1.5 .1　全称量词与存在量词 同步练 2026-2027学年 高中数学 高一上学期 人教A版 必修第一册

**基本信息** 高中数学“全称量词与存在量词”同步练，通过基础概念辨析、中档知识综合、提升能力应用三层设计，构建从单一量词识别到复杂命题推理的巩固路径，培养抽象能力与逻辑思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|全称/存在量词命题识别、简单真假判断|单选为主，直接考查概念（如第1题识别全称命题）| |中档|集合与命题结合、方程与命题综合|填空与多选，衔接知识（如第7题方程验证命题）| |提升|参数范围求解、命题与函数综合应用|解答题为主，深化逻辑推理（如第14题二次函数与命题真假）|

1.5.1　全称量词与存在量词 1. 下列命题中，为全称量词命题的是(　 　) A. 有些实数没有倒数 B. 所有的矩形都有外接圆 C. 存在一个实数与它的相反数的和为0 D. 过直线外一点有一条直线和已知直线平行 2. 命题“∀x∈R，x2＞3”的另一种写法是(　 　) A. 有一个x∈R，使得x2＞3 B. 有一些x∈R，使得x2＞3 C. 对任意的x∈R，都有x2＞3 D. 至少有一个x∈R，使得x2＞3 3. 已知集合P＝{1，2，4，5，6}，M＝{2，4，6}，则下列命题中，为真命题的是(　 　) A. ∀x∈P，x∈M B. ∀x∈P，x∉M C. ∃x∈M，x∉P D. ∃x∈P，x∉M 4. 下列命题中，为真命题的是(　 　) A. 每一个二次函数的图象都开口向上 B. 存在一条直线与两条相交直线都平行 C. 梯形的对角线相等 D. 有些菱形是正方形 5. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的为(　 　) A. 每一个命题都能判断真假 B. 存在一条直线与两条相交直线都平行 C. 对任意实数a，b，若a＜b，则a2＜b2 D. 存在x∈R，使＝0 6. 下列存在量词命题中，为假命题的是(　 　) A. 存在x∈Q，使2x－x3＝0 B. 存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C. 有的素数是偶数 D. 有的有理数没有倒数 7. 下列不能说明全称量词命题“∀x，y∈R，x2＋y2－2x＝1”为真命题的例子是(　 　) A. (x，y)＝(0，1) B. (x，y)＝(0，－1) C. (x，y)＝(2，1) D. (x，y)＝(－2，1) 8. (多选)下列四个命题中，为真命题的有 (　 　) A. ∀x∈R，2x2－3x＋4≠0 B. ∀x∈{1，－2，0}，2x＋2＞0 C. ∃x∈N，使x2＜x D. ∃x∈N*，使x为31的约数 9. (多选) (2024·安徽桐城中学高一月考) 若“∀x∈M，|x|＞x”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是(　 　) A. {x|x＜－5} B. {x|－3＜x≤－1} C. {x|x＞3} D. {x|0≤x≤3} 10. 命题“∃x∈R，x2＋2x＋5＝0”是　 　(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是　 　(填“真”或“假”)命题.  11. 已知真分数(b＞a＞0)满足，….根据上述性质，写出一个全称量词命题为　 　.  12. 能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为  　.  13. 已知M＝{x|a≤x≤a＋1}. (1)“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围； (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围. 14. (2024·济南中学高一检测)已知命题p：函数y＝ax2＋2x＋1的图象恒在x轴上方.若∀x∈R，p是真命题，求实数a的取值范围. 15. (2024·山东青岛平度一中高一月考) 下列选项中，能说明命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋＝0”为假命题的一个必要不充分条件的是(　 　) A. a＜0 B. 0≤a≤4 C. a≥4 D. 0＜a＜4 16. 已知a∈R，p：∀x∈{x|1≤x≤2}，a≤x2，q：∃x0∈R，＋2ax0－(a－2)＝0. (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p，q中一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.5.1　全称量词与存在量词 1. 下列命题中，为全称量词命题的是(　B　) A. 有些实数没有倒数 B. 所有的矩形都有外接圆 C. 存在一个实数与它的相反数的和为0 D. 过直线外一点有一条直线和已知直线平行 【解析】对于A，含有存在量词“有些”，为存在量词命题；对于B，含有全称量词“所有的”，为全称量词命题；对于C，含有存在量词“存在一个”，为存在量词命题；对于D，含有存在量词“有一条”，为存在量词命题. 2. 命题“∀x∈R，x2＞3”的另一种写法是(　C　) A. 有一个x∈R，使得x2＞3 B. 有一些x∈R，使得x2＞3 C. 对任意的x∈R，都有x2＞3 D. 至少有一个x∈R，使得x2＞3 【解析】“∀”表示“任意的”. 3. 已知集合P＝{1，2，4，5，6}，M＝{2，4，6}，则下列命题中，为真命题的是(　D　) A. ∀x∈P，x∈M B. ∀x∈P，x∉M C. ∃x∈M，x∉P D. ∃x∈P，x∉M 【解析】∵P＝{1，2，4，5，6}，M＝{2，4，6}，∴M⫋P，故“∃x∈P，x∉M”为真命题. 4. 下列命题中，为真命题的是(　D　) A. 每一个二次函数的图象都开口向上 B. 存在一条直线与两条相交直线都平行 C. 梯形的对角线相等 D. 有些菱形是正方形 【解析】对于A，例如二次函数y＝－x2，其图象开口向下，A为假命题；对于B，根据平行线的传递性可知B为假命题；对于C，例如直角梯形的对角线不相等，C为假命题；对于D，正方形都是菱形，即有些菱形是正方形，D为真命题. 5. 下列命题中，既是全称量词命题又是真命题的为(　A　) A. 每一个命题都能判断真假 B. 存在一条直线与两条相交直线都平行 C. 对任意实数a，b，若a＜b，则a2＜b2 D. 存在x∈R，使＝0 【解析】对于A，该命题是全称量词命题，命题都能判断真假，A是真命题，符合题意；对于B，该命题是存在量词命题，不符合题意；对于C，该命题是全称量词命题，当a＝－2，b＝－1时，a2＞b2，C是假命题，不符合题意；对于D，该命题是存在量词命题，不符合题意. 6. 下列存在量词命题中，为假命题的是(　B　) A. 存在x∈Q，使2x－x3＝0 B. 存在x∈R，使x2＋x＋1＝0 C. 有的素数是偶数 D. 有的有理数没有倒数 【解析】存在x＝0∈Q，使2x－x3＝0，A是真命题；当x∈R时，x2＋x＋1＝＞0恒成立，因此不存在x∈R，使x2＋x＋1＝0，B是假命题；2是素数，也是偶数，C是真命题；0是有理数，0没有倒数，D是真命题. 7. 下列不能说明全称量词命题“∀x，y∈R，x2＋y2－2x＝1”为真命题的例子是(　D　) A. (x，y)＝(0，1) B. (x，y)＝(0，－1) C. (x，y)＝(2，1) D. (x，y)＝(－2，1) 【解析】对于A，(x，y)＝(0，1)，此时x2＋y2－2x＝02＋12－2×0＝1，不符合题意；对于B，(x，y)＝(0，－1)，此时x2＋y2－2x＝02＋(－1)2－2×0＝1，不符合题意；对于C，(x，y)＝(2，1)，此时x2＋y2－2x＝22＋12－2×2＝1，不符合题意；对于D，(x，y)＝(－2，1)，此时x2＋y2－2x＝(－2)2＋12－2×(－2)＝9≠1，符合题意. 8. (多选)下列四个命题中，为真命题的有 (　AD　) A. ∀x∈R，2x2－3x＋4≠0 B. ∀x∈{1，－2，0}，2x＋2＞0 C. ∃x∈N，使x2＜x D. ∃x∈N*，使x为31的约数 【解析】对于A，∵Δ＝(－3)2－4×2×4＜0，∴方程2x2－3x＋4＝0无实数解，A为真命题；对于B，由于当x＝－2时，2x＋2＞0不成立，B为假命题；对于C，当x∈N时，有x2≥x，C为假命题；对于D，当x＝1时，x为31的约数，D为真命题. 9. (多选) (2024·安徽桐城中学高一月考) 若“∀x∈M，|x|＞x”为真命题，“∃x∈M，x＞3”为假命题，则集合M可以是(　AB　) A. {x|x＜－5} B. {x|－3＜x≤－1} C. {x|x＞3} D. {x|0≤x≤3} 【解析】由“∃x∈M，x＞3”为假命题，可得M⊆{x|x≤3}，由“∀x∈M，|x|＞x”为真命题，可得M⊆{x|x＜0}，∴M⊆{x|x＜0}.结合选项，可得A，B符合题意. 10. 命题“∃x∈R，x2＋2x＋5＝0”是　存在量词命题　(填“全称量词命题”或“存在量词命题”)，它是　假　(填“真”或“假”)命题.  【解析】该命题是存在量词命题.x2＋2x＋5＝(x＋1)2＋4≥4恒成立，故该命题为假命题. 11. 已知真分数(b＞a＞0)满足，….根据上述性质，写出一个全称量词命题为　对任意b＞a＞0，m＞n＞0，都有　.  【解析】∵真分数(b＞a＞0)满足，…，∴写出的一个全称量词命题为“对任意b＞a＞0，m＞n＞0，都有”. 12. 能够说明“存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab”是真命题的一组有序数对(a，b)为 (答案不唯一)　.  【解析】当a＝，b＝时，存在两个不相等的正数a，b，使得a－b＝ab是真命题，故所求有序数对可以为. 13. 已知M＝{x|a≤x≤a＋1}. (1)“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，求实数a的取值范围； (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，求实数a的取值范围. 解：(1)“∀x∈M，x＋1＞0”是真命题，即a＋1＞0，解得a＞－1，∴实数a的取值范围是a＞－1. (2)“∃x∈M，x＋1＞0”成立，即a＋1＋1＞0，解得a＞－2，∴实数a的取值范围是a＞－2. 14. (2024·济南中学高一检测)已知命题p：函数y＝ax2＋2x＋1的图象恒在x轴上方.若∀x∈R，p是真命题，求实数a的取值范围. 解：由题意可得，∀x∈R，函数y＝ax2＋2x＋1的图象恒在x轴上方. ①当a＝0时，y＝ax2＋2x＋1＝2x＋1，显然图象不恒在x轴上方，不符合题意； ②当a≠0时，要使函数y＝ax2＋2x＋1的图象恒在x轴上方，则解得a＞1. 综上可知，所求实数a的取值范围是a＞1. 15. (2024·山东青岛平度一中高一月考) 下列选项中，能说明命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋＝0”为假命题的一个必要不充分条件的是(　B　) A. a＜0 B. 0≤a≤4 C. a≥4 D. 0＜a＜4 【解析】∵命题“∃x∈R，4x2＋(a－2)x＋＝0”是假命题，∴关于x的方程4x2＋(a－2)x＋＝0没有实数根，∴Δ＝(a－2)2－4×4×＝a2－4a＝a(a－4)＜0，∴0＜a＜4.结合选项知，集合{a|0＜a＜4}是集合{a|0≤a≤4}的真子集. 16. 已知a∈R，p：∀x∈{x|1≤x≤2}，a≤x2，q：∃x0∈R，＋2ax0－(a－2)＝0. (1)若p是真命题，求a的最大值； (2)若p，q中一个是真命题，一个是假命题，求a的取值范围. 解：(1)若p：∀x∈{x|1≤x≤2}，a≤x2为真命题，则a≤(x2)min(1≤x≤2)，∴a≤1，∴a的最大值为1. (2)∵p与q一真一假，∴当q是真命题时，Δ＝4a2－4(2－a)≥0，解得a≤－2，或a≥1. 当p是真命题，q是假命题时，有解得－2＜a＜1；当p是假命题，q是真命题时，有解得a＞1.综上，a的取值范围是{a|a＞1，或－2＜a＜1}. 学科网（北京）股份有限公司 $