第45讲 数列的综合应用 分类练习-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 聚焦数列综合应用，通过5大考点18类考法系统覆盖实际应用、特殊模型、跨学科交汇及新定义问题，以典型例题构建从基础到综合的知识逻辑链，培养数学建模与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数列在实际问题与数学文化中的应用|2考法|数学文化解读、实际情境建模|从具体情境抽象数列模型，体现数学应用意识| |数列的特殊模型与性质探究|4考法|公共项、插项、递推分析、存在性问题|深化数列性质理解，发展逻辑推理能力| |数列与函数、不等式的综合|6考法|函数性质应用、导数证明、放缩法等|融合函数思想解决数列问题，强化数学运算素养| |数列与几何、概率的综合|3考法|解析几何交汇、平面几何应用、概率统计结合|跨学科综合应用，培养数学建模能力| |数列中的新定义问题|4考法|新定义数列、集合数组综合、不等式证明|创新情境下知识迁移，提升创新意识|

第45讲 数列的综合应用 · 分类练习（解析卷） 考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用 2 考法1：求解数学文化背景下的数列问题 2 考法2：构建实际生活情境中的数列模型 3 考点二：数列的特殊模型与性质探究 4 考法3：求解数列的公共项问题 4 考法4：求解数列的插项问题 4 考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列 5 考法6：探究数列中的整数与存在性问题 6 考点三：数列与函数、不等式的综合 7 考法7：利用函数性质探究数列通项与最值 7 考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式 9 考法9：结合取整函数求解数列问题 11 考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式 12 考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题 15 考点四：数列与几何、概率的综合 16 考法12：求解数列与解析几何的交汇问题 16 考法13：求解数列与平面几何的交汇问题 18 考法14：求解数列与概率统计的交汇问题 21 考点五：数列中的新定义问题 25 考法15：探究新定义数列的通项与求和 25 考法16：探究新定义数列的性质与证明 29 考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合 31 考法18：证明新定义背景下的不等式 35 答案速查表 1 2 3 4 5 ABD A （1） （2） C 6 7 8 9 10 见解析 ABD ABD D 见解析 11 12 13 14 15 见解析 C ABD ACD 见解析 16 17 18 19 20 见解析2 ABD 35 （1） （2）证明见解析 （3）或 21 22 23 24 25 （1）①不是，②是 （2）证明见解析 （3） ABD （1） （2） （3）；理由见解析 见解析 C 26 27 28 29 30 BCD （1）（i）5、7、11、13；（ii）证明见解析 （2）证明见解析 BCD 见解析 ABC 31 32 33 34 （1）①不是，②是 （2）证明见解析 （3） （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 （1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用 考法1：求解数学文化背景下的数列问题 1.（2026·浙江强基联盟·检测）（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”．我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长．把上述依次得到的弦长组成的数列记为．则下列说法正确的是（　　） A. B. C. ，使得： D. ，都有 【答案】ABD 【解析】由题意知，，，，，，故A正确. 由规律可知，，，所以数列的奇数项构成公比为的等比数列，偶数项构成公比为的等比数列. 对于B选项，，即，故B正确. 对于C选项，因为奇数项成等比数列，所以成等比数列，若它们成等差数列，则，即，化简得，不成立，故C错误. 对于D选项，因为奇数项成等比数列，根据等比中项的性质，必有，故D正确. 【点拨】本题考查数学文化背景下的数列问题，关键是根据题意写出数列的前几项，归纳出奇数项和偶数项分别构成等比数列的规律，再结合等比数列的性质进行判断. 考法2：构建实际生活情境中的数列模型 2.（2025·河北衡水中学·一模）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（　　） A. 204万元 B. 220万元 C. 304万元 D. 320万元 【答案】A 【解析】设第年的总盈利为万元. 由题意可知，每年的年产值均为100万元，则年的总产值为万元. 每年的费用构成首项为24，公差为8的等差数列， 则前年的总费用为万元. 引进生产线的成本为196万元， 所以引进该生产线后第年的总盈利为. 当时，取得最大值204. 即引进该生产线后总盈利的最大值为204万元. 【点拨】本题考查等差数列在实际生活中的应用，根据题意列出总盈利关于年数的二次函数关系式，利用二次函数的性质求最值是解题的关键. 考点二：数列的特殊模型与性质探究 考法3：求解数列的公共项问题 3.已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为数列是正奇数列， 对于数列，当为奇数时，设，则为偶数； 当为偶数时，设，则为奇数， 所以，则， 所以. 【点拨】本题考查数列的公共项问题，通过分析两个数列的奇偶性特征，找出公共项的通项公式，再利用裂项相消法求和即可. 考法4：求解数列的插项问题 4.已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为①， 所以时，②， ①②得：，即， 又时，，所以也满足上式， 故的通项公式为. （2）设数列满足． 记的前项和为，的前项和为，则． 由等比数列的求和公式得：，． 所以. 即新数列的前项和. 【点拨】本题考查利用退位相减法求数列的通项公式，以及数列插项后的求和问题，将新数列的求和转化为原数列与插入项构成的数列分别求和是解题关键. 考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列 5.（多选）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是（　　）（参考数据：，） A. 是单调递增数列，是单调递减数列 B. C. D. 【答案】C 【解析】由，得， ， 令，即， 则， ，． 利用函数的图象（图略，可借助蛛网图分析）： 由图得： ①单调递增，单调递减， ，故A正确； ②，， ， ，因此B正确； ③，，因此C不正确； ④由不动点，得，可得：，，因此D正确． 故选：C． 【点拨】本题考查由递推关系探究数列的性质，通过换元转化为的形式，借助函数单调性或蛛网图分析子数列的单调性及有界性是解决本题的核心. 考法6：探究数列中的整数与存在性问题 6.（2025·江西三新协同·模拟）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列． （1）若，写出一个数列； （2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列； （3）若数列是等差数列，求的最小正整数． 【答案】（1）1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可） （2）证明见解析 （3）2 【解析】（1）若，则， 此时， ，，此时 故满足条件的数列有：1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可） （2）证明：为等比数列，且，则公比． 为偶数，为偶数，，且恒为奇数． 此时，而，故 ，故为数列 （3）设数列的公差为，则， 当时，设此时前项和为， ，， 又，，的最小正整数为2， 当时，设此时的前项和为，易知 ， ，，的最小正整数为2． 综上所述，的最小正整数为2 【点拨】本题考查新定义数列问题，关键是理解数列的定义，结合等差、等比数列的求和公式及裂项相消法进行放缩证明. 考点三：数列与函数、不等式的综合 考法7：利用函数性质探究数列通项与最值 7.（2025·安徽淮北淮南·二模）（多选）设数列的前项和为，对任意正整数有，下列命题正确的有（　　） A. 若，则 B. 一定不是等差数列 C. 若为等比数列，则公比为2 D. 若，则为等比数列 【答案】ABD 【解析】对于A，，当时，，故A正确； 对于B，假设是等差数列，设公差为， 则，， 由得， 即， 根据多项式相等可得，方程组无解， 所以一定不是等差数列，故B正确； 对于C，若为等比数列，由，两式相减得， 即，由得，解得，故C错误； 对于D，若，则，， 当时，，所以， 当时，，， 两式相减可得，即， 所以数列的奇数项是以为首项，4为公比的等比数列， 偶数项是以为首项，4为公比的等比数列，又，， 所以数列为等比数列，故D正确. 故选：ABD. 【点拨】本题考查由递推关系探究数列的性质，通过赋值法、待定系数法以及作差法将前项和的递推关系转化为通项的递推关系是解题的关键. 8.（2025·河南驻马店高中·检测）（多选）已知各项均不为零的数列，其前项和是，，且．下列说法正确的是（　　） A. B. 若为递增数列，则的取值范围是 C. 存在实数，使得为等比数列 D. ，使得当时，总有 【答案】ABD 【解析】由得， 相减可得，， 由于各项均不为零，所以，所以的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列， 对于A，，，故正确； 对于B，由于的奇数项和偶数项分别为公差为1的等差数列，所以，， 若，，则需要，，则，故正确， 对于C，，，若为等比数列，则为常数，则， 此时，故，，进而可得数列的项为1,1,2,2,3,3,，显然这不是等比数列，故错误， 对于D，若，只要足够大，一定会有， 则，只要足够的大，趋近于0， 而，显然能满足，故，当时，总有，故正确， 故选：ABD. 【点拨】本题考查由递推关系求数列的通项，以及数列的单调性与极限思想的应用，利用作差法得出奇偶项分别成等差数列是解题的核心. 考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式 9.（2026·江苏南京·二模）曲线在处的切线为，分别记在轴上的截距为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由，得导数. 曲线在处的切线斜率为，切点坐标为. 所以切线的方程为. 令，解得，即； 令，解得，即. 所以. 故. 故选：D. 【点拨】本题考查导数的几何意义以及数列的裂项相消求和，先求出切线方程得到截距的表达式，再通过代数变形利用裂项相消法求和. 10.（2026·河北NT名校·检测）设函数的图象在处的切线平行于直线，记的导函数为，数列满足：． （1）试判断数列的单调性，并给出证明； （2）当时，求证：． 【答案】（1）单调递减，证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（1）数列单调递减． 理由如下：由题意，，则， 因为函数的图象在处的切线平行于直线，直线的斜率为2， 所以，解得，所以． 则，又，所以，所以， 所以， 所以， 所以数列单调递增． （2）证明：因为，所以，则， ． 因为时，． 所以． 【点拨】本题考查导数的几何意义、递推数列的单调性以及利用裂项相消法证明数列不等式，通过递推关系构造裂项形式是解题的关键. 11.（2026·广东湛江·检测）已知，设与的图象位于第一象限的交点为． （1）求的最大值； （2）证明：； （3）证明：． 【答案】（1）1 （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）由，函数的定义域为R，，所以，． 在上单调递增，在上单调递减，所以是函数的极大值也是最大值． 故的最大值为． （2）设，则． 又因为，所以在上单调递减．且， 所以． 设，则，设，则， 在上单调递增，故，在上单调递增，故， ，即，所以． 所以， 所以，且在上单调递减，所以． 综上所述，故． （3）由（2）知，所以，故，． 在处的切线方程为，即． 令， 则， 由（1）知当时，，故，所以当时，以代换得，，在上单调递增， ，即，． 由，，得， 解得． 【点拨】本题考查利用导数研究函数的单调性与最值，以及利用导数证明不等式，通过构造函数并利用切线放缩是解决第三问的关键. 考法9：结合取整函数求解数列问题 12.（2026·江西萍乡·二模）已知数列满足，其中表示不超过的最大整数．若，则（　　） A. 44 B. 45 C. 46 D. 47 【答案】C 【解析】对于任意实数，有， 所以. 因此. 又， 当时，. 当时，. 当时，. 归纳可得，. 由，即. 因为，所以. 若为奇数，设，则，解得，此时； 若为偶数，设，则，解得，此时. 结合选项，可知. 故选：C. 【点拨】本题考查取整函数的性质与递推数列的综合，利用恒等式化简递推关系，进而求出数列的通项是解题的关键. 考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式 13.（2025·广东燕博园·检测）（多选）已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是（　　） A. B. 函数为奇函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 【答案】ABD 【解析】令得，，解得，A正确； 由得，所以函数的图象关于点对称，故函数的图象关于原点对称，所以函数为奇函数，B正确； 由得， ，所以函数的图象关于直线对称，故函数的图象关于直线对称，C错误； 因为，所以，故，所以，，故，D正确. 故选：ABD. 【点拨】本题考查抽象函数的对称性与周期性，通过赋值法和代数代换推导出函数的性质，进而求解数列求和问题. 14.（2026·江西宜春十校·联考）（多选）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（　　） A. 数据的平均数是 B. 数据的平均数是 C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数 D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数 【答案】ACD 【解析】对于A选项，设的前项和为，， 所以数据的平均数是，故A选项正确； 对于B选项，当时，取为2，4，8，平均数为，故B选项错误； 对于C选项，的中位数是，的中位数是， ，故C选项正确； 对于D选项，当时， 由 ，且等号当且仅当时成立， 故的前项和比的前项和大，平均值亦然，D选项正确. 故选：ACD. 【点拨】本题考查等差数列与等比数列的性质综合，利用基本不等式以及作差法比较等差数列与等比数列对应项的和是解题的关键. 15.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知数列的前项和为，，且对，． （1）求； （2）证明：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】（1）由题意， 当时，， 累乘得：，所以， 又符合上式， 所以. 由，解得， 所以. （2）证明：由（1）得， 所以， 故， 因为，所以.得证. 【点拨】本题考查利用累乘法求数列的通项公式，以及利用裂项相消法证明数列不等式，将通项变形为可裂项的形式是解题的核心. 16.（2025·江西九江·一模）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列． （1）若，写出一个数列； （2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列； （3）若数列是等差数列，求的最小正整数． 【答案】（1）1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可） （2）证明见解析 （3）2 【解析】（1）若，则， 此时， ，，此时 故满足条件的数列有：1，1，2，3或1，1，2，3，5或1，1，2，3，5，8（写一个即可） （2）证明：为等比数列，且，则公比． 为偶数，为偶数，，且恒为奇数． 此时，而，故 ，故为数列 （3）设数列的公差为，则， 当时，设此时前项和为， ，， 又，，的最小正整数为2， 当时，设此时的前项和为，易知 ， ，，的最小正整数为2． 综上所述，的最小正整数为2 【点拨】本题考查新定义数列问题，关键是理解数列的定义，结合等差、等比数列的求和公式及裂项相消法进行放缩证明. 考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题 17.（2026·山东德州·一模）（多选）已知数列满足，且，则（　　） A. 存在唯一的实数，使得为常数列 B. 当时，为递减数列 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，，前项和为，则 【答案】ABD 【解析】对于A，由条件可知，， 若，则，为常数列， 若，则，为常数列，故A错误； 对于B，因为，当时，，所以， 由可知，对所有，都有， 两边取以10为底的对数， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即，， 因为，且单调递增，所以数列单调递减，故B正确； 对于C，，， 因为恒成立， 所以，得，故C正确； 对于D，当时，， 所以数列是以为首项，2为公比的等比数列， 所以， 即，， ， 而数列是以1为首项，2为公比的等比数列， 所以前项和为， 所以，故D正确． 故选：ABD． 【点拨】本题考查由递推关系求数列通项，通过配方转化为，再取对数转化为等比数列是解题的关键. 18.（2026·安徽皖江联盟·检测）已知数列满足是其前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为＿＿＿＿＿＿． 【答案】35 【解析】因为，所以， 又由知，， 从而， 依题意，考虑到是正整数，解得， 故正整数的所有可能取值是，共个． 【点拨】本题考查数列的递推关系与不等式综合，通过构造等比数列放缩求出通项的范围，进而估算前项和的范围是解题的关键. 考点四：数列与几何、概率的综合 考法12：求解数列与解析几何的交汇问题 19.（2026·江苏南京盐城·一模）已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点． （1）若，求的坐标； （2）证明：数列为等比数列； （3）已知，设及的面积分别为，若存在正整数，使得，求所有可能的值． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）或 【解析】（1）因为，，， 所以，， 由得或 因此． （2）因为，，， 所以，， 由得或 因此，， 因为，即， 所以， 因此， 又，所以， 因此，即数列为等比数列． （3）由（2）得，即， 于是， 注意到，因此， 由，， 得， 因此， 因为， 所以，即， 设，，， 则， 因为，， 所以， 所以，即单调递增． 又，， 所以或2， 若，则，， 当时,， 因此或3， 当时，，解得， 当时，，解得． 若，则，， 当时，， 因此， 所以，解得（舍）， 综上，的所有可能的值为3或． 【点拨】本题考查数列与解析几何的交汇，通过几何作图过程建立坐标递推关系，利用等比数列求出通项，最后转化为函数单调性问题求解参数. 考法13：求解数列与平面几何的交汇问题 20.（2024·广东华南师大·三模）如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第个图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】图1：边长为2的正三角形，面积.阴影部分面积. 图2：将原三角形分成4个小正三角形，去掉中间的一个，剩下3个阴影小正三角形.每个小三角形面积是原来的.所以阴影面积. 图3：每个阴影小三角形再进行同样操作，阴影面积变为原来的.所以. 以此类推，第个图中阴影部分的面积. 【点拨】本题考查分形几何中的数列问题，通过观察图形变化规律，得出阴影部分面积构成等比数列是解题的关键. 21.（2025·江西新余·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． （1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． （2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； （3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 【答案】（1）①不是，②是 （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）①不是，因为数组中任何两个都是比例关系； ②是，因为数组中的任何两个都不是比例关系． （2）直线的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理得，即， 于是，又点的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中， 若存在正整数和且，使，那么． 因为，则有比例性质， 于是， ， 故，则，矛盾！ 故对任意正整数，不存在正数，使得，则2是有趣数， 所以2的一列有趣数组为． （3）由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数； 当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使最小的一组解，由，故是3的倍数， 若，为非负整数，则不可能是3的倍数，矛盾！ 同理，或，或也不成立． 若为3的倍数，则也为3的倍数， 设，则，即，故为3的倍数． 设，则有，所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程没有正整数解，则3不是有趣数， 当时，由（1）知，则， 此时取，其中， 由比例性质同理可知对任意正整数，不存在正数，使得，则4是有趣数， 当时，过点作斜率为的直线交圆于另一点， 则直线的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理可得，即， 于是，又点的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中， 由比例性质同理知：对任意正整数，不存在正数，使得，则5是有趣数． 当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使最小的一组解． 由于，故是3的倍数， 由时分析可知和都是3的倍数， 设，则，即， 故：为3的倍数． 设，则有． 所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程也没有正整数解，则6不是有趣数． 因此1，2，，6中的有趣数为1，2，4，5，所求概率为． 【点拨】本题考查新定义背景下的不定方程与数论问题，通过直线与圆相交的几何模型构造勾股数组是解题的巧妙之处，同时结合整除性证明方程无解. 考法14：求解数列与概率统计的交汇问题 22.（2026·湖北孝感·检测）（多选）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取不同的两项，它们的和为偶数的概率为，数列的前项积为，则（　　） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】当时，，又，故． ，， ， 所以为偶数时，；为奇数时，． 的奇数项所成的数列是首项为，公差为的等差数列，偶数项所成的数列是首项为3，公差为2的等差数列． 故，选项A正确； ，选项B正确； 由于的奇数项都是偶数，偶数项都是奇数， ，故选项C错误； ， 又，所以，故选项D正确． 故选：ABD． 【点拨】本题考查递推数列的奇偶项特征以及概率的计算，通过作差法求出奇偶项的通项公式，再结合组合数公式求出概率是解题的关键. 23.（2026·湖北楚天协作体·二模）某互联网大数据实验室为研究短视频平台AI智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：科研人员选定名平台用户作为研究样本．每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数．内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下： ①第一天（冷启动推荐阶段）：AI系统从名用户中随机选取名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播（称为激活用户）的概率均为，且各用户是否被激活相互独立． ②第二天及以后（社交扩散推荐阶段）：每一天，所有已激活用户都会通过AI协同推荐，对所有未激活用户（即名用户中还未被激活的）进行二次流量触达．任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播． 已知：若某一天有个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：． （1）求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望； （2）求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率； （3）若取，求两天后用户甲是激活用户的概率（用含的代数式表示）；并结合该概率模型，简要说明为什么AI推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象． 【答案】（1） （2） （3）；理由见解析 【解析】（1）设表示第一天结束时，被成功激活的用户人数，则， 由二项分布的期望公式得； （2）由（1）可知，考虑二项展开： ， ， 两式相加，， 当为偶数时，；当为奇数时，． 则两式相加后，奇数项和为0，只剩偶数项两倍， 设第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率为， 所以，故； （3）情形一： 甲被推送的概率是，两天后用户甲是激活用户有两种情形： ①第一天被成功激活，概率为； ②第一天未被成功激活，概率为，且第二天被成功激活， 若甲第二天被成功激活，则第一天另一位初始被推送者乙一定被成功激活， 乙作为激活用户尝试激活用户甲， 甲被成功激活的概率为， 故甲在第一天未被成功激活，第二天被成功激活的概率为， 因此，在甲是初始被推送的两人之一的条件下， 两天后用户甲是激活用户的概率为：； 情形二：若甲不是初始被推送的两人，其概率为， 两天后用户甲是激活用户有两种情形： ①第一天有1人被成功激活，再由此人成功激活甲， 概率为：； ②第一天有2人被成功激活，甲在第二天被成功激活， 概率为：， 因此，在甲不是初始被推送的两人的条件下，两天后用户甲是激活用户的概率为： ； 综上，两天后用户甲是激活用户的概率为： ． 爆发式流量暴涨的原因：随着被成功激活的人数增加，每天尝试对未激活用户进行推荐触达的人数增大，使得非激活用户被影响的概率迅速提高，传播速度急剧加快，导致流量暴涨． 【点拨】本题考查二项分布的期望与概率计算，以及全概率公式在实际传播模型中的应用，通过二项式定理求偶数项概率和是解题的技巧. 24.（2026·安徽A10联盟·检测）盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同．甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中．直至盒中红球已被全部取出，游戏结束．第一次摸球从甲开始，记为第次摸球后游戏结束的概率． （1）求； （2）求； （3）若摸球次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量．证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】（1）， ． （2）若盒中有4个黑球，2个红球，一次性摸出两个球， 摸到0，1，2个红球的概率分别为，，． 若盒中有4个黑球，1个红球，一次性摸出两个球， 摸到0，1个红球的概率分别为，． 则摸球次，记第次和第次分别各摸到一个红球的概率为， 则， 摸球次，记第次摸到两个红球的概率为，则． 则 ． （3）设摸球次，在第次和第次分别摸到一个红球的概率为 ， 记，则 ， 可能取值为1，2，且，， ，故． 【点拨】本题考查马尔可夫链模型背景下的概率计算，通过分类讨论摸到红球的次数和位置，利用等比数列求和公式求出概率，再结合期望公式进行不等式证明. 考点五：数列中的新定义问题 考法15：探究新定义数列的通项与求和 25.（2025·山东名校联盟·二模）对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】由， 则. 故选：C. 【点拨】本题考查新定义运算，本质是求一个十进制数转化为二进制数后，各位数字中1的个数，将63写成二进制形式即可求解. 26.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知为数列的前项和，且，规定，则（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】由，得，即，又也满足上式，所以， 当时，由，得，故，即，所以数列为等比数列，首项，公比，故，故，故A错误； 由， ， 所以，故B正确； 当时，，假设当时，成立， 当时，由， 可得， 则， ，， ， ， 将上式相加可得， 又，则， 故， 即当时也成立，故， 所以，故C正确； 当时，由，易得成立， 当时，由C选项知， 则， ，， ， ， 上式相加得， 又由上知，， 则，故D正确. 故选：BCD. 【点拨】本题考查新定义数列的通项与求和，利用递推关系求出数列通项，再结合组合数恒等式与数学归纳法证明结论是解题的难点. 27.（2026·广东东莞·二模）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；；满几进一，就是几进制”．记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为． （1）设正整数在三进制下的各位数字之和； （i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数； （ii）证明：； （2）已知正整数，设正项数列的前项和为，且，证明：（其中表示不大于的最大整数）． 【答案】（1）（i）5、7、11、13；（ii）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】（1）（i）5、7、11、13 （ii）设，其中 则， 因为， 所以， 同理，， 所以，所以． （2）因为，所以，即， 由数列为正项数列，则，所以． 又因为，则， 所以，所以 则，两式作差得， 又因为，所以是以为首项，为公比的等比数列，可得． 方法一： 因为，设， 当时，； 当时，， 当时，， 所以，即； 当时，； 当时，， 当时，， 所以， 即， 同理可得 ， 当时，，所以． 所以 ．证毕 方法二：上接， 对任意实数，记，其中 当时， 当时， 当时， 故对任意实数，恒有， 则． 代入，得， 取正整数满足，则，记， 则， 当，，故，得证． 【点拨】本题考查新定义进位制以及数列的求和，通过构造等比数列求出通项公式，再利用取整函数的性质进行化简求和是解题的关键. 考法16：探究新定义数列的性质与证明 28.（2026·山东日照·二模）（多选）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（　　） A. 存在公差不为0的等差数列具有性质 B. 以1为首项，为公比的等比数列具有性质 C. 若数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质 D. 若数列和均具有性质，则数列也具有性质 【答案】BCD 【解析】对于A，若是等差数列，且公差，则， 当时，，所以不存在常数使得不等式成立，故A错误； 对于B，若是以1为首项，为公比的等比数列， 则 ， 所以存在常数，使得不等式成立，故B正确； 对于C，若具有性质，则存在常数，使得，即， 所以， 所以存在常数，使得不等式成立，故C正确； 对于D，若和均具有性质，则存在常数， 使得，， 因为， 同理， 所以 ， 所以 ， 所以存在常数，使得不等式成立，故D正确． 故选：BCD． 【点拨】本题考查新定义数列的性质，本质是考查有界变差数列，结合绝对值不等式进行放缩证明是解题的关键. 29.（2026·安徽临泉中学·二模）已知函数． （1）当时，讨论的图象与直线的交点个数； （2）对任意的，恒成立，求的值； （3）证明：． 【答案】（1）当或时，交点个数为1；当时，交点个数为2；当时，交点个数为0 （2） （3）证明见解析 【解析】（1）当时，，定义域为， ， 令，解得：． 当时，，在上单调递增， 当时，，在上单调递减， 当时，， 当时，；当时，；当时，；当时，． 的大致图象如图所示， 当时，的图象与直线的交点个数为0； 当或时，的图象与直线的交点个数为1； 当时，的图象与直线的交点个数为2． （2），恒成立， ，即． 令，则不等式等价于， ， 当，则，在上单调递减，， 时不合题意； 当，令得； 令得， 的递增区间为，递减区间为， 若， ，则当时，，不合题意； 若，，符合题意； 若，，则当时，，不合题意； 综上，． （3）由（2）得，当时，有，当且仅当时等号成立， 时，， ，即， ， ， ， ，，，， ，即， ． 【点拨】本题考查利用导数研究函数的图象与性质，以及利用导数证明数列不等式，通过构造函数得到，再赋值裂项相加是证明不等式的关键. 考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合 30.（2026·浙江名校协作体·二模）（多选）已知集合，其中，且，定义的和集，则（　　） A. 若是等差数列，则的元素个数为 B. 若是等比数列，则的元素个数为 C. 若的元素个数为，则是等差数列 D. 若的元素个数为，则是等比数列 【答案】ABC 【解析】对A，设等差数列的公差为，则， ，的取值范围为从0到，且能取遍所有整数，共个不同值， 因此，的元素个数为，A对； 对B，设等比数列公比，则，若，不妨设，两边除以： ，若，则最大幂指数：，代入得矛盾，， 同理，所以若，则，， 即的元素个数为，B对； 对C，， 已有项互不相同，， ，此时必为等差数列，C对； 对D，取，则， 元素个数为，但该数列不是等比数列，故D错． 故选：ABC． 【点拨】本题考查新定义集合的运算与数列性质的综合，通过分析等差数列和等比数列的求和特征，结合集合元素的互异性进行判断是解题的关键. 31.（2026·湖北鄂东南联盟·模拟）已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 【答案】 【解析】因为，所以数列为递减数列， 则对集合，其非空子集的最小元素为该子集最大下标对应的元素， 所以元素作为最小元素的子集个数为（含元素，其余选择比大的个元素的任意子集）， 因此，又，所以． 因为①， 所以②， ①②错位相减得， 化简得，所以， 易知当时，，则，所以， 所以，即实数的取值范围为． 【点拨】本题考查集合子集的最值求和问题，通过分析数列的单调性确定最小元素，再利用错位相减法求和并求极限是解题的关键. 32.（2025·山东名校联盟·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． （1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． （2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； （3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 【答案】（1）①不是，②是 （2）证明见解析 （3） 【解析】（1）①不是，因为数组中任何两个都是比例关系； ②是，因为数组中的任何两个都不是比例关系． （2）直线的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理得，即， 于是，又点的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中， 若存在正整数和且，使，那么． 因为，则有比例性质， 于是， ， 故，则，矛盾！ 故对任意正整数，不存在正数，使得，则2是有趣数， 所以2的一列有趣数组为． （3）由（1）可知1是有趣数；由（2）可知2是有趣数； 当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使最小的一组解，由，故是3的倍数， 若，为非负整数，则不可能是3的倍数，矛盾！ 同理，或，或也不成立． 若为3的倍数，则也为3的倍数， 设，则，即，故为3的倍数． 设，则有，所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程没有正整数解，则3不是有趣数， 当时，由（1）知，则， 此时取，其中， 由比例性质同理可知对任意正整数，不存在正数，使得，则4是有趣数， 当时，过点作斜率为的直线交圆于另一点， 则直线的方程为，联立圆的方程， 整理得， 由韦达定理可得，即， 于是，又点的坐标满足圆的方程， 于是，即． 取，其中， 由比例性质同理知：对任意正整数，不存在正数，使得，则5是有趣数． 当时，假设方程有正整数解， 设是所有正整数解中使最小的一组解． 由于，故是3的倍数， 由时分析可知和都是3的倍数， 设，则，即， 故：为3的倍数． 设，则有． 所以也是原方程的一组正整数解，且，矛盾． 因此方程也没有正整数解，则6不是有趣数． 因此1，2，，6中的有趣数为1，2，4，5，所求概率为． 【点拨】本题考查新定义背景下的不定方程与数论问题，通过直线与圆相交的几何模型构造勾股数组是解题的巧妙之处，同时结合整除性证明方程无解. 考法18：证明新定义背景下的不等式 33.（2026·山东青岛·二模）在组合数学、表示论和数学物理中，“-数”，是一种通过引入参数对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗·狄拉克首先使用，对量子力学的发展意义重大.定义“-数”： ，其中，.利用“-数”可以进一步定义两个概念：“-阶乘”： ，且，“-组合数” （1）计算和的值； （2）证明：对任意，； （3）证明：对任意，． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）由题意知， ． （2）证明：因为 ， 所以，即． （3）证明：由（2）知， 所以 将上述个等式左右两边分别相加得 ． 【点拨】本题考查新定义“-数”与组合数的综合，通过类比组合数性质的推导过程，利用代数变形和累加法证明等式是解题的关键. 34.（2025·广东深圳中学·一模）若数列满足．定义广义规范数列如下：中共有项，其中项为，项为，且对任意项， 中的 的个数不少于 的个数．当 时，满足上述定义的数列称为规范数列．记 表示“广义规范数列”的个数． （1）若 既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有 的通项公式； （2）求 ；进一步证明：当 时，； （3）当 且 时，记 表示 项数列中符合广义规范数列的概率，求证：． （提示：） 【答案】（1） （2）证明见解析 （3）证明见解析 【解析】（1）规范数列要求，即数列中-1和1的数量相等，均为项， 等比数列的公比必须使得所有项， 因此公比只能是-1或1， 若公比，则所有项均为首项的值， 但若，则数列全为1， 此时-1的数量为0，与矛盾， 同理，若，则数列全为-1， 此时1的数量为0，亦矛盾，因此公比不满足条件， 若公比，则数列为交替数列， 由于规范数列要求-1和1的数量相等，总项数为， 故，即， 这与规范数列定义一致，接下来需验证前缀条件：对任意，前项中-1的个数不少于1的个数， 若首项，则数列为， 此时前1项中1的个数为1，的个数为0， 不满足前缀条件，因此首项必须为-1， 即，数列为， 当为奇数时，前项中有个-1和个1， 显然-1的个数多于1，当为偶数时， 前项中有个-1和个1，满足-1的个数不少于1的个数， 因此，唯一满足条件的等比数列为， 进一步验证总项数时和的数量均为， 符合规范数列定义； （2）当时，若第一个位置为-1， 则剩余个-1和2个1，此时广义规范数列的数目为， 若第一个位置为1，则剩余个-1和1个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数， 这种情况等价于的广义规范数列，其数目为， 因此，递推关系为， 当时，数列中有个-1和1个1， 且每个前缀中-1的个数不少于1的个数， 此时1必须放在第2到第位中的任意一个位置， 共有种选择，因此， 初始条件为（规范数列情况）， 因为， 所以， 若第一个位置为-1，则剩余个-1和个1， 对应数目为，若第一个位置为1， 则剩余个-1和个1，且从第二个位置开始的所有前缀必须满足-1的个数不少于1的个数， 这种情况等价于的广义规范数列， 对应数目为，由于， 上述两种情况互斥且穷尽所有可能，故递推式成立， 综上，当时，广义规范数列的个数为， 且递推关系（当）得证； （3）当时，广义规范数列的个数满足递推式， ， 其中， ，， ，， ， 因此概率为， 广义规范数列的数目可表示为， ， ，因为， 所以 此不等式恒不成立，说明随增大而递增， 因此，最大概率出现在最小时， ， 当时，， 当时，通过数值验证严格递减， 故命题成立. 【点拨】本题考查新定义数列的通项与概率计算，通过分类讨论首项的取值建立递推关系，再利用组合数公式求出概率并证明不等式是解题的关键. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第45讲 数列的综合应用 · 分类练习 考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用 1 考法1：求解数学文化背景下的数列问题 1 考法2：构建实际生活情境中的数列模型 1 考点二：数列的特殊模型与性质探究 2 考法3：求解数列的公共项问题 2 考法4：求解数列的插项问题 2 考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列 2 考法6：探究数列中的整数与存在性问题 2 考点三：数列与函数、不等式的综合 3 考法7：利用函数性质探究数列通项与最值 3 考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式 3 考法9：结合取整函数求解数列问题 4 考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式 4 考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题 5 考点四：数列与几何、概率的综合 6 考法12：求解数列与解析几何的交汇问题 6 考法13：求解数列与平面几何的交汇问题 6 考法14：求解数列与概率统计的交汇问题 7 考点五：数列中的新定义问题 8 考法15：探究新定义数列的通项与求和 8 考法16：探究新定义数列的性质与证明 9 考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合 9 考法18：证明新定义背景下的不等式 10 考点一：数列在实际问题与数学文化中的应用 考法1：求解数学文化背景下的数列问题 1.（2026·浙江强基联盟·检测）（多选）我国古代典籍《管子·地员篇》最早记载的“三分损益法”是用来算音阶的方法，它是把古琴的一根弦平均分成三截，截短一截就是“三分损一”，加长一截就是“三分益一”．我们取第一个音“黄钟”的弦长81，记为，用“三分损一”得到第二个音“林钟”的弦长，记为，再用“三分益一”得到第三个音“太簇”的弦长，记为，，按此规律依次交替损益就能得到“十二律吕”的弦长．把上述依次得到的弦长组成的数列记为．则下列说法正确的是（　　） A. B. C. ，使得： D. ，都有 考法2：构建实际生活情境中的数列模型 2.（2025·河北衡水中学·一模）近几年，我国在电动汽车领域有了长足的发展，电动汽车的核心技术是动力总成，而动力总成的核心技术是电机和控制器，我国永磁电机的技术已处于国际领先水平.某公司计划今年年初用196万元引进一条永磁电机生产线，第一年需要安装､人工等费用24万元，从第二年起，包括人工､维修等费用每年所需费用比上一年增加8万元，该生产线每年年产值保持在100万元.则引进该生产线后总盈利的最大值为（　　） A. 204万元 B. 220万元 C. 304万元 D. 320万元 考点二：数列的特殊模型与性质探究 考法3：求解数列的公共项问题 3.已知，，将数列与数列的公共项从小到大排列得到新数列，则＿＿＿＿＿＿． 考法4：求解数列的插项问题 4.已知数列满足． （1）求的通项公式； （2）在相邻两项中间插入这两项的等差中项，求所得新数列的前项和． 考法5：利用蛛网图或函数单调性分析递推数列 5.（多选）已知数列满足：，，前项和为，则下列选项错误的是（　　）（参考数据：，） A. 是单调递增数列，是单调递减数列 B. C. D. 考法6：探究数列中的整数与存在性问题 6.（2025·江西三新协同·模拟）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列． （1）若，写出一个数列； （2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列； （3）若数列是等差数列，求的最小正整数． 考点三：数列与函数、不等式的综合 考法7：利用函数性质探究数列通项与最值 7.（2025·安徽淮北淮南·二模）（多选）设数列的前项和为，对任意正整数有，下列命题正确的有（　　） A. 若，则 B. 一定不是等差数列 C. 若为等比数列，则公比为2 D. 若，则为等比数列 8.（2025·河南驻马店高中·检测）（多选）已知各项均不为零的数列，其前项和是，，且．下列说法正确的是（　　） A. B. 若为递增数列，则的取值范围是 C. 存在实数，使得为等比数列 D. ，使得当时，总有 考法8：利用导数探究数列性质或证明不等式 9.（2026·江苏南京·二模）曲线在处的切线为，分别记在轴上的截距为，则（　　） A. B. C. D. 10.（2026·河北NT名校·检测）设函数的图象在处的切线平行于直线，记的导函数为，数列满足：． （1）试判断数列的单调性，并给出证明； （2）当时，求证：． 11.（2026·广东湛江·检测）已知，设与的图象位于第一象限的交点为． （1）求的最大值； （2）证明：； （3）证明：． 考法9：结合取整函数求解数列问题 12.（2026·江西萍乡·二模）已知数列满足，其中表示不超过的最大整数．若，则（　　） A. 44 B. 45 C. 46 D. 47 考法10：利用放缩法或裂项相消证明数列不等式 13.（2025·广东燕博园·检测）（多选）已知函数的定义域为，且对，和均恒成立，令函数，则下列结论正确的是（　　） A. B. 函数为奇函数 C. 函数的图象关于直线对称 D. 14.（2026·江西宜春十校·联考）（多选）已知是各项均为正数的等差数列，且公差，是各项均为正数的等比数列，且公比，若项数均为项（），下列说法正确的有（　　） A. 数据的平均数是 B. 数据的平均数是 C. 若，则数据的中位数大于数据的中位数 D. 若，则数据的平均数大于数据的平均数 15.（2026·浙江精诚联盟·模拟）已知数列的前项和为，，且对，． （1）求； （2）证明：． 16.（2025·江西九江·一模）已知是由不全相同的正整数组成的有穷数列，其前项和为，．集合，中元素个数为，将中所有元素取出，并按从小到大排列，记为数列．若，则称数列为数列． （1）若，写出一个数列； （2）若是公比为偶数的等比数列，证明：为数列； （3）若数列是等差数列，求的最小正整数． 考法11：求解数列中的不等式恒成立与参数范围问题 17.（2026·山东德州·一模）（多选）已知数列满足，且，则（　　） A. 存在唯一的实数，使得为常数列 B. 当时，为递减数列 C. 当时，的取值范围为 D. 当时，，前项和为，则 18.（2026·安徽皖江联盟·检测）已知数列满足是其前项和．若，则正整数的所有可能取值的个数为＿＿＿＿＿＿． 考点四：数列与几何、概率的综合 考法12：求解数列与解析几何的交汇问题 19.（2026·江苏南京盐城·一模）已知圆，点，对于圆上的点，按照如下方式构造点；过点作直线垂直于轴，为点在轴上的射影，点满足（为常数，），直线交于点，其中为坐标原点，点异于点． （1）若，求的坐标； （2）证明：数列为等比数列； （3）已知，设及的面积分别为，若存在正整数，使得，求所有可能的值． 考法13：求解数列与平面几何的交汇问题 20.（2024·广东华南师大·三模）如图，一系列由正三角形构成的图案称为谢尔宾斯基三角形，图1三角形边长为2，则第个图中阴影部分的面积为＿＿＿＿＿＿． 21.（2025·江西新余·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． （1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． （2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； （3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 考法14：求解数列与概率统计的交汇问题 22.（2026·湖北孝感·检测）（多选）数列满足，且，数列的前项和为，从的前项中任取不同的两项，它们的和为偶数的概率为，数列的前项积为，则（　　） A. B. C. D. 23.（2026·湖北楚天协作体·二模）某互联网大数据实验室为研究短视频平台AI智能推荐算法的内容传播规律，建立如下概率扩散模型：科研人员选定名平台用户作为研究样本．每名用户被内容打动并产生互动传播的“基础易感性”参数均为常数．内容传播按天数逐级扩散，传播规则如下： ①第一天（冷启动推荐阶段）：AI系统从名用户中随机选取名用户进行初始定向推送，每名被推送的用户主动点赞并参与传播（称为激活用户）的概率均为，且各用户是否被激活相互独立． ②第二天及以后（社交扩散推荐阶段）：每一天，所有已激活用户都会通过AI协同推荐，对所有未激活用户（即名用户中还未被激活的）进行二次流量触达．任一未激活用户只要被成功激活，就会转为激活用户，并继续参与下一轮传播． 已知：若某一天有个激活用户同时对同一未激活用户进行推荐触达，则此用户当天被成功激活的概率为：． （1）求第一天结束时，被成功激活的用户人数的数学期望； （2）求第一天结束时，被成功激活的用户人数为偶数的概率； （3）若取，求两天后用户甲是激活用户的概率（用含的代数式表示）；并结合该概率模型，简要说明为什么AI推荐平台上的部分短视频会出现爆发式流量暴涨的现象． 24.（2026·安徽A10联盟·检测）盒中有4个黑球2个红球，每个球除颜色外均相同．甲、乙进行摸球游戏，两人轮流从盒中摸球，每次由其中一人随机摸出2个球，若有黑球，则黑球放回盒中；若有红球，则红球不再放回盒中．直至盒中红球已被全部取出，游戏结束．第一次摸球从甲开始，记为第次摸球后游戏结束的概率． （1）求； （2）求； （3）若摸球次，游戏恰好结束，将此情况下乙摸到的红球个数记为随机变量．证明：． 考点五：数列中的新定义问题 考法15：探究新定义数列的通项与求和 25.（2025·山东名校联盟·二模）对于，将表示为，其中，当时，为0或1，定义为正整数的表达式中的个数，则（　　） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 26.（2025·江西上进联考·检测）（多选）已知为数列的前项和，且，规定，则（　　） A. B. C. D. 27.（2026·广东东莞·二模）进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；；满几进一，就是几进制”．记十进制下的自然数在三进制下的表示为，则，其中，例如十进制数，所以19在三进制下可写为． （1）设正整数在三进制下的各位数字之和； （i）将满足的正整数从小到大排成一列，写出该列数的前四个数； （ii）证明：； （2）已知正整数，设正项数列的前项和为，且，证明：（其中表示不大于的最大整数）． 考法16：探究新定义数列的性质与证明 28.（2026·山东日照·二模）（多选）对于无穷数列，若存在常数，使得对任意的，都有不等式成立，则称数列具有性质．则下列结论正确的是（　　） A. 存在公差不为0的等差数列具有性质 B. 以1为首项，为公比的等比数列具有性质 C. 若数列的前项和构成的数列具有性质，则数列也具有性质 D. 若数列和均具有性质，则数列也具有性质 29.（2026·安徽临泉中学·二模）已知函数． （1）当时，讨论的图象与直线的交点个数； （2）对任意的，恒成立，求的值； （3）证明：． 考法17：探究新定义集合、数组与数列的综合 30.（2026·浙江名校协作体·二模）（多选）已知集合，其中，且，定义的和集，则（　　） A. 若是等差数列，则的元素个数为 B. 若是等比数列，则的元素个数为 C. 若的元素个数为，则是等差数列 D. 若的元素个数为，则是等比数列 31.（2026·湖北鄂东南联盟·模拟）已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，，则实数的取值范围为＿＿＿＿＿＿． 32.（2025·山东名校联盟·二模）若存在无穷多组正整数组，满足，且对任意正整数，不存在正数，使得，则称正整数是有趣数，称为的一列有趣数组（不必考虑所有的有趣数组）． （1）判断下列数组是否为1的一列有趣数组，不需要说明理由； ①；②． （2）过点作斜率为的直线交圆于另一点，由此证明：2是有趣数，并找出2的一列有趣数组； （3）从中任取两个数，求它们都是有趣数的概率． 考法18：证明新定义背景下的不等式 33.（2026·山东青岛·二模）在组合数学、表示论和数学物理中，“-数”，是一种通过引入参数对经典数学对象进行推广的概念，由物理学家保罗·狄拉克首先使用，对量子力学的发展意义重大.定义“-数”： ，其中，.利用“-数”可以进一步定义两个概念：“-阶乘”： ，且，“-组合数” （1）计算和的值； （2）证明：对任意，； （3）证明：对任意，． 34.（2025·广东深圳中学·一模）若数列满足．定义广义规范数列如下：中共有项，其中项为，项为，且对任意项， 中的 的个数不少于 的个数．当 时，满足上述定义的数列称为规范数列．记 表示“广义规范数列”的个数． （1）若 既为等比数列，又为规范数列，求符合条件的所有 的通项公式； （2）求 ；进一步证明：当 时，； （3）当 且 时，记 表示 项数列中符合广义规范数列的概率，求证：． （提示：） 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $