第一章 勾股定理 单元检测卷 2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 北师大版八年级数学上册第一章勾股定理单元卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，全面考查勾股定理的理解与应用，适配单元复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|勾股定理应用、直角三角形判定、勾股数|结合折叠（题8）、垂直平分线（题3）考查几何直观| |填空题|5/15|半圆面积关系（题11）、折叠问题（题13）、梯子动态问题（题14）|融入生活情境（题14梯子下滑），体现应用意识| |解答题|7/55|最短路径（题17）、四边形面积（题18）、数学文化（题22出入相补原理）|综合考查推理能力（题16证明）与模型意识（题22面积计算）|

【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】 第一章 勾股定理 一.选择题：（每小题3分共30分) 1．（3分）如图，在△ABC中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．5 2．（3分）如图，在△ABC中，，中线，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 3．（3分）如图，在△ABC中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若△ABC的周长为12，，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 4．（3分）以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 5．（3分）下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A．，2， B．，， C．8，15，19 D．9，40，41 6．（3分）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．，1， B．5，4，12 C．1，，8 D．，， 7．（3分）如图，将一根长的筷子置于圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，且的取值范围是为，则圆柱形水杯的底面直径为（   ） A． B． C． D． 8．（3分）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 9．（3分）如图，在中，，垂直平分，连接．已知，，则的长为（    ） A． B．19 C．20 D． 10．（3分）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ）米 A．2 B．6 C．4 D．8 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（3分）如图，在中，，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则 ． 12．（3分）在△ABC中，，，，则边上的高为 ． 13．（3分）如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为 ． 14．（3分）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1） m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ． 15．（3分）如图，在△ABC中，，是边上的高，，，E为AC上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则 ． 三、解答题（共55分） 16．（6分）如图，在和中，，，点A，C，D在同一直线上，且． (1)求证：； (2)连接，当时，求的长． 17．（7分）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 18．（8分）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 19．（8分）如图所示，一架长的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，此时梯子底端离墙． (1)求这架梯子的顶端距离地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑了，那么梯子底端水平外移了多少？ 20．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，四边形是一个凹四边形． (1)求凹四边形的周长； (2)连接，是直角吗？ 求出凹四边形的面积． 21．（9分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，△ABC的顶点均在格点(网格线的交点)上，直线l在网格线上． (1)画出△ABC关于直线l对称的． (2)直接写出线段的长度． (3)在直线l的右侧确定一个格点D，连接，使得． 22．（9分）出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，△ABC是直角三角形，，大于，将△ABC绕点A顺时针旋转得△ADE（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求△ABC的面积． 【北师大版八年级数学（上）单元测试卷】 第一章 勾股定理 一.选择题：（每小题3分共30分) 1．（3分）如图，在△ABC中，于点，若，则的长为（   ） A． B． C．6 D．5 解：设，则， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即， 解得：， ， 故选：D． 2．（3分）如图，在△ABC中，，中线，则（   ） A．8 B．12 C．16 D．18 解：∵，中线， ∴，， ∴， ∴． 故选：C． 3．（3分）如图，在△ABC中，，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若△ABC的周长为12，，则的周长为（   ） A．12 B．10 C．8 D．6 解；∵△ABC的周长为12， ∴， ∵， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴， ∵的垂直平分线交于点， ∴， ∴的周长， 故选：C． 4．（3分）以下列各组数为边长的三角形中，能构成直角三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 解：A．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； B．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； C．∵， ∴， ∴，，不能构成直角三角形，不符合题意； D．∵， ∴， ∴，，能构成直角三角形，符合题意； 故选：D． 5．（3分）下列各组数中，属于勾股数的是（ ） A．，2， B．，， C．8，15，19 D．9，40，41 解：A、和不是整数，故此选项不属于勾股数，不符合题意； B、，，都不是整数，故此选项不属于勾股数，不符合题意； C、，故此选项不属于勾股数，不符合题意； D、，故此选项属于勾股数，符合题意； 故选：D． 6．（3分）下列几组数中，能作为直角三角形三边长的是（    ） A．，1， B．5，4，12 C．1，，8 D．，， 解：A、∵， ∴，1，可以作为直角三角形的三边长，故此选项符合题意； B、∵， ∴5，4，12不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； C、∵， ∴1，，8不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； D、∵， ∴，，不可以作为直角三角形的三边长，故此选项不符合题意； 故选：A． 7．（3分）如图，将一根长的筷子置于圆柱形水杯中，设筷子露在杯子外面的长度为，且的取值范围是为，则圆柱形水杯的底面直径为（   ） A． B． C． D． 解：由题意可知，h的最大值是筷子的长度减去杯子的高度，则杯子的高度为 h的最小值是筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，筷子的长度减去该直角三角形的斜边的长度，则筷子和杯子的高以及底面直径组成直角三角形，该直角三角形的斜边长为， ∴圆柱形水杯的底面直径为， 故选：C． 8．（3分）如图，在中，，，．点E、F分别是边、上的点，连结，将沿翻折，使得点的对称点落在边的中点处，则的长为（　　）    A． B． C．3 D．2 解：点是边的中点， ， 由翻折的性质得，， 设，则， 在中，， ， 解得：， ． 故选：A． 9．（3分）如图，在中，，垂直平分，连接．已知，，则的长为（    ） A． B．19 C．20 D． 解：∵垂直平分， ∴， 在中，，，， ∴， 在中，， ∴， 故选：A． 10．（3分）杜甫曾经哀叹“茅屋为秋风所破”，苦于杜甫不曾学过今日几何，不然也不会如此绝望．现在我们来看一茅屋的屋顶剖面，它呈等腰三角形，如果屋檐米，横梁米，那么从梁上的任意一点要支一根木头顶往屋顶处，这根木头需要长度可能是（   ）米 A．2 B．6 C．4 D．8 解：如图，过点A作于点E， ∵米，米， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意可知，， 即3米米， 故这根木头需要长度可能是4米， 故选：C． 二、填空题（每小题3分 共15分） 11．（3分）如图，在中，，，分别以为直径作半圆，面积分别记为，则 ． 解：在中，，， ∴， ∴． 故答案为： 12．（3分）在△ABC中，，，，则边上的高为 ． 解：如图， 在中，，，， ∵， ， 是直角三角形， ， ∴边上的高为8． 故答案为：8． 13．（3分）如图，中，，，，点D在边上，将沿折叠，使点C落在边上的点处，则的长为 ． 解：中，，，， ∴， 由翻折变换的性质可知，， ∴，， 设，则有， ∴， ∴． 故答案为：1.5． 14．（3分）如图，一架梯子斜靠在一竖直的墙上，，． （1） m； （2）若梯子的顶端下滑，则梯子的底端向外移动了 ． 解：（1）在中，，， ∴， 故答案为：2.5； （2）∵，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 即梯子的底端向外移动了， 故答案为：1.3． 15．（3分）如图，在△ABC中，，是边上的高，，，E为AC上一点，将沿过点E的直线折叠，使得点A与点B重合，折痕交于点H，连接，则 ． 解：连接， 将△ABC沿过点的直线折叠，点与点重合，是折痕， 垂直平分， ， 是边上的高，，， ， 设，则， ， 是边上的高， ， ， ， ， ． 故答案为：10． 三、解答题（共55分） 16．（6分）如图，在△ABC和中，，，点A，C，D在同一直线上，且． (1)求证：； (2)连接，当时，求的长． （1）解：∵点A，C，D依次在同一直线上，且． ∴， 在和中， ∴． （2）解：由（1）得， ∴， ∵， 在中，， 答：的长是13． 17．（7分）如图，透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在与点A处相对的玻璃杯外壁，且距离容器顶部的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径长度是多少？ 解：如图： 高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的A处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且距离容器上沿的点处， 底部周长的一半为，， 将容器侧面展开，作A关于的对称点， 连接，则即为最短距离， 18．（8分）如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 解：如图所示，连接， ， 为直角三角形， ，， ∴根据勾股定理得：， 又，， ，， ． 为直角三角形， ， ∴． 19．（8分）如图所示，一架长的梯子斜靠在与地面垂直的墙上，此时梯子底端离墙． (1)求这架梯子的顶端距离地面的高度． (2)如果梯子的顶端沿墙下滑了，那么梯子底端水平外移了多少？ （1）解：∵地面垂直的墙，即， ， 答：这架梯子的顶端距离地面的高度为24米． （2）由题意得：，， ， ， ， 答：梯子底端水平外移了． 20．（8分）如图，每个小正方形的边长为1，四边形是一个凹四边形． (1)求凹四边形的周长； (2)连接，是直角吗？ 求出凹四边形的面积． （1）解：， ， ，， 凹四边形的周长为 ； （2）解：∵，，， ∴， ∴是直角， ∴凹四边形的面积等于 ． 21．（9分）如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点均在格点(网格线的交点)上，直线l在网格线上． (1)画出△ABC关于直线l对称的． (2)直接写出线段的长度． (3)在直线l的右侧确定一个格点D，连接，使得． （1）解：如图，即为所求； （2）； （3）如图，点即为所求． 证明：依题意得：，，， ∴，∴是等腰直角三角形， ∴，即点D符合题意． 22．（9分）出入相补（又称以盈补虚）原理是我国三国时期数学家刘徽创建．“另出入相补，各从其类，因就其余不移动也．”用现代语言来说，就是指这样的事实：一个平面图形从一处转换至他处，面积不变；又若把图形分割成若干块，那么各部分面积的和等于原来图形的面积． 【教学实例】计算如图1的图形面积，把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． （1）由此得到等式 ； 【探索研究】 （2）数学小组研究发现：四个可以重合的直角三角形，直角边长分别为a、b，斜边长为c，这四个直角三角形可以拼成如图2的大正方形，且中间的为边长为c的正方形．运用“出入相补”原理，得到一个关于直角三角形三边a、b、c的等式，整理后发现，．请说明此等式成立； 【推广应用】 数学小组研究发现，所有的直角三角形中，两直角边a、b斜边c都存着的等量关系，利用此发现，解决下面问题： （3）如图3，△ABC是直角三角形，，大于，将绕点A顺时针旋转得（点B的对应点为D，点C的对应点为E），连接，若，，，，的面积为50，求的面积． 解：（1）把图1看作一个大正方形，它的面积是，如果把图1看作是由2个长方形和2个小正方形组成的，它的面积为． ∴由此得到等式：； 故答案为；； （2）， ， ； （3）是直角三角形，，，，， ， 绕点顺时针旋转得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页） ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $