第01讲 空间向量及其运算 讲义-2026年新高二暑假数学人教A版选择性必修第一册

第01讲空间向量及其运算 目录 知识点1空间向量的有关概念… …1 知识点2空间向量的线性运算 …2 知识点3共线向量与共面向量， 3 知识点4空间向量的夹角..3 知识点5空间向量的数量积运算……… 4 题型一 空间向量的线性运算 题型二 共线问题 题型三 共面问题 .8 题型四 求空间数量积10 题型五 夹角问题12 题型六 用数量积求线段长度15 知识点1空间向量的有关概念 1.空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 其模记为 表示方法 若向量Q的起点是A,终点是B,则“也可记作AB 符号表示法 问或网 1 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为0 单位向 a-1或 量 相反向 量 相反 相等 记为a 共线向 相同或相 al∥b 或AB/CD 量 反 相等向 相同 相等 a=b 或AB-CD 量 知识点2空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 语言叙 首尾顺次相接，首指向尾为和 述 三角形法则 图形叙 加法运 述 算 语言叙 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角 平行四边形法 述 线为和 则 图形叙 a+b 述 语言叙 共起点，连终点，方向指向被减向量 减法运 述 三角形法则 算 图形叙 b 述 0 2.空间向量的数乘运算 与平面向量一样，实数1与空间向量a的乘积2a仍然是一个向量，称为空间 定义 向量的数乘 2>0 a与向量a的方向相同 Q /M 入a /λa 几何意 元<0 九a与向量a的方向相反 >0)/a<0) 义 w 2=0 a=0,其方向是任意的 na的长度是a的长度的风倍 2 3.空间向量的运算律 交换律 alb-bla 结合律 (aHB)Hc-aH(BHc).i(ua)=(Au)a 分配律 (2+)a=+ua,(a+b)=a+b 知识点3共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与a平行的非零向量称为直线1的方向向量. 2.共线向量与共面向量的区别 共线（平行）向量 共面向量 表示若干空间向 量的有向线段所 在的直线互相平 位置关系 行或重合，这些 定 向量叫做共线向 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 代 量或平行向量 特征 方向相同或相反 零向量与任意向 特例 量平行 共线向量定理：对于空间任意两个 共面向量定理：若两个向量a,b不共线，则向 向量 a,(6≠0）， a/6的充要 量p与向量α，b共面的充要条件是存在唯一的 充 条件是存在实数2使a=b 好 有序实数对，)，使pxa叶b 务 空间中P,A,B,C四点共面的充要条件是存在 件 对空间任一点O, 有序实数对(x,y,),使得对空间中任意一点 OP=xOA+yOB(x+y=1) 0,都有 OP=xOA+yOB+zOC(其中x+y+z=1) 知识点4空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量Q,b,在空间任取一点0，作OA=a,OB=b,则∠A0B叫做 向量ab的夹角，记作(@0列. 夹角的范围： [0,], 特版，果列 2,那么向量a,b互相垂 0 直，记作a⊥b 知识点5空间向量的数量积运算 1.空间向量的数量积 已知两个非零向量a6,则cosa, 叫做a,b的数量积，记作ab,即 a.B-acos(a.B 零向量与任意向量的数量积为0，即0a=0 2.数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 (aai=(a.b),元eR 交换律 a.b=b.a 分配律 a·(b+c)=ab+ac 3.投影向量 在空间，向量向向量b投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平 alcos() 面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量b共线的向量C, b1 向量c称为向量a在向量b上的投影向量. 4.数量积的性质 若a,b为非零向量， a.b- a(a与洞向 则(1)a1万台a.b=0:(2) -d5a与反向.g)aa=ld,=va-a, cos(a.B)=a.b (4) 阿， 5)a-6s6 5 题型一空间向量的线性运算 1.如图，在平行六面体 BCD-4BCD中，M为AG与BD的交点.若 B=a,D=五，AM=c,则下列向量中与W相等的是（） D B D 2 B. 2 _1a-1b+c C.-2a-21 【答案】B 【详解1丽=丽+A=瓜+兮8+兮8C=瓜-号西+号而=++d 故选：B 在空间四边形4BCD中，日，F分别为C,CD的中点，则正-B+A0)=() A.-EF B BD C D -BD 【答案】C 【详解】在空间四边形ABCD中，E为BC的中点，则+AC=2A证 所以亚-〔6+40=F-正=F 故选：C 7 3在四面体01BC中，O-a,O-6,0C=C,0M=AM>0),N为8C的中点，若 M=-3a+61 4a+2b+2c,则元=（) 4.22 1 A.3 B.3 C.7 D.2 【答案】B M 【详解】如图， C-- W B 因为OW=N为C的中点，所以O产0丽， 又因为oN=号0+0c, 2 所四-oN-0丽-0丽+0c-40i4 2 2, 又Mm=-3a+6+le 3 4a+2+2,所以元4解得：2=3 故选：B. 化。 a-6+4后a+刘+a+5+) 【答案】3+46-c 3 【详解1原武-05+2-号+0-9+2a+25+e+6- 2 3 8 题型二共线问题 ，，2 =3元-2-42，q=(m+1)x+8)+n2m,n 5.已知 是不共面的空间向量，若 ”是实数) 是平行向量，则m+n的值为() A.16 B.-13 C.3 D.-3 【答案】C ，，艺 p∥g 【详解】因为 是不共面的空间向量且 m+1=32 8=-2λ 9=p'则 故。 n=-42’ 解得m=-13,n=16,所以m+n=3. 故选：C 6. 若空间非零向量9,8不共线，则使2e-6与+2+5共线的k的值为 1 【答案】-2-0.5 ke-e2=g+2(k+1)e2]=g+2k+1)e2] 【详解】由题意知，存在实数1使得 2=-1 [=2k 1 即12k+)=-1,解得k=- 2 教爷案：月 9 7.(多选)如图，在三棱柱 BC-AB,G中，P为空间一点，且满足 P=ABC+uBB 2,4∈[0,1 ,则() A C B B BB A,当2=时，点P在棱8上 B,当“=时，点P在棱月 +4=1 BC C.当 时，点P在线段 上D.当 =“时，点P在线段 【答案】BCD 【详解】 当=1时， BP=BC+uBB ,所以C乎=BB 则C/B ,即P在棱CG上，故A错误： 同理当“=1时，则AP8C。故P在按C上，放B正确： 当+=l时，=1-，所即=BC+0-2)B丽，即=AC BC 故点P在线段上，故C正确： 当2=“时， BP=1(BC+BB)=BC,故点P在线段BC上，故D正确 故选：BCD 10 8.四棱柱ABCD-AB'C'D的六个面都是平行四边形，点M在对角线AB上，且 M-M,点N在对角线HC上，且W-NC, B D D 0设向量=a,而=6.=，用、6、C表示向至DW、D示 (2)求证：M、N、D三点共线. (2)证明见解析 【详解】)因为4M=M8,则W-写店=+B)=写+写西， B 所以 =D7+m=-而+（号+兮丽-6- 又因为N=NG,则N=4C=(A+B+D列， 所以0N=-0+不=-而+++0)--而-d 1 2因为m=孤-WC酒c-阳=c 3 11 -c-背.且而-而--而--c号 所以N=而，即M八N三点共线， 12 题型三共面问题 9若位6，构成空间的一个基底，则下列向登不共面的是《) b+2c,b,b-2c B a,a+2b,a-26 C.a+b,a-B.c D.a+b,a+b+8,c 【答案】C 【详解】对于A,万=6+2c）+(6-2),所以万+26.6-2三个向量共面，排除： 对于B,a=(a+26)+(a-26),所以a.a+26,a-25三个向量共面，排除： 对于D,a+6+G=(位+b列+C,所以三个向量共面，排除 故选：C 10.对于空间一点0和不共线三点A,B,C,且有20P=-0A+OB+20C,则() A.O,A,B,C四点共面 B.P,A,B,C四点共面 C.O,P,B,C四点共面 D.O,P,A,B,C五点共面 【答案】B 【详解】 由20r=-01+0B+20c.可组0p-05=20c-0m+0m-0a ,可得 即B即=2PC+P,根据平面向量的基本定理，可得 P,BP,PC 共面， 又因为三个向量有公共点P,所以P,4,B,C四点共面， 故选：B. 1Ⅱ0为空同在意一点，若币=-号0+0+10c,若A:gC:p四点共而，则： 8 () 9 1 1 A.1 B.8 C.8 D.4 13 【答案】C 【详解】因为那-Op-O1,所以：-号01+号05+10C,可化简为： 4 8 OF-0C0+OC 8 8 31 由于A,B,C,p四点共面，则48 1=l,解得：t=8:故选：C 12.(多选)下列命题正确的是() A.若币=2元+3莎，则p与元，共面 B.若MP=2M1+3M历M,R4B ,则 共面 c.若01+0B+0c+0D=04B,CD ,则 共面 D.若OP-O+0B-oc,则P,4a.C共面 2 6 3 【答案】ABD 【详解】选项A,根据共面向量基本定理可知，卫与无，卫共面；所以选项A是正确的； 选项B,根据共面向量基本定理可知，丽，，而共面，由于它们有公共点M, 所以M,P,A,B共面； 选项C,举反例说明，若01,0,0C是一个正方体同-个顶点的三条棱所对应的向 0 量， 0 OD 则它们的和向量是以为起点的对角线向量，而是该对角线向量的相反向量， 此时显然四个点AB,C,D不在同一个平面上，所以C选项是错误的： 选顶D,由0P-0i+0丽号0c可得60p-01+50B-20C .5 2 6 则0=301-30+50丽-50p+20p-20cn0=3PA+5PB+2CP ,即 则PC=PA+PB,此时与选项B一样，可以判断共面，即D选项是正确的： 14 故选：ABD, 15 题型四 求空间数量积 13.由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱 ABCD-4BCD(如图所示)，点'是正方形 ABC:D 的中心，则向量P=（) D A B A.1 B.2 C.4 D.8 【答案】A 【详解】由正四枝柱性质可知，向量在4上的投影向量为 AA 由数量积的几何意义可知， AA·AP=AA=1 故选：A 14.有一长方形的纸片ABCD,AB的长度为4cm,BC的长度为3cm,现沿它的一条对角线 AC 把它折成直二面角，则折叠后 AC.BD=() D B A.-4 B.-16 C.-7 D.-9 【答案】C 【详解】在R△ABC中，AC=AB+BC=50m,s∠B4C-手，cos乙ACB- 5 所以cos∠CAD=3 5, 16 所以 C80=4C(8+而)=4c-+4C.D=5x4个)5x3x-7 故选：C. 17 15.在正三棱锥P-ABC中，0是△MBC的中心，PA=AB=2,则 0.Pi+PB等于(） A.9 0 2W6 8v2 16 B.3 C.3 D.3 【答案】D 【详解】 在正三棱锥P-ABC中，O为正△ABC的中心，PA=AB=2, 01=0B=2x 32 AB=2 则POI平面ABC,而OA,OBC平面ABC,于是PO⊥OA,PO⊥OB,且 p0=2- 22= 8 BEI PO-(PA+PB)=PO-(PO+04+P0+0B)=2PO=2x8=16 3,所以 33 故选：D - P-ABC E·BC 16.在正四面体 中，棱长为2，且B是棱B中点，则 的值为() A.-1 B.-2 C.-3 D.-7 【答案】A 【详解】如图所示， E C 由正四面体的性质可得，PA-PC=PA,PB=PB.PC=2×2xcos-2, 3 18 由E是棱AB中点， PE.BC-(PA+PB)-(PC-PB)-PA.PC-PA.PB-PB'+PB.PC) 分4+2）=-1， 故选：A 17.已知空间向量 ,i1al,52,m=a+5,i=a+6,<a5>60°，若m上i,则入的值为- 【答案】2/-2.5 【详解】由题知，因为m⊥方，所以m万=0， 即(a+b)(aa+b)=++(a+1)a-6 =Z+4+2(2+1)c0s60°=2+5=0 所以无 2 故答案为：一2 题型五 夹角问题 18已知平行六面体4BCD-ABCD中，材=3，BD=4西-DC-孤-C=5,则 Cos<AA,BD>=() 5 A.12 5 B.12 e 【答案】B 【详解】D-DC-8·BC=(AD+AA)AB-(aB+A4)aD =ADAB+AA·AB-AB·AD-AA·AD=AA·AB-AA·AD=AA·DB=5 故何BD=-5 19 AA·BD -5 5 所以 os(AA,BD) AA·BD 3×412 故选：B. D C A B D A B 20 ABCD-A,B,CD 19.如图，在平行六面体 中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹 角为60°.记4B=a,D=6,MM=C】 D B D B Q求画的长： 四求丽与4C 夹角的余弦值. 【答案】)v2 6 (2)6 【详解】4)由思意知：同=月-月=1，<a.5><c><6,a>60, :a-6=6-c=c-a=1x1xcos600=1 2 又B弧=B1+aM+40=-a+c+6 :BD=(6+c-a=6+c2+a+2b.c-2ba-2ca=1+1+1-1=2 :BD=V5,即顾的长为反， (2):4C=B+D=a+6 .AC2=(a+0j=a+2a.6+i=1+2x+1=3, :4G=5 21 BD.AC-(B+c-a)-(a+B)-a.B+a.c-a+B2+B.c-a.B=1 C0s<BD C BD·AC1V6 BD AC2x36, 6 即BD与AC夹角的余弦值为6· 22 20.如图，在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中，底面ABCD是边长为a的正方形，侧棱AA的长 为b,且∠AAB=∠AAD=120°.求： D' B D B ()AC'的长： (2)直线BD'与AC所成角的余弦值， 【答案】(1)V2a+b-2ab (2)V4a2+2b 【详解】(1)由题意得 AC'=AB+AD+AA 所以AC=B+AD+A =4B+AD+44+2(4BAD+4B.44+AD.4) =v2a2+b2+4abcos120=2a2+b2-2ab (2)BDi=AD+AA-AB BD-(AD+A4'-AB)=AD+44+4B'+2(AD.44-AD.AB-A4.AB =V2a2+b2 AC-AB+D,AC=a BD'.AC=(AD+A4-AB(4B+AD)=A4.AB-AB'+AD'+A4.AD 23 、 2h-a2+a2 jab--ab. 故0s(BD,A0= BD'.AC -ab -b BDiAC a +ba 4a'+2b2, 由于异面直线所成角的范围为大于0°小于等于90°， 6 所以直线BD'与AC所成角的余弦值为V4a2+2b2 题型六用数量积求线段长度 21.如图所示，已知PAL平面ABC,∠ABC=120,PA=AB=BC=6,则PO B 【答案】12 PC=PA+AB+BC 【详解】 PC'=(PA+AB+BC)'=PA'+AB'+BC+2(PA.AB+PA-BC+AB.BC). 因为PA⊥平面ABC,AB,BCC平面ABC, PA⊥AB,PA⊥BC PAAB=0PABC=0 所以 所以PC2=36+36+36+2x6x6×os60=14,则PC=I2故答案为：12 2,在矩形ABCD中，MB=V5,BC=,现将△4CD沿对角线4C折起，得到四面体D-ABC, 若异面直线BC与AD所成角为3，则BD=一 24 【答案】1或5 【详解】如图所示，在矩形ABCD中，4B=V5,BC=1,可得 AC=2 则os∠BCA=eas∠D4C=号，在四面体D-ABC中，设G与D的夹角为： 因为异面直线C与D所成角为行，则0-骨或0=受 3 BDHBC+C4+ADBCP+ICAP+4DP +2BC.CA+2C.D+2BC.D =V+4+1-2-2-21CB1-1AD1-cos0=V2-2cos0,所以BD=l或BD=v5 故答案为：1或3 23.如图，在平行六面体ABCD-AB'C"D'中，AB=4,AD=3,AA=5,∠BAD=90°， ∠BAA=60°，求： D B “D B 4印B (2)AB的长， 【答案】(1)10 6 【详解】(1)A:ABA引Bcos∠AAB=5×4×=10 (2)因为AB=AA+AB, 25 93 19-91+0+s=)+亚+：E八=+m小，a亚a 第01讲 空间向量及其运算 目录 知识点1 空间向量的有关概念 1 知识点2 空间向量的线性运算 2 知识点3　共线向量与共面向量 3 知识点4 空间向量的夹角 3 知识点5 空间向量的数量积运算 4 题型一 空间向量的线性运算 4 题型二 共线问题 6 题型三 共面问题 8 题型四 求空间数量积 10 题型五 夹角问题 12 题型六 用数量积求线段长度 15 知识点1 空间向量的有关概念 1．空间向量的定义及表示 定义 在空间，把具有方向和大小的量叫做空间向量 长度或模 空间向量的大小叫做空间向量的长度或模 表示方法 几何表示法 空间向量用有向线段表示，有向线段的长度表示空间向量的模 符号表示法 若向量的起点是A，终点是B，则也可记作，其模记为或 2.几类特殊的空间向量 名称 方向 模 表示法 零向量 任意 0 记为 单位向量 1 或 相反向量 相反 相等 记为 共线向量 相同或相反 或 相等向量 相同 相等 或 知识点2 空间向量的线性运算 1.空间向量的加减运算 加法运算 三角形法则 语言叙述 首尾顺次相接，首指向尾为和 图形叙述 平行四边形法则 语言叙述 共起点的两边为邻边作平行四边形，共起点对角线为和 图形叙述 减法运算 三角形法则 语言叙述 共起点，连终点，方向指向被减向量 图形叙述 2.空间向量的数乘运算 定义 与平面向量一样，实数λ与空间向量的乘积仍然是一个向量，称为空间向量的数乘 几何意义 与向量的方向相同 的长度是的长度的倍 与向量的方向相反 ，其方向是任意的 3.空间向量的运算律 交换律 结合律 ， 分配律 知识点3　共线向量与共面向量 1.直线的方向向量 定义：把与平行的非零向量称为直线的方向向量． 2．共线向量与共面向量的区别 共线(平行)向量 共面向量 定义 位置关系 表示若干空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，这些向量叫做共线向量或平行向量 平行于同一个平面的向量叫做共面向量 特征 方向相同或相反 特例 零向量与任意向量平行 充要条件 共线向量定理：对于空间任意两个向量，的充要条件是存在实数使 共面向量定理：若两个向量不共线，则向量与向量共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使 对空间任一点O， 空间中四点共面的充要条件是存在有序实数对，使得对空间中任意一点，都有 知识点4 空间向量的夹角 如图，已知两个非零向量，在空间任取一点，作，则叫做向量的夹角，记作， 夹角的范围：，特别地，如果，那么向量互相垂直，记作 知识点5 空间向量的数量积运算 1．空间向量的数量积 已知两个非零向量，则叫做的数量积，记作，即． 零向量与任意向量的数量积为0，即. 2．数量积的运算律 数乘向量与数量积的结合律 交换律 分配律 3．投影向量 在空间，向量向向量投影，由于它们是自由向量，因此可以先将它们平移到同一个平面α内，进而利用平面上向量的投影，得到与向量共线的向量，，向量称为向量在向量上的投影向量． 4．数量积的性质 若，为非零向量， 则（1）；（2）；（3），； （4）；（5） 题型一 空间向量的线性运算 1. 如图，在平行六面体中，为与的交点．若，则下列向量中与相等的是（    ） A． B． C． D． 2. 在空间四边形ABCD中，E，F分别为BC，CD的中点，则（    ） A． B． C． D． 3. 在四面体中，，，，，为的中点，若，则（    ） A． B．3 C． D．2    4. 化简：． 题型二 共线问题 5. 已知是不共面的空间向量，若与（是实数）是平行向量，则的值为（    ） A．16 B．-13 C．3 D．-3 6. 若空间非零向量不共线，则使与共线的k的值为 . 7. （多选）如图，在三棱柱中，P为空间一点，且满足，，则（　　） A．当时，点P在棱上 B．当时，点P在棱上 C．当时，点P在线段上 D．当时，点P在线段上 8. 四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 题型三 共面问题 9. 若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（    ） A． B． C． D． 10. 对于空间一点和不共线三点，且有，则（    ） A．四点共面 B．四点共面 C．四点共面 D．五点共面 11. 为空间任意一点，若，若，，，四点共面，则（    ） A．1 B． C． D． 12. （多选）下列命题正确的是（    ） A．若，则与，共面 B．若，则共面 C．若，则共面 D．若，则共面 题型四 求空间数量积 13. 由四个棱长为1的正方体组合成的正四棱柱（如图所示），点是正方形的中心，则向量（    ）    A．1 B．2 C．4 D．8 14. 有一长方形的纸片，的长度为，的长度为，现沿它的一条对角线把它折成直二面角，则折叠后（    ） A． B． C． D． 15. 在正三棱锥中，是的中心，，则等于（ ） A． B． C． D． 16. 在正四面体中，棱长为2，且E是棱中点，则的值为（    ） A． B． C． D． 17. 已知空间向量，若，则的值为 ． 题型五 夹角问题 18. 已知平行六面体中，，则（    ） A． B． C． D． 19. 如图，在平行六面体中，以顶点A为端点的三条棱长度都为1，且两两夹角为．记，，．    (1)求的长； (2)求与夹角的余弦值． 20. 如图，在平行六面体中，底面是边长为的正方形，侧棱的长为，且.求： (1)的长； (2)直线与所成角的余弦值. 题型六 用数量积求线段长度 21. 如图所示，已知平面，则 ．    22. 在矩形中，，现将沿对角线折起，得到四面体，若异面直线与所成角为，则 . 23. 如图，在平行六面体中，，，，，，求： (1)； (2)的长. 学科网（北京）股份有限公司 $