第5章 核心素养系列（三）数列高考中档大题的规范问题-【创新教程】2025年高考数学总复习大一轮课时作业word（人教B版）

核心素养系列(三) 课时冲关41　数列高考中档大题的规范问题 学生用书　P334 1．(2024·淄博市模拟)已知等比数列{an}的前n项和为Sn，数列是公差为1的等差数列，若a1＝2b1，a4－a2＝12，S4＋2S2＝3S3. (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)设cn＝，Tn为{cn}的前n项和，求T2n. 解：(1)等比数列{an}的公比设为q，前n项和为Sn， 数列是公差为d＝1的等差数列， 即有＝t＋n－1，即bn＝n(t＋n－1)， 由a1＝2b1＝2t，a4－a2＝12，S4＋2S2＝3S3，得2tq3－2tq＝12，S4－S3＝2(S3－S2)， 即为a4＝2a3，即q＝＝2，解得t＝1， 可得an＝2n；bn＝n2； (2)cn＝， 即为cn＝， T2n＝(c1＋c3＋…＋c2n－1)＋(c2＋c4＋…＋c2n) ＝＋ ＝ ＋ ＝－·＋＝ ＋. 2．(2024·南平市模拟)已知等差数列{an}满足a3＝6，前7项和为S7＝49. (1)求{an}的通项公式； (2)设数列{bn}满足bn＝(an－3)·3n，求{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由S7＝＝7a4＝49，得a4＝7， ∵a3＝6，∴d＝1，∴a1＝4， ∴an＝n＋3. (2)bn＝(an－3)·3n＝n·3n， ∴Tn＝1×31＋2×32＋3×33＋…＋n×3n， ∴3Tn＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n×3n＋1， ∴－2Tn＝3＋32＋33＋34＋…＋3n－n×3n＋1＝－n×3n＋1， ∴Tn＝. 3．(2024·沈阳模拟)等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝14，b2b4＝a6，且bn>0. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)已知：①bn<1 000；②∃m∈N*，使am＝bn.设S为数列{an}中同时满足条件①和②的所有的项的和，求S的值． 解：(1)由等差数列{an}和等比数列{bn}满足a1＝b1＝1，a2＋a4＝14，b2b4＝a6，且bn>0， 设{an}的公差为d，{bn}的公比为q， 可得，将a1＝b1＝1代入，解得，由bn>0，则取q＝2， 故an＝3n－2，bn＝2n－1. (2)由bn＝2n－1，bn<1 000，令2n－1<1 000， 由于b10＝29＝512，b11＝210＝1 024，故n－1≤9， 即n≤10， ∃m∈N*，使am＝bn，故令3m－2＝2n－1， 则m＝，由于m，n∈N*， 故可以看出当n＝1,3,5,7,9时，m＝成立， 故S＝b1＋b3＋b5＋b7＋b9＝1＋4＋16＋64＋256＝341. 4．(2024·聊城市模拟)已知数列{an}是单调递增的等差数列，a1＝1，且a1＋2,2a2，a3＋7成等比数列． (1)求数列{an}的通项公式； (2)设数列{an}的前n项和为Sn，数列{bn}满足bn＝(－1)nan＋1，求数列{bn}的前n项和Tn. 解：(1)由题意，设等差数列{an}的公差为d，且d＞0，则a1＋2＝3,2a2＝2(d＋1)，a3＋7＝2d＋8， ∵a1＋2,2a2，a3＋7成等比数列， ∴(2a2)2＝(a1＋2)(a3＋7)， 即4(d＋1)2＝3(2d＋8)， 整理，得2d2＋d－10＝0， 解得d＝－(舍去)，或d＝2， ∴an＝1＋2(n－1)＝2n－1，n∈N＋. (2)由题意及(1)，可知： ∵an＝2n－1， ∴Sn＝＝n2，Sn＋1＝(n＋1)2， ∴＝＝n(n＋1)， ∵bn＝(－1)nan＋1，且an＋1＝2n＋1， ∴bn＝(－1)n＝(－1)n， ①当n为奇数时， Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝－＋－＋…＋－ ＝－1－＋＋－－＋…＋＋－－＝－1－， ②当n为偶数时， Tn＝b1＋b2＋…＋bn ＝－＋－＋…－＋＝－1－＋＋－－＋…－－＋＋ ＝－1＋， ∴Tn＝ 4 学科网（北京）股份有限公司 $$