第一章勾股定理单元测试2026-2027学年北师大版数学八年级上册

**基本信息** 本单元卷聚焦勾股定理核心内容，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层次设计，融合数学文化与实际情境，适配初中数学勾股定理单元复习，有效检测学生抽象能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8题|勾股定理逆定理、直角三角形边长计算、折叠问题|第4题矩形折叠考查空间观念，第6题融入《勾股举隅》文化素材| |填空题|5题|分类讨论、垂美四边形、最短路径|第11题以“垂美四边形”新定义考查推理能力，第13题长方体表面路径体现应用意识| |解答题|5题|作图与计算、折叠综合、面积法证明|第15题尺规作图与勾股定理结合，第18题折叠问题链培养逻辑推理，第6题面积法证明勾股定理渗透数学思维|

第一章 勾股定理 单元测试 一、单选题 1．下列各组数中，能围成直角三角形的是（    ） A．1， 1， 2 B．2， 3， 4 C．3， 4， 5 D．6， 8， 9 2．已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（   ） A．25 B．14 C．7 D．7或25 3．如图，在中，，则以下关系式成立的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为（     ） A．4 B．5 C．6 D．7 5．如图，在中，，，垂足为D．若，，则的长为（    ） A．2.4 B．2.5 C．4.8 D．5 6．《勾股举隅》为梅文鼎研究中国传统勾股算术的著作，其中的主要成就是对勾股定理的证明和对勾股算术算法的推广．书中的证明方法是将4个边长分别为a、b、c的全等直角三角形拼成如图所示的五边形，然后通过添加辅助线用面积法证明勾股定理．已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10，那么的长是（   ） A．5 B．6 C． D． 7．如图，将一个边长分别为，的长方形纸片折叠，使点与重合，则的长是（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，的平分线交于点，过点作于点，过点作于点，交于点，若，．则下列结论中正确的有：①；②；③；④．（    ） A．①② B．①②③ C．①②④ D．①②③④ 二、填空题 9．一直角三角形的边长分别为，若，，那么的值是______． 10．如图，在中，为延长线上一点，平分交于点，过点作交的平分线于点交于点，若，则的值为_______． 11．对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，则__________． 12．如图，，点分别在边上，且，点、分别在边、上，则的最小值是___________． 13．如图，长方体的棱长为3，棱长为5，棱长为2，P为中点，一只蚂蚁从点A出发，在长方体表面沿如图所示的路径到点P处吃食物，则它爬行的最短路程是_________． 三、解答题 14．如图，在中，，若，． (1)求的长； (2)求的周长和面积． 15．如图，在中，． (1)尺规作图：在边上找出点D，使得(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在（1）条件下，连接，若，求的长． 16．如图，把一张长方形纸片折叠起来，为折痕，使其对角顶点A与点重合，点与点重合．若长方形的长为8，宽为4． (1)求的长； (2)求的值； (3)求阴影部分的面积． 17．如图，长方形中，，，为上一点，将沿翻折至，与相交于点，与相交于点，且． (1)求证：； (2)求的长． 18．【初步感知】 （1）如图1，在三角形纸片中，，，点，分别在边，上，将沿折叠，使点与点重合．，求的长； 【深入探究】 （2）如图2．将长方形纸片沿对角线折叠，使点C落在点处，交于点E．若，，求的长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《第一章 勾股定理 单元测试》参考答案 1．C 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，要验证是否为直角三角形，这里给出三边的长，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可． 【详解】解：A、因为，所以不能构成三角形，故此选项不符合题意； B、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意； C、因为，所以能构成直角三角形，故此选项符合题意； D、因为，所以不能构成直角三角形，故此选项不符合题意． 故选：C． 2．D 【分析】本题考查了利用勾股定理解直角三角形的能力，解题的关键是利用分类讨论的思想求解． 已知直角三角形的两边长，但未明确这两条边是直角边还是斜边，所以求第三边的长必须分类讨论，即4是斜边或直角边的两种情况，然后利用勾股定理求解． 【详解】解：①若4是直角边，则第三边x是斜边，由勾股定理， 得， 所以； ②若4是斜边，则第三边x为直角边，由勾股定理， 得， 所以； 故或7， 故选：D． 3．A 【分析】本题考查了勾股定理，理解勾股定理的定义是解题的关键． 根据勾股定理的定义进行判断． 【详解】解：在中，， 由勾股定理知：． 故选：A ． 4．C 【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8， ∴BC=8， ∵△AEF是△AEB翻折而成， ∴BE=EF=3，AB= AF，△CEF是直角三角形， ∴CE=8－3=5， 在Rt△CEF中，由勾股定理得：， 设， 在Rt△ABC中，由勾股定理得：， 即：， 解得：， ∴． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、翻折变换及勾股定理，熟知折叠是种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键． 5．A 【分析】先由勾股定理求出的长，再运用等面积法求得的长即可． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∴，即． 故选A． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、等面积法等知识点，掌握运用等面积法求三角形的高是解题的关键． 6．D 【分析】本题主要考查勾股定理的证明， 完全平方公式的应用，三角形的面积，解答本题的关键是熟练运用勾股定理解决问题． 根据题意由4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积为以为边长的正方形面积减去两个直角三角形的面积，建立方程求解出的值，再利用完全平方公式变形即可解答． 【详解】解：已知，4个直角三角形未覆盖区域即白色部分的面积是10， 根据题意：，， 则， ，， ， （负值舍去），即， 故选：D． 7．A 【分析】利用折叠性质得到，设的长为，表示出的长度，再在中，根据勾股定理列方程求解．本题主要考查了折叠的性质、勾股定理，熟练掌握勾股定理并利用折叠性质得到相等线段是解题的关键． 【详解】解：设， ∵ 长方形中， ∴ ． ∵ 折叠后点与重合， ∴ ． ∵ 四边形是长方形， ∴ ． 在中，由勾股定理得， 又∵ ， ∴ ， ， ， ， ． 故选：A． 8．C 【分析】此题主要考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质，全等三角形的判定和性质，灵活运用三角形的面积公式和勾股定理进行计算是解决问题的关键．①根据角平分线性质即可对结论①进行判断； ②根据，，得，根据平分，得，进而得，再根据，得，由此可对结论②进行判断； ③先由勾股定理求出，证明，得，进而得，设，则，在中，由勾股定理得，继而得，由此可对结论③进行判断；④过点G作于点H，根据角平分线性质得，由三角形面积公式得，再由三角形的面积公式求出，进而由勾股定理求出，继而得，由此可对结论④进行判断，综上所述即可得出答案． 【详解】解：①∵平分，，， ∴，故结论①正确； ②在中，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 在中，， ∴，故结论②正确； ③在中，，，， 由勾股定理得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴， ∴，故结论③错误； ④过点G作于点H，如图所示： ∵点G是平分线上的点，， ∴， ∴，， ∴， 由三角形的面积公式得：， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴，故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②④． 故选：C． 9．5或 【分析】分和为两直角边或一直角边一斜边两种情况进行讨论，再根据勾股定理计算即可得出答案． 【详解】①若和为两直角边，则； ②若和为一直角边一斜边，则 故答案为：5或． 【点睛】本题考查的是勾股定理，熟练掌握勾股定理的公式是解决本题的关键． 10．36 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，勾股定理，根据角平分线的定义，平角的定义推出，平行结合角平分线的定义，推出，同理得到，得到，再利用勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵平分平分， ∴． 又∵三点共线， ∴． ∴， ∵， ∴， ∴． ∴． 同理可得， ∴． 在中，． 故答案为：36 11．20 【分析】由垂美四边形的定义可得AC⊥BD，再利用勾股定理得到AD2+BC2=AB2+CD2，从而求解. 【详解】∵四边形ABCD是垂美四边形， ∴AC⊥BD， ∴∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90°， 由勾股定理得，AD2+BC2=AO2+DO2+BO2+CO2， AB2+CD2=AO2+BO2+CO2+DO2， ∴AD2+BC2=AB2+CD2， ∵AD=2，BC=4， ∴AD2+BC2=22+42=20， 故答案为：20. 【点睛】本题主要考查四边形的应用，解题的关键是理解新定义，并熟练运用勾股定理. 12． 【分析】作关于的对称点，关于的对称点，连接两对称点，交于．此时有最小值，根据线段垂直平分线性质和两点之间线段最短，，的长度就是所求的的最小值，勾股定理求解即可得到答案． 【详解】解：作关于的对称点，关于的对称点，连接两对称点，交于，连接，如图所示： ，，， 则， 由两点之间线段最短，当四点共线时，有最小值，为的长， ， ， 则是直角三角形， 在中，由勾股定理得， 即的最小值是， 故答案为：． 【点睛】本题考查动点最值问题，涉及轴对称的性质、两点之间线段最短、直角三角形判定、勾股定理等知识，根据题意，作出图形，利用轴对称的性质求出线段长是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了最短路径，勾股定理等知识，在展开图中，根据勾股定理求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：如图： 由题意可知，此时的路程最短， 在中，， ∴它爬行的最短路程是， 故答案为：． 14．(1)的长为6 (2)的周长等于24；的面积等于24 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的周长和面积，熟练掌握相关知识点是解题的关键； （1）利用勾股定理求解； （2）利用三角形的周长和面积公式求解． 【详解】（1），，， ， 的长为6． （2）的周长等于， 的面积等于． 15．(1) 如图所示，点即为所求； (2) 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质、垂直平分线的尺规作图、勾股定理等知识点，理解垂直平分线的性质成为解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，与的交点即为所求； （2）设，由（1）知，进而得到、，再根据勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：设， 由（1）知， ∴， ， ，， ， ， ，解得， ． 16．(1)3 (2)20 (3) 【分析】（1）由折叠可知，设，则，在中，根据，求出的长即可； （2）过点作于点，在 中，由勾股定理求出的长，即可得的长，在中，由勾股定理即可得出答案； （3）过点作于点，根据三角形面积不变性，，求出的长，根据三角形面积求出结果即可． 本题主要考查了折叠的性质、勾股定理以及三角形面积不变性，灵活运用折叠的性质、勾股定理等几何知识点来分析、判断、推理是解题的关键． 【详解】（1）解：由折叠可知 ，． 设，则，． 在中，， ∴， 解得， ∴． （2）解：如图，过点作于点，则． 在中， ∵， ∴由勾股定理，得， 即， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）解：如图，过点作于点． 在中，，，． 由， 得， ∴． 17．(1) 证明：四边形是长方形， ，，， 将沿翻折至，与相交于点，与相交于点， ，， 在和中， ， ， ，； (2)2.4． 【分析】本题考查了勾股定理，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，解题的关键是灵活运用这些性质． （1）根据折叠的性质可得，，，结合，可证明，得到，； （2）推出，设，则，，推出，在中，根据勾股定理即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵， ， 即， ， 设，则，， ，， 在中，根据勾股定理得：， 即， 解得：， ． 18．（1）12；（2）3 【分析】此题考查了图形的翻折变换及其性质，勾股定理． （1）先求出，由折叠性质得：，在中，由勾股定理即可求出的长； （2）根据长方形性质得，，，由折叠性质得，，由此依据判定和全等得，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：（1）在中，，， ∵， ∴， 由折叠性质得：， 在中，由勾股定理得：； （2）∵四边形是长方形，，， ∴，，， 由折叠性质得：，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ∴， 解得：， ∴． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $