精品解析：湖北省咸宁市2024-2025学年高一下学期期末调研考试数学试卷

咸宁市2024—2025学年度下学期高一期末调研考试 数学试题 本试卷共6页，考试时间120分钟，总分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一组数据5，3，2，4，5，8，7，7，9，9的中位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6.5 【答案】C 【解析】 【分析】将数据从小到大排序，再利用中位数的定义进行求解. 【详解】数据从小到大排序为2，3，4，5，5，7，7，8，9，9， 中位数为第5个和第6个数的平均数，即. 故选：C 2. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理求解即可. 【详解】由余弦定理，得， 即，即， 解得或5， 经检验，均满足题意. 故选：B. 3. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】ABC可举出反例；D选项，先得到线面平行，进而得到面面平行. 【详解】A选项，若，，则或，A错误； B选项，若，，则或相交，B错误； C选项，若，，则或或与相交，C错误； D选项，若，，在内分别存在相交直线和相交直线， 使得，，且， 因为，所以，同理可得， 因为为相交直线，故，D正确. 故选：D 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【详解】，故，故， 所以. 故选：D 5. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量的坐标运算求解即可. 【详解】因为，所以， 又，，所以，解得， 故选：C. 6. 如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】取的中点，平面PEF，平面PEF，得到平面平面，然后得出最后得到结果. 【详解】如图，取的中点，连接， 由，所以为的中点，又为的中点，所以 PE， 平面，平面，所以平面， 又平面，且，平面， 所以平面平面，由平面，所以平面 又平面，平面平面，所以 又，所以，所以，故 故选：A 7. 已知函数与直线相邻三个交点为A，B，C，满足．则a=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】假设坐标，令，，然后根据求得，最后计算可得结果. 【详解】设A，B，C三点所对应的横坐标分别为，令， 所以， 由，所以， 解得 所以， 故选：B 8. 在一次全班52人均参考的数学考试中，平均分为100，方差为100，去掉一个最高分140，去掉一个最低分80，则剩下50名学生成绩的方差为（ ） A. B. C. D. 101 【答案】B 【解析】 【分析】解法一：去除后余下50名学生的成绩看作另一个层，求出平均分、方差，代入分层抽样方差公式可得答案；解法二：去除最高分和最低分后，求出剩余学生的新均值、新方差可得答案. 【详解】解法一：一个班级有52名学生，设数学考试的平均分为，方差为． 去除的最高分140和最低分80看作一个层，平均分为， 方差为． 去除后余下50名学生的成绩看作另一个层， 平均分为，方差为． 由分层抽样方差公式， 带入数据得，； 解法二：一个班级有52名学生，数学考试的平均分为100，方差为100． 则方差， 其中，，， 由方差公式：， 解得，． 去除最高分140和最低分80后，剩余学生， 新总和：， 新平方和：， 新均值， 新方差， 由得． 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄平均数的估计值为30 C. 该场观众年龄众数的估计值为35 D. 该场观众年龄60%分位数的估计值为34 【答案】ACD 【解析】 【分析】由频率和为1求得判断A选项；由频率分布直方图的平均数公式求得该场观众年龄平均数的估计值，判断B选项；由频率分布直方图中纵轴最高组数据得到众数的估计值，判断C选项；由频率分布直方图求得该场观众的百分位数即可判断D选项. 【详解】∵， ∴，A选项正确； ，B选项错误； 由频率分布直方图可知该场观众年龄众数的估计值为35，C选项正确； ∵，， ∴该场观众年龄60%分位数的估计值为， ∴， ∴，D选项正确. 故选：ACD. 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 的最小正周期为π C. 是偶函数 D. 的最大值为4 【答案】AC 【解析】 【分析】A根据判断；B利用判断；C根据判断；D结合判断即可. 【详解】由题可知：函数的定义域为， 对A，， 所以关于直线对称，故A正确； 对B，由， 所以也是函数的一个周期，所以B错误； 对C，，所以是偶函数， 所以C正确； 对D，由，所以若，则， 此时，故D错误. 故选：AC 11. 如图，正方体的棱长为1，P是线段上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使得 B. C. 当点P在上运动时，三棱锥的体积不变 D. 以点B为球心，为半径的球的球面与该正方体表面的交线长为 【答案】BCD 【解析】 【分析】对A，利用展开图，三点共线可以判断；对B根据平面判断即可；对C，利用计算即可；对D，利用图形，计算得到，然后利用弧长公式计算即可. 【详解】A选项，如图，将与四边形展开到同一平面，当A，P，C三点共线时，取到最小值，故A错误． B选项，∵平面，平面，∴，故B正确． C选项，为定值，故C正确． D选项，∵，∴以点B为球心，为半径的球与棱，，分别相交，如图，交点设为E，F，G，∴， 由对称性，我们先计算球与平面的交线的长度． 在中，，，∴， 同理，∴， 的长为，则交线长共为，故D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的模是______． 【答案】## 【解析】 【分析】先化简复数，然后根据模的计算公式计算即可. 【详解】由， 所以， 故答案为： 13. 已知函数，，，则=______． 【答案】 【解析】 【分析】利用辅助角公式可得，进一步判断得到，最后计算即可. 【详解】由题可知：， 又，，所以为函数的最大值， 所以，则，所以 故答案： 14. 如图，在三棱锥中，，，BC=4，异面直线AD与BC所成角的正弦值为，则三棱锥的体积为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，根据长度得到，，，然后得到平面ACM，计算得到，判断为正三角形，然后根据计算即可. 【详解】如图，分别过点C和点D作BD，BC的平行线交于点M，连接AM， ∵BC=4，BD=3，DC=5，所以 ∴，，， 同理，则，，平面， ∴平面，又平面， ∴， 因，所以异面直线AD与BC所成角为， 由已知，所以， ∵，为直角三角形， ∴，， ∴，即为正三角形， 故的面积， ∵， ∴． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 已知函数图象如图所示． （1）直接写出A，ω，φ的值； （2）求函数在区间上的单调递减区间； （3）求函数在区间上的值域． 【答案】（1），，． （2），，． （3） 【解析】 【分析】(1)根据函数图像的振幅，周期，最值确定A，ω，φ的值； (2)把角看成一个整体利用正弦函数的单调性去求减区间； (3)利用正弦型函数与二次函数知识去求复合函数的值域. 【小问1详解】 ，,所以,所以，所以， 又因为图像经过点，所以， 所以，即,又因为，所以． 【小问2详解】 由（1）知， 令，， 解得，， 所以函数的单调递减区间为，． 又，当时单调递减区间为，即区间上的单调递减区间为； 当时单调递减区间为； 当时单调递减区间为，即区间上的单调递减区间为； 所以函数在区间上的单调递减区间为，，． 【小问3详解】 当，则， 即． 设， 则，， 所以当时，取得最小值为； 当时，取得最大值为2， 故在区间上的值域为． 16. 如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）计算，根据勾股定理得到，然后依据三棱台的体积得到为三棱台的高，可得，最后判断得到平面 （2）利用图形，得到为与平面所成角，然后分别计算，最后计算即可. 【小问1详解】 ∵AB=2，AC=4，∠BAC=60°， 由余弦定理得， ∵， ∴． 同理，在三棱台中，，， ∵， ∴，∴， ∴，， 设三棱台的高为， 由，解得h=2． 又∵，故为三棱台的高， ∴平面ABC，AB⊂平面ABC， ∴，，，平面， ∴平面， 又， ∴平面． 【小问2详解】 如图，过点C作于点H， 由（1）知平面，平面， ∴，， ∴平面． 连接，则为与平面所成角，记为θ， ∵平面，平面， ∴， ∵，， ∴． 在直角梯形中，，， ∴， ∴， ∴与平面所成角的正弦值为． 17. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的长度； （2）若与交于点，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）在直角三角形中利用勾股定理求得、、，确定的正弦、余弦值，再结合两角和的余弦公式以及余弦定理即可求解. （2）解法一：构建平面直角坐标系，利用垂直关系，确定点坐标，利用平面向量的方法求解.解法二：在利用余弦定理确定，利用同角关系确定，再利用两角和的余弦公式即可求解. 【小问1详解】 ，， ，，，， 在中，，， ， 在中，， ． 【小问2详解】 解法一：如图，以点为坐标原点，为轴，为轴建立平面直角坐标系， 则，，， ，，过点作于点， ，即， 整理得， ，，，， ，，， ∴， 为与的夹角，，， ∴． 解法二：，在中，，，， 则， ， 则 ． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，，，将沿AC翻折，使点B到达点P的位置． （1）求三棱锥体积的最大值； （2）当二面角的平面角为时，求三棱锥外接球的表面积； （3）在翻折过程中，求异面直线AC与PD所成角的余弦值的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依据当平面平面ACD时，最大，计算即可； （2）补全图形为三棱柱，计算外接圆半径，然后根据外接球半径，最后利用球的表面积公式计算即可. （3）作出图形，得到点B关于点A对称点，然后得到，依据，最后计算即可. 【小问1详解】 ∵点P到平面ACD的距离， ∴当平面平面ACD时，最大，． 【小问2详解】 如图，将三棱锥补成正三棱柱， 则为二面角的平面角，AP=2， 设与外接圆圆心分别为，，则球心O为的中点， ，设外接圆半径为，由，所以， 则外接球半径，所以外接球的表面积． 【小问3详解】 如图，设点与点B关于点A对称，则， 翻折中点P在以A为圆心、半径为2的圆周上运动，四边形为正方形，且， ∴异面直线PD与AC所成角为，又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴异面直线AC与PD所成角的余弦值的取值范围为． 19. 类比于二维向量，维空间向量用n元有序数组表示，记为，，且n维空间向量满足，，，． （1）设和是两个n维空间向量． ①求； ②设与的夹角为θ，求； （2）对于一个n元向量，若，称为n维信号向量．规定．已知k个两两垂直的120维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都相同，证明：． 【答案】（1）①；② （2）证明见解析 【解析】 分析】（1）①先得到，然后再根据公式计算即可；②按照n维空间向量夹角公式计算即可. （2）根据定义可知，然后根据，最后得到结果. 【小问1详解】 因为，，所以， ①． ②因为，， 所以． 【小问2详解】 ，， 则，， 则，设，，…，的第i个分量之和为， 又因为，故， 所以， 又，所以， 即，所以． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 咸宁市2024—2025学年度下学期高一期末调研考试 数学试题 本试卷共6页，考试时间120分钟，总分150分. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 一组数据5，3，2，4，5，8，7，7，9，9中位数是（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 6.5 2. 在中，，则（ ） A. 5 B. 3或5 C. 4 D. 2或4 3. 已知m，n是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，若⊥，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在三棱锥中，点D、F分别为棱PB，AC上的点，且，，E为线段BC上的点，若，且满足平面PEF，则λ=（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数与直线相邻三个交点为A，B，C，满足．则a=（ ） A. B. C. D. 8. 在一次全班52人均参考的数学考试中，平均分为100，方差为100，去掉一个最高分140，去掉一个最低分80，则剩下50名学生成绩的方差为（ ） A. B. C. D. 101 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 据网络平台最新数据，截止到2025年3月14日14时10分，电影《哪吒之魔童闹海》总票房（含点映、预售及海外票房）已超149.81亿元，成为首部进入全球票房榜前六，登顶动画票房榜榜首的亚洲电影．一团队随机抽取观看该电影的某场观众中的100人为样本，统计他们年龄并绘制了如图所示频率分布直方图，则（ ） A. B. 该场观众年龄平均数的估计值为30 C. 该场观众年龄众数的估计值为35 D. 该场观众年龄60%分位数的估计值为34 10. 已知函数，则下列结论正确的是（ ） A. 关于直线对称 B. 最小正周期为π C. 是偶函数 D. 的最大值为4 11. 如图，正方体棱长为1，P是线段上的一个动点，下列结论正确的是（ ） A. 存在点P，使得 B. C. 当点P在上运动时，三棱锥的体积不变 D. 以点B为球心，为半径的球的球面与该正方体表面的交线长为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 复数的模是______． 13. 已知函数，，，则=______． 14. 如图，在三棱锥中，，，BC=4，异面直线AD与BC所成角的正弦值为，则三棱锥的体积为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤． 15. 已知函数的图象如图所示． （1）直接写出A，ω，φ的值； （2）求函数在区间上的单调递减区间； （3）求函数在区间上的值域． 16. 如图，在三棱台中，，∠BAC=60°，，，三棱台的体积为． （1）证明：平面； （2）求与平面所成角的正弦值． 17. 如图，在平面四边形中，，，，． （1）求的长度； （2）若与交于点，求． 18. 如图，在平行四边形ABCD中，，，将沿AC翻折，使点B到达点P的位置． （1）求三棱锥体积的最大值； （2）当二面角平面角为时，求三棱锥外接球的表面积； （3）在翻折过程中，求异面直线AC与PD所成角余弦值的取值范围． 19. 类比于二维向量，维空间向量用n元有序数组表示，记为，，且n维空间向量满足，，，． （1）设和是两个n维空间向量． ①求； ②设与的夹角为θ，求； （2）对于一个n元向量，若，称为n维信号向量．规定．已知k个两两垂直的120维信号向量，，…，满足它们的前m个分量都相同，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $