第03讲 空间向量基本定理（七大题型+思维导图+知识归纳+课后作业）（暑假预习举一反三讲义）高二数学人教A版选择性必修第一册

第03讲 空间向量基本定理（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 空间向量基本定理 我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示(平面向量基本定理).类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c来表示呢? 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 【知识点1 空间向量基本定理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】依次判断各选项的向量，与，不共面即可. 【解答过程】对于A，假设，即，显然与矛盾，故，，不共面，可以构成基底，满足. 对于B，由于，，，共面，不满足； 对于C，由于，，，共面，不满足； 对于D，零向量与任意向量共面，故基底向量不能是零向量，不满足； 故能与，构成空间的一个基底的只有． 故选：A. 【变式1-1】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据空间向量基本定理判断各选项中的每组向量是否共面可得结论. 【解答过程】对于A，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故A不符合题意； 对于B，因为，所以是共面向量， 故不能作为空间中的一组基底，故B不符合题意； 对于C，若共面， 则存在实数，使得， 因为为空间中的一组基底，所以，无解， 所以不共面， 所以能作为空间中的一组基底，故C符合题意； 对于D，因为， 所以是共面向量， 所以不能作为空间中的一组基底，故D不符合题意. 故选：C. 【变式1-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据空间向量共面的定义逐项判断即可求解. 【解答过程】对于A选项，有，所以共面； 对于B选项，有，所以共面； 对于C选项，，所以共面. 对于D选项，假设共面，则有， 即，由此有共面，与已知条件矛盾， 所以不共面； 故选：D. 【变式1-3】（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【解答过程】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定的几何体及空间的基底，利用空间向量线性运算求解即可. 【解答过程】由为的中点，得， 所以. 故选：A. 【变式2-1】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四面体中，．设，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用空间向量基本定理直接求解即可. 【解答过程】由题知， . 故选：D. 【变式2-2】（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）如图，在四面体OABC中，.点在OA上，且，为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用空间向量基本定理，结合空间向量线性运算的性质进行求解即可. 【解答过程】 . 故选：B. 【变式2-3】（24-25高二上·广西桂林·阶段练习）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据三角形重心的性质，结合空间向量线性运算的几何意义、空间向量基本定理进行求解即可. 【解答过程】连接，并延长交于点，连接， 则为的中点，且， . 故选：C. 【题型3 根据空间向量基本定理求参数】 【例3】（25-26高二上·山东潍坊·期末）在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由题意得：，利用空间向量基本定理即可求解. 【解答过程】由题意得：， 所以 ， 所以， 故选：C. 【变式3-1】（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】用、、表示向量、、，利用空间向量基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出的值. 【解答过程】如下图所示： 因为为的中点，所以， 又因为，，且， 即 ， 显然、、不共面，所以，解得，故. 故选：C. 【变式3-2】（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】设，利用向量的减法运算和空间向量基本定理即可求出. 【解答过程】因点在平面内，则使得， 则， 即， 因是平面外一点，则不共面， 则由以及空间向量基本定理可知， ，得. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高二上·广东广州·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量的基本定理将用、、表示出来，可得出、、的值，即可得解. 【解答过程】连接，如下图所示：    因为为的中点，所以， 因为点在上，且，则， 所以， 易知、、不共面，故，，所以. 故选：A. 模块三 空间向量的正交分解 【知识点2 空间向量的正交分解】 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，根据空间向量基本定理建立关于的方程，解之即可得解. 【解答过程】解：设 ， 所以，解得， 所以向量在基底下的坐标为. 故选：A. 【变式4-1】（25-26高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【解答过程】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量___________. 【答案】 【解题思路】设，然后解方程组即可. 【解答过程】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为：. 【变式4-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量___________. 【答案】 【解题思路】根据空间向量基底的意义表示向量，再借助相等向量列出方程组求解即得. 【解答过程】设， 依题意，，而空间的基底， 则，解得， 所以． 故答案为：. 模块四 用空间向量基本定理解决相关问题 【知识点3 空间向量基本定理的应用】 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例5】（25-26高二下·四川绵阳·期中）已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有(    ) A．，，共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 【答案】D 【解题思路】根据空间向量基本定理可判断. 【解答过程】∵向量，，不能构成空间的一组基底， ∴，，共面， ∵向量，，有共同的点， ∴四点共面，故D正确； 当四点共面时， ，，不一定共线，故A错误； 中不一定有三点共线，故B错误； 与不一定共线，故C错误， 故选：D. 【变式5-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，利用空间向量的基本定理可求出的值. 【解答过程】因为、、三点不共线，点在平面外，点满足， 设， 由题意可知、、不共面，所以，故. 故选：A. 【变式5-2】（25-26高二下·全国·课后作业）已知空间的一组基，，．若向量与共线，则__________，__________． 【答案】2； 【解题思路】根据向量共线得出线性关系，再应用平面向量基本定理得出参数即可. 【解答过程】因为与共线，所以存在实数，使， 即． 所以解得 故答案为：2；. 【变式5-3】（25-26高二上·北京·期中）已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则__________. 【答案】 【解题思路】由空间向量基本定理即可求解. 【解答过程】由四点共面可知，存在唯一实数对，使得， 即， 所以，解得. 故答案为：. 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角、垂直问题】 【例6】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 【答案】(1)，； (2). 【解题思路】（1）根据几何体是平行六面体，可用基底表示，将其平方后，计算空间向量的数量积，即可得解； （2）先将与均用基底表示，再应用向量夹角公式，即可得解. 【解答过程】（1）由于几何体是平行六面体，则， ， 所以； （2）设直线与直线所成角为，则， ， 又因为， 所以， 所以直线与直线所成角的余弦值为. 【变式6-1】（25-26高一下·山东青岛·期末）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2)存在，当时， 【解题思路】（1）利用空间向量的加法可得出关于、、的表达式； （2）假设存在点，使得，设，将、用基底表示出来，根据题意可得出，利用空间向量数量积的运算性质求出的值，即可得出结论. 【解答过程】（1） （2）假设存在点，使得，设， 则， 因为，所以， 即， 所以，， 设，又，， 所以，， 即，解得， 所以当时，. 【变式6-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，分别是三棱锥的棱、的中点，是线段上一点且，记，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)，，； (2). 【解题思路】（1）利用向量的线性运算及向量基本定理，将，，用，，表示出来即可； （2）由（1）得，，可求得，以及，再结合空间夹角公式，代入求值即可. 【解答过程】（1）如图，连接，结合向量线性运算及向量基本定理，可得 ， ， ．    （2）由题意，得，，， 又由（1）得，，， 所以， ， 所以， 设异面直线与所成角为，则， 即异面直线与所成角的余弦值为． 【变式6-3】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为．（注：正三棱柱的侧棱垂直于底面，底面为正三角形） (1)以为基底表示向量、； (2)若，求证：； (3)若，求． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）利用空间向量的基本定理可得出、关于基底的表达式； （2）利用空间向量数量积证明出，即可证得结论成立； （3）利用空间向量数量积的运算结合可得出关于的等式，即可解得的值. 【解答过程】（1）在正三棱柱中，，，， 则，. （2）由题意可知，，，， 由空间向量数量积的定义可得，， 所以， 故. （3）， ， ， 故，解得. 【题型7 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例7】（25-26高二上·山东·阶段检测）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【答案】A 【解题思路】利用基底法表示出，再根据向量模的计算公式和向量数量积的运算律即可得到答案. 【解答过程】由题意得 ， 而， ， ， 则 . 故选：A. 【变式7-1】（25-26高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【答案】A 【解题思路】设，用基底表示出，再由数量积的运算律化简可求出，即可得出答案. 【解答过程】因为底面是边长为1的正方形，底面 底面ABCD， 所以，，，设， 因为， ， ，解得：， 故. 故选：A. 【变式7-2】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值； (2)若，且，，求的长. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用空间向量基本定理即可求解； （2）利用空间向量基本定理结合向量的数量积即可求解. 【解答过程】（1）因为 ，又， 所以， 所以； （2）因为， ， 所以，. 【变式7-3】（25-26高二上·湖北孝感·期中）如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）结合空间向量基本定理，根据空间向量的线性运算表示所求向量. （2）利用空间向量的数量积求向量的模. 【解答过程】（1） . （2）由题意：，，， ， 所以. 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由空间向量基本定理，结合向量加法和数乘的几何运算求解. 【解答过程】， 故选：B. 2．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量的基本定理可求出、、的值，即可得出的值. 【解答过程】如下图所示： 因为为的中点，所以，由题意可知， 所以， 在三棱锥中，、、不共面，且， 所以，，故. 故选：A. 3．（25-26高二上·贵州安顺·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【解题思路】由共面向量的充要条件验证即可. 【解答过程】由共面向量的充要条件可得： 选项A，，所以，，三个向量共面； 选项B，，无解，所以，，三个向量不共面； 选项C，，所以，，三个向量共面； 选项D，，所以，，三个向量共面； 故选：B. 4．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用空间向量基本定理进行求解即可. 【解答过程】因为为中点， 所以 . 故选：A. 5．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 【答案】D 【解题思路】利用空间向量基底的概念逐项判断即可. 【解答过程】因为是空间的一个基底， 对于A选项，因为，则、、共面，A不符合要求； 对于B选项，因为，则、、共面，B不符合要求； 对于C选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，解得，， 即，即、、共面，C不符合要求； 对于D选项，设， 因为是空间的一个基底，所以，该方程组无解， 故、、不共面，所以、、能作为空间向量的一个基底，D符合要求. 故选：D. 6．（25-26高二上·福建三明·期末）如图，空间四边形中，是的中点，点在上，且满足，设，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的几何体及空间向量的基底，利用空间向量的线性运算求解判断. 【解答过程】在空间四边形中，是的中点，， 则. 故选：B. 7．（25-26高二上·湖北孝感·期末）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知条件和空间向量基本定理求出，进而求得结果. 【解答过程】由图可知，，而， 若，所以. 因为，所以. 代入得， ， 因为为平面内一点，所以，解得. 所以. 故选：C. 8．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】设，连接，由空间向量的线性运算得出，，结合空间向量的基本定理可得出关于、、的方程组，解出这三个未知数的值，即可得出答案. 【解答过程】设，连接， 则． 因为，即，故， 因为、、、四点共面，且、不共线，存在、，使得， 所以， 由空间向量的基本定理可得，解得，所以. 故选：A. 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 【答案】BD 【解题思路】根据条件可得向量不共面，即可判断A和C的正误；对B，结合条件，根据空间向量基本定理，即可判断正误；对D，根据条件可得不共面，即可求解. 【解答过程】对于A，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故A错误， 对于B，因为向量不共面，由空间向量基本定理可知，空间中任一向量， 存在唯一有序实数组，使，所以B正确， 对于C，因为是空间的一组基底，所以向量不共面，故C错误， 对于D，假设向量共面，则存在唯一实数，使， 即，所以，无解，所以不共面，故D正确， 故选：BD. 10．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设 ，则（　　） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解题思路】结合空间向量基本定理，根据空间向量的加法、减法运算逐项求解即可. 【解答过程】对于A： ，正确； 对于B： ，错误； 对于C： ，正确； 对于D：由选项AB知， ，正确. 故选：ACD. 11．（25-26高二上·广西柳州·期中）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且 ，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 【答案】ABD 【解题思路】以为一组基底，对于A：根据空间向量的线性运算求解即可；对于B：根据，利用数量积的运算即可求解；对于C：先求，利用向量的夹角公式即可判断；对于D：先求，再利用数量积的运算求得即可判断. 【解答过程】由题意可知：，，， 对于选项A：因为，故A正确； 对于选项B：因为， 即，所以长为，故B正确； 对于选项C：因为，且， 可得 可得， 所以异面直线与所成角的余弦值为，故C错误； 对于选项D：因为， 且， 则， 所以，故D正确； 故选：ABD. 三、填空题 12．（25-26高二上·湖南永州·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则__________.    【答案】 【解题思路】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【解答过程】 . 故答案为：. 13．（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则__________. 【答案】 【解题思路】设，列得相应方程组，求解可得. 【解答过程】设，则. 所以，解得. 所以. 故答案为：. 14．（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    【答案】 【解题思路】应用空间向量的加法及数乘运算，再结合空间向量基本定理计算求参. 【解答过程】由题意知， 因为， 所以，则. 故答案为：. 四、解答题 15．（25-26高二上·广西崇左·期末）在正四面体中，． (1)用基底表示； (2)若，求． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）利用给定的基底，利用向量的线性运算计算即得. （2）利用空间向量数量积的运算律计算得解. 【解答过程】（1）在正四面体中，， 所以. （2）依题意，，， 所以 . 16．（2025高二上·全国·专题练习）如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值．    (1)； (2)． 【答案】(1)，， (2)，， 【解题思路】根据空间向量的线性运算与空间向量基本定理算出答案即可． 【解答过程】（1）因为， 又， 所以，，． （2）因为 ， 又， 所以，，． 17．（24-25高二上·四川绵阳·阶段检测）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【解题思路】（1）先求出，两边平方得到，求出的长； （2），平方，进而求出，，利用空间向量夹角公式得到. 【解答过程】（1）记，，， 则，， ∴，， ， ∴，即的长为； （2），故， 故， 由（1）知，， 故 ， ∴． 18．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用空间向量的基本定理可将用向量、、表示； （2）由题意得出结合空间向量数量积的运算性质得出关于的值，再利用空间向量数量积的运算性质可求得的值. 【解答过程】（1）由题意可得 . （2） ， 因为，所以，解得， 所以， 故. 19．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3) 【解题思路】（1）结合图形利用空间向量的线性运算求解； （2）利用空间向量的数量积证明； （3）利用空间向量的数量积的运算律计算即得. 【解答过程】（1）在中，根据空间向量的减法运算可得， ； （2）因，，，， 则，， 由（1）得 ， 所以，即； （3）由（1）知， 所以 ， 所以. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 空间向量基本定理（暑假预习讲义） 【人教A版】 模块二 空间向量基本定理 我们知道，平面内的任意一个向量p都可以用两个不共线的向量a，b来表示(平面向量基本定理).类似地，任意一个空间向量能否用任意三个不共面的向量a，b，c来表示呢? 我们先从空间中三个不共面的向量两两垂直这一特殊情况开始讨论. 【知识点1 空间向量基本定理】 1．空间向量基本定理 如果三个向量a，b，c不共面，那么对任意一个空间向量p，存在唯一的有序实数组(x，y，z)，使得p＝xa＋yb＋zc. 我们把{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．用基底表示向量的步骤 (1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面的向量构成空间的一个基底． (2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果． (3)下结论：利用空间的一个基底{}可以表示出空间所有向量．表示要彻底，结果中只能含有，不能含有其他形式的向量． 【题型1 空间向量基底概念及辨析】 【例1】（25-26高二上·安徽芜湖·期末）已知向量，，则下列向量中可以与，构成空间的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26高二上·浙江温州·期末）已知为空间中的一组基底，则下列几组向量中也可以作为基底的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（25-26高二上·浙江宁波·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 用空间基底表示向量】 【例2】（25-26高二上·山东菏泽·期末）如图，在四面体中，.点在上，且为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（25-26高二上·广东·期末）如图，在四面体中，．设，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（25-26高二上·山东枣庄·阶段检测）如图，在四面体OABC中，.点在OA上，且，为BC中点，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高二上·广西桂林·阶段练习）如图，在四面体中，，，，为的重心，为的中点，则（   ） A． B． C． D． 【题型3 根据空间向量基本定理求参数】 【例3】（25-26高二上·山东潍坊·期末）在平行六面体中，为上一点，且，若，则的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高二上·河北唐山·期末）在正方体中，为棱的中点，，则（　　） A． B． C． D． 【变式3-2】（25-26高二上·河南开封·期中）已知点在平面内，且对于平面外一点，满足，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高二上·广东广州·期中）如图，空间四边形中，，，，点在上，且，点为的中点，设，则（   ）    A． B． C． D． 模块三 空间向量的正交分解 【知识点2 空间向量的正交分解】 1．单位正交基底 如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都是1，那么这个基底叫做单位正交基底 ，常用{i，j，k}表示． 2．向量的正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间任一向量a，均可以分解为三个向量xi，yj，zk使得a＝xi＋yj＋zk. 像这样把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解． 【题型4 空间向量的正交分解】 【例4】（25-26高二上·河南洛阳·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（25-26高二上·河北·期中）已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量___________. 【变式4-3】（25-26高二上·重庆·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量___________. 模块四 用空间向量基本定理解决相关问题 【知识点3 空间向量基本定理的应用】 1．证明平行、共线、共面问题 (1)对于空间任意两个向量a，b(b≠0)，a∥b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb. (2)如果两个向量a，b不共线，那么向量p与向量a，b共面的充要条件是存在唯一的有序实数对(x，y)，使p＝xa＋yb. 2．求夹角、证明垂直问题 (1)θ为a，b的夹角，则cos θ＝. (2)若a，b是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0. 3．求距离(长度)问题 ． 4．利用空间向量基本定理解决几何问题的思路： (1)平行和点共线都可以转化为向量共线问题；点线共面可以转化为向量共面问题； (2)几何中的求夹角、证明垂直都可以转化为向量的夹角问题，解题中要注意角的范围； (3)几何中求距离(长度)都可以转化为向量的模，用向量的数量积可以求得． 【注】：用已知向量表示某一向量的三个关键点： (1)用已知向量来表示某一向量，一定要结合图形，以图形为指导是解题的关键. (2)要正确理解向量加法、减法与数乘运算的几何意义，如首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的始点指向末尾向量的终点的向量. (3)在立体几何中三角形法则、平行四边形法则仍然成立. 【题型5 利用空间向量基本定理证明平行、共线、共面问题】 【例5】（25-26高二下·四川绵阳·期中）已知为空间四点，且向量，，不能构成空间的一组基底，则一定有(    ) A．，，共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 【变式5-1】（25-26高二上·河南·阶段检测）已知、、三点不共线，点在平面外，点满足，则当点、、、四点共面时，实数（   ） A． B． C． D． 【变式5-2】（25-26高二下·全国·课后作业）已知空间的一组基，，．若向量与共线，则__________，__________． 【变式5-3】（25-26高二上·北京·期中）已知是空间的一个基底，向量，，，且，，，四点共面，则__________. 【题型6 利用空间向量基本定理解决夹角、垂直问题】 【例6】（25-26高二上·浙江金华·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，，，求： (1)试用表示，再求的长度； (2)求直线与直线所成角的余弦值． 【变式6-1】（25-26高一下·山东青岛·期末）如图，在三棱柱中，，，，设，，，是的中点.    (1)用、、表示向量； (2)在线段上是否存在点，使得？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由. 【变式6-2】（25-26高二上·河南·阶段检测）如图，分别是三棱锥的棱、的中点，是线段上一点且，记，，．    (1)用，，表示，，； (2)若，，，，求异面直线与所成角的余弦值． 【变式6-3】（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在正三棱柱中，设，，，底面边长为．（注：正三棱柱的侧棱垂直于底面，底面为正三角形） (1)以为基底表示向量、； (2)若，求证：； (3)若，求． 【题型7 利用空间向量基本定理求距离(长度)问题】 【例7】（25-26高二上·山东·阶段检测）如图，空间四边形中，，，，且任意两个之间的夹角均为，，，则（    ）    A． B． C． D．2 【变式7-1】（25-26高二上·海南·期中）如图，在多面体中，底面是边长为1的正方形，底面底面，且是正方形的中心，若，则（    ） A．2 B． C．5 D． 【变式7-2】（25-26高二下·江苏扬州·阶段检测）如图，在平行六面体中，点，分别在棱，上，且，. (1)若，求的值； (2)若，且，，求的长. 【变式7-3】（25-26高二上·湖北孝感·期中）如图，平行六面体中，与相交于，设，，. (1)用表示； (2)若该平行六面体所有棱长均为1，且，求． 模块五 课后作业（19题） 一、单选题 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东临沂·期末）在四面体中，为线段靠近的三等分点，为的中点，若，则（   ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·贵州安顺·期末）若构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 4．（25-26高二上·湖北省直辖县级单位·期末）在正四面体中，为中点，在上．且为中点，若，则（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·湖南永州·期中）若是空间的一个基底，则下列各组中能构成空间一个基底的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、 6．（25-26高二上·福建三明·期末）如图，空间四边形中，是的中点，点在上，且满足，设，，，则（   ） A． B． C． D． 7．（25-26高二上·湖北孝感·期末）在平行六面体中，是的中点，为平面内一点，若，则（    ） A． B． C． D． 8．（25-26高二上·广东佛山·阶段检测）如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，过点的平面分别与棱、、交于点、、，若，，则（　　） A． B． C． D． 二、多选题 9．（25-26高二上·陕西汉中·期末）设是空间的一组基底，则下列结论正确的是（   ） A．基底中的向量可以为任意向量 B．空间中任一向量，存在唯一有序实数组，使 C．向量可以共面 D．也可以构成空间的一组基底 10．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）如图，在三棱柱中，分别是所在棱的中点，设 ，则（　　） A． B． C． D． 11．（25-26高二上·广西柳州·期中）如图，在棱长均为2的平行六面体中，底面是正方形，且 ，设，下列选项正确的是（   ） A． B．长为 C．异面直线与所成角的余弦值为 D． 三、填空题 12．（25-26高二上·湖南永州·期中）我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则__________.    13．（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则__________. 14．（25-26高二上·青海·阶段检测）如图，在四面体中，点满足，为的中点，若，则__________.    四、解答题 15．（25-26高二上·广西崇左·期末）在正四面体中，． (1)用基底表示； (2)若，求． 16．（2025高二上·全国·专题练习）如图，已知正方体，点E是上底面的中心，求下列各式中x，y，z的值．    (1)； (2)． 17．（24-25高二上·四川绵阳·阶段检测）如图所示，四棱柱中，底面为平行四边形，以顶点A为端点的三条棱长都为1，且两两夹角为60°．设，，． (1)用为基底表示向量，并求的长； (2)求的值． 18．（25-26高二上·安徽·期中）如图，在平行六面体中，，是棱的中点，记，，.    (1)用、、表示向量； (2)若，，点满足，且，求. 19．（25-26高二上·江西上饶·阶段检测）如图，在平行六面体中，，，， . (1)以，，为基底向量，表示向量、； (2)求证：； (3)求的长. 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $