2.2 第1课时 基本不等式 同步练习-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦基本不等式，通过三级分层设计实现从概念理解到综合应用的递进，培养运算能力与数学思维。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础层（1-5题）|基本不等式前提条件、简单最值判断|单选为主，如判断不等式成立条件，夯实概念理解| |进阶层（6-10题）|条件最值、公式变形应用|填空与解答结合，如已知x+y=1求xy最大值，提升运算能力| |拓展层（11-16题）|综合应用与跨情境探究|结合几何背景（《几何原本》无字证明）、实际问题存在性讨论，发展应用意识|

2.2　基本不等式 第1课时　基本不等式 1.不等式（x－2y）＋≥2成立的前提条件为（　　） A.x≥2y　 B.x＞2y C.x≤2y D.x＜2y 2.下列各式中最小值为2的是（　　） A.y＝t＋（t＞1） B.y＝＋ C.y＝t＋（t＞1） D.y＝t＋＋1（t＞0） 3. 已知，且，则的最小值为（　　） A.  B.  C.  D.  4.若a，b都是正数，则的最小值为（　　） A.5 B.7 C.9 D.13 5.（多选）已知实数a，b，下列不等式一定成立的是（　　） A.≥ B.a＋≥2 C.｜＋｜≥2 D.2（a2＋b2）≥（a＋b）2 6.（多选）若a，b∈R，且ab＞0，则下列不等式恒成立的是（　　） A.a＋≥4 B.a2＋≥8 C.＋＞ D.＋≥2 7.已知x＞0，y＞0，且满足＋＝1，则xy的最大值为　　　　，取得最大值时y的值为　　　　. 8.若a＞0，且a＋b＝0，则a－＋1的最小值为　　　　. 9.已知x＞，则函数y＝x－1＋的最小值为　　　　. 10.（1）已知x＞0，求y＝2－x－的最大值； （2）已知0＜x＜，求y＝x（1－2x）的最大值. 11.已知x＞0，y＞0，且x＋2y＝4，则（1＋x）（1＋2y）的最大值为（　　） A.16 B.9 C.4 D.36 12.（多选）设正实数a，b满足a＋b＝1，则（　　） A.＋的最小值为4 B.的最小值为 C.＋的最大值为 D.a2＋b2的最大值为 13.已知x，y为正实数，3x＋2y＝10，则W＝＋的最大值为　　　　. 14.已知x，y都是正数. （1）若xy＝4，求＋的最小值； （2）若x＋2y＝3，求＋的最小值. 15.《几何原本》中的几何代数法（用几何方法研究代数问题）成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一方法，很多代数公理、定理都能够通过图形实现证明，因此这种方法也被称为“无字证明”.如图所示，AB是半圆O的直径，点C是AB上一点（不同于A，B，O），点D在半圆O上，且CD⊥AB，CE⊥OD于点E，设AC＝a，BC＝b，则该图形可以完成的“无字证明”为（　　） A.≤（a＞0，b＞0） B.＜（a＞0，b＞0，a≠b） C.≤（a＞0，b＞0） D.＜＜（a＞0，b＞0，a≠b） 16.是否存在正实数a和b，同时满足下列条件：①a＋b＝10；②＋＝1（x＞0，y＞0）且x＋y的最小值为18，若存在，求出a，b的值；若不存在，说明理由. 第1课时　基本不等式 1.B　因为不等式成立的前提条件是x－2y和均为正数，所以x－2y＞0，即x＞2y，故选B. 2.B　A中，y＝t＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立，又t＞1，所以等号取不到；B中，y＝＋≥2，当且仅当t＝1时等号成立；C中，y＝t＋＝t－1＋＋1≥3；D中，y＝t＋＋1≥3. 3.C　因为，，所以，，当且仅当，即时等号成立，则的最小值为.故答案为：C. 4.C　因为a，b都是正数，所以＝5＋＋≥5＋2＝9（当且仅当b＝2a时等号成立）.故选C. 5.CD　当a＜0，b＜0时，≥不成立，故A不符合题意；当a＜0时，a＋≥2不成立，故B不符合题意；｜＋｜＝｜｜＋｜｜≥2，当且仅当a＝±b时，等号成立，故C符合题意；∵2（a2＋b2）－（a＋b）2＝a2＋b2－2ab＝（a－b）2≥0，∴2（a2＋b2）≥（a＋b）2，故D符合题意.故选C、D. 6.BD　对于A、C，当a＜0，b＜0时，不等式不成立，故A、C不符合题意；对于B，a2＋≥2＝8，当且仅当a2＝，即a＝±2时等号成立，故B符合题意；对于D，∵ab＞0，∴＞0，＞0，∴＋≥2＝2，当且仅当a＝b时等号成立，故D符合题意. 7.3　2　解析：因为x＞0，y＞0，且1＝＋≥2，所以xy≤3.当且仅当＝＝，即x＝，y＝2时取等号. 8.3　解析：由a＋b＝0，a＞0，得b＝－a，－＝＞0，所以a－＋1＝a＋＋1≥3，当且仅当a＝1，b＝－1时取等号. 9.　解析：由x＞得x－＞0，则函数y＝x－1＋＝x－＋＋≥2＋＝2＋＝，当且仅当即x＝时，等号成立，此时函数取得最小值. 10.解：（1）∵x＞0，∴x＋≥4. ∴y＝2－≤2－4＝－2. 当且仅当x＝（x＞0），即x＝2时取等号， ∴ymax＝－2. （2）∵0＜x＜，∴1－2x＞0， ∴y＝x（1－2x）＝×2x（1－2x）≤×＝×＝， 当且仅当2x＝1－2x，即x＝时取等号， 故y＝x（1－2x）的最大值为. 11.B　（1＋x）（1＋2y）≤［］2＝（）2＝9，当且仅当1＋x＝1＋2y，即x＝2，y＝1时，等号成立，故所求最大值为9. 12.AC　对于A，＋＝（a＋b）＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当a＝b＝时等号成立，故A正确；对于B，0＜≤（a＋b）＝×1＝，当且仅当a＝b＝时等号成立，故B错误；对于C，∵（＋）2＝a＋b＋2＝2＋1≤a＋b＋1＝2，∴＋≤，当且仅当a＝b＝时等号成立，故C正确；对于D，∵a2＋b2≥2ab，∴2（a2＋b2）≥a2＋b2＋2ab＝（a＋b）2＝1，∴a2＋b2≥，当且仅当a＝b＝时等号成立，故D错误.故选A、C. 13.2　解析：∵x，y为正实数，3x＋2y＝10，∴W2＝3x＋2y＋2≤10＋（3x＋2y）＝20，当且仅当3x＝2y，3x＋2y＝10，即x＝，y＝时，等号成立.∴W≤2，即W的最大值为2. 14.解：（1）∵xy＝4，且x＞0，y＞0， ∴＋≥2＝2＝， 当且仅当x＝2，y＝时取等号， 即＋的最小值为. （2）∵x＋2y＝3，∴＋＝1， ∴＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋， 当且仅当＝，即x＝3－3，y＝3－时取等号， ∴＋的最小值为1＋. 15.D　由AC＝a，BC＝b，可得半圆O的半径DO＝，易得DC＝＝，DE＝＝.∵DE＜DC＜DO，∴＜＜（a＞0，b＞0，a≠b）.故选D. 16.解：因为＋＝1， 所以x＋y＝（x＋y）＝a＋b＋＋≥a＋b＋2＝（＋）2， 又x＋y的最小值为18，所以（＋）2＝18. 由 得或 故存在实数a＝2，b＝8或a＝8，b＝2满足条件. 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $