精品解析：湖北咸宁市2025-2026学年下学期期末考试高一数学试题

咸宁市2025—2026学年度下学期高中期末考试 高一数学试卷 （本试卷共4页，时长120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 2. 某中学高二年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，按性别比例，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生24人，则该校高二年级共有女生（ ） A. 520 B. 480 C. 460 D. 400 3. 已知在斜二测画法下的直观图是边长为的正三角形，则此的面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等腰三角形，，，过点作直线，则绕着直线旋转形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，为测量河对岸建筑物的高度，选取与建筑物底部点在同一水平面上的两点，测得，，，，则建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 7. 半径为的球中有一内接正四棱柱．当该正四棱柱的侧面积最大时，正四棱柱的高与球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是边长为4的等边三角形，，其中，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分、有选错的得0分． 9. 若复数满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. （是的共轭复数） C. D. 若，则的最大值为 10. 已知甲组数据为，乙组数据为，将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据，则（ ） A. 丙组数据的中位数为 B. 甲组数据的分位数是 C. 甲组数据的方差等于乙组数据的方差 D. 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数 11. 在长方体中，已知，，分别为中点，为棱的三等分点，，过三点作一个平面与分别交于点，即得到一个截面，则（ ） A. B. C. 与平面所成的角的正切值为 D. 点到截面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某射击运动员次的训练成绩分别为：，则这次成绩的第百分位数为____________． 13. 若，，则在上投影向量的坐标为____________． 14. 我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为“方锥”．若方锥的所有棱长均为1，以底面某一顶点为球心，1为半径的球与该方锥的所有表面的交线总长为____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 16. 已知，，与的夹角为，函数． （1）求函数最小正周期和对称中心； （2）若中，角的对边分别为，且，，求面积的最大值． 17. 每年的月日为“世界读书日”．为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值并估计该校学生每天阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若超过的学生课外阅读时间在小时及以上，则认为该校阅读教育工作优秀．请问该校的阅读教育工作是否优秀？ （3）已知落在样本数据的平均值是，方差是；落在样本数据的平均值是，方差是．求落在样本数据的平均值和方差．（参考公式：） 18. 已知函数． （1）求函数的单调减区间； （2）当时，求的值域； （3）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位得到的图象，求方程在区间上所有根之和． 19. 如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； （3）在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸宁市2025—2026学年度下学期高中期末考试 高一数学试卷 （本试卷共4页，时长120分钟，满分150分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数（其中为虚数单位），则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，. 2. 某中学高二年级共有学生1200人，为了解他们的身体状况，按性别比例，用分层抽样的方法从中抽取一个容量为40的样本，若样本中共有男生24人，则该校高二年级共有女生（ ） A. 520 B. 480 C. 460 D. 400 【答案】B 【解析】 【详解】抽取女生人数为人，设女生总人数为人，则，所以. 3. 已知在斜二测画法下的直观图是边长为的正三角形，则此的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意知：的直观图的面积， ，. 4. 已知角的终边经过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为角的终边经过点， 所以. 5. 已知等腰三角形，，，过点作直线，则绕着直线旋转形成的几何体的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据旋转体特点可确定所求几何体为一个圆柱挖去两个圆锥，根据圆柱和圆锥体积公式求解即可. 【详解】由题意知：绕直线旋转形成的几何体是如下图所示的一个圆柱挖去以为顶点，圆柱上下底面为其底面的两个圆锥所形成的几何体； 圆柱底面半径， 圆柱体积，挖去的两个圆锥的总体积， 所求几何体体积为. 6. 如图，为测量河对岸建筑物的高度，选取与建筑物底部点在同一水平面上的两点，测得，，，，则建筑物的高度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用长度表示出，进而利用余弦定理可构造方程求得结果. 【详解】设， ，，，， ，， 在中，由余弦定理得：， 即，解得：（舍）或， 则建筑物的高度为. 7. 半径为的球中有一内接正四棱柱．当该正四棱柱的侧面积最大时，正四棱柱的高与球的半径之比为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用球的半径和勾股定理可得到正四棱柱的高和底面边长之间的关系，根据棱柱侧面积公式和基本不等式可确定侧面积最大时，正四棱柱的高，由此可得结果. 【详解】设正四棱柱的高为，底面边长为，则正四棱柱底面外接圆半径为， ，即； 正四棱柱的侧面积， 当且仅当，即，时取等号， 当正四棱柱的侧面积最大时，正四棱柱的高与球的半径之比为. 8. 已知是边长为4的等边三角形，，其中，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由平行四边形法则以及向量共线的性质得出点在直线上，由数量积运算，且当时取得最小值，建立平面直角坐标系，进一步由坐标计算求解. 【详解】设点为的中点，为中点， 由得， 因为，所以点在直线上， 以的中点为原点建立如图所示平面直角坐标系， 则 ， 当时，最小， 设， 则， 又， 由，解得， 所以， 则， 即的最小值. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分、有选错的得0分． 9. 若复数满足（其中为虚数单位），则下列说法正确的是（ ） A. 在复平面内对应的点位于第四象限 B. （是的共轭复数） C. D. 若，则的最大值为 【答案】BD 【解析】 【分析】根据复数运算法则可求得，根据复数及其模长的几何意义、共轭复数定义和复数运算法则验证各个选项即可. 【详解】，； 对于A，对应点坐标为，位于第一象限，A错误； 对于B，，，B正确； 对于C，，C错误； 对于D，，对应的点的集合是以为圆心，为半径的圆， 表示点到点的距离， ，D正确. 10. 已知甲组数据为，乙组数据为，将甲、乙两组数据混合后得到丙组数据，则（ ） A. 丙组数据的中位数为 B. 甲组数据的分位数是 C. 甲组数据的方差等于乙组数据的方差 D. 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数 【答案】ACD 【解析】 【详解】对于A，将丙组数据按从小到大顺序排列为，则其中位数为，A正确； 对于B，将甲组数据按从小到大顺序排列为，，甲组数据的分位数为，B错误； 对于CD，甲组数据的平均数为，乙组数据的平均数为， 甲组数据的平均数小于乙组数据的平均数，D正确； 甲组数据的方差为，乙组数据的方差为， 甲组数据的方差等于乙组数据的方差，C正确. 11. 在长方体中，已知，，分别为中点，为棱的三等分点，，过三点作一个平面与分别交于点，即得到一个截面，则（ ） A. B. C. 与平面所成的角的正切值为 D. 点到截面的距离为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据面面平行的性质定理和对称性可得AB正确；延长与的延长线交于，连接，，同理可确定，由线面角定义可知所求角为，根据长度关系知C错误；取的中点为，作，根据面面垂直的判定与性质可证得平面，利用等面积法可求得D正确. 【详解】对于AB，平面平面，平面平面，平面平面， ，且点与点、点与点分别关于平面对称， ，A正确，B正确； 对于C，延长与的延长线交于，连接，，同理可确定， ，， ，，， ，点为的中点，， 同理可得：，，， 平面，可知与平面所成的角为， 又，，C错误； 对于D，取的中点为，连接，过作于点， ，， 又，，平面，平面， 平面，平面平面， ，平面，平面平面，平面， ，， ，D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 某射击运动员次的训练成绩分别为：，则这次成绩的第百分位数为____________． 【答案】 【解析】 【详解】，这次成绩的第百分位数为从小到大排列的数据的第个数据，即. 13. 若，，则在上投影向量的坐标为____________． 【答案】 【解析】 【详解】，， 在上投影向量的坐标为. 14. 我国古代数学名著《九章算术》中将正四棱锥称为“方锥”．若方锥的所有棱长均为1，以底面某一顶点为球心，1为半径的球与该方锥的所有表面的交线总长为____________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得若以点为球心，为半径的球与该四棱锥的表面、、有交线，分别求各个面的交线，根据已知条件可求出弧长，从而可求得结果. 【详解】因为正四棱锥的所有棱长均为， 所以以点为球心，为半径的球与该四棱锥的表面、、有交线， 取的中点，连接，过作，过B作，， 则四边形为平行四边形，，所以， 过作于，连接， 因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 因为，，平面， 所以平面， 因为正四棱锥的所有棱长均为， 所以， 所以，得， 因为，所以， 所以以点为球心，为半径的球与四棱锥的表面的交线为以为圆心，为半径的一段弧， 因为，所以 ， 所以，所以， 所以，所以弧的长为， 同理可得以点为球心，1为半径的球与四棱锥的表面的交线长为， 以点为球心，1为半径的球与四棱锥的表面的交线为以点为圆心，为半径的四分之一圆， 弧的长为， 所以以点为球心，1为半径的球与该四棱锥的所有表面的交线总长为 . 【点睛】关键点：此题考查棱锥与球的截面问题，解题的关键是找出球在四棱锥表面上的交线，考查空间想象能力，考查计算能力. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 已知向量，． （1）若，求实数的值； （2）若与的夹角为钝角，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量垂直关系的坐标表示可直接构造方程求得结果； （2）根据向量夹角为钝角可得且与不共线，根据向量数量积运算和共线向量的坐标表示可求得结果. 【小问1详解】 ，， ，， ， ，解得：. 【小问2详解】 ，， ，， 与的夹角为钝角， ，且与不共线； ，； 当与共线时，，解得：； 若与的夹角为钝角，则. 16. 已知，，与的夹角为，函数． （1）求函数最小正周期和对称中心； （2）若中，角的对边分别为，且，，求面积的最大值． 【答案】（1）最小正周期为，对称中心为 （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量夹角坐标表示、两角和差正弦公式可化简求得；根据正弦型函数周期性和整体代换法可求得结果； （2）根据可求得，利用余弦定理和基本不等式可求得的最大值，代入三角形面积公式中即可求得结果. 【小问1详解】 ，，， ，， 的最小正周期； 令，解得：，此时， 的对称中心为. 【小问2详解】 由（1）得：，， ，，，解得：， 由余弦定理得：（当且仅当时取等号）， 面积的最大值为. 17. 每年的月日为“世界读书日”．为了解学生课外阅读情况，某学校从本校学生中随机抽取了名学生，对其每天阅读时间（单位：分钟）进行调查，并依据样本数据绘制了如下频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中的值并估计该校学生每天阅读时间的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； （2）若超过的学生课外阅读时间在小时及以上，则认为该校阅读教育工作优秀．请问该校的阅读教育工作是否优秀？ （3）已知落在样本数据的平均值是，方差是；落在样本数据的平均值是，方差是．求落在样本数据的平均值和方差．（参考公式：） 【答案】（1）， （2）该校阅读教育工作不优秀. （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率和为可构造方程求得的值；由频率分布直方图估计平均数的方法可求得； （2）方法一：根据频率分布直方图可估计分位数，由此可确定结论； 方法二：根据阅读时间在小时以上的频率可得到结论； （3）根据频率分布直方图可求得对应的频数，结合参考公式可求得结果. 【小问1详解】 由题意知：，解得：； 根据频率分布直方图，用样本数据的平均数来估计该校学生每天阅读时间的平均数 . 【小问2详解】 方法一：超过的学生阅读时间在小时及以上，即为分位数大于等于， 在的频率为，在的频率为， 分位数位于； ，可以估计分位数为， 没有超过的学生阅读时间是小时及以上，该校阅读教育工作不优秀. 方法二：由频率分布直方图可知阅读时间在小时以上的有， 该校的阅读教育工作不优秀. 【小问3详解】 由频率分布直方图知：落在、的样本数据的频数分别为、， ， ， 即落在样本数据的平均值，方差． 18. 已知函数． （1）求函数的单调减区间； （2）当时，求的值域； （3）先将函数的图象上的点纵坐标不变，横坐标缩小到原来的，再将所得的图象向右平移个单位得到的图象，求方程在区间上所有根之和． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用二倍角和辅助角公式可化简，采用整体代换的方法可求得单调减区间； （2）由的范围可求得的范围，通过分析正弦函数图象可确定最值，进而得到值域； （3）根据三角函数平移和伸缩变换可确定解析式，令，结合的图象的对称性和的范围可求得所有根之和. 【小问1详解】 ， 令，解得：， 的单调减区间为. 【小问2详解】 当时，，， ，即当时，的值域为. 【小问3详解】 由题意知：， 令，则， 当时，令，则， 作出的图象如下图所示， 若与相交，则共有四个交点，从左至右依次可记为，则方程在区间上有四个根，依次为， ，，，， ，即所有根之和为. 19. 如图，在直三棱柱中，，，分别为的中点． （1）求证：平面； （2）设平面与平面的交线为，求二面角的余弦值； （3）在线段（不含端点）上是否存在点，使直线与平面所成角的正切值大小为？若存在，求出的长度；若不存在，说明理由． 【答案】（1）设，连接， 四边形为平行四边形，为中点，又为中点，， 平面，平面，平面. （2） （3）存在点， 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线可得，由线面平行的判定定理可得结论； （2）方法一：设为中点，根据线面垂直的判定可证得平面，进而得到，作，根据线面垂直性质和二面角平面角定义可知所求角为，根据长度关系可求得结果； 方法二：以为坐标原点可建立空间直角坐标系，根据二面角的向量求法可求得结果； （3）方法一：设在面上射影为，根据线面角定义可知为与平面所成角，由长度关系可求得的长； 方法二：假设，由线面角的向量求法可构造方程求得的值，进而得到结果. 【小问1详解】 略. 【小问2详解】 方法一：平面，平面，平面平面，； ，，平面,平面； 设为中点，则，平面， 平面，； 过作，，平面，平面， 连接，则，为二面角的平面角． ∽，，即，， 在中，，，， ，即二面角的余弦值为. 方法二：以为坐标原点，正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， 则，，，，，； 设平面的法向量，则， 令，解得：，，； 轴平面，平面的一个法向量， ， 又二面角为锐二面角，二面角的余弦值为. 【小问3详解】 方法一：线段上存在点，当，与平面所成角的正切值大小为，理由如下： 设在面上射影为，则为与平面所成角. ，， ，，， ， ，； ，， 若与平面所成角的正切值大小为，即， 则， 在中，由余弦定理知：， 解得：. 方法二： 假设存在点满足题意， 设， ， 设平面的一个法向量，则， 令，解得：，，， 记直线与平面所成角为，则，， 即， 整理可得：，解得：（舍）或，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $