 C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为 D. 若是锐角三角形，则的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】由可得. 对于A，由余弦定理可得；对于B，由可得，据此可判断选项正误；对于C，由正弦定理可得，R为外接圆半径，然后积化和差公式可得，据此可得外接圆半径最小值；对于D，由正弦定理边角互化可得，然后由是锐角三角形可得 ，据此可得取值范围. 【详解】由，可得 ，则由正弦定理边角互化可得， 对于A，由余弦定理可得，又，则，故A错误； 对于B，因，则，，则，结合，可得是等边三角形，故B正确； 对于C，因的面积为，结合，则. 由正弦定理，，R为外接圆半径，则， 对于，由积化和差公式，，当且仅当时取等号，则，故C错误； 对于D，由正弦定理边角互化可得： ， 因是锐角三角形，则，则， ，则，故D正确. 故选：BD 12. 某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（ ） A. 成绩的第60百分位数为122 B. 成绩的极差为36 C. 成绩的平均数为125 D. 若增加一个成绩125，则成绩的方差变小 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据题意，由百分位数的计算公式即可判断A；由极差，平均数的计算公式即可判断BC；由方差的计算公式即可判断D. 【详解】将成绩从低到高排序为，且， 所以成绩的第60百分位数为第四个数，即为，故A错误； 极差为，故B正确； 平均数为，故C正确； 未增加成绩之前的方差为， 若增加一个成绩125，则成绩的平均数为， 则其方差为 ，即成绩的方差变小，故D正确； 故选：BCD 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，且，则______． 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以，解得． 14. 在中，，则外接圆的半径为__________． 【答案】2 【解析】 【分析】正弦定理的直接求解. 【详解】因为，可得， 由正弦定理得外接圆的半径． 故答案为：2. 15. 已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是_________． 【答案】1 【解析】 【分析】首先确定复数对应点的轨迹，然后根据点到直线的距离求出最小值. 【详解】设在复平面内对应的点分别为， 因， 且，则复数对应的点的轨迹为线段，如图所示. 故的最小值问题可理解为：动点在线段上移动，求的最小值， 故只需作，交线段于点，则即为所求的最小值1，故的最小值是1. 故答案为：1. 16. 在中，三边长分别为，最大角的正弦值为，则_________． 【答案】5 【解析】 【分析】由条件结合余弦定理列方程求即可. 【详解】因为， 所以的最大内角为边长的边所对应的角， 因为最大角的正弦值为，又对于非等边三角形，最大角大于， 所以最大角的余弦为， 由余弦定理可得，又 所以. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知平面向量，满足：，，． （1）求； （2）当时，求实数k的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据数量积可得，再根据模长的平方关系结合数量积的运算律求解； （2）根据向量垂直的可得，结合数量积的运算律求解. 【小问1详解】 因为，，，则， 又因为，所以． 【小问2详解】 因为，则， 可得， 即，解得. 18. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）； （3）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1得到方程，求出答案； （2）利用平均数计算公式和频率分布直方图进行求解； （3）求出年龄在内的频率，进而求出人数. 【小问1详解】 由题意可得， 解得. 【小问2详解】 ， 由题意可得这500名中国AI大模型用户年龄的平均数的估计值为岁； 【小问3详解】 由频率分布直方图可知中国AI大模型用户的年龄在内的频率为， 则这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数为. 19. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理结合诱导公式计算得出，最后结合角的范围求解； （2）应用余弦定理得出，，即可求解. 【小问1详解】 由及正弦定理得， 所以， 所以， 因为，所以，所以． 【小问2详解】 在中，，解得， 在中，，所以， 所以周长． 20. 记斜的内角的对边分别为，已知，且． （1）求角； （2）为边的中点，若，求的面积； （3）如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理，结合二倍角公式即可求出角的值； （2）通过向量平方关系，结合余弦定理求出的值，最后用三角形面积公式即可得出答案； （3）先在和中利用正弦定理将边长转化为三角函数形式，进而表示出，再利用三角函数的单调性确定的取值范围. 【小问1详解】 利用余弦定理化简，得， 在斜中，得，， 故上式可化为， ，可得，利用二倍角公式可得， ，，即，. 【小问2详解】 为边的中点，根据向量的平行四边形法则，得，两边同时平方得，， ，得， 由（1）可知，即，， 由余弦定理得，解得， 的面积为 【小问3详解】 ，在中，由正弦定理可得，，即， 在中，由正弦定理可得，，即， 四边形的内角和为，且，， 在中，由余弦定理可得， ， 即， ， ，在中,，， ，故的取值范围为. 21. 某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了200名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间（以下简称为购票用时，单位为min），下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），解答下列问题： 分组 频数 频率 20 0.10 0.50 60 0.30 合计 200 1.00 （1）分别求出表中缺失的数据，，；并将频率分布直方图补充完整； （2）用每一组的两个端点的平均值来代替这一组的数据，求这个车站每位旅客购票平均所用的时间. 【答案】（1），，，频率分布直方图答案见解析 （2）分钟 【解析】 【分析】（1）根据频率､频数求得，，，根据频率分布直方图的知识补全频率分布直方图； （2）根据由频率分布直方图求平均数的方法求得平均数. 【小问1详解】 ，，， 第一组和第二组的频率相同，由此补全频率分布直方图如下图所示： 【小问2详解】 每位旅客购票平均所用的时间为分钟. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 绝密★启用前 黑龙江省绥化市第七中学2025-2026学年度下学期期末试卷 高一数学 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效. 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 复数的共轭复数为（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，，若，则（ ） A. ﹣4 B. 1 C. 2 D. 4 3. 已知中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若，，，则角C的值为（ ） A. B. C. 或 D. 4. 在正方体中，异面直线与所成的角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥高为2，母线与底面所成角为，则该圆锥的表面积为（ ） A. B. C. D. 6. 小明同学为了估算位于哈尔滨的索菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB，高为m，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，教堂顶C的仰角分别是15°和60°，在楼顶A处测得塔顶C的仰角为30°，则小明估算索菲亚教堂的高度为（    ） A. 20 m B. 30 m C. 20 m D. 30 m 7. 已知圆锥的顶点为为底面圆心，母线互相垂直且的面积为2，直线SA与圆锥底面所成角为，则二面角的大小为（ ） A. B. C. D. 8. 若正三棱柱既有外接球，又有内切球，记该三棱柱的内切球和外接球的半径分别为、，则（ ） A. B. 5 C. D. 二、多选题：本题共4小题，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 如图，已知正方体的棱长为2，则下列四个结论正确的是（ ） A. B. 平面 C. 正方体的外接球的表面积为 D. 三棱锥的体积为 10. 已知的内角的对边分别为，则如下判断正确的是（ ） A. 若，则是锐角三角形 B. 若，则为等腰三角形或直角三角形 C. 在锐角中，不等式恒成立 D. 若的面积，则 11. 在中，角A，B，C对边分别是a，b，c，且，则下列说法正确的有（ ） A. B. 若，则是等边三角形 C. 若的面积为，则的外接圆半径的最小值为 D. 若是锐角三角形，则的取值范围是 12. 某同学最近6次考试的数学成绩为107，114，136，128，122，143.则（ ） A. 成绩的第60百分位数为122 B. 成绩的极差为36 C. 成绩的平均数为125 D. 若增加一个成绩125，则成绩的方差变小 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，且，则______． 14. 在中，，则外接圆的半径为__________． 15. 已知为虚数单位，如果复数满足，那么的最小值是_________． 16. 在中，三边长分别为，最大角的正弦值为，则_________． 四、解答题：本题共5小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 已知平面向量，满足：，，． （1）求； （2）当时，求实数k的值． 18. 中国AI大模型正处于一个技术进步迅速、市场规模快速增长的爆发式发展阶段.为了解中国AI大模型用户的年龄分布，A公司调查了500名中国AI大模型用户，统计他们的年龄（都在内），按照，，，，进行分组，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求的值； （2）估计这500名中国AI大模型用户年龄的平均数（各组数据以该组区间的中点值作代表）； （3）求这500名中国AI大模型用户的年龄在内的人数. 19. 已知的内角所对的边分别为，且． （1）求角的大小； （2）点在边上，且，求的周长． 20. 记斜的内角的对边分别为，已知，且． （1）求角； （2）为边的中点，若，求的面积； （3）如图所示，是外一点，若，且，记的周长为，求的取值范围． 21. 某车站在春运期间为了了解旅客购票情况，随机抽样调查了200名旅客从开始在售票窗口排队到购到车票所用的时间（以下简称为购票用时，单位为min），下面是这次调查统计分析得到的频率分布表和频率分布直方图（如图所示），解答下列问题： 分组 频数 频率 20 0.10 0.50 60 0.30 合计 200 1.00 （1）分别求出表中缺失的数据，，；并将频率分布直方图补充完整； （2）用每一组的两个端点的平均值来代替这一组的数据，求这个车站每位旅客购票平均所用的时间. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $