第五课时 全称量词与存在量词 同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学高一必修一第五课时同步练，以“基础概念识别—命题否定与真假判断—综合参数应用”为分层路径，强化全称量词与存在量词的符号意识、推理能力及模型应用。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|全称/存在量词命题识别、简单真假判断|选择题1-4、填空9-11，直接考查“所有的”“存在一个”等量词辨析及|x|≥0等基础命题真假| |中档|命题否定规则、复杂真假判断|选择题5-8、填空12，涉及“∀x∈Z，x²＞0”的否定及方程x²+2x+m=0有解的参数范围| |综合|含量词命题的恒成立与能成立问题|解答题15，结合[1,2]区间求m范围，体现从概念到数学建模的思维进阶|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第五课时 全称量词与存在量词 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 ■ 考点一 全称量词与全称量词命题 短语"所有的""任意一个"在逻辑中通常叫做全称量词（universal quantifier），用符号"∀"表示，含有全称量词的命题叫做全称量词命题。全称量词命题的一般形式为"∀x∈M, p(x)"，读作"对任意x属于M，p(x)成立"，其中M是给定的集合，p(x)是关于x的性质。全称量词命题的含义是：集合M中的每一个元素x都满足性质p(x)。判断全称量词命题的真假：若M中每个元素都满足p(x)，则该命题为真；若M中至少存在一个元素不满足p(x)，则该命题为假。需要注意的是，全称量词命题中"每一个"强调的是全部，不能有例外。 ■ 考点二 存在量词与存在量词命题 短语"存在一个""至少有一个"在逻辑中通常叫做存在量词（existential quantifier），用符号"∃"表示，含有存在量词的命题叫做存在量词命题。存在量词命题的一般形式为"∃x∈M, p(x)"，读作"存在x属于M，使得p(x)成立"，其中M是给定的集合，p(x)是关于x的性质。存在量词命题的含义是：集合M中至少存在一个元素x满足性质p(x)。判断存在量词命题的真假：若M中至少存在一个元素满足p(x)，则该命题为真；若M中所有元素都不满足p(x)，则该命题为假。需要注意的是，存在量词命题只需找到一个满足条件的元素即可判定为真，但判定为假需要证明所有元素都不满足。 ■ 考点三 命题的否定 一般地，对命题p加以否定，就得到一个新的命题，记作"¬p"，读作"非p"或"p的否定"。命题p与¬p的真假总是相反的。对于含有一个量词的命题的否定，有如下结论：①全称量词命题"∀x∈M, p(x)"的否定是存在量词命题"∃x∈M, ¬p(x)"，即全称量词命题的否定是存在量词命题；②存在量词命题"∃x∈M, p(x)"的否定是全称量词命题"∀x∈M, ¬p(x)"，即存在量词命题的否定是全称量词命题。简记为"全称否定变存在，存在否定变全称"。需要注意的是，命题的否定与否命题是两个不同的概念，命题的否定只否定结论，而否命题是同时否定条件和结论。 ■ 考点四 含量词命题的真假判断 判断含量词命题真假的常用方法有三种：①定义法：直接根据全称量词命题和存在量词命题的定义判断，全称量词命题需验证M中每个元素都满足p(x)，存在量词命题只需找到一个满足p(x)的元素；②代入法：取特殊值代入验证，对于全称量词命题，若找到一个不满足的元素则为假，对于存在量词命题，若找到一个满足的元素则为真；③推理法：利用已知数学结论和逻辑推理判断。判断时需注意：全称量词命题为真需要严格证明，为假只需举一个反例；存在量词命题为真只需找一个例子，为假需要严格证明所有元素都不满足。 ■ 考点五 含量词命题的综合应用 含量词命题的综合应用主要包括：①求参数的取值范围，已知全称量词命题为真，求参数范围，常转化为恒成立问题；已知存在量词命题为真，求参数范围，常转化为能成立问题；②命题的否定与真假判断的综合，先写出命题的否定，再判断真假；③与充分条件、必要条件的综合，将含量词命题作为条件或结论，判断条件关系。常用结论：全称量词命题"∀x∈M, p(x)"为真等价于p(x)在M上恒成立；存在量词命题"∃x∈M, p(x)"为真等价于p(x)在M上能成立。解题时需注意：省略量词的命题需先补全量词再否定，以及恒成立与能成立的区别。 知识结构思维导图 图1 全称量词与存在量词知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列命题中是全称量词命题的是（ ） A．存在一个实数x，使x² ＜ 0 B．至少有一个整数x，使x为偶数 C．所有的正方形都是矩形 D．有的三角形是等腰三角形 2．下列命题中是存在量词命题的是（ ） A．任意实数x，都有x² ≥ 0 B．每一个有理数都可以写成分数形式 C．所有偶数都能被2整除 D．存在一个实数x，使x ＋ 1 ＝ 0 3．命题"∀x∈R，x² ＋ 1 ＞ 0"的真假是（ ） A．真命题 B．假命题 C．无法判断 D．以上都不对 4．命题"∃x∈R，x² ＋ 1 ＝ 0"的真假是（ ） A．真命题 B．假命题 C．无法判断 D．以上都不对 5．命题"∀x∈Z，x² ＞ 0"的否定是（ ） A．∃x∈Z，x² ＞ 0 B．∃x∈Z，x² ≤ 0 C．∀x∈Z，x² ≤ 0 D．∀x∈Z，x² ＜ 0 6．命题"∃x∈R，x³ ＜ 0"的否定是（ ） A．∀x∈R，x³ ≥ 0 B．∀x∈R，x³ ＜ 0 C．∃x∈R，x³ ≥ 0 D．∀x∈R，x³ ≤ 0 7．下列命题中为真命题的是（ ） A．∀x∈R，x² ＋ 1 ＝ 0 B．∃x∈R，x² ＋ 1 ＝ 0 C．∀x∈R，|x| ≥ 0 D．∃x∈R，|x| ＜ 0 8．命题"∀x∈R，x² － 2x ＋ 3 ＞ 0"的否定是（ ） A．∃x∈R，x² － 2x ＋ 3 ＞ 0 B．∃x∈R，x² － 2x ＋ 3 ≤ 0 C．∀x∈R，x² － 2x ＋ 3 ≤ 0 D．∀x∈R，x² － 2x ＋ 3 ＜ 0 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．命题"所有的矩形都是平行四边形"是 ____________ 量词命题（填"全称"或"存在"）。 10．命题"∃x∈R，x² ＝ 4"的否定是 ____________。 11．命题"∀x∈R，x² ＋ 2x ＋ 1 ＞ 0"是 ____________ 命题（填"真"或"假"）。 12．已知命题"∃x∈R，x² ＋ 2x ＋ m ＝ 0"为真命题，则实数m的取值范围是 ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）判断下列命题的真假，并说明理由。 （1）∀x∈R，x² ＞ 0； （2）∃x∈R，x² ＋ 1 ＝ 0； （3）∀x∈R，|x| ≥ 0。 14．（14分）写出下列命题的否定，并判断原命题及否定的真假。 （1）∀x∈R，x² ＋ 1 ≥ 1； （2）∃x∈R，x² ＝ －1。 15．（14分）已知命题p：∀x∈[1, 2]，x ＋ m ＞ 0。 （1）若命题p为真命题，求实数m的取值范围； （2）若命题¬p为真命题，求实数m的取值范围。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． C 2． D 3． A 4． B 5． B 6． A 7． C 8． B 9． 全称 10． ∀x∈R，x² ≠ 4 11． 假 12． m ≤ 1 ■ 详细解析 1．【答案】C 【解析】选项A"存在一个实数x"含有存在量词"存在一个"，是存在量词命题；选项B"至少有一个"含有存在量词，是存在量词命题；选项C"所有的正方形都是矩形"含有全称量词"所有的"，是全称量词命题；选项D"有的三角形"含有存在量词"有的"，是存在量词命题。故选C。 2．【答案】D 【解析】选项A"任意实数x"含有全称量词"任意"，是全称量词命题；选项B"每一个"含有全称量词，是全称量词命题；选项C"所有偶数"含有全称量词"所有"，是全称量词命题；选项D"存在一个实数x"含有存在量词"存在一个"，是存在量词命题。故选D。 3．【答案】A 【解析】命题"∀x∈R，x² ＋ 1 ＞ 0"：对任意实数x，x² ≥ 0，故x² ＋ 1 ≥ 1 ＞ 0恒成立。因此该全称量词命题为真命题，选A。 4．【答案】B 【解析】命题"∃x∈R，x² ＋ 1 ＝ 0"：需判断是否存在实数x使x² ＋ 1 ＝ 0。由x² ＝ －1，而实数x的平方x² ≥ 0，不可能等于－1，故不存在这样的实数x。因此该存在量词命题为假命题，选B。 5．【答案】B 【解析】全称量词命题"∀x∈M, p(x)"的否定是存在量词命题"∃x∈M, ¬p(x)"。命题"∀x∈Z，x² ＞ 0"的否定为"∃x∈Z，x² ≤ 0"（将全称量词∀改为存在量词∃，将结论x² ＞ 0否定为x² ≤ 0），选B。 6．【答案】A 【解析】存在量词命题"∃x∈M, p(x)"的否定是全称量词命题"∀x∈M, ¬p(x)"。命题"∃x∈R，x³ ＜ 0"的否定为"∀x∈R，x³ ≥ 0"（将存在量词∃改为全称量词∀，将结论x³ ＜ 0否定为x³ ≥ 0），选A。 7．【答案】C 【解析】选项A"∀x∈R，x² ＋ 1 ＝ 0"：x² ≥ 0，x² ＋ 1 ≥ 1 ≠ 0，假命题；选项B"∃x∈R，x² ＋ 1 ＝ 0"：不存在实数x使x² ＝ －1，假命题；选项C"∀x∈R，|x| ≥ 0"：任意实数的绝对值非负，真命题；选项D"∃x∈R，|x| ＜ 0"：绝对值不可能为负，假命题。故选C。 8．【答案】B 【解析】全称量词命题"∀x∈M, p(x)"的否定是存在量词命题"∃x∈M, ¬p(x)"。命题"∀x∈R，x² － 2x ＋ 3 ＞ 0"的否定为"∃x∈R，x² － 2x ＋ 3 ≤ 0"（将∀改为∃，将结论x² － 2x ＋ 3 ＞ 0否定为x² － 2x ＋ 3 ≤ 0），选B。 ■ 填空题解析 9．【答案】全称 【解析】命题"所有的矩形都是平行四边形"中含有全称量词"所有的"，故为全称量词命题。 10．【答案】∀x∈R，x² ≠ 4 【解析】存在量词命题"∃x∈M, p(x)"的否定是全称量词命题"∀x∈M, ¬p(x)"。命题"∃x∈R，x² ＝ 4"的否定为"∀x∈R，x² ≠ 4"（将∃改为∀，将结论x² ＝ 4否定为x² ≠ 4）。 11．【答案】假 【解析】命题"∀x∈R，x² ＋ 2x ＋ 1 ＞ 0"：x² ＋ 2x ＋ 1 ＝ (x ＋ 1)² ≥ 0，当x ＝ －1时(x ＋ 1)² ＝ 0，不满足x² ＋ 2x ＋ 1 ＞ 0。故存在x ＝ －1使命题不成立，该全称量词命题为假命题。 12．【答案】m ≤ 1 【解析】命题"∃x∈R，x² ＋ 2x ＋ m ＝ 0"为真命题，即方程x² ＋ 2x ＋ m ＝ 0有实数解。需判别式Δ ＝ 4 － 4m ≥ 0，解得m ≤ 1。故实数m的取值范围是m ≤ 1。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）假命题；（2）假命题；（3）真命题 【解析】（1）命题"∀x∈R，x² ＞ 0"：当x ＝ 0时，x² ＝ 0，不满足x² ＞ 0。 故存在x ＝ 0使命题不成立，该全称量词命题为假命题。 （2）命题"∃x∈R，x² ＋ 1 ＝ 0"：需判断是否存在实数x使x² ＋ 1 ＝ 0。 由x² ＝ －1，而实数x的平方x² ≥ 0，不可能等于－1，故不存在这样的实数x。 该存在量词命题为假命题。 （3）命题"∀x∈R，|x| ≥ 0"：对任意实数x，其绝对值|x| ≥ 0恒成立（绝对值的非负性）。 故该全称量词命题为真命题。 14．【答案】（1）否定：∃x∈R，x² ＋ 1 ＜ 1；原命题为真，否定为假；（2）否定：∀x∈R，x² ≠ －1；原命题为假，否定为真 【解析】（1）命题"∀x∈R，x² ＋ 1 ≥ 1"是全称量词命题。 其否定为存在量词命题：∃x∈R，x² ＋ 1 ＜ 1（将∀改为∃，将结论x² ＋ 1 ≥ 1否定为x² ＋ 1 ＜ 1）。 判断原命题真假：对任意实数x，x² ≥ 0，故x² ＋ 1 ≥ 1恒成立，原命题为真命题。 判断否定真假：由于原命题为真，其否定为假命题（命题与其否定真假相反）。 （2）命题"∃x∈R，x² ＝ －1"是存在量词命题。 其否定为全称量词命题：∀x∈R，x² ≠ －1（将∃改为∀，将结论x² ＝ －1否定为x² ≠ －1）。 判断原命题真假：实数x的平方x² ≥ 0，不可能等于－1，故不存在这样的实数x，原命题为假命题。 判断否定真假：由于原命题为假，其否定为真命题（命题与其否定真假相反）。 15．【答案】（1）m ＞ －1；（2）m ≤ －1 【解析】命题p：∀x∈[1, 2]，x ＋ m ＞ 0。 （1）若命题p为真命题，即对任意x∈[1, 2]，x ＋ m ＞ 0恒成立。 需x ＋ m在区间[1, 2]上的最小值大于0。 函数y ＝ x ＋ m在[1, 2]上单调递增，最小值在x ＝ 1处取得，y_min ＝ 1 ＋ m。 需1 ＋ m ＞ 0，解得m ＞ －1。 故实数m的取值范围为m ＞ －1。 （2）若命题¬p为真命题，即命题p为假命题。 命题p为假，即存在x∈[1, 2]使x ＋ m ≤ 0。 即x ＋ m在区间[1, 2]上的最小值小于或等于0。 需1 ＋ m ≤ 0，解得m ≤ －1。 故实数m的取值范围为m ≤ －1。 本题关键：全称量词命题"∀x∈M, p(x)"为真等价于p(x)在M上恒成立， 其否定"∃x∈M, ¬p(x)"为真等价于p(x)在M上不恒成立。 一次函数在闭区间上的最值在端点处取得。 高一数学必修一 · 第五课时 全称量词与存在量词 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $