第45讲 数列的综合应用 综合测试-2027届高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以数学文化与实际问题为载体，整合高阶数列、函数与数列交汇等核心内容，突出知识迁移与逻辑推理的综合应用。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |数学文化应用|3,4|结合沈括隙积术、杨辉三角垛，考查高阶等差数列求和|从基础数列到高阶数列的概念拓展，体现历史背景下的数学抽象| |高阶数列探究|2,6|定义“等差数列”“高阶等比数列”，需推导通项与性质|基于等差等比定义的逻辑延伸，培养数学思维的严谨性| |跨知识交汇|7,17|函数奇偶性、周期性与数列结合，复数实部构成数列|函数性质与数列递推的综合迁移，强化知识间的内在联系| |实际情境建模|1,5,14|AI二进制、科赫曲线、数列扩充等实际问题|从现实情境抽象数列模型，发展数学眼光与应用意识|

第45讲 数列的综合应用 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 A B C D C 6 7 8 9 10 C B C BCD ACD 11 12 13 14 15 BCD ； （1） （2） 16 17 18 19 （1） （2）见解析 （3）见解析 （1） （2） （1） （2）见解析 （3）见解析 （1） （2） （3）见解析 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·浙江北斗星盟·联考）AI算法是基于数学理论和逻辑规则设计的，当AI算法在计算机上运行时，所有数据都会被转换为二进制形式存储和处理.设定整数，其中，.记.则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 26 【答案】A 【解析】由题意可知，将转换为二进制形式，即.所以，，，，.则.故选：A. 【点拨】本题考查了数列求和以及进位制的转换，理解题意将十进制数转化为二进制数是解题的关键. 2.（2026·浙江嘉兴·二模）若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为的等差数列，则称数列为“等差数列”.已知为“等差数列”，且，则（　　） A. 91 B. 111 C. 121 D. 133 【答案】B 【解析】设，因为为“等差数列”，且，所以是公差为的等差数列，且，则，通过累加法可得：当时，，，，，所以累加可得，化简得：，当时，，符合通项公式，所以，则.故选：B. 【点拨】本题考查了新定义数列的理解与应用，以及利用累加法求数列的通项公式，属于中档题. 3.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，以此类推，记第层货物的个数为，则使得成立的的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】由题意，且，累加可得，所以，，得，即．故选：C． 【点拨】本题考查了数列在数学文化与实际问题中的应用，利用累加法求通项公式是解题的关键. 4.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，第四层个，则第三十六层球的个数为（　　） A. 561 B. 595 C. 630 D. 666 【答案】D 【解析】由题意，第一层个球，第二层个，第三层个，第四层个，据此规律，第三十六层有小球个.故选：D. 【点拨】本题考查了归纳推理在数列中的应用，找出每一层球的个数规律是解题的关键. 5.科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为，则图3中曲线的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 3 【答案】C 【解析】依题意，一条线段经过一次操作，其长度变为原来的，因此每次操作后所得曲线长度依次排成一列，构成以为首项，为公比的等比数列，所以当进行三次操作后的曲线长度为.故选：C. 【点拨】本题考查了等比数列在分形几何中的应用，理解操作前后曲线长度的变化规律是解题的关键. 6.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列(则称数列为一阶等差数列)，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列(则称数列为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列，，，， 是一阶等比数列，则该数列的第项是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由题意，数列，，，，， 为，且为一阶等比数列，设，所以为等比数列，其中，，公比为，所以，则，所以第项为．故选：C. 【点拨】本题考查了新定义数列的理解与应用，以及累乘法求数列通项公式，属于中档题. 7.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】解： 函数是奇函数且满足，有，则，即，为周期为的函数， 数列是等差数列，若，，，，，，，，，，，故选：B． 【点拨】本题考查了函数的奇偶性与周期性的综合应用，以及等差数列的通项公式，求出函数的周期是解题的关键. 8.数列满足，，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则递减 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】解：(法一) 对于选项 A，令，，则，令，易知在上单调递减，在上单调递增，此时，又，若，则有，故选项 A 正确；对于选项 B，结合选项 A 中的过程，作出递推函数与的交点，可得函数的不动点为和，且，故函数在单调递增，且，故为吸引不动点，为排斥不动点，故当时，数列向吸引不动点靠近，单调递减，故选项 B 正确；对于选项 C，，由选项 A，B 的过程可知，当时，数列单调递减且，故，而显然，故成立，故选项 C 正确；对于选项 D，当时，结合选项 A，B 的过程及蛛网图，易知数列单调递增，又，故当时，，即，故，，故，故选项 D 错误．(法二) 作出与的图象，由蛛网图可知，选项 A，B 正确；若，由蛛网图可知，，时，，则，故，选项 C 正确；若，则，比较与的大小，，则，选项 D 错误．故选：D． 【点拨】本题考查了数列与函数的综合应用，利用构造函数法研究数列的单调性与有界性是解题的关键，属于难题. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错得0分. 9.（2026·安徽滁州·一模）已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（　　） A. B. C. 集合可能是 D. 【答案】BCD 【解析】由题意知 所以， 对于 A，因为，且，所以，A 选项错误； 对于 B，由于，所以，B 选项正确； 对于 C，已知，这意味着既属于又属于， 若，当时，， 此时满足所有已知条件，故 C 选项正确； 对于 D，因为，又，所以，D 选项正确； 故选：BCD. 【点拨】本题考查了集合的交、并、补混合运算，以及摩根定律的应用，熟练掌握集合的运算性质是解题的关键. 10.（2026·山东枣庄·模拟）已知数列满足，是的前项和，则（　　） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 当为偶数时， D. 若，则满足的的最小值为 【答案】ACD 【解析】对于A，因为，所以，两式相减得，所以是公差为的等差数列，A正确；对于B，因为，所以，即，若，即时，不是等比数列，B错误；对于C，当为偶数时，，C正确；对于D，若，则，，，所以，当为偶数时，，解得，所以的最小值为，当为奇数时，，解得，所以的最小值为，综上所述，的最小值为，D正确.故选：ACD. 【点拨】本题考查了数列递推关系的应用，以及分组求和法求数列的前项和，属于中档题. 11.（2026·广东茂名·一模）数列的前项和记为，，则下列结论可能正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】由题意可知，易知 BCD 正确. 【点拨】本题考查了数列递推不等式的应用，通过逐项递推放缩是解题的关键. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·河北石家庄·一模）已知数列满足，当时，，若数列中存在连续项构成等差数列，则的最小值是＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】已知，当时，. 若数列中存在连续项构成等差数列，设公差为. 则（）. 由于随增大而减小，故. 我们需要找到使得存在满足对成立（若，则）. 当时，需满足，，，，. 由成等差数列，有，即. 由成等差数列，有，即. 由且，两式相加得，即. 由且，得，即. 又. . . 所以. 又. 所以. 但，而，矛盾. 所以不可能. 当时，需满足，，，，. 设，则 (). 由且，得. 由且，得. 取，此时要求且，所以只能取. 此时. . . . . 所有条件均满足. 所以的最小值为. 【点拨】本题考查了数列与不等式的综合应用，通过设未知数建立不等式组并寻找矛盾是解题的关键，属于难题. 13.（2026·安徽合肥·检测）已知随机取或，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列，操作过程为；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】当时，按的个数及出现的位置，初始数列共有种情况：初始数列，；初始数列，；初始数列，；初始数列，；初始数列，；初始数列，；初始数列，；所以所求操作次数的和为. 【点拨】本题考查了新定义数列的操作规则，通过枚举法列出所有可能情况并计算操作次数是解题的关键. 14.（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿. 【答案】； 【解析】因为数列经一次扩充后是在原来数列的相邻两项中增加一项，所以经第次扩充后增加的项数为，因此，所以，因为，所以可得数列是以为首项，公比为的等比数列，所以，即；设第次扩充后数列的各项为，则．因为每一次扩充是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，所以，又，所以是首项为，公比为的等比数列，故，综上，，. 【点拨】本题考查了数列递推关系的应用，以及等比数列的通项公式，通过分析扩充前后的项数与各项和的变化规律是解题的关键. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·广东肇庆·二模）设数列满足且. （1） 证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2） 若，求正整数的值. 【答案】（1） 证明见解析， （2） 【解析】【小问 1 详解】 因为， 所以， 所以， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列. 所以. 7 分 【小问 2 详解】 由解得， 因为，所以， 所以， 所以， 所以，即，解得. 15 分 【点拨】本题考查了数列递推关系的应用，以及同角三角函数基本关系式的运用，利用累乘法求积是解题的关键. 16.（2025·江西·联考）已知数列满足. （1） 若，求的值. （2） 若，证明：. （3） 若，设，证明：. 【答案】（1） （2） 证明见解析 （3） 证明见解析 【解析】（1） 解：由题可知， 3 分 则. 4 分 （2） 证明：因为，所以， 6 分 则， 8 分 则. 10 分 （3） 证明：由，可得， 11 分 则，则. 12 分 因为，所以 13 分 . 15 分 【点拨】本题考查了数列求和以及数列递推关系的综合应用，掌握裂项相消法求和是解题的关键. 17.（2026·湖北云学联盟·模拟）已知复数，且对任意正整数，（为虚数单位），记（表示复数的实部）. （1） 求数列的通项公式； （2） 设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】（1） 由题意，因为，， 3 分 又，所以数列是以为首项，为公差的等差数列 通项公式为. 6 分 （2） 由（1）得则①两边同乘得 ② 9 分 ①-②得 等比数列求和 12 分 代入得两边同除以，化简得 . 15 分 【点拨】本题考查了复数的概念与运算，以及利用错位相减法求数列的前项和，属于中档题. 18.（2026·江苏南京·一模）设，，为数列的前项和，令，，. （1） 若，求数列的前项和； （2） 求证：对，方程在上有且仅有一个根； （3） 求证：对，由（2）中构成的数列满足. 【答案】（1） （2） 证明见解析 （3） 证明见解析 【解析】【小问 1 详解】 若，，则， 1 分 则， ， 2 分 ， 4 分 ； 5 分 【小问 2 详解】 ，， 6 分 故函数在上是增函数．由于，当时,，即． 7 分 又，， 9 分 根据函数的零点的判定定理，可得存在唯一的，满足． 10 分 【小问 3 详解】 对于任意，由（2）中构成数列，当时， ， ． 11 分 由在上单调递增，可得，即， 故数列为减数列，即对任意的、，． 13 分 由于，①， ，②， 14 分 用①减去②并移项，利用，可得 ． 16 分 综上可得，对于任意，由（2）中构成数列满足． 17 分 【点拨】本题考查了错位相减法求和，以及利用导数研究函数的零点问题，通过不等式放缩证明数列不等式是解题的关键，属于难题. 19.（2026·江苏苏锡常镇·二模）我国北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的隙积术，给出了二阶等差级数的求和方法，通过“构造”来研究数列问题，体现了构造法在数列研究中的价值.例如，在数列中，已知，可以通过两种思路来求解：一是构造，则数列的奇数项和偶数项分别成等差数列；二是构造，则数列是等比数列或常数列.请解决以下问题：已知数列满足，记为的前项和. （1） 若，求的值； （2） 若，求满足不等式的所有正整数； （3） 若，证明：当时，. 【答案】（1） （2） （3） 证明见解析 【解析】解：（1） 因为，所以， 由和，得. 2 分 因为，所以， 所以. 3 分 （2） 因为，所以， 即， 因为，所以，即， 所以，因为，所以， 5 分 所以. 6 分 因为，所以，化简得，解得， 所以满足不等式的所有正整数为. 8 分 （3） 因为， 所以， 即， 因为，所以， 所以，即， 10 分 又因为， 所以， 又因为，所以. 11 分 令. 因为，所以，又因为，所以， 所以. 14 分 因为 ，所以. 综上所述，. 17 分 【点拨】本题考查了数列递推关系的构造与应用，以及三角恒等变换与数列放缩的综合，具有较强的技巧性，属于难题. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第45讲 数列的综合应用 · 综合测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·浙江北斗星盟·联考）AI算法是基于数学理论和逻辑规则设计的，当AI算法在计算机上运行时，所有数据都会被转换为二进制形式存储和处理.设定整数，其中，.记.则（　　） A. 3 B. 2 C. 1 D. 26 2.（2026·浙江嘉兴·二模）若数列满足：从第二项起，每一项与它的前一项的差依次排成一列，组成的新数列是一个公差为的等差数列，则称数列为“等差数列”.已知为“等差数列”，且，则（　　） A. 91 B. 111 C. 121 D. 133 3.北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差数列求和的问题．现有一货物堆，从上向下查，第一层有个货物，第二层比第一层多个，第三层比第二层多个，以此类推，记第层货物的个数为，则使得成立的的最小值是（　　） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 4.南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中有如下俯视图所示的几何体，后人称之为“三角垛”．其最上层有个球，第二层有个球，第三层有个球，第四层个，则第三十六层球的个数为（　　） A. 561 B. 595 C. 630 D. 666 5.科赫曲线因形似雪花，又被称为雪花曲线.其构成方式如下：如图1将线段等分为线段，如图2.以为底向外作等边三角形，并去掉线段，将以上的操作称为第一次操作；继续在图2的各条线段上重复上述操作，当进行三次操作后形成如图3的曲线.设线段的长度为，则图3中曲线的长度为（　　） A. 2 B. C. D. 3 6.南宋数学家杨辉在《详解九章算术》中提出了高阶等差数列的问题，即一个数列本身不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列(则称数列为一阶等差数列)，或者仍旧不是等差数列，但从数列中的第二项开始，每一项与前一项的差构成等差数列(则称数列为二阶等差数列)，依次类推，可以得到高阶等差数列．类比高阶等差数列的定义，我们亦可定义高阶等比数列，设数列，，，， 是一阶等比数列，则该数列的第项是（　　） A. B. C. D. 7.已知定义在上的函数是奇函数且满足，，数列是等差数列，若，，则（　　） A. B. C. D. 8.数列满足，，，表示数列前项和，则下列选项中错误的是（　　） A. 若，则 B. 若，则递减 C. 若，则 D. 若，则 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2026·安徽滁州·一模）已知全集，集合，且满足：，，则下列说法正确的为（　　） A. B. C. 集合可能是 D. 10.（2026·山东枣庄·模拟）已知数列满足，是的前项和，则（　　） A. 是等差数列 B. 是等比数列 C. 当为偶数时， D. 若，则满足的的最小值为 11.（2026·广东茂名·一模）数列的前项和记为，，则下列结论可能正确的是（　　） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·河北石家庄·一模）已知数列满足，当时，，若数列中存在连续项构成等差数列，则的最小值是＿＿＿＿＿＿. 13.（2026·安徽合肥·检测）已知随机取或，构成数列为初始数列，当不为常数列时，对数列进行如下操作：①统计中的个数，记为；②把改为，其余项不变，得到新数列；③若新数列为常数列，停止操作，记录操作次数，否则将替换为新数列，重复上述操作，可知对任意初始数列，必在有限次操作后停止．如：，对初始数列，操作过程为；．当时，对所有可能的初始数列，对应操作次数的和为＿＿＿＿＿＿. 14.（2026·广东梅州·一模）数列扩充是指在一个有穷数列中按一定规则插入一些项得到一个新的数列.初始数列经过次扩充后的新数列记为，项数记为，所有项的和记为.现若扩充规则为每相邻两项之间插入这两项的和，如：数列经过一次扩充后得到数列，，.已知初始数列，则＿＿＿＿＿＿；＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·广东肇庆·二模）设数列满足且. （1） 证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2） 若，求正整数的值. 16.（2025·江西·联考）已知数列满足. （1） 若，求的值. （2） 若，证明：. （3） 若，设，证明：. 17.（2026·湖北云学联盟·模拟）已知复数，且对任意正整数，（为虚数单位），记（表示复数的实部）. （1） 求数列的通项公式； （2） 设，求数列的前项和. 18.（2026·江苏南京·一模）设，，为数列的前项和，令，，. （1） 若，求数列的前项和； （2） 求证：对，方程在上有且仅有一个根； （3） 求证：对，由（2）中构成的数列满足. 19.（2026·江苏苏锡常镇·二模）我国北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中的隙积术，给出了二阶等差级数的求和方法，通过“构造”来研究数列问题，体现了构造法在数列研究中的价值.例如，在数列中，已知，可以通过两种思路来求解：一是构造，则数列的奇数项和偶数项分别成等差数列；二是构造，则数列是等比数列或常数列.请解决以下问题：已知数列满足，记为的前项和. （1） 若，求的值； （2） 若，求满足不等式的所有正整数； （3） 若，证明：当时，. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $