第02讲 空间向量基本定理讲义----2026-2027学年新高二数学暑假衔接班

第02讲 空间向量基本定理 目录 知识点1 空间向量基本定理 1 知识点2 空间向量的正交分解 1 题型一 基底的判断 1 题型二 用基底表示向量 6 题型三 正交分解 10 题型四 求线段长 13 题型五 两线夹角及垂直问题 18 知识点1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面,那么对任意一个空间向量,存在唯一的有序实数组,使得,其中叫做空间的一个基底, 都叫做基向量．如果,则称为在基底下的分解式. 知识点2 空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直,且长度都为1,常用表示． 2.正交分解 由空间向量基本定理可知,对空间中的任意向量,均可以分解为三个向量,使. 像这样,把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量,叫做把空间向量正交分解． 题型一 基底的判断 1. 正方体中的有向线段，不能作为空间中的基底的是（    ） A． B． C． D． 2. （多选）若是空间的一个基底，则下列向量中可以和，构成空间一个基底的是（    ） A． B． C． D． 3. （多选）给出下列命题，其中正确的有（    ） A．空间任意三个向量都可以作为一组基底 B．已知向量，则、与任何向量都不能构成空间的一组基底 C．、、、是空间四点，若、、不能构成空间的一组基底，则、、、共面 D．已知是空间向量的一组基底，则也是空间向量的一组基底 4. （多选）设是空间的一个基底，则下列结论正确的是（    ） A．可以为任意向量 B．对任一空间向量，存在唯一有序实数组，使 C．若，则 D．可以构成空间的一个基底 5. （多选）空间四个点O，A，B，C，为空间的一个基底，则下列说法正确的是（　　） A．O，A，B，C四点不共线 B．O，A，B，C四点共面，但不共线 C．O，A，B，C四点中任意三点不共线 D．O，A，B，C四点不共面 题型二 用基底表示向量 6. 在四棱锥中，若，则实数组可能为（    ） A． B． C． D． 7. 如图，在正三棱柱中，点M为棱AB的中点，点N为上底面的中心，用空间的一组基表示，则（    ） A． B． C． D． 8. 在棱长为2的正四面体中，为的中点，则． 9. 如图，在空间四边形中，，点为的中点，设． (1)试用向量表示向量； (2)若，求的值. 题型三 正交分解 10. 已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 11. 已知是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，向量在基底下的坐标为（    ） A． B． C． D． 12. （多选）已知是空间的一个单位正交基底，则（    ） A． B．构成空间的一个基底 C． D．构成空间的一个基底 题型四 求线段长 13. 在斜三棱柱的底面中，，且， ，则线段的长度是（    ）    A． B．3 C． D．4 14. 如图，平行六面体各条棱长均为1，，，则线段的长度为 . 15. 如图，已知四边形是边长为的正方形，底面，，设是的重心，是上的一点，且． (1)试用基底表示向量； (2)求线段的长． 题型五 两线夹角及垂直问题 16. 已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 17. 如图，在平行六面体中，，，，．则与所成角的余弦值为 ．    18. 如图，⊥，⊥，⊥，，分别是的中点，分别是的中点，证明：⊥． 学科网（北京）股份有限公司 $第02讲空间向量基本定理 目录 知识点1空间向量基本定理 知识点2空间向量的正交分解.1 题型一 基底的判断 ……… 题型二 用基底表示向量.6 题型三 正交分解… ….10 题型四 求线段长 .13 题型五 两线夹角及垂直问题， .….18 知识点1空间向量基本定理 如果三个向量a,b,c不共面那么对任意一个空间向量p,存在唯一的有序实数组(x,八，2)，使 得p=xa+6+zc,其中{a,6,C}叫做空间的一个基底，a.6,c都叫做基向量.如果 p=xa+b+zc则称xa+b+c为p在基底{a,石，c 下的分解式 知识点2空间向量的正交分解 1.单位正交基底 空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为1，常用{名，，k}表示. 2正交分解 由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量ā，均可以分解为三个向量xi,yj,zk,使 a=xi+yj+zk 像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量正交分解. 题型一基底的判断 ABCD-ABC D 1.正方体 中的有向线段，不能作为空间中的基底的是() A.AB,AC,AD B AB,AD,44 c AB,AB.AD D AB.AC.AD 【答案】A 【分析】ABC选项，可直接看出是否共面，结合基底的概念判断出答案；D选项，利用 服，而，表达出三个向益，设C=m狐+n0 得到方程组，无解，得到 AC,A8,D不共面，能作为空间中的一组基底 AB,AC,AD 【详解】A选项， 共面，不能作为空间中的一组基底，A正确： B选项， B,D,A从不共面，能作为空间中的一组基底，B错误： C选项， AB,AB,AD 不共面，能作为空间中的一组基底，C错误； D选项，因为C=+而+从，瓜=B+A从，0=D+A 设1C=m瓜+nD 即 AB+AD+AA mAB+mAA +nAD+nAA m=1 n=1 m+n=1'无解， AC,AB,AD 不共面，能作为空间中的一组基底，D错误， 2 D C B D B 故选：A 3 2《多选)若a,五，是空间的一个基底，则下列向量中可以和ā+36，万-2记构成空间一个 基底的是() A.a+6 B. a+b+4c C.-a+36+2 D -2a-b+4c 【答案】CD 【详解】对于A,a+6c=(a+36)-3(6-2) .a+3b b-2c a+6c 共面，不能构成基底，A错误； 对于B,a+6+4e=(a+36)-2(6-2c) :a+36.6-2Ea+6+46 共面，不能构成基底，B错误； x=-1 3x+y=3 对于0，设-a+35+2E=a+36)+6-2如则2y2,无实数解， 所以i+36+2,a+6,万-2近不共面，构成基底，C正痛： x=-2 3x+y=-1 对于D,设-2a-6+4=xa+36)+6-2)则2y=4，无实数解， 所以2a-万+4c,ā+6，万-2不共面，构成基底，D正疏 故选：CD 3.(多选)给出下列命题，其中正确的有() A.空间任意三个向量都可以作为一组基底 B已知向量a少6，则只、不与住何向量部不能的瑰字的的E共底 C.A、B、M、N 是空间四点，若B、BMN 能构成空间的一组基底，则A、 B、M、N共面 D.已知a五是空间向显的一组基底，则仁，a+五a-也是空间向显的组基底 【答案】BCD 【详解】对于A项，空间任意的三个不共面的向量才可以作为一组基底，故A错误： 对于B项，若a/不，则、6与任何向量都共面，故不能构成空同的维基底，散B正确 对于C项，若B厨、BMB 不能构成空间的一组基底，则B1、BN、B 共面， 又BA、BMN 过相同的点B,则A、B、M、N 四点共面，故C正确： 对于D项，若C,a+6,a-b共面， 则c=(a+6)小+(a-6)=(2+四a+(a-06,可知a,万，c共面， 与a,五，为空间向量的一组基底相矛盾，故c,ā+币，a-市可以构成空间向量的一组基 底 故选：BCD. 5 4. 《多选)设位，6是空间的一个装底，则下列结论正确的是《) A. a,b,c 可以为任意向量 B.对任一空间向量P,存在唯一有序实数组怎少，使D=a+6+C a⊥b,b1c C.若 ·则a1c D.{a+26,6+2c,c+2a 可以构成空间的一个基底 【答案】BD 【详解】对于A,因为a6,是空间的一个若底，所以a,C为不共面的非零向量，A不 正确： 对于B,由空间向量基本定理知，对任一空间向量P,存在唯一有序实数组 p=xa+yb+zc ,B正确： 对于C,a161,但a‘不-定垂直，C不正确： 对于D,假设a+2五，6+2c,c+20共面，则存在唯一实数对 x,y) 使得 a+2b=x6+2c)+y(e+2a) [1=2y 2=x 所以 0=2x+y’无解，所以 不共面， a+2b,b+2c.c+2a 所以a+26,6+2,+2d可以构成空间的一个基底，D正确 故选：BD 6 5(多选)空间四个点0，A,B,C,0A0B,0C 为空间的一个基底，则下列说法正确的是 () A.O,A,B,C四点不共线 B.O,A,B,C四点共面，但不共线 C.O,A,B,C四点中任意三点不共线 D.O,A,B,C四点不共面 【答案】ACD OA,OB,OC 【详解】因为 为空间的一个基底，所以O,A,B,C四点中任意三点不共线， 且四点不共面， OA,OB,OC 若O,A,B,C四点共面，则 为共面向量，不可能构成空间基底， 所以选项B错误，ACD正确， 故选：ACD 题型二用基底表示向量 6. 在四棱锥S-4BCD中，若=x5丽+SC+z5 ,则实数组：)可能为《) A.0-) B.(0,-1) c.(1,-1,0) D.(-1,-) 【答案】A 【详解】选项A,若底面ABCD是平行四边形，设AC∩BD=O,则 SA+SC=2S0=SB+SD 因此M=5丽+5D-5c即（k,%)=0,-1 ,即 ,A可能取得： 选项B,若任，2=L0,-,则S9+)SC+:D=5丽-S0=D丽≠，B错误： 选项C,若，)=，-0)，则丽++：0=丽-C=C亚≠，C错误： 选项D,若，y)=0-山，-0，则S8+Sc+D=5西-Sc-D=CB-S西」 7 但BCc平面MD,即风，SD,CB不共面，因此=C亚-历 不可能成立，D错 故选：A. D -0、 8 7.如图，在正三棱柱 BC-AB,G中，点M为棱AB的中点，点V为上底 AB,C的中心， 用空间的一组基Ca,CB,CC表示M瓜，则() A C M B A.MN-1C4-1CB+CC B.MN=-1CA-1CB+CC 6 6 6 C.MN--1C4+CB+CC D.MN-1C4+4CB+CC 6 6 6 6 【答案】B 【详解】取下底面A5C的中心2，连接Q.CM,则0-=号C C)CCA-cB-CC. 6 故选B, &.在棱长为2的正四面体ABCD中，M为CD的中点，则.AM·BC=一 【答案】1 【详解】在棱长为2的正四面体ABCD中，M为CD的中点， 则M-（4C+D,c=C-.而B:D=C=孤C=2x2xc0s60=2 所以4M.Bc=ac+D-(ac-=（aC-AC.+AcD-BD) 9 0-2*2-1 故答案为：1 B< D M 10 9如图，在空间四边形01BC中，BD=DC,点F为4D的中点，设 A=a,OB=b,OC=c D 1)试用向量a6 表示向量OE」 (2)若0A=0B=0C=2,∠A0C=∠AOB=60°，∠B0C=90°，求OE.BC的值. 【容案100E-0+中5+ 44 (2)0 【详解】(1)因为点E为AD的中点， ooi+o-oi+o丽+oco+丽+c-a+5+ 所以 2因%aE-oi+丽+oc.C-0c-0丽 moc-(oi+o+occ-o丽 -OC0+Oc0-08-0-0-08-Oc 1 x2x2x+0+×2-x2×2 2 1-1x22-0=0, 24 11 题型三正交分解 10.已知BD1平面ABC,AB L BC,BD=1,AB=2,BC=3,则空间的一个单位正交基底 可以为() A. B.c网 D.{c,， 【答案】B 【详解】因为BD⊥平面ABC,AB,BCC平面ABC, 所以BD⊥AB,BD⊥BC. 因为AB L BC,即AB,BC,BD两两垂直， 又BD=1,AB=2,BC=3, 所以空间的一个单位正交基底可以为3 pc.np.m 故选：B. 1.已知{位6，是空间的一个单位正交装底，向量户=a+2万+c, fa+Ba-B.c 是空间的另 一个基底，向量P在基底a+6,a-6d下的坐标为《) c. 【答案】A 【详解】解：设P=x(a+列+y(a-)+zc =(x+y)a+(x-y)b+zc=a+26+3c 13 x= 3 所以x+y=1,解得 1 y= 2 x-y=2 z=3 z=3 的是i在装数+6-6F内标侵 故选：A. 14 12《多选)已知a,五是空间的一个单位正交基底，则（) A a+=2d B. a-五，+c,a+d构成空间的一个基底 c.(a+b(a+d）=1 D.石-6,6+c,a-构成空间的一个基底 【答案】ACD 【详解】因为位6，是空间的一个单位正交基底，所以a.,6c均为单位向量且两两垂直， 所以5+=明=5，人正路 因为a-i+i+e=i+G,所以a-万+Ga+d不能构成空间的-个基底，B错误. (a+)(a+d)=a=l,c正确. 因为不存在实数x,使得*(6-列+6+d-a-c,所以a-6,6+ca-d构威空间的一 个基底，D正确. 故选：ACD 题型四 求线段长 13.在斜三棱柱 BC-4C的底面4BC中，4C=B=24CLB,且CC=2 ∠A1B=∠44C=行，则线段BC的长度是() A.35 B.3 C. D.4 【答案】A 15 【详解】BC=BC+弧=C-B+ BC-(AC-AB+A)=AC'+AB+A+2(AC.AA-AC.AB-AB.AA) =444+22x2x0-2x2x-12 所以BC=2V5 故选：A 14.如图，平行六面体 ABCD-ABCD ∠BAA=∠DAA=60°∠BAD=90° 各条棱长均为1， AC ,则线段的长度为 D B 【答案】 【详解】取而：而：瓜为个基底，而-0，=克，D- :4C-+而+=丽+而+a+2(B0+0a4+4©=5 5 故答案为： 16 15.如图，已知四边形ABCD是边长为1的正方形，SA⊥底面ABCD,SA=2,设G是△ABC 的重心，E是SD上的一点，且SE=3ED S 试用基底{孤，而，不表示向量G死， (2)求线段GE的长 【答案】)G正=名B+5D+否 3 12 4 55 (2)12 G 【详解】(I)连接AE,延长AG,交BC于F, E A-- D G 由G为a8C的重心，得A是BC边上的中线，且G-号证】 结合亚-（西+40），得G-(西+aC)-(西+孤+D列-号+兮而， 因为死-3D,所以征-否=3(0-)，整理将正-}D+ -正-石-信而不列传+而+而+还 (2)因为SA⊥底面ABCD,SA=2,底面ABCD是边长为1的正方形， 所以SA⊥AB,SA⊥AD,AB⊥AD, 可内G正-（号+0+ 12 4 丽+点而6否8而-音丽不+架和不 144 161 36 48 17 +点0不品 5W5 所©可=44=2，即线段G的长为 18 题型五两线夹角及垂直问题 16已知三棱锥P-ABC中，PA=PB=4PC=l∠APB=∠APC=∠BPC=-子，M,N.T分别为楼 3 AB,AC,PB 的中点，则直线PM与7 所成角的正切值为() A.4V2 B.4V3 c.5v2 D 2W13 【答案】C 【详解】记pA=aP历=五P元=c则PM-6+列， m-a*d5=a+c-列. 6=448a=426=42 则Pm.N=a+列a+c-)日-B+ac+d1, Pm=5a+-25, 网2@+c-可-后+c+6+2ac-2a6-2c6. 2, 设直线PM与NT所成的角为8，则 PM.TN V51 5V102 cos0 23x 51 51 2 所以tanB=5V2. 故选：C 19 17.如图，在平行六面体ABCD-AB'CD'中，AB=2,AD=2,AM=3, ∠BAD=∠BAA=∠DAA'=60°.则BC'与CA所成角的余弦值为 D' 【答案】0 【详解】在平行六面体4BCD-AB'CD中，设B=a,D=元，AM=c, BC=BC+BB'=b+c CA=CB+BA+A4=-a-b+c 则 于是BCCM=⑥+0(-a-万+0=-a.b-方+b-c-a:c-6.c+ =-a6-8-a8+e=-2x2x}4-2x3x+9=0, 因此BC1CA,cos(BC,C0=0,所以BC与C4所成角的余弦值为0，枚答案为：0 18.如图，AD⊥AB,AD⊥AC,AB⊥AC,AB=AC=AD=I,E,F分别是AB,CD的中点， M,N BC,BD 分别是 的中点，证明：EF⊥MW D 【答案】证明见解析 N 【详解】因为AD上AB,AD⊥AC,AB⊥AC, E 所以B:D=AC.0=BAC=0 因为M,N分别是BC,BD的中点， 所以m-}而-（而-C). 因为E,F分别是AB,CD的中点， 所以F=A+0+0F=号+D+号Dc:号丽+D+(ac-而) 2 20 c+而，微乐-和}号c号0 --B AD+CAD+AD+BAC-AC-AC.AD) =0+0+1+0-1-0)=0所以Er上MN,得证. 21