第03讲 空间向量基本定理（思维导图+2知识点+5大题型+综合通关）（暑假预习讲义）新高二数学人教A版

第03讲 空间向量基本定理 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 空间向量基底的概念及辨析 题型02 用基底表示向量 题型03 空间向量基本定理中的参数问题 题型04 空间向量基本定理的应用（平行、垂直、数量积、模长、夹角问题） 题型05 空间向量的正交分解 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.空间向量基本定理 2.空间向量的正交分解 1. 理解空间向量基本定理的意义,培养数学抽象的核心素养. 2. 理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,培养数学抽象的核心素养. 3. 会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量,强化直观想象的核心素养. 4. 会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 学习重点：用基底表示其他的向量 学习难点：利用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角、模长等问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 即时即练 1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【方法总结】 判断基底的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. (2)方法: ①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设a=λb+μc(λ,μ∈R),运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 知识点02 空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。 2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 即时即练 1．（多选题）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，则下列向量可以做基底的是（    ） A． B． C． D． 题型01 空间向量基底的概念及辨析 1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 3．（24-25高二上·湖北·阶段检测）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 5．（多选题）（25-26高二下·江苏苏州·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 判断基底的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. (2)方法: ①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设a=λb+μc(λ,μ∈R),运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 题型02 用基底表示向量 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·四川成都·期末）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（   ） A． B． C． D． 【技巧归纳】 用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 题型03 空间向量基本定理中的参数问题 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知是空间的一组基底，其中，，，若A，B，C，D四点共面，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 2．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 4．在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且是棱的中点，设平面，则的值为__________.    6．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 题型04 空间向量基本定理的应用（平行、垂直、数量积、模长、夹角问题） 1．（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设．    (1)表示，并求EF的长； (2)求． 2．（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 4．（25-26高二上·陕西·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，．      (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【技巧归纳】 (1)合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. (2)当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定. (3)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明. (4)求两异面直线的夹角,可转化为求两直线的方向向量的夹角. (5)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=,求<a,b>的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出<a,b>的余弦值,进而求<a,b>的大小,在求a·b时注意结合空间图形,把a,b用基向量表示出来,进而化简得出a·b的值. (6)异面直线AB,CD的夹角α∈(0,],而<,>∈[0,π],故α=<,>或α=π-<,>. (7)求两点间的距离或线段长度的方法 ①将此线段用向量表示. ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量. ③利用|a|=,通过计算求出|a|,即得所求距离或线段长度. 题型05 空间向量的正交分解 1．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 3．（多选题）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，则下列向量可以做基底的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 5．（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 1．（24-25高二上·重庆·阶段检测）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 2．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正四面体OABC中，为的重心，为AB的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 5．（25-26高二上·重庆·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（   ）    A． B．3 C．6 D．7 6．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 7．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 8．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）在单位正交基底下，已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·河南濮阳·期中）如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 10．（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 11．（25-26高二上·云南怒江·期中）在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 12．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 13．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·期末）在三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 14．（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 15．在三棱锥中，为的中点，则等于______________． 16．（2025高二上·江苏·专题练习）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，则______；    17．（25-26高二上·广东茂名·期末）在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 18．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 19．如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 20．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $ 第03讲 空间向量基本定理 内容导航 01 预习航标→ 析目标·明方向：预习导航精准定向 02 教材全解→ 建框架·精讲解：知识体系系统梳理 03 题型突破→ 析考点·破方法：典型题型深度拆解 题型01 空间向量基底的概念及辨析 题型02 用基底表示向量 题型03 空间向量基本定理中的参数问题 题型04 空间向量基本定理的应用（平行、垂直、数量积、模长、夹角问题） 题型05 空间向量的正交分解 04 过关检测→ 练考点·强落实：过关检测全面巩固 关键词 学习目标导航 1.空间向量基本定理 2.空间向量的正交分解 1. 理解空间向量基本定理的意义,培养数学抽象的核心素养. 2. 理解空间任一向量可用空间不共面的三个已知向量唯一线性表示,培养数学抽象的核心素养. 3. 会在简单问题中选用空间三个不共面向量作基底表示其他的向量,强化直观想象的核心素养. 4. 会用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角,提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 学习重点：用基底表示其他的向量 学习难点：利用空间向量基本定理证明平行、垂直问题和求夹角、模长等问题 知｜识｜框｜架 知｜识｜精｜讲 知识点01 空间向量基本定理 1、空间向量基本定理 如果向量三个向量不共面，那么对空间任意向量存在有序实数组使得 2、基底与基向量 如果向量三个向量不共面，那么所有空间向量组成集合就是这个集合可看作是由向量生成的，我们把叫做空间的一个基底都叫做基向量． 对基底正确理解，有以下三个方面： （1）空间中任意三个不共面的向量都可以作为空间的一个基底； （2）因为可视为与任意一个非零向量共线，与任意二个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是； （3）一个基底是由三个不共面的向量构成的，它是一个向量组；而一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是不同的概念． 即时即练 1．（25-26高二下·江苏徐州·期中）（多选）若为空间的一个基底，则下列各组向量一定能构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BC 【详解】选项A，因为，所以共面，所以A错误； 选项B，因为与互为相反向量，又为空间的一个基底， 所以能构成空间的一个基底，故B正确； 选项C，若共面， 则存在实数使得，即， 因为不共面，所以，解得，进而则可得， 得到共面，与已知矛盾，所以C正确； 选项D，因为，所以共面，所以D错误. 2．（25-26高二上·山东济宁·期末）在平行六面体中，与的交点为．设，则下列向量中，与相等的向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由空间向量的线性运算可得结果. 【详解】如图所示： . 故选：C. 3．（25-26高二上·湖北孝感·阶段检测）如图，在平行六面体中，，且，. (1)分别求，的长； (2)证明：. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】（1）由空间向量线性运算，可得，，利用数量积运算性质即可得出． （2）由和，计算出，利用向量数量积运算性质计算即可证明. 【详解】（1）因为，且，， 故， 又，故 ， 由于， 所以 ， （2） ， 所以． 【方法总结】 判断基底的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. (2)方法: ①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设a=λb+μc(λ,μ∈R),运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 知识点02 空间向量的正交分解 1、单位正交基底：如果空间一个基底的三个向量两两互相垂直，那么这个基底叫作正交基底，特别地，当一个正交基底的三个基向量都是单位向量时，称这个基底为单位正交基底，通常用表示。 2、正交分解：由空间向量基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，使.像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解。 即时即练 1．（多选题）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，则下列向量可以做基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基底的概念，以及空间向量的共面定理，可得答案. 【详解】因为，所以共面，故A不符合题意； 因为方程，化简可得， 由题意易知方程无解，所以不共面，故B符合题意； 因为，所以共面，故C不符合题意； 因为方程，化简可得， 由题意可得，易知该方程组无解，所以不共面，故D符合题意. 故选：BD. 题型01 空间向量基底的概念及辨析 1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）在正方体中，下列向量能与向量构成空间的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用空间向量基底的意义，结合正方体的构造特征判断即得. 【详解】在正方体中，向量，， 因此向量，，分别与向量共面，ABC不能； 而平面，即向量不共面，D能. 故选：D 2．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段检测）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【分析】根据基底和空间向量共面的条件等知识确定正确答案. 【详解】A选项，由于，所以共线，则，，共面， 不能构成基底，所以A选项错误. B选项，，，两两垂直，则，，不共面， 能构成基底，所以B选项正确. CD选项，、，都得到，，共面， 不能构成基底，所以CD选项错误. 故选：B 3．（24-25高二上·湖北·阶段检测）在四棱台中，一定能作为空间向量的一个基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用不共面的三个向量能作为一组基底一一判断. 【详解】 对A，因为,所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，A错误； 对B，因为在正四棱台中，，所以中三个向量共面， 不能作为空间向量的基底，B错误； 对C，，且不共面， 所以中三个向量不共面，能作为一组基底，C正确； 对D，因为三个向量均在平面内， 所以不能作为作为空间向量的基底，D错误； 故选:C. 4．（25-26高二上·浙江·期末）已知空间向量为一组基底，则以下空间向量不能构成基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，利用空间向量的共面定理，结合选项，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以A不符合题意； 对于B，设存在实数，使得，可得， 所以，解得，所以共面，不能作为空间基底，所以B符合题意； 对于C，向量，不存在实数使得， 所以不共面，可以作为空间基底，所以C不符合题意； 对于D，设存在实数，使得，可得， 所以，方程组无解，所以不共面，可以作为空间基底，所以D不符合题意. 故选：B. 5．（多选题）（25-26高二下·江苏苏州·期中）若构成空间的一个基底，则下列向量共面的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由空间向量共面的判断定理判断即可. 【详解】对于A：，可以由和线性表示，所以共面. 对于B：假设，可得，此方程组无解， 所以不能用和线性表示，故不共面. 对于C：，可以由和线性表示，所以共面. 对于D：假设， 可得，此方程组无解，所以不能用和线性表示，故不共面. 【技巧归纳】 判断基底的基本思路及方法 (1)基本思路:判断三个空间向量是否共面,若共面,则不能构成基底;若不共面,则能构成基底. (2)方法: ①如果向量中存在零向量,则不能作为基底;如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示,则不能构成基底. ②假设a=λb+μc(λ,μ∈R),运用空间向量基本定理,建立λ,μ的方程组,若有解,则共面,不能作为基底;若无解,则不共面,能作为基底. 题型02 用基底表示向量 1．（25-26高二上·福建莆田·期末）在正方体中，若，，，E为线段上一点，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由空间向量基本定理，结合向量加法和数乘的几何运算求解. 【详解】， 故选：B. 2．（25-26高二上·福建厦门·期中）如图所示，在四面体中，点E是CD的中点，记，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】连接，如图所示， ∵E是CD的中点，，， ∴， 在中，， 又，∴． 3．（25-26高二下·湖北·阶段检测）如图，三棱锥中，为的重心，是的中点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为为的重心，所以， 又是的中点，所以. 所以. 4．（25-26高二下·广西南宁·期中）在三棱柱中，是的中点，，则用向量，，表示向量应为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在三棱柱中，由，得，由点是的中点，得， 所以 . 5．（25-26高二上·四川成都·期末）如图，是四面体的棱的中点，点在线段上，点在线段上，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】运用共线向量的线性表示法，结合线段的比例关系确定点的位置向量，然后利用向量加法的线性运算，通过逐步表示从已知点出发的路径向量，最终将所求向量用已知基底表示. 【详解】因为是中点，在线段上，满足，在线段上，满足， 所以，， 于是， 已知，所以，于是：， 所以. 故选：A 【技巧归纳】 用基底表示向量的步骤 (1)定基底:根据已知条件,确定三个不共面的向量构成空间的一个基底. (2)找目标:用确定的基底(或已知基底)表示目标向量,需要根据三角形法则及平行四边形法则,结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简,最后求出结果. (3)下结论:利用空间向量的一个基底{a,b,c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底,结果中只能含有a,b,c,不能含有其他形式的向量. 题型03 空间向量基本定理中的参数问题 1．（25-26高二上·北京大兴·期中）已知是空间的一组基底，其中，，，若A，B，C，D四点共面，则的值为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【分析】根据四点共面得到，然后列出等式求得参数的值. 【详解】因A，B，C，D共面，故， 即， 解得，，即，. 故选：C. 2．（25-26高二下·江苏南京·期末）如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，点分别为线段上的点，若，且，则（    ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算及空间向量基本定理即可求解. 【详解】由题意可得，，设，， 且， ， 因为， 所以 所以. 3．（25-26高二上·天津·阶段检测）如图，在正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】假设，由，综合题目条件得，利用共面向量基本定理求解. 【详解】假设， 因为， 因为，，所以，， 所以，又， 所以, 因为、、、四点共面，所以，解得， 所以. 故选：B. 4．在平行六面体中，分别为棱，的中点，点在平面上，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将用平行六面体的棱向量表示，可由线性表示，建立向量等式，根据向量相等时对应系数相等，列方程求解. 【详解】设基底，以为原点，令，则，因此，D点，， 是中点，，因此， 是中点，，因此， 因为在平面上，所以可表示为平面内的向量的线性组合，， 即：， 代入，整理得：， ，解得，代入得，即. 5．（25-26高二上·山东聊城·期中）如图，在四棱锥中，底面，底面为梯形，，且是棱的中点，设平面，则的值为__________.    【答案】 【分析】利用空间向量基本定理，以为一组基底，分别表示和向量，再根据向量与共线的条件求出参数即可. 【详解】以为一组基底，所以， ，由已知点在平面内，即与共面， 可设，又因为为的中点，所以， 所以，由与共线，设， 所以，即，解得， 所以， 故答案为：. 6．（25-26高二上·河南信阳·期末）如图，在三棱锥中，点G为的重心，点M在上，且，过点M任意作一个平面分别交线段，，于点D，E，F，若，，，则的值为__________． 【答案】4 【分析】以为空间一组基底，结合四点共面，用两种方法表示出，由空间向量的基本定理求得的值. 【详解】连接并延长，交于点，以为空间一组基底， 由于是的重心，点M在上，且， 所以 ①， 连接，因为四点共面，所以存在实数，使得， 即，②， 由①②以及空间向量的基本定理可知：，，所以. 故答案为：4. 题型04 空间向量基本定理的应用（平行、垂直、数量积、模长、夹角问题） 1．（24-25高二上·吉林长春·阶段检测）如图，正四面体ABCD（所有棱长均相等）的棱长为1，E，F，G，H分别是正四面体ABCD中各棱的中点，设．    (1)表示，并求EF的长； (2)求． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）根据题意结合空间向量的线线运算求，再根据向量的数量积运算求即可； （2）根据题意结合空间向量的线线运算求，再根据向量的数量积运算可得. 【详解】（1）因为E，F分别为棱BC，AD的中点，且，，， 可得 ， 因为正四面体ABCD的棱长为1，则，且， 可得 ， 即，所以EF的长为. （2）由题意得， 可得 ， 所以. 2．（25-26高二下·甘肃金昌·阶段检测）在平行六面体中，，，设，，． (1)若点，满足，，试用，，表示； (2)求与夹角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）结合已知条件，运用向量加减法运算规则计算求解； （2）运用向量夹角余弦公式计算求解． 【详解】（1），， ，， 又，， ． （2） ， ， ， ， ． 3．（24-25高二上·全国·课后作业）如图，在空间中平移到，连接对应顶点，设分别是的中点，是上一点． (1)若为的中点，用向量法证明：； (2)若，问是否存在点使得，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)不存在，理由见解析 【分析】（1）以为基底表示出，根据向量相等来证得. （2）设，利用基底表示出，通过计算得到，从而判断出不存在符合题意的点. 【详解】（1）当为的中点时， ， ， 所以． （2）设，则 ， 由于，， 所以 ， 即，故不存在点使得． 4．（25-26高二上·陕西·期末）如图，在平行六面体中，，．设，，．      (1)用基底表示向量，，； (2)证明：平面． 【答案】(1)，，． (2)证明见解析 【分析】（1）运用空间向量基本定理，用基底分别表示三个向量，，； （2）用基底表示的三个向量，，，分别计算、，证明了两组线线垂直、，证明结论即可. 【详解】（1）已知，，， 得：，，． （2）设， 又， 则，且， 则， 得， 即， 同理可得， 因为，，平面，平面，且， 所以平面． 【技巧归纳】 (1)合理选择基底,使其能方便表示有关向量,并能进行运算,特别是数量积运算. (2)当直接证明线线垂直但条件不易利用时,常常考虑证明两线段所对应的向量的数量积等于零.利用向量证明垂直的一般方法是把线段转化为向量,并用已知向量表示未知向量,然后通过向量的运算以及数量积和垂直条件来完成位置关系的判定. (3)证明直线与直线平行一般转化为向量共线问题,利用向量共线的充要条件证明. (4)求两异面直线的夹角,可转化为求两直线的方向向量的夹角. (5)由两个向量的数量积定义得cos<a,b>=,求<a,b>的大小,转化为求两个向量的数量积及两个向量的模,求出<a,b>的余弦值,进而求<a,b>的大小,在求a·b时注意结合空间图形,把a,b用基向量表示出来,进而化简得出a·b的值. (6)异面直线AB,CD的夹角α∈(0,],而<,>∈[0,π],故α=<,>或α=π-<,>. (7)求两点间的距离或线段长度的方法 ①将此线段用向量表示. ②用其他已知夹角和模的向量表示该向量. ③利用|a|=,通过计算求出|a|,即得所求距离或线段长度. 题型05 空间向量的正交分解 1．已知平面，，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先得到两两垂直，再根据其长度得到空间的一个单位正交基底. 【详解】因为平面，平面， 所以，． 因为,即两两垂直， 又，，， 所以空间的一个单位正交基底可以为． 故选：B. 2．（24-25高二上·河南许昌·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，，则空间向量在方向上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据空间向量的投影向量公式计算即可. 【详解】因为是空间的一个单位正交基底， 所以，， 则， ， 所以空间向量在方向上的投影向量为， 故选：D 3．（多选题）（25-26高二上·河北邯郸·阶段检测）已知是空间的一个单位正交基底，则下列向量可以做基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【分析】根据基底的概念，以及空间向量的共面定理，可得答案. 【详解】因为，所以共面，故A不符合题意； 因为方程，化简可得， 由题意易知方程无解，所以不共面，故B符合题意； 因为，所以共面，故C不符合题意； 因为方程，化简可得， 由题意可得，易知该方程组无解，所以不共面，故D符合题意. 故选：BD. 4．（25-26高二上·江苏镇江·阶段检测）在空间直角坐标系中，是一个单位的正交基底，且向量，，则与夹角的余弦值为______． 【答案】 【分析】求出，，，利用空间向量夹角余弦公式求出答案. 【详解】由题意得， 所以， ， ， 所以. 故答案为： 5．（25-26高二上·广东广州·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，用基底表示向量，则________. 【答案】 【分析】设，列得相应方程组，求解可得. 【详解】设，则. 所以，解得. 所以. 故答案为：. 1．（24-25高二上·重庆·阶段检测）下列可使，，构成空间的一个基底的条件是（    ） A． B．，，两两垂直 C． D． 【答案】B 【分析】判断三个向量是否共面即可得． 【详解】选项AD中，三个向量一定共面，选项C中，可能共面，只有选项B中，一定不共面， 故选：B． 2．已知平面ABC，，，，则空间的一个单位正交基底可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正交基地的定义可知，三个向量两两互相垂直，且模长为1. 【详解】因为平面ABC，AB、AC都在面ABC内， 所以，. 因为，，，所以，又SA=1， 所以空间的一个单位正交基底可以为. 故选：A 3．（25-26高二上·福建福州·期中）已知是不共面的三个向量，则下列能构成一组基底的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不共面的三个向量能构成一组基底判断. 【详解】对于A，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于B，假设共面，则存在实数使得， 整理得，这与不共面矛盾，故不共面，可以构成一组基底； 对于C，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 对于D，，故三个向量共面，所以三个向量不能构成一组基底； 故选：B 4．（25-26高二上·福建泉州·期末）在正四面体OABC中，为的重心，为AB的中点，记，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长交于点，由的重心得为中点，及数量关系，由中位线得，然后由向量的加减法求得结果. 【详解】延长交于点， 为的重心，∴为中点，且， ∵为AB的中点，∴， ∴， . 故选：A. 5．（25-26高二上·重庆·期中）如图，已知是边长为1的小正方形网格上不共线的三个格点，点为平面外一点，且，，若， 则（   ）    A． B．3 C．6 D．7 【答案】D 【分析】以为基底向量，可得，结合空间向量的数量积运算求解即可. 【详解】由图可知：，且，则 由题意可得：， 因为， 则 ， 所以. 故选：D. 6．（25-26高二上·山西晋城·期末）如图，平行六面体的底面是菱形，且，，是和的交点，则（   ） A．8 B．6 C．0 D． 【答案】A 【分析】令，，，由题意得，，由空间向量的运算法则可得，，结合平面向量数量积的运算，即可求得的值. 【详解】令，，， 由题意可知，， 则， ， ， 即， 则， 整理得. 故选：A. 7．如图，在平行六面体中，设，，若、、组成空间向量的一个基底，则可以是（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行六面体的结构特征，结合空间共面向量定理爱空间向量基本定理逐项判断. 【详解】由，，、、组成空间向量的一个基，得向量、、不共面， 对于A，在平行六面体中，，则与、共面，A不是； 对于C，，与、共面，C不是； 对于D，，与、共面，D不是； 对于B，由，得，不共面， 假设与、共面，则存在，使得， 而，则， 整理得，从而，此方程组无解， 假设不成立，因此与、不共面，可以是. 故选：B 8．（24-25高二上·福建厦门·阶段检测）在单位正交基底下，已知向量，，则向量在向量上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】首先表示出，再根据投影向量的定义计算可得. 【详解】因为，， 所以， 又为一组单位正交基底， 所以， 所以向量在向量上的投影向量为. 故选：A 9．（25-26高二上·河南濮阳·期中）如图，在三棱锥中，，，，，二面角的大小为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用空间向量基本运算，用表示出来，平方即得答案. 【详解】， 平方得：， 因为，，所以， 所以， 故. 故选：C 10．（25-26高二上·辽宁大连·期末）如图，M是三棱锥的底面的重心.若，则的值为（   ）    A．1 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】利用空间向量的线性运算结合给定条件求解参数，再求值即可. 【详解】是三棱锥的底面的重心， ，由向量加法法则得， ， ， ， 而， ， ，，，则. 故选：A 11．（25-26高二上·云南怒江·期中）在四棱柱中，，分别在棱，上，且，，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据空间向量的线性运算结合空间四点共面的充要条件列方程求解的值即可. 【详解】因为，所以， 所以， 因为，所以， 又在四棱柱中，有， 且，所以，即， 所以，，，四点共面，所以，解得. 故选：C. 12．（25-26高二下·江苏南京·期中）如图，在三棱柱中，，，，点为棱的中点，点为棱的中点，点在棱上．若，则线段的长度为（     ） A． B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】设，利用空间向量加减、数乘的几何意义，结合三棱柱中各线段的位置关系用表示出，由可知，即可求出，进而得出线段的长度. 【详解】由题意，因为点为棱的中点， 所以， 又因为点为棱的中点，点在棱上， 设， 所以， 因为，，， 所以，，， 因为， 所以， 所以， 所以，解得， 因为，所以. 13．（多选题）（25-26高二上·福建厦门·期末）在三棱柱中，，分别是，上的点，且，.设，，，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】ABD 【分析】根据空间向量的线性运算即可求解A；利用数量积的运算律及模的运算求解判断B；利用数量积是否为0判断向量是否垂直判断C；根据空间向量夹角余弦公式求解判断D. 【详解】对于A，根据题意可得，又，， 所以可得， 即，正确； 对于B，由（1）知， 所以， 所以，B正确； 对于C，易知， 此时， 所以与不垂直，即C错误； 对于D，由选项C可得，且，即； ， 即； 所以可得，即D正确. 故选：ABD 14．（25-26高二上·重庆·期中）是空间的一个单位正交基底，向量，是空间的另一个基底，则用基底表示向量______. 【答案】 【分析】设，然后解方程组即可. 【详解】设， 即有， 因为是空间的一个单位正交基底， 所以有， 所以. 故答案为： 15．在三棱锥中，为的中点，则等于______________． 【答案】1 【分析】以为基底向量，由题意可得，结合空间向量数量积的运算律代入求解即可. 【详解】由题意可知：，， 因为，， 所以. 故答案为：1. 16．（2025高二上·江苏·专题练习）如图，在四棱锥中，，，点是棱的中点、与平面交于点，则______；    【答案】 【分析】设，以，，为基底表示，由，，，共面，求出可得的值. 【详解】， 设， 由，，，共面，有，解得，故. 故答案为：. 17．（25-26高二上·广东茂名·期末）在四面体中，Q为的重心，E，F，G分别为侧棱，，上的点，若，，，，则_____. 【答案】 【分析】设中点为R，，连接，则有，且，从而得，解得，可得，由重心性质可得，设，且，从而可得，最后由D，E，F，G四点共面，即可求得答案. 【详解】如图所示：设中点为R，，连接， 由P，R，C，Q，S，G共面， 可知与平面的交点即与的交点D. 因为，，， 设， 则， 设， 则， 故， 故， 解得，代入， 可得，即. 由重心性质可得， 设， 又， 则， 故，解得， 故， 则， 由D，E，F，G四点共面， 可知：（其中）， 所以， 则. 故答案为：. 18．四棱柱的六个面都是平行四边形，点在对角线上，且，点在对角线上，且． (1)设向量，，，用、、表示向量、； (2)求证：、、 三点共线． 【答案】(1)， (2)证明见解析 【分析】（1）借助空间向量的线性运算计算即可得； （2）借助向量共线定理证明即可得． 【详解】（1）因为，则， 所以， 又因为，则， 所以 ； （2）因为 ， ， 所以， 所以与共线， 因为这两个向量有公共点， 所以、、三点共线． 19．如图所示，在三棱柱中，，，，，，，是的中点． (1)用，，表示向量； (2)在线段上是否存在点，使？若存在，求出的位置，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在， 【分析】（1）利用向量加法的三角形法则，将分解为即可； （2）利用向量垂直的充要条件，建立关于 的方程求解即可. 【详解】（1）． （2）假设存在点，使， 设， 显然， 因为，所以， 即， 所以 ． 设， 又，， 所以， 即， 解得， 所以当时，． 20．如图，在底面为菱形的平行六面体中，分别在棱上，且，且.    (1)求证：共面； (2)当为何值时，； (3)若，且，求的长. 【答案】(1)证明见解析； (2)； (3). 【分析】（1）利用向量证明，然后可证； （2）以为基底表示出，然后根据求解可得； （3）利用基底表示出，然后平方转化为数量积求解即可. 【详解】（1）在平行六面体中，连接， 因为， 所以， ， 所以，即且， 所以四边形为平行四边形，即共面. （2）当时，，理由如下， 设，且与、与、与的夹角均为， 因为底面为菱形，所以， ， ，                     若，则， 即， 即， 解得或舍去， 所以时，    （3）， ， ， 所以 ，所以的长为 2 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $