微专题2：双曲线中常考的二级结论【10个常考结论+证明过程+例题训练】讲义-2025-2026学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

该高中数学双曲线微专题复习讲义通过“题型分类-结论推导-例题应用”的逻辑框架构建知识体系，以思维导图呈现10大常考二级结论题型，涵盖焦点三角形面积、焦半径、离心率等核心考点，用推导过程揭示公式内在联系，突出重难点分布。 讲义亮点在于“结论生成-思维训练-分层提升”的三阶设计，如焦点三角形面积公式推导培养逻辑推理（数学思维），经典例题结合期中、模拟真题，小试牛刀分基础与提升题，助力学生用数学眼光发现问题规律，教师可据此实施精准分层教学，提升复习效率。

2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【微专题2：双曲线中常考的二级结论】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：双曲线焦点三角形面积公式】 【公式推导过程】 核心结论：双曲线（），焦点、（），，则： 简易证明： 1.双曲线定义：，平方得 2.余弦定理： 3.两式相减：，得 4.面积公式，代入三角恒等变换，得结论 （25-26高二上·河北邢台·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ）经典例题例题 A．9 B．18 C． D． 【答案】C 【分析】由题意得到，求解即可. 【详解】如图： 设的焦距为，由题意得， 又， 可得，得. 故选：C （25-26高二上·北京西城·期中）双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则 .小试牛刀1 【答案】2 【分析】先由题设和双曲线定义求出，接着由勾股定理求出，再由即可求解. 【详解】由题可得， 又，所以， 所以. 故答案为：2    （2025高三·全国·专题练习）已知双曲线上一点M与两焦点所成的角，则的面积为 ．小试牛刀2 【答案】/ 【分析】利用余弦定理及双曲线定义求得，进一步求出面积即可. 【详解】由，可得，，， ， 又因为，所以，即， 由余弦定理得，解得, 所以， 故答案为： 【题型2：双曲线的焦点到渐近线的距离为定值】 【公式推导过程】 核心结论：双曲线的焦点到任一条渐近线的距离为 简易证明： 1.渐近线方程：，右焦点 2.点到直线距离公式：（左焦点同理） （25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据梯形中位线的性质，结合点到直线的距离公式可得，即可根据离心率求解. 【详解】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线， 即，，，，， 则四边形是梯形，F是的中点， ，，所以， 双曲线的离心率为， 可得，可得：，解得， 则双曲线的方程为． 故选：C． （2025·上海虹口·一模）已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为 ．小试牛刀1 【答案】 【分析】利用勾股定理和双曲线的定义及的关系，先求出双曲线的方程及渐近线的方程，再根据点到直线的距离公式计算即可. 【详解】因为双曲线的焦点分别为和， 所以，所以. 因为，，所以在中，有. 设，则由勾股定理可得 ，所以， 所以，所以. 又由，可得， 所以双曲线的方程为. 其渐近线方程为，即. 取渐近线，则点到该直线的距离为 . 故答案为： （25-26高二上·浙江·期中）已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】应用点到直线的距离得，结合的关系得，在中应用余弦定理得，进而有，即得渐近线斜率，根据双曲线参数关系求渐近线方程. 【详解】由题意，，双曲线的渐近线为，如图，    设点在上，则，故， 所以，则， 故， 所以，故， 所以C的渐近线方程为 故答案为： 【题型3：与坐标有关的焦半径/弦长结论】 【公式推导过程】 核心结论：双曲线，离心率，点： 1.焦半径（区分支）： 右支（）：， 左支（）：， 2.通径（过焦点⊥实轴的弦）： 简易证明： 1.焦半径：由双曲线第二定义（点到焦点距离/到准线距离=），右准线，距离，代入得 2.通径：代入到双曲线方程，解得，弦长为两纵坐标差的绝对值 （23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 经典例题例题 【答案】 【分析】先计算双曲线的标准方程，再由焦半径公式计算即可. 【详解】由题意可知， 代入双曲线方程有， 又的面积为，即， 所以双曲线方程为：， 设， 则， 同理， 因为，则， 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）设双曲线，其中两焦点坐标为，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．小试牛刀1 【答案】答案见解析 【分析】讨论弦AB所在直线的斜率k存在,以及直线与同支、异支相交，结合第二定义即可得到弦长. 【详解】（1）当弦AB所在直线的斜率k存在时， 设直线AB为y = k( x- c) ， 双曲线方程可化为①， 将直线y = k( x- c) 代入①整理得，， 设， 当时， 弦AB的两个端点同在右支曲线上(如图1) ， 于是 ∴， 当时， 弦AB的两个端点在左右两支曲线上(如图2) ， 于是 ． （2）当弦AB所在直线的斜率k不存在时， 弦AB 与x 轴垂直， （2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（    ）小试牛刀2 A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据得，，再换元利用函数的单调性求解. 【详解】解：由双曲线的第二定义可知，， 右支上的点，满足， 由，解得， 在右支上，可得，可得，即，则， 令，，可得 而在，单调递减，，，， 故选：B 【题型4：与倾斜角有关的焦半径/弦长结论】 【公式推导过程】 核心结论：过右焦点的直线倾斜角为，交双曲线于A、B： 1.与两支相交（）： 2.与右支相交（）： 简易证明： 1.设直线参数方程，代入双曲线得关于的二次方程 2.韦达定理得、，弦长： 两支相交（）： 右支相交（）： 3.代入化简，最终得弦长公式（通径验证：时，，与题型3一致） （2024高二·全国·专题练习）过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 .经典例题例题 【答案】2 【分析】设，利用焦半径公式可得，进而计算可求得. 【详解】设，因为，所以点必在双曲线右支上， 由焦半径公式，，解得，所以， 从而，双曲线的渐近线的斜率为，因为， 所以点也在双曲线的右支上.如图，由图可知，， 所以. （24-25高二·全国·课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ．小试牛刀1 【答案】8 【分析】写出直线方程，联立双曲线方程，利用弦长公式求解即可.（也可以直接使用双曲线焦点弦长公式代值求解） 【详解】由双曲线，得，， 焦点为，倾斜角， 法一：直线斜率，直线方程为， 联立消得，， 由韦达定理知， 代入弦长公式， 得. 法二：. 故答案为：8. （2024全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点，则双曲线的焦距为 ；连接，过点作交双曲线于点，若，则 .小试牛刀2 【答案】 4 5 【分析】根据双曲线过定点，及其离心率，可求双曲线参数，进而求焦距，法一：设的倾斜角为，由求，利用余弦定理，结合双曲线的定义可得，即可得；法二：延长与双曲线交于另一点，易知，设直线联立双曲线方程求E点坐标，即可求，进而可求. 【详解】由题设，知：，解得，，即，则， ∴双曲线的焦距为4，且，直线的斜率为， 解法一：∵， ∴直线的斜率为，可设的倾斜角为，易得. 连接，在中，由余弦定理得，又， ∴，于是. 解法二：延长与双曲线交于另一点， 由双曲线的对称性，知：，易得直线的方程为， ∴，消去，整理得. 设，则，得，则， ∴，于是，于是. 故答案为：4，5 【点睛】关键点点睛：根据双曲线过点、及离心率求双曲线方程，应用余弦定理及双曲线定义求焦半径长度，或根据双曲线对称性，结合韦达定理求B点的对称点E坐标，再求焦半径长度. 【题型5：与焦半径有关的定值问题】 【公式推导过程】 核心结论：过右焦点的直线交右支于A、B，则 简易证明： 1.设，，直线方程代入双曲线得韦达定理、 2.通分 3.代入和，化简后分子分母约去公因子，得定值 （2025·海南·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为．经典例题例题 (1)求的标准方程； (2)设直线与的另一个交点为，证明：为定值． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）根据双曲线的定义即可确定C的方程； （2）设方程为，联立双曲线方程，利用韦达定理和两点距离公式表示，化简计算即可证明. 【详解】（1）由，得，， 由双曲线的定义知，点的轨迹是以为左右焦点的双曲线的右支， 且，则，，所以， 所以C的方程为； （2）设方程为，， ，消去x得， 则，，， 又， 由两点距离公式得， ， 所以 ，即证. （2024·山东·模拟预测）如图，过双曲线的左、右焦点作两条相互平行的直线，其中点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上，且点在轴上方，则的最小值为 ．当的倾斜角为时，四边形的面积为 ．小试牛刀1 【答案】 1 【分析】①设直线，通过直线与双曲线相交于同支，可求出的范围，设根据对称性可知，则，进而利用韦达定理表示为关于的函数，求出最小值即可；②由对称性，知四边形的面积为平行四边形面积的一半，进而转化为三角形面积的2倍.当的倾斜角为时，求出弦的长度，以及点到直线的距离，代入三角形面积公式计算即可. 【详解】 对于空①：由双曲线可得， 则，设直线，， 联立方程得消去得， 则 ，由题意，，解得． 根据对称性可知， 则 ，则，可得，即 可得， 当且仅当时取等号．故的最小值为1． 对于空②：如图，连接，根据题意可知四边形为平行四边形， 且，则点到直线的距离， ， 当的倾斜角为时，，即， 可得，， 故四边形的面积 附注：本题空①还有如下解法． 由，得，，设，， 由对称性可得， 由双曲线的定义可得，， 在中，由余弦定理，， 在中，由余弦定理，． 又，故，化简得：， 由，可得，当且仅当时，等号成立， 可得的最小值为1. 故答案为：1；. （24-25高三上·重庆·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】第一空，根据对称性转化为同一焦点弦的两条焦半径之间的关系，利用焦半径公式即可求得定值； 第二空，通过相似比求出为定值，即点的轨迹为椭圆的一部分，从而求得的最小值. 【详解】延长交双曲线于点，由可知，点与点关于原点对称，即，设直线的倾斜角为，由焦半径公式可知： ， 所以. 又因为，所以，设， 则， 所以， 所以， 所以点的轨迹为椭圆的一部分，椭圆方程为， 所以， 故答案为：，. （24-25高三上·江苏苏州·月考）已知双曲线，焦点到一条渐近线的距离为，离心率，过左焦点F的直线l交双曲线C的同一支于A，B两点，若，则 ．小试牛刀3 【答案】 【分析】根据给定条件，求出双曲线方程及左焦点坐标，再按直线斜率存在与否分类设出其方程，并与双曲线方程联立，结合韦达定理求出即可计算得解. 【详解】令双曲线左焦点，其渐近线方程为， 依题意，，又，解得， 双曲线的方程为，，当直线斜率存在时，设其方程为， 由消去得， 设，则，显然， ，， 由，得 ， 当直线时，由，得，， 所以. 故答案为： 【题型6：双曲线的第三定义/点差法】 【公式推导过程】 核心结论： 1.第三定义：A、B关于原点对称，在双曲线上（异于A、B），则 2.中点弦斜率：弦中点，则 简易证明： 1.第三定义：设、、，代入双曲线方程相减，得，即斜率乘积 2.点差法：设、，代入方程相减，利用中点、，化简得斜率 （25-26高二上·重庆·期中）已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据双曲线的方程求得左焦点，设，利用点差法，求得点的坐标满足；由是以为底边的等腰三角形，得，得到点的坐标满足，两式联立，求出中点坐标.由，即可求出直线的斜率. 【详解】由题可知，，则，则得. 设直线的方程为，依题意设， 则，， 由，两式相减整理得， 化简得，即（*）. 依题意，，即得（**）， 代入（*），可得，化简得. 解得（舍去），或，将其代入（**），解得. 所以. 故选：C. （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点.小试牛刀1 (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用离心率公式和双曲线的关系得到双曲线方程； （2）根据点差法结合线段中点坐标解得直线的斜率，从而解得答案. 【详解】（1）因为，，得， 所以双曲线的方程为. （2）设，，由题， 则，两式相减得，即， 又，，所以， 所以直线的方程为，即， 将代入双曲线方程，消去，得， ，此时直线与双曲线C有两个交点，满足题意，则直线的方程为.    （25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 .小试牛刀2 【答案】 【分析】设，，由F为的重心，得，，可求MN的中点坐标；点差法求出直线MN的斜率，得直线方程. 【详解】由题知，，设M点的坐标为，N点的坐标为， 因为F为的重心，所以， ， 即，， 所以MN的中点坐标为； 因为M，N是双曲线C右支上的两点，所以， 两式相减并化简得， 所以直线MN的方程为，即. 故答案为：； 【题型7：双曲线的切点弦方程】 【公式推导过程】 核心结论：过双曲线外点作两条切线，切点弦的方程： 简易证明： 1.设切点，双曲线在处切线为 2.切线过，故，同理满足同式，故直线为切点弦方程 （2025高二上·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，，求直线的方程．经典例题例题 【答案】 【分析】设，求得直线的方程为，同理的方程为，通过在切线上，可得到直线的方程. 【详解】设，易得两条切线的斜率存在，设的斜率为， 则，联立方程， 消去可得：， 整理可得：， 因为与双曲线相切， 所以， ，， 即， ， ， 代入可得：，即， 所以， ，即， 同理，切线的方程为， 在切线上，所以有， 满足直线方程，而两点唯一确定一条直线， 直线的方程为. （25-26高三上·海南海口·月考）已知双曲线：，点为双曲线右支上第一象限内的一个点，过点且与双曲线相切的直线分别与双曲线的两条渐近线交于，两点，是坐标原点.小试牛刀1 (1)求双曲线的实轴长和离心率； (2)证明：直线的方程为； (3)求的面积. 【答案】(1)实轴长，离心率. (2)证明见解析 (3)2 【分析】（1）由方程标准形式即可求解； （2）由导数工具求出点处切线斜率即可由点斜式求解化简即可. （3）设直线与轴的交点为，联立直线l与渐近线方程，利用韦达定理依次求出和即可由计算求解. 【详解】（1）方程可化为， 所以，，， 故，，， 所以实轴长，离心率. （2）第一象限内双曲线的右支对应的方程可以表示为， 则，， 所以在点的切线斜率， 所以切线的方程为：，整理得 因为在双曲线上，所以， 所以，即直线的方程为； （3）因为双曲线方程为，所以其渐近线方程为， 由（2）直线的方程为，联立，消整理得， 由题意，设，，则，， 设直线与轴的交点为，在方程为中，令得， 所以， 所以 . （2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，其左､右焦点分别为，，过焦点且与轴垂直的直线交于，两点，且.小试牛刀2 (1)求的方程； (2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，连接，过线段的中点再分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，判断点与直线的位置关系，并说明理由. 【答案】(1) (2)在直线上，理由见解析 【分析】（1）设过与轴垂直的直线交于，两点，可得，再根据离心率以及，，的关系求解即可； （2）设，，由已知可得在上一点处的切线方程，可得直线的方程为，联立直线的方程与双曲线方程，利用韦达定理即可求解的坐标，由双曲线在，两点处的切线方程可得直线的方程，代入即可求解. 【详解】（1）在中，不妨令，解得，所以， 又，解得，， 所以双曲线的方程为； （2）点在直线上，证明如下： 设，， 由题可知双曲线在点处的切线方程为， 同理，在点处的切线方程为， 又两切线交点为，所以， 所以直线的方程为， 联立，得， 因为，满足，， 则，，所以， 所以，设，， 由题可知双曲线在，两点处的切线方程分别为，， 又两切线交点为，所以， 可得直线的方程为，即， 当时，，所以点在直线上. 【题型8：双曲线中的面积定值】 切线与渐近线围成的面积定值 核心结论：设双曲线方程为（），双曲线上任取一点，过作双曲线的切线，该切线与双曲线的两条渐近线和交于A、B两点，则原点与A、B围成的的面积为定值 简易证明： 1.双曲线在点处的切线方程：（因在双曲线上，满足） 2.求切线与渐近线的交点： 联立切线方程与渐近线（即），代入得，化简得，对应，即交点 联立切线方程与渐近线（即），同理得交点 3.计算的面积： 利用三角形面积公式，代入A、B坐标： 由双曲线方程，变形得，代入上式： 故面积，为定值 （2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线过点，.经典例题例题 (1)求双曲线C的渐近线方程. (2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为. (3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）将点的坐标代入双曲线方程即可求解双曲线的标准方程，然后求解渐近线即可； （2）分类讨论，设出切线方程，联立方程利用判别式法求得斜率，即可求出切线方程； （3）联立方程求得点A和B的坐标，进而求出，结合渐近线的夹角，代入三角形面积公式即可求解. 【详解】（1）因为双曲线过点，，所以， 解得，所以双曲线C的标准方程为，所以双曲线C的渐近线方程为. （2）当切线斜率存在时，不妨设切线方程为，因为点在双曲线C上， 所以，联立， 消去y并整理得， 此时，即， 所以，又，所以， 解得， 所以切线方程为，即； 当切线斜率不存在时，即时，切点为，切线方程为，满足； 综上，直线l的方程为. （3）由（1）知双曲线C的渐近线方程为，此时两渐近线与x轴的夹角均为， 即，设，由（2）可知切线方程为， 联立，解得，即， 此时，同理可得， 所以的面积 .    【多选题】（23-24高二下·重庆·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，P为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于2，过点P作双曲线C的切线与双曲线的渐近线交于M、N两点，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A． B．若，则的面积为 C． D．的面积为 【答案】BCD 【分析】设点，利用斜率公式求出的值，可得出双曲线的方程，根据为双曲线渐近线的夹角求出对应的值即可判断A选项，根据三角形面积公式可判断B选项；根据题意写出切线方程，求出点的横坐标，证明出点为线段的中点，可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】根据题意，设点，则，且， 易知点、，则， 因为，解得，所以，双曲线的方程为， 对于A选项，因为双曲线的方程为， 所以双曲线的渐近线方程为， 设双曲线的渐近线与轴的夹角为，则， 所以，所以，故选项A错误； 对于B选项，因为， 根据双曲线定义可得，所以，， 又因为，所以，所以， 所以，故选项B正确； 对于C选项，先证明双曲线在点处的切线方程为， 联立可得， 又因为，整理可得，解得， 可知双曲线与直线有一个交点， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 联立可得，即， 联立可得，即， 所以，， 所以，点为线段的中点，即，故选项C正确； 对于D选项，， 点到直线的距离为， 因为点为线段的中点， 所以，故选项D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题解题关键是结合图形利用几何关系简化运算. 【多选题】（23-24高二上·江西上饶·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，过点的切线与双曲线的渐近线交于、两点，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀2 A．双曲线的渐近线方程为 B． C．离心率 D． 【答案】BCD 【分析】设点，利用斜率公式求出的值，可得出双曲线的渐近线方程，可判断A选项；写出切线方程，求出点、的横坐标，证明出点为线段的中点，可判断B选项；利用双曲线的离心率公式可判断C选项；利用三角形的面积公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，设点，则，且， 易知点、，则， 因为，解得，所以，双曲线的渐近线方程为，A错； 对于B选项，接下来证明双曲线在点处的切线方程为， 联立可得， 又因为，整理可得，解得， 所以，双曲线在点处的切线方程为， 联立可得，即， 联立可得，即，    所以，， 所以，点为线段的中点，即，B对； 对于C选项，离心率，C对； 对于D选项，， 点到直线的距离为， 所以，，D对. 故选：BCD. 【点睛】方法点睛：求解椭圆或双曲线的离心率的方法如下： （1）定义法：通过已知条件列出方程组，求得、的值，根据离心率的定义求解离心率的值； （2）齐次式法：由已知条件得出关于、的齐次方程，然后转化为关于的方程求解； （3）特殊值法：通过取特殊位置或特殊值，求得离心率. 【题型9：与双曲线有关的离心率结论】 （1）焦点三角形中的离心率公式 核心结论：设双曲线（）的焦点为、，双曲线上一点满足，则离心率 简易证明： 1.由双曲线定义：，设，，则 2.焦点三角形中由正弦定理：（，且，因、对称） 3.故，，代入得，结合，化简得 （2）离心率与渐近线夹角的关系 核心结论：设双曲线渐近线的倾斜角为，两条渐近线的夹角为（），则离心率或（） 简易证明： 1.渐近线斜率，故，得 2.渐近线夹角（）或（），均有，故 （3）离心率与焦比的关系 核心结论：设双曲线（）的焦点为、，双曲线上一点满足焦比（，），，则离心率 简易证明： 1.由焦比定义得，结合双曲线定义（在右支，），解得， 2.焦点三角形中由余弦定理：，代入 3.化简得，两边除以得，开方得结论（在左支时，绝对值保证） （25-26高二上·江苏淮安·期中）已知是双曲线的左､右焦点，点是左支上的一点，若为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为 .经典例题例题 【答案】 【分析】结合双曲线定义与余弦定理可得、有关齐次式，再利用离心率定义计算即可得. 【详解】由双曲线定义可得，， 由为等腰三角形，则， 则， 则有， 即，整理得， 故，故， 又，故. 故答案为：. （25-26高三上·广东中山·期中）已知双曲线的左焦点为F，过点F且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于点M，N，且M，N分别位于第二、三象限，若，则C的离心率为 小试牛刀1 【答案】/ 【分析】由，得，令，中，由正弦定理解得，可求双曲线离心率. 【详解】设O为坐标原点， 因为，可得， 且两渐近线关于轴对称，则， 又因为直线斜率为，则， 令，则，， 在中，由正弦定理得， 可得，解得， 可得，所以的离心率. 故答案为：. （2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】连接，根据直线的斜率有，从而得到，.设，则，根据双曲线定义，在和中，由余弦定理得①.②.两式结合得，计算离心率即可. 【详解】如图，连接，因为直线的斜率为，所以， 结合，所以，. 设，则，因为，， 所以， 在中，由余弦定理得， 即， 整理得①. 在中，由余弦定理得， 即，整理得②. 由①②可得，即，所以的离心率为. 故选：B. 【题型10：双曲线中焦点三角形内切圆有关结论】 【公式推导过程】 （1）内切圆圆心的坐标性质 核心结论：设双曲线（），焦点、（），焦点三角形的内切圆圆心为，则： 1.（圆心在实轴上）； 2.在右支时，在左支时（圆心横坐标为双曲线顶点坐标）. 详细证明： 1.设内切圆与、、分别切于、、，由切线长定理：，，. 2.设，，，在右支时： ，解得，. 3.切点在轴上，坐标为，内切圆圆心向轴作垂线垂足为，故，. 4.在左支时，同理得，解得，故，. （2）内切圆半径的三种常考表达式 核心结论：设，焦半径、，半周长，则： 1.； 2.； 3.。 详细证明： 证明1： 1.由切线长定理得，记为. 2.圆心在的角平分线上，中，故. 3.由双曲线定义，结合、，得，又，故？简化推导：在右支时，，，相加得，故. 4.结合焦点三角形面积，联立，代入，且（由推导），化简得. 证明2： 1.焦点三角形面积（题型1结论）. 2.三角形面积另一种表达：（半周长×内切圆半径）. 3.在右支时，，由，（焦半径公式），得，故. 4.代入，结合，化简得，即. 证明3： 1.由三角形面积公式：. 2.又. 3.两式联立得. （3）内切圆与实轴切点的唯一性 核心结论：的内切圆与实轴的切点，恒为双曲线的顶点（右支切于，左支切于），与点位置无关. 详细证明： 1.由题型10-1的证明过程，切点的横坐标（在右支时），而，故. 2.无论在右支的哪个位置，是定值（由和联立解得，与坐标无关）. 3.同理，在左支时，，切点横坐标，故切点恒为顶点. （4）内切圆半径与离心率的关系 核心结论：（为双曲线离心率）. 详细证明： 1.由题型10-2的结论1：. 2.离心率，故，代入得. 3.因此，直接建立半径与离心率、夹角的关联. （25-26高二上·浙江杭州·期中）双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先利用双曲线的定义和切线长定理推出的横坐标为，再由圆的性质求得内心的坐标为，再利用点斜式求解方程即可. 【详解】如图所示，可设、，设内切圆与轴的切点是点， 、与内切圆的切点分别为、， 由双曲线的定义可得， 由圆的切线长定理知，，， 故，即， 设内切圆的圆心横坐标为，则点的横坐标为， 故，解得. 由双曲线得，，， 因为内切圆与轴相切，所以内切圆的半径为3， 而轴，得到，即，而， 则，可得方程为， 整理得，故D正确. 故选：D 【多选题】（25-26高二上·安徽·期中）已知点在双曲线的右支上，，分别为其左、右焦点，则（    ）小试牛刀1 A． B．有最大值3 C．若点，则周长的最小值为12 D．的内心到轴的距离为1 【答案】ACD 【分析】根据焦点坐标及a，b，c的关系，可求得b值，即可判断A的正误；根据双曲线定义及的范围，化简整理，即可判断B的正误；因为，代入周长表达式，化简计算，即可判断C的正误；根据内切圆的性质及题中数据，分析计算可得，焦点三角形内切圆与轴切于右顶点，分析即可得判断D的正误. 【详解】选项A：由右焦点坐标可知，且，则， 所以，故A正确； 选项B：因为点是双曲线右支上一点，由双曲线的定义知：， 所以， 因为 ，即， 所以有最大值2；故B错误； 选项C：因为， 所以，故C正确； 选项D：由双曲线方程知，设三角形内切圆与三边的切点分别为M，B，C，如图， 由几何关系可得，，， 所以， 又，所以， 所以，即点在双曲线右支上时，焦点三角形内切圆与轴切于右顶点. 又因为轴，所以到轴的距离为1，故D正确. 故选：ACD （25-26高二上·河北·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（   ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．3 【答案】D 【分析】内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接，由题意可证得与相似，可得，结合已知可求双曲线的离心率. 【详解】设与的内切圆的圆心分别是， 内切圆半径分别是，过分别向轴作垂线，垂足分别是，连接， 在中，设内切圆与的三边的切点分别为， 则切线长定理可得， ，所以， 故点为双曲线的左顶点，同理可得：点为双曲线的右顶点． 而点均在的平分线上，所以与相似，故， 因为与的内切圆面积分别是和，若，所以， 所以，从而. 故选：D． 【多选题】（25-26高二上·河北沧州·期中）已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ）小试牛刀3 A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 【答案】ABD 【分析】根据三角形的面积，及焦距的长求得点的纵坐标，代入双曲线的方程，求得点的横坐标，判断A；由点的纵坐标及两点间距离公式，求得，利用双曲线的定义求得，进而求得的周长判断B；由等面积法求得的内切圆半径，判断C；结合圆的切线的性质和双曲线的定义，求得的内切圆圆心的横坐标，判断D. 【详解】因为，所以，所以. 设， 对于A，因为的面积为20，即，所以.   代入双曲线：，得，所以.故A正确； 对于B，由A知，所以. 所以的周长为.故B正确； 对于C，设的内切圆半径为，则，解得.故C错误； 对于D，设的内切圆在上的切点分别为. 则 设，则，解得.所以D正确. 故选：ABD. 【点睛】 （25-26高二上·江苏扬州·期中）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为 ；、的内切圆半径比值 .小试牛刀4 【答案】 【分析】①根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质得到的坐标；②根据内心的性质得到，然后利用相似的性质求半径比. 【详解】 设内切圆与边分别相切于， 所以，，， ， 又，所以，则，即， 所以内切圆圆心的横坐标为-2； ②同理可证，的内切圆圆心的横坐标为， 设、分别为、的内切圆半径， 设点、分别为、的内心， 根据双曲线的定义可知内切圆与轴相切于点， 所以轴，同理，轴； 又点、分别为、的内心，所以直线平分， 注意到，在中，，， 在中，，，所以. 【点睛】关键点睛：本题的解题关键在于根据内心的性质得到，然后结合双曲线的性质解题即可. 1 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026年人教A版高二数学上学期常考题型归纳 【微专题2：双曲线中常考的二级结论】 总览 题型梳理 题型分类 知识讲解与常考题型 【题型1：双曲线焦点三角形面积公式】 【公式推导过程】 核心结论：双曲线（），焦点、（），，则： 简易证明： 1.双曲线定义：，平方得 2.余弦定理： 3.两式相减：，得 4.面积公式，代入三角恒等变换，得结论 （25-26高二上·河北邢台·期中）已知，分别是双曲线的左、右焦点，点在上，且，的面积为18，则（    ）经典例题例题 A．9 B．18 C． D． （25-26高二上·北京西城·期中）双曲线的左右焦点分别为，，已知点在双曲线上，满足，，则 .小试牛刀1 （2025高三·全国·专题练习）已知双曲线上一点M与两焦点所成的角，则的面积为 ．小试牛刀2 【题型2：双曲线的焦点到渐近线的距离为定值】 【公式推导过程】 核心结论：双曲线的焦点到任一条渐近线的距离为 简易证明： 1.渐近线方程：，右焦点 2.点到直线距离公式：（左焦点同理） （25-26高二上·重庆·期中）已知双曲线（，）的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点.设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． （2025·上海虹口·一模）已知双曲线的焦点分别为和，若点为上的点，且满足，，则点到的一条渐近线的距离为 ．小试牛刀1 （25-26高二上·浙江·期中）已知O为坐标原点，双曲线C：的上焦点为F，下顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若，则C的渐近线方程为 .小试牛刀2 【题型3：与坐标有关的焦半径/弦长结论】 【公式推导过程】 核心结论：双曲线，离心率，点： 1.焦半径（区分支）： 右支（）：， 左支（）：， 2.通径（过焦点⊥实轴的弦）： 简易证明： 1.焦半径：由双曲线第二定义（点到焦点距离/到准线距离=），右准线，距离，代入得 2.通径：代入到双曲线方程，解得，弦长为两纵坐标差的绝对值 （23-24高二上·福建泉州·期中）已知双曲线：焦距为，左、右焦点分别为，点在上且轴，的面积为，点为双曲线右支上的任意一点，则的取值范围是 经典例题例题 （2025高三·全国·专题练习）设双曲线，其中两焦点坐标为，经过右焦点的直线交双曲线于A、B两点，求弦长|AB|．小试牛刀1 （2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的右支上的点，满足，分别是双曲线的左右焦点），则为双曲线的半焦距）的取值范围是（    ）小试牛刀2 A．， B．， C．， D．， 【题型4：与倾斜角有关的焦半径/弦长结论】 【公式推导过程】 核心结论：过右焦点的直线倾斜角为，交双曲线于A、B： 1.与两支相交（）： 2.与右支相交（）： 简易证明： 1.设直线参数方程，代入双曲线得关于的二次方程 2.韦达定理得、，弦长： 两支相交（）： 右支相交（）： 3.代入化简，最终得弦长公式（通径验证：时，，与题型3一致） （2024高二·全国·专题练习）过双曲线的右焦点的直线与双曲线交于两点，若，则 .经典例题例题 （24-25高二·全国·课堂例题）过双曲线的右焦点F作倾斜角为30°的直线，交双曲线于A，B两点，则弦长 ．小试牛刀1 （2024全国·模拟预测）已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，点是双曲线上一点，则双曲线的焦距为 ；连接，过点作交双曲线于点，若，则 .小试牛刀2 【题型5：与焦半径有关的定值问题】 【公式推导过程】 核心结论：过右焦点的直线交右支于A、B，则 简易证明： 1.设，，直线方程代入双曲线得韦达定理、 2.通分 3.代入和，化简后分子分母约去公因子，得定值 （2025·海南·模拟预测）在直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为．经典例题例题 (1)求的标准方程； (2)设直线与的另一个交点为，证明：为定值． （2024·山东·模拟预测）如图，过双曲线的左、右焦点作两条相互平行的直线，其中点在双曲线的左支上，点在双曲线的右支上，且点在轴上方，则的最小值为 ．当的倾斜角为时，四边形的面积为 ．小试牛刀1 （24-25高三上·重庆·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为双曲线上存在M，N两点（在x轴同侧）使得，且与交于P点，则 ，的最小值为 .小试牛刀2 （24-25高三上·江苏苏州·月考）已知双曲线，焦点到一条渐近线的距离为，离心率，过左焦点F的直线l交双曲线C的同一支于A，B两点，若，则 ．小试牛刀3 【题型6：双曲线的第三定义/点差法】 【公式推导过程】 核心结论： 1.第三定义：A、B关于原点对称，在双曲线上（异于A、B），则 2.中点弦斜率：弦中点，则 简易证明： 1.第三定义：设、、，代入双曲线方程相减，得，即斜率乘积 2.点差法：设、，代入方程相减，利用中点、，化简得斜率 （25-26高二上·重庆·期中）已知直线l过双曲线C：的左焦点F，与C的左、右两支分别交于A、B两点，且P为线段中点，设O为坐标原点，若是以为底边的等腰三角形，则直线l的斜率为（    ）经典例题例题 A． B． C． D． （25-26高二上·江苏无锡·期中）已知双曲线：（）的左顶点为，离心率为3，，是上的两点.小试牛刀1 (1)求的标准方程； (2)若线段的中点为，求直线的方程. （25-26高三上·山东聊城·开学考试）已知双曲线C：的右焦点为F，是双曲线C右支上的两点，若，且F为的重心，则MN的中点坐标为 ，直线MN的方程为 .小试牛刀2 【题型7：双曲线的切点弦方程】 【公式推导过程】 核心结论：过双曲线外点作两条切线，切点弦的方程： 简易证明： 1.设切点，双曲线在处切线为 2.切线过，故，同理满足同式，故直线为切点弦方程 （2025高二上·全国·专题练习）过点作双曲线： 的两条切线，切点分别为，，求直线的方程．经典例题例题 （25-26高三上·海南海口·月考）已知双曲线：，点为双曲线右支上第一象限内的一个点，过点且与双曲线相切的直线分别与双曲线的两条渐近线交于，两点，是坐标原点.小试牛刀1 (1)求双曲线的实轴长和离心率； (2)证明：直线的方程为； (3)求的面积. （2024·陕西安康·模拟预测）已知双曲线：的离心率为，其左､右焦点分别为，，过焦点且与轴垂直的直线交于，两点，且.小试牛刀2 (1)求的方程； (2)已知在上一点处的切线方程为.过点分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，连接，过线段的中点再分别作的左､右两支的切线，切点分别为，，判断点与直线的位置关系，并说明理由. 【题型8：双曲线中的面积定值】 切线与渐近线围成的面积定值 核心结论：设双曲线方程为（），双曲线上任取一点，过作双曲线的切线，该切线与双曲线的两条渐近线和交于A、B两点，则原点与A、B围成的的面积为定值 简易证明： 1.双曲线在点处的切线方程：（因在双曲线上，满足） 2.求切线与渐近线的交点： 联立切线方程与渐近线（即），代入得，化简得，对应，即交点 联立切线方程与渐近线（即），同理得交点 3.计算的面积： 利用三角形面积公式，代入A、B坐标： 由双曲线方程，变形得，代入上式： 故面积，为定值 （2024·河南周口·模拟预测）已知双曲线过点，.经典例题例题 (1)求双曲线C的渐近线方程. (2)若过双曲线C上的动点作一条切线l，证明：直线l的方程为. (3)若双曲线C在动点Q处的切线交C的两条渐近线于A，B两点，O为坐标原点，求的面积. 【多选题】（23-24高二下·重庆·月考）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，P为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于2，过点P作双曲线C的切线与双曲线的渐近线交于M、N两点，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀1 A． B．若，则的面积为 C． D．的面积为 【多选题】（23-24高二上·江西上饶·期末）已知双曲线的左、右焦点分别为、，左、右顶点分别为、，为双曲线右支上的一点，且直线与的斜率之积等于，过点的切线与双曲线的渐近线交于、两点，则下列说法正确的有（    ）小试牛刀2 A．双曲线的渐近线方程为 B． C．离心率 D． 【题型9：与双曲线有关的离心率结论】 （1）焦点三角形中的离心率公式 核心结论：设双曲线（）的焦点为、，双曲线上一点满足，则离心率 简易证明： 1.由双曲线定义：，设，，则 2.焦点三角形中由正弦定理：（，且，因、对称） 3.故，，代入得，结合，化简得 （2）离心率与渐近线夹角的关系 核心结论：设双曲线渐近线的倾斜角为，两条渐近线的夹角为（），则离心率或（） 简易证明： 1.渐近线斜率，故，得 2.渐近线夹角（）或（），均有，故 （3）离心率与焦比的关系 核心结论：设双曲线（）的焦点为、，双曲线上一点满足焦比（，），，则离心率 简易证明： 1.由焦比定义得，结合双曲线定义（在右支，），解得， 2.焦点三角形中由余弦定理：，代入 3.化简得，两边除以得，开方得结论（在左支时，绝对值保证） （25-26高二上·江苏淮安·期中）已知是双曲线的左､右焦点，点是左支上的一点，若为等腰三角形，且，则双曲线的离心率为 .经典例题例题 （25-26高三上·广东中山·期中）已知双曲线的左焦点为F，过点F且斜率为的直线与C的两条渐近线分别交于点M，N，且M，N分别位于第二、三象限，若，则C的离心率为 小试牛刀1 （2025高三·全国·专题练习）已知双曲线的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与的右支交于两点，且，则双曲线的离心率为（    ）小试牛刀2 A． B． C． D．2 【题型10：双曲线中焦点三角形内切圆有关结论】 【公式推导过程】 （1）内切圆圆心的坐标性质 核心结论：设双曲线（），焦点、（），焦点三角形的内切圆圆心为，则： 1.（圆心在实轴上）； 2.在右支时，在左支时（圆心横坐标为双曲线顶点坐标）. 详细证明： 1.设内切圆与、、分别切于、、，由切线长定理：，，. 2.设，，，在右支时： ，解得，. 3.切点在轴上，坐标为，内切圆圆心向轴作垂线垂足为，故，. 4.在左支时，同理得，解得，故，. （2）内切圆半径的三种常考表达式 核心结论：设，焦半径、，半周长，则： 1.； 2.； 3.。 详细证明： 证明1： 1.由切线长定理得，记为. 2.圆心在的角平分线上，中，故. 3.由双曲线定义，结合、，得，又，故？简化推导：在右支时，，，相加得，故. 4.结合焦点三角形面积，联立，代入，且（由推导），化简得. 证明2： 1.焦点三角形面积（题型1结论）. 2.三角形面积另一种表达：（半周长×内切圆半径）. 3.在右支时，，由，（焦半径公式），得，故. 4.代入，结合，化简得，即. 证明3： 1.由三角形面积公式：. 2.又. 3.两式联立得. （3）内切圆与实轴切点的唯一性 核心结论：的内切圆与实轴的切点，恒为双曲线的顶点（右支切于，左支切于），与点位置无关. 详细证明： 1.由题型10-1的证明过程，切点的横坐标（在右支时），而，故. 2.无论在右支的哪个位置，是定值（由和联立解得，与坐标无关）. 3.同理，在左支时，，切点横坐标，故切点恒为顶点. （4）内切圆半径与离心率的关系 核心结论：（为双曲线离心率）. 详细证明： 1.由题型10-2的结论1：. 2.离心率，故，代入得. 3.因此，直接建立半径与离心率、夹角的关联. （25-26高二上·浙江杭州·期中）双曲线的右支上一点在第一象限，分别为双曲线的左、右焦点，若内切圆与轴相切，为双曲线的左顶点，则直线AI的方程为（   ）经典例题例题 A． B． C． D． 【多选题】（25-26高二上·安徽·期中）已知点在双曲线的右支上，，分别为其左、右焦点，则（    ）小试牛刀1 A． B．有最大值3 C．若点，则周长的最小值为12 D．的内心到轴的距离为1 （25-26高二上·河北·期中）已知分别是双曲线的左、右焦点，过斜率不为0的直线与双曲线的左、右两支分别交于两点，记与的内切圆面积分别是和，若，则双曲线的离心率为（   ）小试牛刀2 A． B．2 C． D．3 【多选题】（25-26高二上·河北沧州·期中）已知点是双曲线：的右支上一点，，为双曲线的左、右焦点，的面积为20，则下列说法正确的有（   ）小试牛刀3 A．点的横坐标为 B．的周长为 C．的内切圆半径为1 D．的内切圆圆心的横坐标为4 （25-26高二上·江苏扬州·期中）已知点、分别为双曲线的左、右焦点，过点的直线与双曲线的左支和右支分别交于，两点，设、分别为、的内切圆半径，则内切圆圆心的横坐标为 ；、的内切圆半径比值 .小试牛刀4 1 学科网（北京）股份有限公司 $