3.4 函数的应用（一）学案-2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.4 函数的应用（一） 【课前预习】 一.常见的函数模型 常 用 函 数 模 型 (1)一次函数模型 y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0) (2)二次函数模型 y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) (3)幂型函数模型 y＝axn＋b(a，b为常数，a≠0) (4)分段函数 y＝ 二．解决函数应用问题的步骤 利用函数知识和函数观点解决实际问题时，一般按以下几个步骤进行： (1)审题；(2)建模；(3)求模；(4)还原. 【自主练习】 1.思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”) 1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)在一次函数模型中，系数k的取值会影响函数的性质. （ ） (2)在幂函数模型的解析式中，a的正负会影响函数的单调性． （ ） (3)当x每增加一个单位时，y增加或减少的量为定值，则y是x的一次函数．(　　) (4)用函数模型预测的结果和实际结果必须相等，否则函数模型就无存在意义了．(　　) 2．拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费f(m)＝1.06(0.50×[m]＋1)，其中m>0，[m]是大于或等于m的最小整数(如[3]＝3，[3.7]＝4，[5.1]＝6)．则从甲到乙地通话时间为5.5分钟的通话费为(　　) A．3.71 B．3.97 C．4.24 D．4.77 3．某自行车存车处在某一天总共存放车辆4 000辆次，存车费为：电动自行车0.3元/辆，普通自行车0.2元/辆．若该天普通自行车存车x辆次，存车费总收入为y元，则y与x的函数关系式为 (　　) A．y＝0.2x(0≤x≤4 000) B．y＝0.5x(0≤x≤4 000) C．y＝－0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) D．y＝0.1x＋1 200(0≤x≤4 000) 4．某物体一天内的温度T是时间t的函数T(t)＝－3t＋60，时间单位是h，温度单位为℃，t＝0时表示中午12：00，则上午8：00时的温度为________℃. 【经典例题】 题型一　一次函数、二次函数模型 例1 (1)某厂日生产文具盒的总成本y(元)与日产量x(套)之间的关系为y=6x+30 000,而出厂价格为每套12元,要使该厂不亏本,至少日生产文具盒(　　) A.2 000套 B.3 000套 C.4 000套 D.5 000套 (2)某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果,假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现,若每箱以50元的价格销售,平均每天销售90箱.价格每提高1元,平均每天少销售3箱. ①求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; ②求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式; ③当每箱苹果的售价为多少元时,可以获得最大利润?最大利润是多少? （3） 商场销售进价为30元的商品，在销售中发现商品的销售单价x元与日销售量y件之间有如下关系： 销售单价x(元) 30 40 45 50 日销售量y(件) 60 30 15 0 (1)在坐标系中，根据表中提供的数据描出实数对(x，y)对应的点，并确定x与y的一个函数关系式y＝f(x)； (2)设经营此商品的日销售利润为P元，根据上述关系式写出P关于x的函数关系式，并指出销售单价x为多少时，才能获得最大日销售利润． 【变式探究】1 某运输公司今年初用49万元购进一台大型运输车用于运输.若该公司预计从第1年到第年花在该台运输车上的维护费用总计为万元，该车每年运输收入为25万元. (1)该车运输几年开始盈利？（即总收入减去成本及所有费用之差为正值） (2)若该车运输若干年后，处理方案有两种： ①当年平均盈利达到最大值时，以17万元的价格卖出； ②当盈利总额达到最大值时，以8万元的价格卖出. 哪一种方案较为合算？请说明理由. 题型二　分段函数模型 例2 某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元，该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元． (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？ (2)设一次订购量为x个时，零件的实际出厂单价为P元，写出函数P＝f(x)的表达式； (3)当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元？如果订购1 000个时，利润又是多少元？(工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本) 【变式探究】2 1.某公司生产一种产品,每年投入固定成本0.5万元,此外每生产100件这种产品还需要增加投资0.25万元,经预测可知,市场对这种产品的年需求量为500件,当出售的这种产品的数量为t(单位:百件)时,销售所得的收入约为5t- t2(万元). (1)若该公司的年产量为x(单位:百件),试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量x的函数; (2)当这种产品的年产量为多少时,当年所得利润最大? 2.某车间生产一种仪器的固定成本为10 000元，每生产一台该仪器需要增加投入100元，已知总收入满足函数： H(x)＝ 其中x是仪器的月产量. (1)将利润表示为月产量的函数(用f(x)表示)； (2)当月产量为何值时，车间所获利润最大？最大利润为多少元？(总收入＝总成本＋利润) 题型三 用幂函数模型解决实际问题 例3 在固定压力差(压力差为常数)下，当气体通过圆形管道时，其流量R与管道半径r的四次方成正比． (1)写出函数解析式（可带参数）； (2)假设气体在半径为3 cm的管道中的流量为400 cm3/s，求该气体通过半径为r cm的管道时，其流量R的表达式； 课堂训练：1．一家旅社有100间相同的客房，经过一段时间的经营实践，旅社经理发现，每间客房每天的价格与住房率之间有如下关系： 每间每天定价 20元 18元 16元 14元 住房率 65% 75% 85% 95% 要使收入每天达到最高，则每间应定价为( ) A．20元 B．18元 C．16元 D．14元 2．若等腰三角形的周长为20，底边长y是关于腰长x的函数，则它的解析式为( ) A．y＝20－2x(x≤10) B．y＝20－2x(x＜10) C．y＝20－2x(5≤x≤10) D．y＝20－2x(5＜x＜10) 3．某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝,其中，x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为60，则该公司拟录用人数为( ) A．15 B．40 C．25 D．130 4．生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本(单位：万元)为C(x)＝2 (1)x2＋2x＋20.已知1万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为( ) A．36万件 B．22万件 C．18万件 D．9万件 5．某商店每月按出厂价每瓶3元购进一种饮料，根据以前的统计数据，若零售价定为每瓶4元，每月可销售400瓶；若零售价每降低(升高)0.5元，则可多(少)销售40瓶，在每月的进货当月销售完的前提下，为获得最大利润，销售价应定为________元/瓶． 6．某租车公司拥有汽车100辆，当每辆车的月租金为3 000元时，可全部租出，当每辆车的月租金每增加60元时，未租出的车将会增加一辆，租出的车每月需要维护费160元，未租出的车每月需要维护费40元． (1)当每辆车的月租金定为3 900元时，能租出多少辆车？ (2)当每辆车的月租金为多少元时，租车公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【课后检测】 1.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h＝f(t)的图象如图所示，则杯子的形状是(　　) 2.一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(km)与时间t(h)之间的函数关系式是(　　) A.y＝2t B.y＝120t C.y＝2t(t≥0) D.y＝120t(t≥0) 3.下面是一幅统计图，根据此图得到的以下说法中，正确的个数是(　　) ①这几年生活水平逐年得到提高； ②生活费收入指数增长最快的一年是2014年； ③生活价格指数上涨速度最快的一年是2015年； ④虽然2016年生活费收入增长缓慢，但生活价格指数也略有降低，因而生活水平有较大的改善． A．1 B．2 C．3 D．4 4.一个矩形的周长是20，矩形的长y关于宽x的函数解析式为(　　)（默认y>x） A.y＝10－x(0<x<5) B.y＝10－2x(0<x<10) C.y＝20－x(0<x<5) D.y＝20－2x(0<x<10) 5.某商人将彩电先按原价提高40%，然后在广告上写上“大酬宾，八折优惠”，结果是每台彩电比原价多赚了270元，则每台彩电的原价为________元. 6.某厂借嫦娥奔月的东风，推出品牌为“玉兔”的新产品，生产“玉兔”的固定成本为20000元，每生产一件“玉兔”需要增加投入100元，根据初步测算，总收益满足函数，其中x是“玉兔”的月产量. (1)将利润f(x)表示为月产量x的函数； (2)当月产量为何值时，该厂所获利润最大？最大利润是多少？(总收益＝总成本＋利润) 学科网（北京）股份有限公司 $$