第四课时 充分条件与必要条件 同步训练-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学新授课同步练，聚焦充分条件与必要条件，通过基础认知、理解应用、综合提升三层设计，实现从概念辨析到参数求解的递进巩固，培养推理能力与模型观念。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础认知|命题判断、充分/必要条件概念|选择题1-8（如命题识别）、填空题9-11（如简单条件判断），夯实定义理解| |理解应用|条件关系判断、充要条件证明|解答题13（多情境条件辨析），强化定义法与集合法应用| |综合提升|参数范围求解、条件转化|解答题14-15（含区间包含关系分析），发展逻辑推理与数学表达能力|

高一数学必修一 · 课时同步训练 第四课时 充分条件与必要条件 姓名：______________ 班级：______________ 得分：______________ 用时：______ 分钟 【考试说明】本试卷满分100分，建议用时45分钟。包含选择题（8题×5分=40分）、填空题（4题×5分=20分）、解答题（3题共40分）。请认真审题，规范作答。 核心考点清单 考点一 命题与命题的真假 一般地，在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题（proposition）。其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。命题的基本形式为"若p，则q"，其中p叫做命题的条件，q叫做命题的结论。判断一个语句是否为命题，关键看两点：①是否为陈述句；②能否判断真假。疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。例如"x > 3"不是命题（不能判断真假），"若x = 2，则x² = 4"是命题（真命题）。 考点二 充分条件与必要条件 一般地，如果命题"若p，则q"为真命题，即p⇒q，那么我们就说p是q的充分条件（sufficient condition），q是p的必要条件（necessary condition）。"充分"的含义是：条件p成立足以保证结论q成立；"必要"的含义是：结论q成立是条件p成立的必不可少的条件。如果p⇒q为假命题，即p⇏q，那么p不是q的充分条件，q也不是p的必要条件。需要注意的是，充分条件和必要条件是相对的，p是q的充分条件等价于q是p的必要条件。 考点三 充要条件 如果既有p⇒q，又有q⇒p，就记作p⇔q，此时我们说p是q的充分必要条件，简称充要条件（sufficient and necessary condition）。充要条件意味着条件p和结论q等价，即p和q互为充要条件。判断充要条件时，需要分别证明充分性（p⇒q）和必要性（q⇒p）两个方向。充要条件在数学中非常重要，它表明两个命题在逻辑上是等价的，可以相互推出。例如"x² = 1"是"x = 1或x = -1"的充要条件。 考点四 四种条件的判断方法 判断充分条件、必要条件、充要条件的常用方法有三种：①定义法：直接判断p⇒q和q⇒p是否成立，若p⇒q成立则p是q的充分条件，若q⇒p成立则p是q的必要条件，两者都成立则为充要条件；②集合法：设A = {x | p(x)}，B = {x | q(x)}，若A⊆B则p是q的充分条件，若B⊆A则p是q的必要条件，若A = B则为充要条件；③逆否命题法：p⇒q等价于¬q⇒¬p，当直接判断困难时可转化为逆否命题判断。判断时需注意"谁是谁的什么条件"，分清条件和结论。 考点五 充分条件与必要条件的综合应用 充分条件与必要条件的综合应用主要包括：①求参数的取值范围，已知p是q的充分条件（或必要条件），求参数范围，常转化为集合的包含关系求解；②条件的等价转化，利用充要条件将复杂问题转化为简单问题；③证明问题，利用充要条件证明两个命题等价。常用结论：p⇒q等价于¬q⇒¬p（逆否命题）；p⇔q等价于¬p⇔¬q。解题时需注意：充分条件不唯一，必要条件不唯一，但充要条件是相互的。在求参数范围时，要特别注意端点值是否能取到，以及条件的方向性。 知识结构思维导图 图1 充分条件与必要条件知识结构图 一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．下列语句中，是命题的是（ ） A．x > 3 吗？ B．若 x ＝ 2，则 x² ＝ 4 C．画一个圆 D．这道题真难！ 2．"x ＝ 1"是"x² ＝ 1"的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．"x ＞ 0"是"x ≥ 0"的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．设 p：x ＞ 2，q：x ＞ 1，则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．"x² ＝ 4"是"x ＝ 2"的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知 p：a ＝ 0，q：ab ＝ 0，则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．"x ＞ 1 且 y ＞ 1"是"x ＋ y ＞ 2"的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．设 p：x² － 3x ＋ 2 ＝ 0，q：x ＝ 1，则 p 是 q 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请把答案填在横线上） 9．"x ＝ 2"是"x² － 4 ＝ 0"的 ____________ 条件。 10．设 p：x ＞ 3，q：x ＞ 2，则 q 是 p 的 ____________ 条件。 11．"a ＝ b"是"a² ＝ b²"的 ____________ 条件。 12．已知 p：x ＝ 1 是 q：x² ＋ ax ＋ 1 ＝ 0 的充分条件，则实数 a 的取值集合为 ____________。 三、解答题（本大题共3小题，共40分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 13．（12分）判断下列命题中 p 是 q 的什么条件（充分不必要条件、必要不充分条件、充要条件、既不充分也不必要条件），并说明理由。 （1）p：x 是 2 的倍数，q：x 是 4 的倍数； （2）p：x ＞ 0 且 y ＞ 0，q：x ＋ y ＞ 0； （3）p：x² ＝ 1，q：x ＝ 1 或 x ＝ －1。 14．（14分）已知 p：1 ＜ x ＜ 3，q：x ＜ a。 （1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围； （2）若 p 是 q 的必要条件，求实数 a 的取值范围。 15．（14分）已知 p：x ＜ 1 或 x ＞ 3，q：x ＜ a 或 x ＞ 4。 （1）若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围； （2）若 q 是 p 的充分条件，求实数 a 的取值范围。 参考答案与详细解析 ■ 答案速查 1． B 2． A 3． A 4． A 5． B 6． A 7． A 8． B 9． 充分不必要 10． 必要不充分 11． 充分不必要 12． {－2} ■ 详细解析 1．【答案】B 【解析】选项A"x > 3吗？"是疑问句，不能判断真假，不是命题；选项B"若x＝2，则x²＝4"是陈述句，且能判断真假（真命题），是命题；选项C"画一个圆"是祈使句，不是命题；选项D"这道题真难！"是感叹句，不是命题。故选B。判断命题的关键：①是否为陈述句；②能否判断真假。 2．【答案】A 【解析】由x＝1代入x²＝1得1＝1成立，故x＝1⇒x²＝1，x＝1是x²＝1的充分条件。反之，由x²＝1得x＝±1，不一定x＝1，故x²＝1⇏x＝1，x＝1不是x²＝1的必要条件。综上，x＝1是x²＝1的充分不必要条件，选A。 3．【答案】A 【解析】由x＞0能推出x≥0（x＞0一定满足x≥0），故x＞0⇒x≥0，x＞0是x≥0的充分条件。反之，由x≥0不能推出x＞0（如x＝0满足x≥0但不满足x＞0），故x≥0⇏x＞0，x＞0不是x≥0的必要条件。综上，x＞0是x≥0的充分不必要条件，选A。本题也可用集合法：{x|x＞0}⊊{x|x≥0}，小范围推出大范围。 4．【答案】A 【解析】由x＞2能推出x＞1（大于2的数一定大于1），故p⇒q，p是q的充分条件。反之，由x＞1不能推出x＞2（如x＝1.5满足x＞1但不满足x＞2），故q⇏p，p不是q的必要条件。综上，p是q的充分不必要条件，选A。集合法：{x|x＞2}⊊{x|x＞1}。 5．【答案】B 【解析】由x＝2代入x²＝4得4＝4成立，但x²＝4的解为x＝±2，故x＝2⇒x²＝4，但x²＝4⇏x＝2（x²＝4时x可能为－2）。因此x²＝4不能推出x＝2，即"x²＝4"不是"x＝2"的充分条件；但x＝2能推出x²＝4，即"x²＝4"是"x＝2"的必要条件。题目问"x²＝4"是"x＝2"的什么条件，故为必要不充分条件，选B。注意：分清条件和结论，本题x²＝4是条件，x＝2是结论。 6．【答案】A 【解析】由a＝0代入ab＝0得0·b＝0成立，故p⇒q，p是q的充分条件。反之，由ab＝0不能推出a＝0（如a＝1, b＝0时ab＝0但a≠0），故q⇏p，p不是q的必要条件。综上，p是q的充分不必要条件，选A。 7．【答案】A 【解析】由x＞1且y＞1得x＋y＞2（两个大于1的数之和大于2），故p⇒q，p是q的充分条件。反之，由x＋y＞2不能推出x＞1且y＞1（如x＝3, y＝0时x＋y＝3＞2但y＝0不满足y＞1），故q⇏p，p不是q的必要条件。综上，"x＞1且y＞1"是"x＋y＞2"的充分不必要条件，选A。 8．【答案】B 【解析】由x²－3x＋2＝0解得x＝1或x＝2，故p对应的集合为{1, 2}。q：x＝1对应集合{1}。由x＝1能推出x²－3x＋2＝0（1－3＋2＝0成立），故q⇒p，即p是q的必要条件。但由x²－3x＋2＝0不能推出x＝1（x可能为2），故p⇏q，p不是q的充分条件。综上，p是q的必要不充分条件，选B。注意：本题p是条件，q是结论。 ■ 填空题解析 9．【答案】充分不必要 【解析】由x＝2代入x²－4＝0得4－4＝0成立，故x＝2⇒x²－4＝0，x＝2是x²－4＝0的充分条件。反之，由x²－4＝0解得x＝±2，不一定x＝2，故x²－4＝0⇏x＝2，x＝2不是x²－4＝0的必要条件。综上，x＝2是x²－4＝0的充分不必要条件。 10．【答案】必要不充分 【解析】题目问q是p的什么条件，即q⇒p是否成立，p⇒q是否成立。由q：x＞2能推出p：x＞3？不能（x＝2.5满足x＞2但不满足x＞3），故q⇏p，q不是p的充分条件。由p：x＞3能推出q：x＞2（大于3的数一定大于2），故p⇒q，q是p的必要条件。综上，q是p的必要不充分条件。 11．【答案】充分不必要 【解析】由a＝b能推出a²＝b²（两边平方），故a＝b⇒a²＝b²，a＝b是a²＝b²的充分条件。反之，由a²＝b²得a＝±b，不一定a＝b（如a＝1, b＝－1时a²＝b²但a≠b），故a²＝b²⇏a＝b，a＝b不是a²＝b²的必要条件。综上，a＝b是a²＝b²的充分不必要条件。 12．【答案】{－2} 【解析】由p：x＝1是q：x²＋ax＋1＝0的充分条件，即x＝1⇒x²＋ax＋1＝0，将x＝1代入得1＋a＋1＝0，解得a＝－2。检验：当a＝－2时，方程为x²－2x＋1＝0，即(x－1)²＝0，解为x＝1，x＝1是方程的解，充分条件成立。故实数a的取值集合为{－2}。 ■ 解答题解析 13．【答案】（1）必要不充分条件；（2）充分不必要条件；（3）充要条件 【解析】（1）p：x是2的倍数（即x是偶数），q：x是4的倍数。 由x是4的倍数一定能推出x是2的倍数（4的倍数一定是偶数），故q⇒p，p是q的必要条件。 但x是2的倍数不能推出x是4的倍数（如x＝2是2的倍数但不是4的倍数），故p⇏q，p不是q的充分条件。 综上，p是q的必要不充分条件。 （2）p：x＞0且y＞0，q：x＋y＞0。 由x＞0且y＞0得x＋y＞0（两个正数之和为正），故p⇒q，p是q的充分条件。 但由x＋y＞0不能推出x＞0且y＞0（如x＝3, y＝－1时x＋y＝2＞0但y＜0），故q⇏p，p不是q的必要条件。 综上，p是q的充分不必要条件。 （3）p：x²＝1，q：x＝1或x＝－1。 由x²＝1解得x＝±1，即x＝1或x＝－1，故p⇒q。 反之，由x＝1或x＝－1，代入x²＝1均成立，故q⇒p。 综上，p⇔q，p是q的充要条件。 14．【答案】（1）a ≥ 3；（2）a ≤ 1 【解析】p：1＜x＜3对应集合A＝{x | 1＜x＜3}。 q：x＜a对应集合B＝{x | x＜a}。 （1）若p是q的充分条件，即p⇒q，等价于A⊆B。 即区间(1, 3)包含于(－∞, a)中，需3 ≤ a（区间右端点3不超过a）。 故实数a的取值范围为a ≥ 3。 （2）若p是q的必要条件，即q⇒p，等价于B⊆A。 即区间(－∞, a)包含于(1, 3)中，需a ≤ 1（区间右端点a不超过1，否则a＞1时x＝a不在A中）。 故实数a的取值范围为a ≤ 1。 本题关键：p是q的充分条件等价于A⊆B，p是q的必要条件等价于B⊆A，借助数轴分析区间包含关系。 15．【答案】（1）a ≥ 4；（2）a ≤ 1 【解析】p：x＜1或x＞3，对应集合A＝(－∞, 1)∪(3, ＋∞)。 q：x＜a或x＞4，对应集合B＝(－∞, a)∪(4, ＋∞)。 （1）若p是q的充分条件，即A⊆B。 需(－∞, 1)∪(3, ＋∞)包含于(－∞, a)∪(4, ＋∞)中。 对于(－∞, 1)⊆B：需(－∞, 1)⊆(－∞, a)，即1 ≤ a。 对于(3, ＋∞)⊆B：区间(3, ＋∞)中的元素需属于(－∞, a)∪(4, ＋∞)。 当a ≥ 4时，(3, ＋∞)中[3, 4)的部分属于(－∞, a)，[4, ＋∞)的部分属于(4, ＋∞)，故(3, ＋∞)⊆B成立。 当a ＜ 4时，[3, a)中的元素属于(－∞, a)，但[a, 4)中的元素既不属于(－∞, a)也不属于(4, ＋∞)，不满足。 综合①②，需a ≥ 4。 故实数a的取值范围为a ≥ 4。 （2）若q是p的充分条件，即B⊆A。 需(－∞, a)∪(4, ＋∞)包含于(－∞, 1)∪(3, ＋∞)中。 对于(－∞, a)⊆A：需(－∞, a)⊆(－∞, 1)，即a ≤ 1。 对于(4, ＋∞)⊆A：(4, ＋∞)⊆(3, ＋∞)成立（因为4 ＞ 3）。 综合得a ≤ 1。 故实数a的取值范围为a ≤ 1。 本题关键：p是q的充分条件等价于A⊆B，借助数轴分析各区间的包含关系，注意端点值的取舍。 高一数学必修一 · 第四课时 充分条件与必要条件 第 页 / 共 页 学科网（北京）股份有限公司 $