第03讲 空间向量基本定理（暑假培优讲义）新高二数学人教A版

第03讲 空间向量基本定理（暑假培优讲义） 析知识·讲要点 2 知识点01空间向量基本定理 2 知识点02空间向量的正交分解 3 剖题型·讲技巧 3 题型1 空间向量基本定理的理解 3 题型2 用空间基底表示向量 5 题型3 利用空间向量基本定理求参数 6 题型4 用基底法求空间向量的数量积 7 题型5 用向量法证明平行、共面问题 9 题型6 用向量法解决垂直、夹角问题 12 题型7 用向量法证明求距离、长度问题 14 释疑惑·重难拓展 15 题型1 求空间向量数量积的最值或范围 15 练好题·提分培优 17 课标要点 1．了解空间向量基本定理的内涵与意义，理解基底、基向量的定义，能准确区分二者概念，掌握选取基底、用基底表示任意空间向量的完整步骤。 2．掌握单位正交基底、正交分解的定义，理解向量坐标的由来，熟记平行坐标轴、坐标平面的特殊向量坐标特征。 3．体会从一般基底到正交基底的转化逻辑，建立空间向量代数化思维，能用基底、坐标两种形式转化空间向量。依托知识简化立体几何位置、度量问题，发展直观想象、数学抽象与逻辑推理核心素养。 知识点01空间向量基本定理 1、空间向量基本定理内容 若三个向量不共面，那么对于空间中任意一个向量，存在唯一的有序实数组，使得： 2、基底与基向量概念 若三个向量不共面，则由它们线性组合生成全体空间向量，我们称为空间的一个基底，各自称作基向量。 对基底的三点理解： （1）空间中任意一组两两不共面的三个向量，均可作为空间基底； （2）零向量可与任意非零向量共线、与任意两个非零向量共面，因此能构成基底的三个向量一定都不是零向量； （3）基底是由三个不共面向量组成的向量组，基向量仅指基底里单独某一个向量，二者概念不能混淆。 3、用基底表示向量的完整步骤 (1)定基底：结合题干几何条件，筛选出一组两两不共面的三个向量，确定为本道题的基底； (2)找目标：借助三角形法则、平行四边形法则，搭配相等向量替换、向量线性运算对目标向量变形化简，将目标向量拆解为基底组合形式； (3)下结论：选定基底后，最终表达式只能保留，不能出现其他无关向量，完成向量的基底表示。 练习1．在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 知识点02空间向量的正交分解 1、单位正交基底定义 若一组基底中的三个基向量两两互相垂直，且每个向量模长都等于1，该基底称为单位正交基底，标准记为。 2、正交分解与向量坐标 依据空间向量基本定理，空间任意向量都能拆分为三个两两垂直向量的组合，将空间向量拆解为三个两两垂直向量之和的过程，叫做空间向量的正交分解。 式中实数称为向量在单位正交基底下的坐标，记作：， 向量的坐标与空间直角坐标系中点的坐标一一对应，其中为横坐标，为纵坐标，为竖坐标。 3、特殊位置向量的坐标规律 （1）向量平行轴：纵坐标、竖坐标均为0，形式为； （2）向量平行轴：横坐标、竖坐标均为0，形式为； （3）向量平行轴：横坐标、纵坐标均为0，形式为； （4）向量平行平面：竖坐标为0，形式为； （5）向量平行平面：横坐标为0，形式为； （6）向量平行平面：纵坐标为0，形式为。 练习2．是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 题型1 空间向量基本定理的理解 方法技巧 判断命题时抓住三个关键点：第一，构成基底的三个向量必须不共面，零向量不能作为基向量；第二，任意空间向量都能唯一拆分为基底的线性组合；第三，基底是三个向量组成的整体，基向量只是其中单个向量，概念不可混淆。 遇到辨析题，可通过反例排除错误说法，比如含有零向量、三向量共面的组合均不能作为基底。 【例1】已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【例2】若和都为基底，则不可以为（　　） A． B． C． D． 【变式1-1】若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】已知空间向量,,都是单位向量，且两两垂直，则下列结论正确的是（   ） A．向量的模是3 B．可以构成空间的一个基底 C．向量和夹角为锐角 D．向量与共线 【变式1-3】已知是空间的一个基底，向量. (1)证明：是空间的另一个基底； (2)用基底表示向量. 题型2 用空间基底表示向量 方法技巧 解题分为三步：定基底、转化向量、整理化简。 第一步选取一组不共面向量作为基底；第二步结合三角形、平行四边形法则，借助相等向量替换拆分目标向量；第三步不断化简，最终式子仅保留，形式为。 化简过程灵活使用向量加减、数乘运算律，多层嵌套向量分步拆解，保证结果无其他无关向量。 【例3】如图，在四面体中，，，．点在上，且，为中点，则等于（     ）    A． B． C． D． 【例4】如图所示，在正方体中，取． (1)用表示； (2)若分别为的中点，用表示． 【变式2-1】如图，在平行六面体中，，记向量，若向量，则______. 【变式2-2】如图，设的重心为，为平面内任意一点，，试用表示向量，则________________. 【变式2-3】如图所示，在三棱锥中，点在棱上，且，为中点，则时，则___________ 题型3 利用空间向量基本定理求参数 【例5】已知动点在所在平面内运动，若对于空间中任意一点，都有，则实数的值为（　　） A． B． C． D． 【例6】在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】如图，已知空间四边形，其对角线是边上一点，且，为的中点，若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】是空间的一个基底，向量，，，.若，则x，y，z的值分别为（    ） A．，1， B．，1， C．，1， D．，1， 【变式3-3】如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 题型4 用基底法求空间向量的数量积 【例7】如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【例8】正四面体中棱长为2，为的中点，则________． 【变式4-1】如图，在正六棱柱中，为的中点．设. (1)用表示向量； (2)若，求的值． 【变式4-2】如图，在空间四边形中，点、分别为、的中点，设，，．    (1)试用向量，，表示向量； (2)若，，，求的值． 【变式4-3】如图，在平行六面体中，底面和侧面都是正方形，，点是与的交点，则（    ） A． B．2 C．4 D．6 题型5 用向量法证明平行、共面问题 方法技巧 1.向量平行：依据共线向量定理，若存在实数，使，则两向量平行；借助基底等式对比系数，求出即可证明。 2.四点共面：取公共起点构造三个向量，证明其中一个向量可由另外两个线性表示，即可判定四点共面。 【例9】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且，，， (1)求（用向量表示）； (2)求证：点E，F，G，H四点共面． 【例10】已知O，A，B，C，D，E，F，G，H为空间的9个点（如图所示），并且，，，，．求证： (1)A，B，C，D四点共面，E，F，G，H四点共面； (2)； (3)三点共线． 【变式5-1】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形，E，F分别为，中点.求证：向量、、共面. 【变式5-2】如图，已知分别为四面体的面与面的重心，为上一点，且.设.    (1)请用表示； (2)求证：三点共线. 【变式5-3】已知平行四边形，从平面外一点O引向量． (1)求证：四点共面； (2)当时，平面平面． 题型6 用向量法解决垂直、夹角问题 方法技巧 1.垂直判定：两非零向量垂直充要条件。将两向量用基底展开计算数量积，结果为0即可证垂直。 2.夹角计算：核心公式，先用基底算出，代入求出余弦值后结合范围确定夹角。 【例11】如图，在直三棱柱中，，，. (1)用表示； (2)求直线与直线所成角的余弦值. 【例12】如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【变式6-1】已知三棱锥中，分别为棱的中点，则直线与所成角的正切值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】已知在三棱柱中，，记，. (1)求证：四边形为矩形； (2)若，求异面直线与所成角的余弦值. 【变式6-3】如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 题型7 用向量法证明求距离、长度问题 方法技巧 线段长度等于对应向量的模，核心公式。 把代表线段的向量拆解为基底组合，展开计算，代入基底模长、基底间数量积完成运算，最后开平方得到长度。 【例13】在平行六面体中，已知，，则的长度为（    ） A． B． C． D． 【例14】已知正四面体的棱长为2，空间中一点满足，其中，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】两条异面直线所成的角为，在直线上取点，在直线上取点，使，且．已知，则线段的长为（    ） A． B． C．1或 D．1或 【变式7-2】在平行六面体中，．若，则___________． 【变式7-3】已知边长为2的正方体中，向量，若，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．2 释疑惑·重难拓展 题型1 求空间向量数量积的最值或范围 方法技巧 选取合适的一组基底，把题目中所有向量统一用该组基底表示，借助向量运算法则化简目标表达式，最后结合二次函数、基本不等式、三角函数等知识求解结果。 【例1】已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则的最大值为______． 【例2】如图，M，N分别是四面体的棱OA，BC的中点，是上靠近点的三等分点，，，． (1)以为基表示； (2)若，，，，求的最小值． 【变式1-1】中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个底面平行，且均为矩形的六面体.现有一“刍童”，如图所示.，，，，，与的交点为，则的最大值为（    ） A． B．18 C． D．21 【变式1-2】将边长为的正方形沿对角线折起，使点到达的位置，连接，得到三棱锥，是线段的中点，，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【变式1-3】如图，在四面体中，，且为的中点，点是线段上的动点（含端点）． (1)以为基底表示； (2)求的最小值． 一、单选题 1．在四面体中， 点在上，且，点是中点，则（    ） A． B． C． D． 2．已知与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是（   ） A．、、 B．、、 C．、、 D．、、（其中为实数） 3．已知为空间中四点，任意三点不共线，且，若四点共面，则的最小值为（    ） A．4 B．5 C． D．9 4．在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 6．在棱长为2的正方体中，为正方体表面上的动点，若，则点的运动轨迹的长度为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 7．（多选）如图，在三棱柱中，为空间中一点，且满足，，则下列说法正确的是（    ）    A．当时，点在棱上 B．当时，点在线段上 C．当时，点在棱上 D．当时，点在线段上 8．已知空间向量，，，，若存在实数组和，满足，，则下列说法正确的是（   ） A．若，则，，共面 B．若，，共面，则 C．若，，不共面，则，， D．若，，共面，则 三、填空题 9．在空间四边形中，已知空间内一点满足，若，，共面，则______. 10．已知平行六面体 ，底面是正方形， ， ，则 的长度为_____. 11．已知M，A，B，C为空间中四点，任意三点不共线，若M，A，B，C四点共面，O不在该平面上，且 则 的最小值为____. 四、解答题 12．如图所示，在正方体中，取，，． (1)用、、表示； (2)若、分别为、的中点，用、、表示． 13．如图，在三棱锥中，，，，是的中点，为线段上靠近的三等分点，是的中点.    (1)用向量，，表示向量； (2)求； (3)求. 14．如图，在平行六面体中，为中点， ， ，设，，，以为空间的一个基底． (1)用基底表示向量，并求出线段的长度； (2)直线与平面 交于点求的值 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 第03讲空间向量基本定理（暑假培优讲义） 析知识讲要点… 2 知识点01空间向量基本定理… .2 知识点02空间向量的正交分解… 3 剖题型讲泔技巧. 题型1空间向量基本定理的理解 题型2用空间基底表示向量。 .8 题型3利用空间向量基本定理求参数… 11 题型4用基底法求空间向量的数量积… .14 题型5用向量法证明平行、共面问题 .17 题型6用向量法解决垂直、夹角问题， 22 题型7用向量法证明求距离、长度问题， .27 释疑惑：重难拓展31 题型1求空间向量数量积的最值或范围31 练好题提分培优35 课标要点 1.了解空间向量基本定理的内涵与意义，理解基底、基向量的定义，能准确区分二者概念，掌握选取基 底、用基底表示任意空间向量的完整步骤。 1/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.掌握单位正交基底、正交分解的定义，理解向量坐标的由来，熟记平行坐标轴、坐标平面的特殊向量 坐标特征。 3.体会从一般基底到正交基底的转化逻辑，建立空间向量代数化思维，能用基底、坐标两种形式转化空 间向量。依托知识简化立体几何位置、度量问题，发展直观想象、数学抽象与逻辑推理核心素养。 析知识·讲要点 知识点01空间向量基本定理 1、空间向量基本定理内容 若三个向量 不共面，那么对于空间中任意一个向量 ，存在唯 一的有序实数组(x,y,2),使得：p=a+6+zC 2、基底与基向量概念 若 三个向量不共面，则由它们线性组合生成全体空间向量，我们称 为空间的一个基底， 各自称作基向量。 对基底的三点理解： (1)空间中任意一组两两不共面的三个向量，均可作为空间基底： (2)零向量可与任意非零向量共线、与任意两个非零向量共面，因此能构成基底的三个向量一定都 不是零向量： (3)基底是由三个不共面向量组成的向量组，基向量仅指基底里单独某一个向量，二者概念不能混 淆。 3、用基底表示向量的完整步骤 ()定基底：结合题干几何条件，筛选出一组两两不共面的三个向量，确定为本道题的基底： (2)找目标：借助三角形法则、平行四边形法则，搭配相等向量替换、向量线性运算对目标向量变形化 简，将目标向量拆解为基底组合形式： 2/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)下结论：选定基底 后，最终表达式只能保留 ,不能出现 其他无关向量，完成向量的基底表示。 练习1.在正方体 ABCD-ABCD AB,BC 中，下列向量能与向量 构成空间的一个基底的是() A.CD B.AD C.4B D DD 【答案】D 【详解】在正方体1BCD-4B,CD中，向量 是CD1/AB1 IAB AD11BC 因此向量CD,办，48分别与向量 B,BC 共面，ABC不能： DD1平面ABCD,即向量 D,AB,BC 不共面，D能 故选：D 知识点02空间向量的正交分解 1、单位正交基底定义 若一组基底中的三个基向量两两互相垂直，且每个向量模长都等于1，该基底称为单位正交基底，标 准记为 2、正交分解与向量坐标 依据空间向量基本定理，空间任意向量 都能拆分为三个两两垂直向量的组合 ，将空间向量拆解为三个两两垂直向量之和的过程，叫做空间向量的正交分解。 式中实数x,y,Z称为向量 在单位正交基底 下的坐标，记作： 向量 的坐标与空间直角坐标系中点P的坐标(x,y,Z)一一对应，其中x为横坐标， y为纵坐标，Z为竖坐标。 3、特殊位置向量的坐标规律 (1)向量平行x轴：纵坐标、竖坐标均为0，形式为(x,0,0): 3/55 命学科网·上好课 www.zx×k.com 上好每一堂课 (2)向量平行y轴：横坐标、竖坐标均为0，形式为(0，y,0); (3)向量平行z轴：横坐标、纵坐标均为0，形式为(0,0，z): (4)向量平行xOy平面：竖坐标为0，形式为(x,y,0): (5)向量平行yOz平面：横坐标为0，形式为(0，y,z): (6)向量平行xOz平面：纵坐标为0，形式为(x,0,z)。 习2.a,方，是空同的一个单位正交基底，向量户=ā+25+3元，石+6，a-6,是空同的另一个基底。 用基底a+6a-6d表示向景户，则P= 【答案】a+6)a-列+ 【详解1设D=(a+b列+(a-6)+2c,则D=(x+)a+(c-y)5+c 所以x+y=1,解得y= 2 x-y=2 z=3 z=3 所以p-a+6)a-列+证 故答案为：0+6a-)+3c 剖题型·讲技巧 题型1空间向量基本定理的理解 4/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 方法技巧 判断命题时抓住三个关键点：第一，构成基底的三个向量必须不共面，零向量不能作为基向量；第二， 任意空间向量都能唯一拆分为基底的线性组合；第三，基底是三个向量组成的整体，基向量只是其中单 个向量，概念不可混淆。 遇到辨析题，可通过反例排除错误说法，比如含有零向量、三向量共面的组合均不能作为基底。 一一一一一一“一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一一 【例1】已知空间向量6，c 为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是() A.a+b,b+c,c+a B.a-6,6-c,c-d C a,b,a+b+c D.ab+c.c+a 【答案】B 【销朝】对于A,设存在实数，使得+6=6++G+0,可得+6=a+话++水 x=1 y=1 所以 x+y=0'方程组无解，所以a+6,b+,+不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意： 对于B,设存在实数y,使得0-石=6-0+c-0,可得a-石=-阳+6+0-火 x=-1 y=-1 所以 y-x=0'解得 -y=-所以。-石.石-Gc-。共面，不能作为空间基底，所以B符合题意 对于C,向量 a,b,a+b+c 不存在实数'使得a+6+=xa+6 所以a6,a+i+ 不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意： 对于D,设存在实数少，使得 a=x(b+c)+y(c+a) a=ya+xb+(x+y)c ，可得“ x=0 y=1 所以 x+y=0'方程组无解，所以 ·一，一不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意 a.b+c.c+a 故选：B. 5/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【例2】若a,6和后+66-G网郑为基底，则m不可以为《) A.a B.c C.a+c D.a-c 【答案】C 【详解】若a+6,6-6,m不是一组基底。 则可设m=2(a+b列+A(6-c）ā+（元+）5-Ac(,HeR) =1 2+4=0 对于A,若一-，则 m=a -山=0，方程组无解， :石+6,6-，m为基底，故A不符合题意： 2=0 2+4=0 对于B,若一，则 m=c -山=1”方程组无解， :{石+6,6-6，m为基底，故B不符合愿意： 2=1 元+4=0 =1 对于C,若 -则 m=a+c H=1’解得 4=-1 :{a+6,6-,m不是一组基底，故C符合题意： 元=1 元+4=0 对于D,若一。，则 m=a-c 山=-】’方程组无解， :{a+6,6-,m为基底，赦D不符合题意。 故选：C 【变式1-1】若，b,c构成空间的一个基底，则下列向量共面的是() 6/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.a,6+G,a+6 B.a,a+c,a+b C.a+b+ccB D.瓦a-石，a+6 【答案】D 【i详解】对于A,若a,五+c,a+6共面，则有a=x6++(a+6)=a+(c+yb+ y=1 x+y=0 即 x=0 则该方程无解，故。5+Ga+6不共面： 对于B,若a,a+c,a+6共面，则有i=x(a+c)+(a+)=(x+y)a+巧+c y=0 x+y=1 即 x=0 ,显然无解，故 a+Ga+6不共面； 对于C,者a+b+GG, 共面，则有0+B+c=xC+6 显然该等式不成立， 故0+b+GC, 不共面： 对于D, 易知6=(+b)-a-,即后a-瓜.a+5共面 故选：D 【变武12】已知空间向至，了.不都是单位向量，月两两垂直，则下列结论正确的是() i+j+k A.向量 的模是3 B.+i-,列以构成空间的一个基底 C.向是i+j+尼知+ 和 夹角为锐角 D.向量i+j与-了共线 【答案】BC 7/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】对于A选项， +j+=(+j+)=+子+2+2ij+2i.+2j-k=3, :+j+利 ,A选项错误： 对于B选项，因为空间向量，了，无都是单位向量，且两两垂直， 则+行.-.玉均为零向量， +)-)=-了=0，(+)=i.+j=0(-》尼=i.k--=0 所以，i+、i-.无两两垂直，则+-码可以构成空间的个著底，B选项正确。 对于C选项， cos(+j+元，j+)= (+j+)(G+)26 +++3x23,C选项正确： 对于D选项，(+)小（医-）=-：7+7k-子=-1 +引-+)=+疗+2=2，同理可得-引2， 证8-专 -11 :0≤+7-列s,则+话-》-，D选顶错误 故选：BC 【变武1-3】已知点，6，c是空间的一个基底，向量P=2a-方+3 (1)证明： a+五6，号是空间的另一个基底： ②用若底a+66,表示向量D, 【答案】(1)证明见详解 (②)p=2(a+6）-36+30 【分析】 8/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】(1)设a+66,c +b=b+uc 共面.根据共面向量定理可知 此时不存在实数乙和使等式成立， 故a+6,6,c 不共面， ∴a+66,是空间的另一个基底 （2)设D=xa+b)小+6+，则p=a+(r+y)6+远，又D=2a-i+3c, x=2 x=2 ∴.x+y=-1 y=-3 z=3 ，解得 z=3’∴.p=2a+b)-3b+3 题型2用空间基底表示向量 方法技巧 解题分为三步：定基底、转化向量、整理化简。 第一步选取一组不共面向量 作为基底；第二步结合三角形、平行四边形法则，借助 相等向量替换拆分目标向量；第三步不断化简，最终式子仅保留 ,形式为 化简过程灵活使用向量加减、数乘运算律，多层嵌套向量分步拆解，保证结果无其他无关向量。 【例3】如图，在四面体 1BC中.o1-a,o丽=6，o元=c.点M在4上，且oM=2M4,N BC 为 中点，则 等于() 9/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1 2x,1 2 ,1,1 A.2a-3b+2 b+C B.5a+26+2 +6-c 2 -a ,261 C. 222 D.a+56-2 【答案】B 【详解】如图，连接ON, ○ M B N是aC的中点，、0N=05+号0C」 2 OM =2MA 0M=20A 3 顶-0丽-o丽-0丽+50c-oi=号++ 3 2 ABCD-ABCD中，取 AB=a,AD=b,AA=c 【例4】如图所示，在正方 D B D: M C B )用a6, BD 表示 表示 2若M,N分别为0，CC的中点，用a6, 【答案】(1)BD=b+c-a 10/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 11 (2)M=a+i+ 2.2 【详解】1) BD=AD -AB=AD+DD-AB=AD+AA-AB=6+c-a 2m=M++C+0=i++0+0G=服+号D+号=a++ +2 BCD-4BCD中，MDn4D=0,记向量 DA=a,DC=b,DD=c 【变式2-1】如图，在平行六面体 若向量 CO=xa+yb+zc x+y+z= ,则 B O B 【答案】0 【详解】在平行六面体 BCD-ABCD中， AD∩AD=O 则0-0-0c-号0i+0m)-c--6+, C0=xa+yb+zc。a,b,c 而向量 ,且 不共面， 1 所以x=2y=-h2=2:x+y+2=0 【变式2-2】如图，设△ABC的重心为M,O为平面内任意一点， 0=a,05=60c=C,试用i,6,c表 示向量OM OM= ,则 M B 11/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【容1写a+60 【详解】延长M,交BC于点D,因为M为AABC的重心，所以D为BC的中点，且4M-子D, 3 则oM=O1+aW=a+D=a+名×aB+4 32 =a+50i-0a+0c-0m=a+6-a+c-a=2a+b+0 3 3 B 【变式2-3】如图所示，在三棱锥A-BCD中，点F在棱AD上，且AF=3FD，,E为BC中点，则 FE=xAC+yAB+zAD 时，则+y+2= D 【答案】4/0.25 【详解】由AF=3PD:E为BC中点，可得4F-0,死-8C。 所似所=A++服=+丽+兮C=0+丽+C-洞 21 D++c-C+-3D. 、3 1 2 4 2少=1，z=-3 所以2 x= 4,因此 12/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 题型3利用空间向量基本定理求参数 【例5】已知动点'在△AB 所在平面内运动，若对于空间中任意一点P,都有0=-3P1+5P+mCP 则实数m的值为() A.-2 B.-1 c.0 D.2 【答案】D 【详解】由40=-3P+5丽+mC7,得P0-PA=-3P+5PB-nmPc PO=-2PA+5PB-mPC 所以 C,动点P在△1BC所在平面内运动，可知2,4，B, 四点共面， -2+5+(-m)=1 由空间中四点共面的向量定理可知， ,解得m=2, 故选：D 【例6】在平行六面体 BCD-ABCD中，M,V分别为棱BC,A8的中点，点O在平面DN上，且 AO=AAC ,则入的值为() 3 4 A.3 c.8 D.9 【答案】D 【详解】设基底，以A为原点，令亚=a而=6，网=6，则C=a+万+，因此0=+6+⊙，D 点，D=6 M是BC中点，=a+5,因此DM=m-D=日-6. 21 N是48中点，N-+C,因tDN=孤--9-6+e, 1 2 DO 因为°在平面DN上，所以D0可表示为平面内的向量的线性组合， DO=sDM+iDN 13/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 即，0-而=a-传-5* 代入AO=Aā+b+c,整理得： ā+-6+证-（+分》+（2j5+c t= S+ ,解得，代入得 ，即 -1=- 22 9λ 4 S= 1= 2 4 9 A D B C 沙D 【变式3-1】如图，已知空间四边形OABC,其对角线AC,OB,M是BC边上一点，且BM=3MC,G为 w的中点，若0c-号0Oi+O丽+m0c则n的指为() 8 --0 M B 3 B.4 C.8 【答案】C 【详解】因为BM=3MC，G为AM的中点， 0G-04+G-0+0+(OM-0)-0+O-0+(OC+CM). oi+5oc+分o历-oi+oc+os-og)-oi+os+8oc. 又OG=01+专0B+m0C,由空间向量基本定理知m=, 3 14/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 故选：C 【变式32】行，66是空间的一个基底，向量4=6+8+8，万=6+6-6,8=6-G+6, d=G+2g+38若d=a+b+c,则x,八，z的值分别为() B1 1 1 1 【答案】A 【详解】 xa+yb+zc=x(e+e+e;)+y(e +e,-e)+z(e-ez+e;) =(x+y+z)e+(x+y-z)e,+(x-y+z)e;=e+2e,+3e; 5 x-2 由空间向量基本定理，得 x+y+z=1 x+y-2=2' 解得y=-1 1 x-y+z=3 2=-2 故选：A 【变式3-3】如图，在三棱锥P-ABC中，点G为△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG,过点M 任意作一个平面分别交线段PH.PB,PC于点D,,R,若PD=mP,PE=mPE,F=C,则 111 m十n+:的值为 D B 【答案】4 15/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解1连接4G并延长，交BC于点H,以P,P丽，PC为空间-组基底 由于G是△ABC的重心，点M在PG上，且PM=3MG, 以w--a+网-+ +*(丽+c)-+历-m+c-网列a+丽+元0， 连接DM,因为D,E,F,M四点共面，所以存在实数'，使得 M=xDE+yDF PM-PD-x(PE-PD)+>(PF-PD).PM-(1-x-)PD+xPE+yPF-(1-x-)mPi+xPB+MPC ②， 由阅以及空铜向整的装木定理可知：-一加=号知号r-子，0-月-六4：女4切- m' ,所 1+1+1=41-x-y)+4x+4y=4. 以mnt D2-- 41-- B 故答案为：4. 题型4用基底法求空间向量的数量积 【例7】如图，平行六面 ABCD-AB,CD的底面是菱形，且 CCB=∠CCD=∠BCD=60° CD=CC=2,M是4G和80的交点，则C可Dm=() 16/55 学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B B D A.8 B.6 C.0 D.-4 【答案】A 【详解】令CD=a.CB=bCC=c 由题意可知同-风=月=2，(a.6=a,d=6c=60, 则ab=ac=b:c=2×2×cos60°=2， CA=CD+DA+AA=CD+CB+CC=a+b+ DM-DD+DM-CC+DC+CB)-CC+(-CD+CB) 0丽-++=+5+ 则4-m-66+++ 整理得CA·DM= a2ab+ac-a 2a 2 故选：A 【例8】正四面体ABCD中棱长为2，E为BC的中点，则DE·AB= 【答案】1 【详解】E为BC的中点，故DE=(DB+DC), 又AB=DB-DA, i DEB-(DB+DC)(DB-DA)-DB'-DB.DA+DC.DB-DC.DA 17/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 )2-2x2c0s60°+2x2cos60°-2x2c0s609日 E B 故答案为：1. 【变式4-1]如图，在正六棱柱48CDEF-4BCDE5中，M为FF的中点.设 B=a,AF=b,AA=c E F A C Mi B D B (1)用，6，c表示向量 DM,BE ②若=2，求Dw8E的值。 【答案】)-2a-6+2,26+c 1- (2)2 【分析】 【详解】(1)因为 AB=a,AF=B,AA=c 所以DM=DE+EF+FM =-B-(B+F）+)4 18/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 26-6+的 BE =BA+AF+FE+EE =-AB+AF+(AB+AF+A4 =2AF+AA =2b+c (2)由题盒易知同=问-月=2. mua6=m号-2×2(》-2 ac=lcos-0, 则 -胍-2a-6+026+d =-4a-B-2avc-26-bc+bc+Ic =4a6-2c-26+5 1 =-4×(-2)-2×22+5×22=2 2 【变式4-2如图，在空间四边形O1BC中，点D、E分别为BC、1D的中点，设 n.OA=a OB=b OC=c D 19/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 0)试用向量，万，表示向量O正 2活01=0C=4,0B=2,∠40C=∠B0C=∠40B=60,求oE,AC 的值 【答案a)oE=a+6+1c 2 44； (2)-2. 【分析】 【详解】(1)由题可得向量2 o-o+on-a+o+-++ 2 2 c=2×4c0s60°=4，ab=4×2c0s60°=4，ac=4×4c0s60°=8 (2)由题 由4)衔0E-+5+,又量花-0C-01=6-a 2 4 死c-a+5+e- 所以 -号+c-a+-a 2 4 4 4 1 1 1 ×8- 2 ×16+×4 x4+2x16-x8=-2 1 2 44 4 4 【变式4-3】如图，在平行六面体 BCD-AB,CD中，底面 BCD和侧面 ADD 都是正方形， ∠BAA=2π ，4B=2,点p是CD与CD,的交点，则P.B=() 、B1 P A.4-25 B.2 C.4 D.6 【答案】B 20/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【详解】由题意，在平行六面体ABCD-AB,CD中，AB⊥AD,AA⊥AD,AB=AD=A4=2 由点P是CD与C0的交点.得0=0+F=D+与0c+D0)丽++而， 而B=B+,因此P.AB=(aB+4+2D):(aB+ =6++2)=2+2+2×22×om25=2 3 故选：B 题型5用向量法证明平行、共面问题 方法技巧 1向量平行：依据共线向量定理，若存在实数入，使 ,则两向量平行：借助基底等 式对比系数，求出入即可证明。 2四点共面：取公共起点构造三个向量，证明其中一个向量可由另外两个线性表示，即可判定四点共面。 【例9】在空间四边形ABCD中，H,G分别是AD,CD的中点，E,F分别边AB,BC上的点，且 CF AE 1 FB EB 3'CA=a'CB=b'DC=c a)求历（用向量a6, 表示)： (2)求证：点E,F,G,H四点共面 1-1,1- 402 【答案】()2a- (2)证明见解析 【详解1（山）：所-c+D+D丽-4C4cD+Di=-0B-0c+(Dc+C列C-C历-D0 21/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F丽=a-b-c 11 242 (2)连接HG,EF :H,G分别是AD,CD的中点，.HGI‖AC CF AE 1 又：FBEB3,EF∥AC ∴EF∥HG,则E,F,G,H四点共面 【点睛】 OE=kOA 【例1O】己知O,A,B,C,D,E,F,G,H为空间的9个点（如图所示），并且 OF=kOB OH=kOD AC=AD+mAB EG=EH+mEF ,求证： (I)A,B,C,D四点共面，E,F,G,H四点共面： (②)AC/EG (3)0、G、C三点共线. 【答案】(1)证明见解析 22/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)证明见解析 (3)证明见解析 【分析】 【详解】(1)由 AC=AD+mAB EG=EH+mEF 知A,B,C,D四点共面，E,F,G,H四点共面： (2)由0正=k01.0示=k08O丽=k0D 得EG=丽+mEF=0丽-Oi+m(OF-OE) =kOD-0A)+km(OB-OA=kAD+km AB =kAD+mAB=kAC 所以AC1/EG (3)由(2)知 EG=kAC 所以 OG=EG-EO=kAC-kAO =k4C-40)=kOC 所以G=k0C moG1oc,c与oc 与 有一个公共点，所以O、G、C三点共线 【变式5-l】如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是平行四边形，E,F分别为PA,BD中点求证： 向量F、CB 共面 D E D 23/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】证明见解析 【详解】连接AC,因为底面ABCD是平行四边形，F是BD的中点，所以F也是AC中点 在△PAC中，又B是PA中点，所以EF1/PC,BF=2PC. 2 又因为Pc=BC-那，所以F=)PC=)BC-P, 2 2 2 所以由向量共面定理可知，向量厅、BC、即共面 D D B 【变式5-2】如图，已知M,N分别为四面体A-BCD的面BCD与面ACD的重心，G为AM上一点，且 GM:GA=1:3.设 AB=a,AC=b,AD= 'GW Q)清用位，6表示m, (2)求证：B,G,N三点共线 【答案】BN-6+c-a 3 (2)见解析 【分析】 【详解】)丽=孤-丽-号c+而-丽-+-a 24/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)G=a+Mc=8-4M-8丽-丽+8)=8- 4ā+46+ 则BG=丽 又BG 有公共起点B,“B,G,心三点共线 'gw B D 【变式5-3】已知平行四边形ABCD,从平面ABCD外一点O引向量 OE=kOA.OF=kOB,OG=kOC,OH =kOD B G B (1)求证：四点E,F,G,H共面： (2)当k≠1时，平面ABCD/1平面EFGH. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 ABCD AC=AB+AD 【详解】(1)由四边形 是平行四边形，得 25/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 而EG=0G-0=k0C-k01=kM0c-0刚=kC=kB+D =k(0B-04+0D-0A)=OF-OE+0H-OE=EF+EH 所以四点E,F,G,H共面 (2)由厅=0-0正=O5-0=k:丽，得F1/丽，而k1,则E直线4B。 因此EF IAB,又EF4平面ABCD,ABc平面ABCD,则EFII平面ABCD, 同理可证EHII平面ABCD, XEFOEH-E EF,EH C EFGH 平面 ,所以平面 ABCD/EFGH 平面 题型6用向量法解决垂直、夹角问题 方法技巧 11.垂直判定：两非零向量垂直充要条件 。将两向量用基底展开计算数量积，结果为 0即可证垂直。 2夹角计算：核心公式 ,先用基底算出ā，=V=V, 代入求出余弦值后 结合范围[0，确定夹角。 【例1】如图，在直三棱柱ABC-ABC中，AB=AC=M=3,∠B4C=子，BD=B 3 ● D ()用，4c,A 表示Cδ AC (②求直线CD与直线MC所成角的余弦值， 26/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【答案】c而=子B-AC+{ (2)4 【分析】 【详解】山BD=8A, 3 故C西-C丽+BD=C丽+；BA=B-AC+(4-AB） -2B-AC+: 3 3 (2②由4知，而号孤-4C+4,两边平方得 而-（居-c+ 号++兮c-c+号 ABC-ABC AB=AC=AA=3 因为三棱柱 为直三棱柱， 所以1瓜，上C,放孤=瓜C=0, AB.AC-BCcos=3x3cos- 3 32 所以CD=4+9+1- 49 4×y=8」 32 故C可=2V5 因为4C=AC+CC-35,数G=35 设直线CD与直线1C所成角为9， 而c-（号丽-c+号(ac+a 号c+号孤-4C-c.4+c.+4 27/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 *29+3=-3 2.9 CD.AC 3 1 所以cos0= CD AC 2W2×3W24, 1 所以直线CD与直线AC所成角的余弦值为4· 【例12】已知在三棱柱 BC-ABC中，MB=4C=2M=3A4B=∠A4C=60,∠B1C=a,记 AA=a AB=b,AC=c A 今C1 B BBCC (1)求证：四边形 为矩形： (2)若a=601 求异面直线 C与 AC 所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 4v91 (2)91 【分析】 ABC-ABC 【详解】(1)由已知该几何体是三棱柱 BBCC 所以四边形 为平行四边形， 又BC=-68瓯==d 所以B8Bc=a-(G-=ac-a6=0 故BC⊥B服，即BB L BC 28/55 命学科网·上好课 www.zx×k.com 上好每一堂课 BBCC 所以四边形 为矩形 BC BB +BC=AA+BC (2)由已知 又BC=C-丽=c-6,故BC=a+c-6 BCI=(a+c-B)=Va+c2+62+2a.c-2a-6-26.6=13 同理4c=c-a,4d=c-a=a2+2-2ac=万 BC.AC=(a+c-B)-(c-a)=c2-a2-b.c+a.b=-4 cos(BC.4C) BC·AC -4 4V91 BC·AC V13xV万91， 4w91 所以异面直线BC与AC所成角的余弦值为91 【变式6-l】已知三棱锥p-ABC中，PH=PB=4PC=l,∠APB=∠APC=∠BPC=行，M,N,T分别为棱 3 AB,AC,PB 的中点，则直线PM与T所成角的正切值为《) A.4V2 B.4V5 C.52 D.213 【答案】C 【详解】i记pA=a.PB=P元-c,则Pm=6+列， m=6+d小五=+-列. a-i=4×4×=8,a:c=4×1x号=2,6-c=4×1x号=2 则PM.N-a+列(a+c-)=a-+ac+-d-1, PM=2a+=25, 29/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 网-5@+c--后+e+6+2ac-2a5-286. 2, 设直线PM与WT所成的角为日，则 PM.TN 1 51 51 5V102 cos0= 51 51 51, 2 所以an8=5v2. 故选：C 【变式62)如图，在平行六面体ABCD-48CD中，4B=AD=AA=L,且∠BD-号， ∠AAB=∠44D=2 3 D C B AC,BD的长： (1)分别求， AC⊥BD (2)证明： 【答案】()1C=V2,BD=V5 (2)证明见解析 【分析】 【详解】(1)因为∠AAB=∠4AD=2 3,且AA=1,AB=1 8而=m-*号0-0=》 故 3 30/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又4C=+D+A,故4C=VAB+AD+AA -屈+而+居+2而+4+0瓜-+11+}习-5 由于BD=B1+BC+BB. 厨1w(引号厨丽=1x兮C丽=1x》月 所以BD=VBA+BC+BB =BA'+BC+BB,+2(BA.BC+BA.BB +BC.BB (2) BD.AC =(AB+AD+AA)(AD-AB) -8+-46+4而=11-((-0 AC⊥BD 所以 【变式6-3】如图，在空间中平移△MBC到△ABC,连接对应顶点，设 =a,B=b,AC=,M,E分别是 BC',AA' N B'C 的中点，”是 上一点. A BT-N (I)若N为B'C'的中点，用向量法证明：AM1IEN: (2)若AB=AC=1,AA=2,∠BAC=60,∠ACC'=∠ABB'=90°，问是否存在点N使得AM⊥EN,并说明理 由. 【答案】(1)证明见解析 31/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (②)不存在，理由见解析 【分析】 【详解】)当N为BC的中点时，=E+N=)A+N +B+c)-号++aC 6+)+a=a+6+c, AM-B+BM-B+CC+BC)-B++BC) =+[+(ac--B+ac+）(a+5+, 所以AM/IEN, (2)设BW=ABC,则团=EA+A=)Af+A8+B =4+丽+BC+丽+(C-例） a+万+2e-)=+0-A05+证， 由于∠4CC=∠ABB=90°，a-i=a:c=0 所u-a+60-26++号 2+0-刘+5-+ =1+0-)+x1x1x+=2 22 4 即1M-N≠0 故不存在点W使得M1EN 题型7用向量法证明求距离、长度问题 方法技巧 32/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 线段长度等于对应向量的模，核心公式 把代表线段的向量拆解为基底组合，展开计算 ，代入基底模长、基底间数量积完成 运算，最后开平方得到长度。 【例13】在平行六面 ABCD-AB,CD中，已知 B=AD=2,AA=√2，∠BAD=60° 乙A4B=∠4D=45,则4C的长度为() A.3V2 B.25 C.V22 D.2V6 【答案】C 【详解】在平行六面体 BCD-4BCD中，C=+D+ AC =(AB+AD+AA)2=AB+AD+AA +2AB.AD+24B.A4 +2AD.A4 因为BAD=2=41a4P=N2=2 4BAD-4BAD Icos60=2x2x=2 B -4B41c0s45=2x2×5-2 2 D.44aD1a410s45=2xN2×5 =2 2 所以4G=4+4+2+2x2+2x2+2x2=22,即4C卜2匝 D 故选：C 【例141已知正四面体4BCD的棱长为2，空间中一点P满足 DP=xDA+yDB+zD ,其中3水2eR 33/55 学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 1 且x+y+z=2,则DF的最小值为(） √3 6 1 2W2 A.3 B.3 C.3 D. 3 【答案】B 【详解】设D0=2DF,则D0=2xD1+2yD5+2zDC 则 .x+y+Z= 2·.2x+2y+2z=1, 所以点Q在平面ABC内， 依题意当DQ⊥平面ABC时， D四最小， ABCD .0 ABC BC E BC 四面体 为正四面体，为底面 的中心，如图，连接40并延长交BC于点E,则F为BC的 中点 D P◆ 一X 3 32 2=25 3, 即D四的最小值为6。 2V6 6 又D0-2Dr,所网-2网，即DP的最小值为9. 故选：B. 34/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式7-l】两条异面直线a,b所成的角为60°，在直线a上取点A',E,在直线b上取点A,F,使AA⊥a, 且AA⊥b.己知AE=l,AF=1,EF=2,则线段AA的长为() A.v② B.3 C.1或v2 D.1或3 【答案】D 【详解】由题意如图所示： a -b 由匠=++花 则FE=(+a+AE), 即FE=所++E+2+2花+2.亚，0 因为AE=L,AF=1,EF=2,A4⊥a,AA⊥b, 所以A=0,2A正=0 又异面直线a,b所成的角为60°， FA,AE=60°FA,AE=120° 所以 或 当4E=60 时， ①化为：4=1+A+1+2×1×1 2 解得=1 FA,AE=120° 同理当 时， 35/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ①化为： 4=1+1+2 解得AH列=V5 故选：D 【变武7-2】在平行六面体1BCD-48CD中，∠B14=∠D14=60,∠B1D=90.若 AB=1,AD=2,AC=33 【答案】3 【详解】在平行六面体 ABCD-ABC D 中 AC=AB+AD+AA,AC=AC-AA AB+AD-AA 因为AB=l,AD=2,∠BM4=∠DAA=60,∠BAD=90 所以8D=0,孤Mos60=之AA1, AD.4=244I cos60=441 因为AC=V33,所以AB+AD+AA=33, 所以B+D++2(6D+B.AM+D.4)=33 整理可得4+341-28=0，解得网=4或网=-7（会） Ac'-aB+AD-44 =ABP+ADP+144 P+2(4B.AD-AB.A4-AD.A4) 416+20-44小9 所以4风=3 故答案为：3 36/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D B B 【变式7-3】已知边长为2的正方体ABCD-4BCD中，向量=B+)D+zA4,若x+y+2=1, 的最小值为() 2V6 6 A.3 B.3 C.25 D.26 【答案】A 【详解】如图： A D B C D E 取AB中点E,则 AP=xAE+yAD+zAA ,因为+y+z=1 所以点P在平面ADE内， C P的最小值就是三棱锥C-ADE的高， xIx2x2x2-4 因为'4-D=32 4E=DE=5,4D=2W5 所以a4DE的面积S=x25×不5-（人可-6， 设三棱锥C-4DE的高为A,则写×hx6=手，所以4=26 3 故选：A 37/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 释疑惑·重难拓展 题型1求空间向量数量积的最值或范围 方法技巧 选取合适的一组基底，把题目中所有向量统一用该组基底表示，借助向量运算法则化简目标表达式，最 后结合二次函数、基本不等式、三角函数等知识求解结果。 【例1】已知MN是棱长为4的正方体的内切球的一条直径，点P在正方体表面上运动，则PM·PN的最大 值为。 【答案】8 【详解】设正方体内切球的球心为G,正方体内的体对角线长为 V5 GM-GN-2.PM-PN-(PG+GM)(PG+GN)-PG+PG-(GM+GN)+GM.GN GM+GN=0 GM.GN=-4 因为N是正方体内切球的一条直径，所以 所以PW-PN=P-4.又点P在正方体表面上运动， 所以当P为正方体顶点时， PG 最大，且最大值为23， 所UP丽所=PG-4≤8，所以PW-PN最大值为8 以 N 故答案为：8. 【例2】如图，M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点，Q是MN上靠近点M的三等分点， 38/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 AO=āAB=bAC=c ①以a,6.为基表示00， ②若问=|=1，=，∠01B=∠01C=5,∠C4B=2,求0@的最小值 【答案】a)00=-2ā+6+c 31 66 eo0-号 【分析】 【详解】山)00=O+00i+=号0+++a则) 号00+a+c-可 +6+-可 _2a++6 1,1 3 6 61 36 9 9 18 4+是+2-2x1x1× 1 936369 2 x1x元x=2-1+13 236 91 + 36 =6-2+ 故当=2时，1O0取得最小值4，所以00l号 39/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-1】中国古代数学瑰宝《九章算术》中记载了一种称为“刍童”的几何体，该几何体是上下两个 ABCD-ABCD 底面平行，且均为矩形的六面体现有一“刍童” ,如图所示 AB=AA=4 A8=AD=2,AD,=1,ABAB,∠BAA+∠DAA=2 ,AC与B,D的交点为O:则4O.4C的最大值 为() D >C B A.82+5 B.18 C.83+5 D.21 【答案】C 【详解】解：设∠BA4=a,则∠DA4-2- 由题意得0=瓜+0=+兮码+兮0=瓜+丽+而，C-极+而 所以 04c-(4+4+40(+列 =瓜+队0+酒+}而+号丽0， 2π） -16cosa+8cos+4+1 =45sna+12oa+5=8w5sna+号}5 当∠BA4=a= 6时A0:AC取得最大值，且最大值为8√5+5 故选：C 40/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式1-2】将边长为22的正方形ABCD沿对角线BD折起，使点A到达A的位置，连接A'C,得到三棱 锥A-BCD,E是线段AC的中点，BF=3FD,当 4'BC∈ππ] L63]时，BE.CF的取值范围是（) A.[0,2] B.[0,2-v5] c.[2-25,0 D.[2-25,2-3 【答案】C 【详解】 ∠4BC-0e,] 9引，以，C.D为基底向。 BA-BC2.BD-4 BA.BD-BC.BD-8.B4'.BC-8cos0 可得BE=)BA+)BC,CF=BF-BC=2BD-BC, .r-}a+cD-c肝而cD-ic}c 则1 =3+3-4c0s0-4=2-4c0s0 限为9引则m0 可得BE-C7=2-4cos0∈[2-23,0] 所以B亚CF的取值范围是[2-2V5,0] 故选：C 【变式1s】如图.在四面体04BC中，o网-3，且O.0丽-0.0c-6而-号项G为40的中点，点 41/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 H是线段OA上的动点（含端点）. 0 B O10B,0C为基底表示0G, (1)以 DH.OH (2)求 的最小值 【s灯oc-0oi+0丽+oc 3 6 (2)-1 【分析】 【详解】山由题意可得D=C+D=C+号C西-0c-OA+号(O-0C) =-01+20B+0c」 c=o1+ic=-oi+号0-0i+-o1+号o5+0c 所以 =3o1+508+20c: (2)设0丽=010≤s1) 因为 m=0丽-0D=a0i-(o1+D)=0i-(oi-0i+号06+}0c =0a-o丽-0c, 所u丽o丽-(a-号o6-号c0i=0m-2a.ai-号i.o0 42/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 =922-62(0≤元≤1) 1 1 故当2=3时，D丽.O丽取得最小值，最小值为9×g6×3-1. 练好题提分培优 一、单选题 1.在四面体MBCD中， =aC=6D=6,点E在4B上，且4E=3BB,点F是CD中点，则F= () 4+6 1 3a+l6+1 202 B-425© n5+ 【答案】B 【详解】F=扇+孤+DF由4B=3B得所=-孤=a, 4 4 DF=1Dc=(4c-AD)=,6-d). 代入得F=-3a+c+6-=-3a+6+c 1×1 4 4 22· 2.已知，与是不共面的向量，则以下向量组中，一定不共面的是() A.e+6、8g+6+e 4 B.6、6+6、38+46+3g c.6、28-6g-2g+g D.日+日、6+6、6+k6(其中k为实数) 43/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【答案】B 【详解】对于A,设9+6=%+(%+6+6)=y阳+8+(x+y)g y=1y=1 → 由，8，与是不共面的向量，则x+y=0x=-1,即方程组有解， 所以向量9+6.弓、日+6+6共面，放A错误： 对于B,设号=x8+g)+y3©+46+3e)=3g+(x+4y)B+(x+3)g. 3y=1 x+4y=0 由一一与一是不共面的向量，则 e,e,es x+3y=0’方程组无解， 所以向量气、G+G、3运+4e+3记不共面，枚B正确： 对于C,设9=x2g-6)+(-2g+6)=g+(2x-2y)6+(←x+y)店 y=1 y=1 2x-2y=0→ 由一一与。是不共面的向量，则 x=1,即方程组有解， e,e2 e3 -x+y=0 所以向量9、2g-6、5-2g+8共面，故c错误： 对于D,设9+8=xg+6)+(g+k©)=g+xe+(x+)店 y=1 x=1 由一一与一是不共面的向量，则 e,e,e3 x+y=0' y=1 当k=-1时，方程组有解为x=1,此时向量+8、马+e、g+ke共面， 当k≠1时，方程组无解，此时向量9+区.G+日、(+c不共面。 所以向量9+6、6+8、G+ke不一定共面，故D错误 44/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 3.已知M,1,C为空间中四点，任意三点不共线，且O=01+OB-0C(x>0y>0）若M,4B,C 4,1 四点共面，则xy的最小值为() 9 A.4 B.5 c.2 D.9 【答案】C 【详解】因为以4BC四点共面，则有OM=01+0丽-0C(x>0,y>0) 由共面定理可得，+y+()-,即+)=2。 m是-兰》引号 4y_x 4.2 当且仅当xy,即x=2y,即x=3y x 3时，等号成立 故选：C. 4.在平行六面体 BCD-4BCD中，AC与BD的交点为M.设D4=aDG=6.,DD=C,测尉下列向量 BM 中，与 “相等的向量是() 1 1 C. 1 D. 1 2 【答案】C 【详解】如图所示： 45/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A D B aM=瓜B+8-0D-丽=0D-0+c)-DD-D4-G=-5+e 故选：C 5.如图，在三棱 ABC-ABG中， ∠A4B=AAC=60°，∠B1C=90,MB=AC=241=2,点D为 棱8C的中点，点E为棱极的中点，点F在棱4C上.者4D1EF ,则线段4F的长度为() C B1 C D B B.1 c. D.2 【答案】B 【详解】由题意，因为点D为棱BC的中点， 所似4D=44+B+D=B-+(4c-)=B-M+号4C. 又因为点E为棱AB的中点，点F在棱AC上， 设F=c 所似丽=F-正=AC-}B】 因为∠41B=∠A4C=60°，∠B4C=90°AB=4C=24A=2 所花-A花=0，瓜丽=1x2×1,44C=12x1, 46/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 国为D1EF 所0F-}-4+号cac--0 所以C--C+}西+4C-c孤=0， 所以-子4-+分行x4=0,解初- 22 因为AC=2,所以AF=1, 6.在棱长为2的正方体1BCD-4BCD中，P为正方体表面上的动点，若P-CP+1=0,则点P的运动 轨迹的长度为() A.2π B.4π C.6π D.12元 【答案】D 【详解】取4C的中点为O, AC 则40=5，Ap.CP-(o+A0(op-A0)=o-3, 因为P.CP+1=0,所以o=5 故点P在以0为球心， 为半径的球面上， 所以点P的轨迹在正方体的每个面上均是半径为1的圆， 则6个圆的总周长为6×2π=12π， D B 47/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、多选题 7.(多选)如图，在三棱柱 ABC-ABG中，P为空间中一点，且满足 P=ABC+uBB,元，u∈[0，] 则下列说法正确的是() A C B BB上 A.当入=0时，点P在 B.当2=“时，点P在线 BC C当=l时，点P在枝8 D.当2+u=1 时，点P在线段 BC 上 【答案】ACD 【详解1对于A当=0时，即=服，则所D丽，则店P在传8上，放A正商： 对于B,当九=时， 即=(8c+BB）,入∈0,1，连接BC,即BP=BC, BP∥BC 即 ,所以点P在线段BC上，故B错误： A B 对于C,当“=l时，即=ABC+B那，入0,1.所u2BC=歌-弧， 所uBP=ABC=ABG,即P∥BG,所以点P在棱BG上，放C正确： 48/55 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 对于D,当2+u=l时， BP=BC+-A)BB,入∈I0,1, 由三点共线结论知， RP,C三点共线，所以点P在线段BC上，放D正确 故选：ACD 8,已知空间向量口，6，在，D,若存在实数组，，2)和，，2），满足=a+5+2C p=xa+yb+zc ，则下列说法正确的是() A,若，则可，6，共面 B,若a,6,共面则 C.若9,6，不共面，则=6，水=片，名=3 D.若，6，共面，则+片+名=无+⅓+， 【答案】AC 【详解】对于A:因为D=a+yb+zc.p=5a+⅓+，c 所以6-名)a+(-⅓)b+(6-)E=0 因为5，-( 所以向量，6，共面，故A正确 对于B、D:若a=0,6=.0),=(0,0l,则a,5,共面， 令万=20,2），则D=xa+25+25,p=a+25+2,无，可为任意实数， 此时抽D=a+b+zc.万=ā+y6+2,c 得不到≠6，也得不到+%+名=方+为+3=引 ,故B、D错误； 49/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 对于C:若可，6，c不共面，由D=xa+b+C,D=xa+5+2e. 则=为，片=”，名=。故C正确： 故选：AC 三、填空题 9.在空间四边形01BC中，已知空间内一点p满足O丽-号Oi+号O8+oc(以eR),若pA,丽：PC共 面，则2= 7 【答案】15 【详解1因为0P-号O1+号O丽+20c, 若PA,P历P C共面，则P,A,B,C四点共面， 7 则3+5+元=1，解得元= 11 15 7 故答案为：15 ABCD-ABCD ,底面是正方形， AD=AB=2,AA=1 10.已知平行六面体 ∠AAB=∠DAA=60°，AC=3NC,DB=2MB ,则MN的长度为一 V29 【答案】6 【详解】设征=a,D=元，4=c 则孤=瓜+4=4+号(4+40=c+子a+=a+五+c, 3 =+0=++0+0)-0++, 2 50/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 Nm=aM-4=6a+6+8-2a+2五+0=-a-6-1c -C 22 3 662 所w--可-++6++ 6 11 ×4+ 1V29 x4+x1+-x2xlx-+-x2xlx-= 36 36 4 6 26 26 所以nws②9 6. √29 故答案为： 6 D C B 11.已知M,A,B,C为空间中四点，任意三点不共线，若M,A,B,C四点共面，O不在该平面上，且 41 OM=x0A+y0B-0C(x>0,y>0)则x+y的最小值为一 【答案】2 【详解】根据共面向量定理的推论，因为M,A,B,C四点共面，O不在该平面上，满足 OM=xOA+yOB-OC 所以x+y-1=1,即x+y=2(x>0y>0) x*列4引 所以xy2xy八 4y+x≥2， y.x=4 4y x 4 2 因为+y22xy4当且仅当X,即=3y=3时等号成立， 51/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 代入阁6+4. 9 41 9 故，+少的最小值为2 【点睛】本题考查共面向量定理的推论和基本不等式求最值，核心是利用共面向量的系数和性质得到定值 约束，再用"1的代换"技巧将目标式转化为可应用基本不等式的形式 四、解答题 12.如图所示，在正方体 BcD-4BGD中，取4Ba,而=6,4=C D B D (用、6、表示月 BD @若M.N分别为4D、CC的中点，用、6、表示 MN 【答案】()弧-6+-a MN-a+1B+12 221 【分析】 【详解】(L)BD=AD-AB=i+c-a 2四=+c+a-5+a+5=a++ 2c 13,如图，在三棱锥0-ABC中，OA=9:OB=OC=6,∠A0B=∠A0C=∠B0C 3,M是BC的中点， N为线段OM上靠近O的三等分点，P是AN的中点 52/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 B 1)用向量0.050 表示向量0P ②求ow-o丽， 3)求1 【答案10)0m-o1+208+b00, 12 12 (2)18: V102 3)2· 【分析】 【详解】(1)因为p是Aw的中点，所以Op=)OA+,ON 又因为N为线段OM上靠近O的三等分点，所以ON=号ON, 又因为M是BC的中点，所以O丽=0B+0C, 则om-oi+号on-oi+gow-号oi+b0i+boc. (2)因为0A=9:0B=OC=6:∠A0B=∠A0C=∠B0C= 3 所以01.06=27,01-0c=27,08.0元-18 owo0m-08o+c)小+普++9 53/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 所以OM.0P=18 o网-oi+丽+ocoi+bo+oc 12 72 2 AB=AD=AA=1 14.如图，在平行六面体 BCD-4BCD中，M为CD中点， ∠B1D=乙AB=乙44D=60°，设B=a,AD=万，AM=元，以a6,为空间的个基底. D M B A B )用基底位6，表示向量AM,并求出线段AM的长度； AP (②)直线AM与平面ABD交于点p求AM的值 【答案】(1) 4=+i+e,w= 2 2)写 【分析】 AB=a,AD=b,AA=c 【详解】(1)由题意， 因为M为GD 的中点， 所以4M=0+号DG=6+a 所以=瓜+4=+万+=+6元 2 54/55 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 因为6-1，且a6=6-c=e-a=lx1xcos60- 2， m-+5-+6+eta6+a+25 1+1+'+1 4 2*2*1s12 、十 -4 所以=反 7 2,即线段AM的长度为2 (2)设 =孤=+5+小++证 因为点°在平面 ABD 上， 所以P关于基底{a6, 的系数之和为1， 子+=1，解得及-号 即 AP 2 所以AM5 55/55