精品解析：四川省泸州市2024-2025学年高二下学期7月期末统一考试数学试题

四川省泸州市2024-2025学年高二下学期7月期末统一考试数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. -1 D. 【答案】A 【解析】 【分析】直线方程中令求得值即得. 【详解】在中令得， 故选：A. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线标准方程确定参数后，可得焦点坐标. 【详解】因为抛物线标准方程为，所以，，焦点坐标为， 故选：B. 3. 公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据等差数列的通项公式计算. 【详解】因为等差数列的首项为， 所以的公差为， 故选：C. 4. 四面体中，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用空间向量线性运算计算即可. 【详解】 因为， 所以，点为的中点， 所以，即. 故选：B 5. 已知随机变量，，且，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先由得到，再由得到，最后根据得出. 【详解】由于服从正态分布，且，故其均值. 而服从二项分布，故，再由，就有，得. 故选：D. 6. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 图中的值为0.020 B. 估计样本数据的众数值为90 C. 估计样本数据的第分位数为95 D. 估计样本数据的平均数大于中位数 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率和为1求参数值，再由频率直方图求众数、百分位数、中位数、平均数依次判断各项正误. 【详解】由题设，可得，A错； 由直方图知，估计样本数据的众数值为，B错； 由， 则样本数据的第分位数在内， 设为，则，可得，C对； 由平均数为， 由图易知中位数在内，设中位数为，则，可得， 所以中位数大于平均数，D错. 故选：C. 7. 已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（ ） A. B. 5 C. 4 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】由几何法求出弦长，再由面积公式计算． 【详解】圆的标准方程是，圆心为，半径为， 到直线的距离为， 所以， 所以， 故选：A． 8. 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，从这批产品中任取一件是次品的概率是（ ） A. 0.015 B. 0.02 C. 0.014 D. 0.013 【答案】D 【解析】 【分析】由全概率公式计算即得． 【详解】设事件为“任取一件产品为次品”，事件为“任取一件产品为厂的产品”， ，， 由已知，， 由全概率公式得， 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（ ） A. 的实轴长为 B. 的离心率为 C. 到的右焦点的距离为 D. 的一个顶点坐标为 【答案】BC 【解析】 【分析】由直线方程求得焦点坐标，再求出双曲线的得双曲线标准方程，然后判断各选项． 【详解】直线与坐标轴的交点分别为和， 因此双曲线的一个焦点为，即， 又双曲线的一条渐近线与直线平行，所以， 由，解得， 选项A，实轴长为，A错； 选项B，离心率为，B正确； 选项C，双曲线方程为，由解得，即， 右焦点为，则，C正确， 选项D，曲线的顶点坐标为，D错误； 故选：BC． 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，直线是曲线的一条切线 B. 当时，函数有极值点 C. 若有三个不同零点，则 D. 若直线与曲线有三个不同的交点，则 【答案】AD 【解析】 【分析】A选项，求导，设出切点，令，解得，故切点为，推出是曲线一条切线；B选项，当时，恒成立，函数无极值点，B错误；C选项，设，变形后对照系数，得到；D选项，推出关于中心对称，求出，又在上的增长速度越来越快，要想直线与曲线有三个不同的交点，则，故，D正确. 【详解】A选项，当时，， ，设切点为，则， 令，解得，故切点为， 故切线方程为，A正确； B选项，当时，恒成立， 故在R上单调递增，函数无极值点，B错误； C选项，若有三个不同零点，设， 即， 又，则，C错误； D选项，恒过点， 又，即上， 又 ， 故，故关于中心对称， ，， 又在上的增长速度越来越快， 故要想直线与曲线有三个不同的交点， 则，故，D正确. 故选：AD 11. 整数部分为，小数部分为，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列是递增数列 D. 整数的个位数可以是6 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据二项式定理求得后判断各选项． 【详解】， 所以， 因为是整数，且， 所以的整数部分为，小数部分为， 即，， 是以为首项，为公比的等比数列，A正确， ，是等比数列，首项是，公比是，又，因此是递减数列，C错误， 而，B正确； ，个位数是6，D正确． 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题关键是观察和的展开式的特点，得出，． 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 从2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5中任取1个数字，共可组成无重复数字的三位数的个数____________（用具体数字作答）. 【答案】108 【解析】 【分析】应用分步计数及组合排列数求三位数的个数即可. 【详解】由题设，所得三位数有个. 故答案为：108 13. 函数在上是增函数，则的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】由导函数在上恒成立求解． 【详解】因为函数在上是增函数，所以在上恒成立， 在上恒成立，又的最大值是2，所以， 故答案为：． 14. 已知三棱锥的顶点都在表面积为的球面上，，则三棱锥体积的最大值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】是直角三角形，斜边中点为，当平面，即球心在线段上时，点到平面的距离最大，从而三棱锥体积的最大，由此计算体积可得. 【详解】记球心为，设球半径为，由得， 又，所以的中点是平面截球所得小圆的圆心，如图， 当球心在线段上时，点到平面的距离最大，从而三棱锥体积的最大， 此时平面，，， ，又， 所以， 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1）； （2）。 【解析】 【分析】（1）应用的关系得，应用等比数列的定义写出通项公式； （2）应用分组求和，并结合等差、等比数列前n项和公式求. 【小问1详解】 由题设且，则，即， 又，故是首项为1，公比为2的等比数列， 所以； 小问2详解】 由（1）得， 所以. 16. 如图，三棱柱中，是AC的中点，. （1）证明：； （2）若点到平面ABC的距离是棱AC长度的，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析． （2） 【解析】 【分析】（1）先证明平面，得，然后证明平面，得证； （2）以为原点，为轴建立如图所示空间直角坐标系，用空间向量法求二面角． 【小问1详解】 因为是中点，，所以，， 又，，平面，所以平面， 又平面，所以， 因为，平面，所以平面， 而平面，所以； 【小问2详解】 由（1）知以为原点，为轴建立空间直角坐标系，如图， 设，则点到平面ABC的距离为， 由已知得，从而， 则， 所以，, 设平面的一个法向量是， 则，取，则， 易知平面的一个法向量是， ， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 17. 甲、乙两人参加投篮比赛活动，比赛规则如下：投中者得1分且下一轮继续投篮，未投中者对方得1分且下一轮由对方投篮.已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为，且命中与否相互独立，通过抽签决定首轮投篮方，用表示第轮为甲投篮，用表示甲积分，用表示事件发生的概率，若总共投篮两轮. （1）求； （2）求甲得分的分布列及数学期望. 【答案】（1）； （2）分布列见解析，期望为. 【解析】 【分析】（1）根据题设分析得表示第2轮甲投篮的情况下甲积2分，即可得； （2）由题意，结合对应事件求出对应的概率，写出分布列，进而求期望. 【小问1详解】 由题意，表示第2轮甲投篮的情况下甲积2分， 要使第2轮甲投篮，则第1轮甲投篮且投中，或第1轮乙投篮且未投中，显然两种情况甲均积1分， 所以要使第2轮甲积2分，则甲必投中，故； 【小问2详解】 由题设， 当，第1轮甲投篮未投中，第2轮乙投篮且投中，或第1轮乙投篮且投中，第2轮乙投篮且投中，则， 当，第1轮甲投篮且投中，第2轮甲投篮未投中，或第1轮甲投篮未投中，第2轮乙投篮未投中，或第1轮乙投篮且投中，第2轮乙投篮未投中，或第1轮乙投篮未投中，第2轮甲投篮未投中， 则， 当，第1、2轮甲投篮且投中，或第1轮乙投篮未投中，第2轮甲投篮且投中， 则， 综上，的分布列如下， 0 1 2 . 18. 设椭圆的两个焦点坐标分别为，且过点. （1）求的方程； （2）已知，过点直线与交于G，S两点，直线SA与交于点（异于）. ①证明：； ②若点是的外心，求的最大值. 【答案】（1）； （2）①证明见解析；② 【解析】 【分析】（1）设出椭圆标准方程，结合所过点与焦点坐标计算即可得； （2）①设出直线的方程，联立椭圆方程，可得与交点纵坐标有关韦达定理，结合点坐标计算可得，则点与点关于轴对称，即可得证；②利用外心的性质可计算出点的坐标，再利用两点间距离公式、点到直线距离公式及面积公式可表示出，再借助基本不等式计算即可得解. 【小问1详解】 设椭圆标准方程是， 由，解得， 所以椭圆方程为； 【小问2详解】 ①设，、， 联立，消去有， ，则或， 则，， 由，则，， 则 ， 即，则与关于轴对称， 则点与点关于轴对称，故； ②由点与点关于轴对称，则， ， ，则线段的中点为， 则线段的垂直平分线为， 又线段的垂直平分线为轴，则， 令，则，即， 则， ， 则， 令，由或，则，， 则， 当且仅当，即，即时，等号成立， 即的最大值为. 19. 已知函数为的导函数. （1）若，讨论在上的极值点个数； （2）设函数，若恒成立. ①求的取值范围； ②设函数的零点为的极小值点为，求证：. 【答案】（1）答案见解析； （2）①；②证明见解析. 【解析】 【分析】（1）对函数求导，构造，应用导数研究其区间单调性及最值，分类讨论参数，确定极值点个数； （2）①根据已知有，结合恒成立得，再应用导数求其最值，即可得参数范围；②构造，对其求导，再构造，应用导数研究其单调性，进而确定的极小值点，再由不等式恒成立得，结合的单调性，即可证结论. 【小问1详解】 由题设，令，则， 由且，则，所以在上单调递减，则， 若，则，故在上恒成立，此时在上单调递减，故无极值点， 若，则，且趋向，，，即， 所以，存在使，则时，时， 故上，在上单调递增，在上，在上单调递减， 此时在上有1个极大值点，无极小值点； 综上，时在上无极值点，时在上有1个极大值点，无极小值点； 【小问2详解】 ①由题设，可得，显然时不合题设， 当时，趋向，，，即，不符合， 所以，且， 所以，即在上单调递减，，即在上单调递增， 所以； ②由，令，则， 令且、，则， 所以在上单调递增，则，， 所以存在使， ，即有，，即有， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以时的极小值点，因此， 由①，当有，即，整理得，则， 所以，即 所以在上单调递增，由，即， 所以， 综上，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省泸州市2024-2025学年高二下学期7月期末统一考试数学试题 本试卷分第I卷（选择题）和第II卷（非选择题）两部分.第I卷1至2页，第II卷3至4页.共150分.考试时间120分钟. 注意事项： 1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 2.选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题的答案标号涂黑. 3.填空题和解答题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效. 4.考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交. 第I卷（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 直线在轴上的截距为（ ） A. B. C. -1 D. 2. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 3. 公差不为零的等差数列的首项为，则的公差为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 4. 四面体中，，且，则等于（ ） A. B. C. D. 5. 已知随机变量，，且，，则（ ） A. B. C. D. 6. 本学期某校举行了有关垃圾分类知识竞赛，随机抽取了100名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，则（ ） A. 图中的值为0.020 B. 估计样本数据的众数值为90 C. 估计样本数据的第分位数为95 D. 估计样本数据的平均数大于中位数 7. 已知直线与圆相交于A，B两点，则的面积为（ ） A B. 5 C. 4 D. 2 8. 有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占，二厂生产的占，三厂生产的占，又知这三个厂的产品次品率分别为，从这批产品中任取一件是次品的概率是（ ） A. 0.015 B. 0.02 C. 0.014 D. 0.013 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 过双曲线的一个焦点的直线与的一条渐近线平行，且与交于点，则（ ） A. 的实轴长为 B. 的离心率为 C. 到右焦点的距离为 D. 的一个顶点坐标为 10. 已知函数，则（ ） A. 当时，直线是曲线的一条切线 B 当时，函数有极值点 C. 若有三个不同零点，则 D. 若直线与曲线有三个不同的交点，则 11. 的整数部分为，小数部分为，则（ ） A. 数列是等比数列 B. C. 数列是递增数列 D. 整数的个位数可以是6 第II卷（非选择题 共92分） 注意事项： （1）非选择题的答案必须用0.5毫米黑色签字笔直接答在答题卡上，作图题可先用铅笔绘出，确认后再用0.5毫米黑色签字笔描清楚，答在试题卷和草稿纸上无效. （2）本部分共8个小题，共92分. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共计15分. 12. 从2，4，6，8中任取2个数字，从1，3，5中任取1个数字，共可组成无重复数字的三位数的个数____________（用具体数字作答）. 13. 函数在上是增函数，则的取值范围是___________. 14. 已知三棱锥的顶点都在表面积为的球面上，，则三棱锥体积的最大值为___________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，且. （1）求数列通项公式； （2）设，求数列的前项和. 16. 如图，三棱柱中，是AC中点，. （1）证明：； （2）若点到平面ABC的距离是棱AC长度的，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 甲、乙两人参加投篮比赛活动，比赛规则如下：投中者得1分且下一轮继续投篮，未投中者对方得1分且下一轮由对方投篮.已知甲、乙两人每次投篮命中的概率分别为，且命中与否相互独立，通过抽签决定首轮投篮方，用表示第轮为甲投篮，用表示甲积分，用表示事件发生的概率，若总共投篮两轮. （1）求； （2）求甲得分的分布列及数学期望. 18. 设椭圆的两个焦点坐标分别为，且过点. （1）求的方程； （2）已知，过点的直线与交于G，S两点，直线SA与交于点（异于）. ①证明：； ②若点是的外心，求的最大值. 19. 已知函数为的导函数. （1）若，讨论在上的极值点个数； （2）设函数，若恒成立. ①求的取值范围； ②设函数的零点为的极小值点为，求证：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $