精品解析：四川泸州市2025-2026学年高二下学期期末质量监测题数学试题

高2024级高二下质量监测试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用的准线方程为，能求出抛物线的准线方程. 【详解】， 抛物线的准线方程为， 即，故选A . 【点睛】本题主要考查抛物线的标准方程与简单性质，意在考查对基础知识的掌握与应用，是基础题. 2. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由随机变量，得， 所以. 3. 二项式展开式的第3项的二项式系数是（ ） A. 15 B. C. 20 D. 【答案】A 【解析】 【详解】由 二项式定理得展开式的通项为，其中称为二项式系数. 令，则第3项的二项式系数为. 4. 如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由题意可知：，， 所以 . 5. 已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【详解】因为数列是等差数列，设其公差为， 若数列是递减数列，可得； 若，则，所以数列是递减数列； 综上所述：“数列是递减数列”是“”的充分必要条件. 6. 已知随机变量，若，则（ ） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 【答案】B 【解析】 【分析】根据正态分布的对称性可得. 【详解】因为，所以， 所以. 7. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】设“王同学第i天去A餐厅用餐”为事件，“王同学第i天去B餐厅用餐”为事件. 由题意知，（去每一家餐厅的概率相等），. 根据全概率公式，. 8. 已知函数在区间上存在最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先对函数求导，根据导数判断函数的单调性，找出函数的极值点，再结合函数在区间上存在最小值这一条件，确定的取值范围. 【详解】已知，则， 令，即，解得或， 当时，，所以在上单调递增； 当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增. 因此，是函数的极大值点，是函数的极小值点， . 因为函数在区间上存在最小值， 所以极小值点必须在区间内，即， 解可得. 综上，的取值范围是. 同时，还需满足，即，化简可得， 因为恒成立，所以，解得. 综上，的取值范围是. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆，则（ ） A. 过定点 B. 与圆C总有两个不同的公共点 C. 存在实数，使圆关于对称 D. 被圆C截得弦长的最小值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】求出直线所过定点判断A；确定定点与圆的位置判断B；由圆心与直线关系判断C；求出最短弦判断D. 【详解】对于A，直线过定点，A正确； 对于B，点在圆内，与圆C总有两个不同的公共点，B正确； 对于C，圆的圆心不满足方程，因此不存在实数，使圆关于对称，C错误； 对于D，，圆半径，当时，被圆C截得的弦长取得最小值，该最小值为，D正确. 10. 数列的前项和满足，前项的积为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 有最大值 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据已知条件求出数列 的通项公式，进而判断各选项的正确性. 【详解】已知 ①，当 时， ， 移项可得 ，即 ，所以选项A正确； 当 时， ②， ①②可得：， 所以，移项可得 ，即 , 所以数列 是以 2 为首项， 3 为公比的等比数列，所以. 所以 ，则 . 因为 ，且 ， 所以数列 是以 3 为首项， 3 为公比的等比数列，选项B正确； 由 ，且随着 的增大， 也增大， 所以 会随着 的增大而增大， 无最大值，选项C错误； 因为 ，所以 ， 则 ， 而 是首项为，公比为的等比数列的前 2026 项和， 根据等比数列求和公式可得： ， 所以 ，选项D正确. 综上，答案是ABD. 11. 双曲线的左，右焦点分别为，是上一点，且轴，直线平分，是坐标原点．下列结论正确的有（ ） A. 若，则的离心率为 B. 若，垂足为，则 C. 与有唯一公共点 D. 与轴的交点在直线上 【答案】ACD 【解析】 【分析】不妨设点在第一象限，与轴的交点为，根据角平分线性质可得，即可判断D；可得直线的方程为，与双曲线方程联立求解即可判断C；对于A：根据题意可得，即可得离心率；对于B：设，分析可知为的中点，，即可得结果. 【详解】不妨设点在第一象限，与轴的交点为， 因为轴，则，， 因为，即， 则，解得， 可得，即，故D正确； 因为，直线的方程为，即， 联立方程，消去y可得，解得， 所以直线与双曲线有唯一公共点，故C正确； 对于选项A：若，即，可得， 所以双曲线的离心率为，故A正确； 对于选项B：设，则，且为的中点， 因为， 且为的中点，所以，故B错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有_____种． 【答案】12 【解析】 【详解】因为选中的4人中恰有1名女生，即有3名男生， 所以不同的选法共有种. 13. 直线与曲线相切，则_____． 【答案】 【解析】 【详解】直线的斜率为， 因为，则， 令，解得， 当时，则，即切点坐标为， 把代入可得，解得. 14. 底面边长为的正四棱锥的体积为，则该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由正四棱锥的体积可得，利用等体积法可得点到平面的距离为，设该棱锥的外接球球心为，解得，根据比例关系运算求解. 【详解】对于正四棱锥，， 设正方形的中心为，连接，则底面， 则正四棱锥的体积为，可得， 则正四棱锥的侧棱长， 可得的面积为， 设点到平面的距离为， 因为，解得， 设该棱锥的外接球球心为，则， 因为，解得， 可得，所以该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，是其前项和，且．数列满足， （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 因为，即， 又因为，即， 可得，，所以； 因为，，可知数列是首项和公比均为的等比数列， 所以. 【小问2详解】 因为，则， 可知数列是首项为，公比为的等比数列， 是以. 16. 某科技公司为优化智能客服系统，收集了10000名用户对AI客服的满意度评分（满分100分）从中随机抽取100名用户的评分数据作为样本，整理得到如下频率分布直方图． （1）求a的值； （2）若给满意度评分从高到低排名前的用户发放“AI体验官专属福利”，请估计获得福利的用户的最低评分（结果精确到1分）； （3）现从评分位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中评分落在内的人数为，求的分布列及数学期望． 【答案】（1） （2）77 （3）的分布列 X 0 1 2 P 【解析】 【分析】（1）求各组频率，根据频率和为1列式求解即可； （2）分析可知给满意度评分从高到低前即上四分位数0.75，根据百分位数的定义运算求解； （3）可知随机变量X的可能取值为0，1，2，结合超几何分布求分布列和期望. 【小问1详解】 由频率分布直方图可知每组频率依次为， 则，解得. 【小问2详解】 可知给满意度评分从高到低前即上四分位数0.75，设为， 因为，， 可知，可得，解得， 所以估计获得福利的用户的最低评分为77. 【小问3详解】 因为，的频率依次为； 按分层随机抽样的方法选取8人，在内抽取人，在内抽取人， 可知随机变量X的可能取值为0，1，2， 则，，， 则的分布列如下： X 0 1 2 P 所以的数学期望. 17. 如图，在多面体中，平面，，，为中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 【答案】（1）连结CF，因为，所以， 所以四边形为平行四边形，因此； 因为 F为BD中点，，所以. 因为平面，平面，所以. 又因为平面，，所以平面. 又因为，所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形三线合一和平面分别得到，，再根据线面垂直的判定定理证得平面，再根据即可证得平面. （2）建立空间直角坐标系，利用向量法表示直线与平面所成角的正弦值即可求得BA长，再利用向量法求平面与平面ADE夹角的余弦值即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，平面， 所以，又因为， 所以以C为原点，所在直线分别为轴、轴，过C作与平行的线为轴，建立空间直角坐标系. 所以， 设，则. 设平面的一个法向量， 则，令，则 ，所以. ， 因此直线与平面所成角的正弦值为， 解得. 所以. 设平面的一个法向量，， 则， 令，则，所以. 设平面的一个法向量，， 则， 令，则，所以. 平面与平面ADE夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆C：，过点和，过点的直线与交于A，B两点，A在第一象限． （1）求C的方程； （2）若，点，求的取值范围； （3）直线交轴于点，为中点，点关于轴的对称点为，延长交C于点，，求直线的斜率． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）代入点和运算求解即可； （2）设直线：，，，与椭圆方程联立，利用韦达定理可得，换元可得，结合函数单调性求取值范围； （3）设直线：，根据题意可得，，代入椭圆方程可得，，与椭圆方程联立可得，进而可得斜率. 【小问1详解】 因为椭圆C：，过点和， 则，解得， 所以椭圆C的标准方程为. 【小问2详解】 若，可知直线的斜率不为0，且直线与椭圆C必相交， 设直线：，，， 联立方程，消去x可得， 则，，可得， 且，则， 令，则，可得， 令，， 可知在内单调递增，则， 即，则，可得， 所以的取值范围为. 【小问3详解】 由题意可知：直线的斜率存在， 设直线：，，，，则， 因为为中点，则，可得，即， 由题意可知：，，， 因为，则，解得，即， 因为点，均在椭圆上， 则，解得， 且，可得，， 可知直线与椭圆必相交，且直线：， 联立方程，消去y可得，解得或， 则，，即， 所以直线的斜率. 19. 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）设函数. ①若是的唯一极值点，且是极小值点，求的取值范围； ②当时，证明：有且仅有一个零点． 【答案】（1）函数的单调递减区间为，单调递增区间为 （2）① ②令，， 若，可知在内单调递增， 当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于1； 可知在内存在唯一零点， 当时，；当时，； 对于函数，当趋近于0时，趋近于；当趋近于时，趋近于； 可知函数在定义域内有零点. 若，当，；当，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则的极大值为，所以函数有且仅有1个零点； 若，则，可知在定义域内单调递增， 所以函数有且仅有1个零点； 若，当，；当，； 可知在内单调递增，在内单调递减， 则的极大值为， 令，，则， 可知在内单调递增， 则，即， 可得 令，，则， 令，解得；令，解得； 可知在内单调递减，在内单调递增， 且，，可得在内恒成立， 则，所以函数有且仅有1个零点； 综上所述：有且仅有一个零点. 【解析】 【分析】（1）求导，利用导数分析函数的单调区间； （2）①求导，结合题意分析可知，令，，求导，利用导数分析恒成立问题即可；②可知在内存在唯一零点，函数在定义域内有零点，讨论与1的大小关系，结合单调性分析证明即可. 【小问1详解】 由题意可知：函数的定义域为，且， 令，解得或， 且，当时，；当时，； 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 ①因为的定义域为， 则， 由题意可知：在内单调递减，在内单调递增， 当时，，；当时，，； 可知对任意恒成立，即， 令，，则， 因为在内单调递增，则， 即，可知在内单调递增，则， 可得，所以实数的取值范围为； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高2024级高二下质量监测试题 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 抛物线的准线方程为 A. B. C. D. 2. 设随机变量，若，则（ ） A. B. C. D. 3. 二项式展开式的第3项的二项式系数是（ ） A. 15 B. C. 20 D. 4. 如图，在空间四边形OABC中，设，，，且 ，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知是等差数列，则“数列是递减数列”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知随机变量，若，则（ ） A. 88 B. 90 C. 92 D. 94 7. 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为，则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数在区间上存在最小值，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线，圆，则（ ） A. 过定点 B. 与圆C总有两个不同的公共点 C. 存在实数，使圆关于对称 D. 被圆C截得弦长的最小值为 10. 数列的前项和满足，前项的积为，则（ ） A. B. 数列是等比数列 C. 有最大值 D. 11. 双曲线的左，右焦点分别为，是上一点，且轴，直线平分，是坐标原点．下列结论正确的有（ ） A. 若，则的离心率为 B. 若，垂足为，则 C. 与有唯一公共点 D. 与轴的交点在直线上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 从4名男生和3名女生中任选4人参加主持人大赛，则选中的4人中恰有1名女生的选法共有_____种． 13. 直线与曲线相切，则_____． 14. 底面边长为的正四棱锥的体积为，则该棱锥的外接球球心到其侧面的距离为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知数列为等差数列，是其前项和，且．数列满足， （1）求数列和的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 16. 某科技公司为优化智能客服系统，收集了10000名用户对AI客服的满意度评分（满分100分）从中随机抽取100名用户的评分数据作为样本，整理得到如下频率分布直方图． （1）求a的值； （2）若给满意度评分从高到低排名前的用户发放“AI体验官专属福利”，请估计获得福利的用户的最低评分（结果精确到1分）； （3）现从评分位于的样本中，按分层随机抽样的方法选取8人，再从这8人中随机选取2人，设这2人中评分落在内的人数为，求的分布列及数学期望． 17. 如图，在多面体中，平面，，，为中点， （1）证明：平面； （2）若直线与平面所成角的正弦值为，求平面与平面ADE夹角的余弦值． 18. 已知椭圆C：，过点和，过点的直线与交于A，B两点，A在第一象限． （1）求C的方程； （2）若，点，求的取值范围； （3）直线交轴于点，为中点，点关于轴的对称点为，延长交C于点，，求直线的斜率． 19. 已知函数 （1）当时，求的单调区间； （2）设函数. ①若是的唯一极值点，且是极小值点，求的取值范围； ②当时，证明：有且仅有一个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $