第43讲 数列的通项公式·综合测试-2027年高考数学一轮复习（全国I卷地区通用）

**基本信息** 以数列通项公式为核心，融合中国剩余定理、大衍数列等传统文化情境，覆盖定义法、递推公式等多种求法，适配一轮复习综合检测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/40|数列定义、前n项和关系|结合杨辉三角拓展数阵| |多选题|3/18|等差等比判定、前n项和计算|注重概念辨析与性质应用| |填空题|3/15|递推公式求通项|关联最新模拟题情境| |解答题|5/77|猜想证明、错位相减、存在性问题|综合考查逻辑推理与数学表达|

第43讲 数列的通项公式 · 综合测试（解析卷） 答案速查表 1 2 3 4 5 C D D D C 6 7 8 9 10 A D B ABD ACD 11 12 13 14 15 BCD （1）， （2）通项公式为 ，证明见解析 16 17 18 19 （1） （2）220 （1）， （2） （1）证明见解析， （2） （1） （2） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·江西赣州·一模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】由，可得，. 又，可得，. 所以. 故选：C. 【点拨】本题考查集合的交集运算，需先分别解不等式求出集合和. 2.（2026·浙江·二模）已知数列 满足 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】当 时：原式变为 ，整理得：（1）. 当 时：原式变为 ，已知 ，且由 得 . 代入得： 化简得 ，解得 . 把 代入式 ，得 ，解得 . 时：原式变为 ，由 得前两项和为 . 代入得： 化简得 ，解得 . 故 ， 对. 【点拨】本题考查数列递推关系的应用，通过给 赋值求出数列的前几项是解题关键. 3.（2025·浙江县域联盟·模拟）设数列 的前 项和为 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】由 化简得到 ，令 ，得 ，则数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，写出通项公式 ，再逐一验证即可. 由题意 ，两式相减可得：. 化简得 ，即 . 令 ，得到 ，即 ，解得 . 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 则 ，故 ，. 则 . 【点拨】本题考查利用 与 的关系求通项公式，进而判断项的大小关系. 4.已知数列 满足 ，，则 的通项为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】因为 ，所以 ，则当 时. . 将 个式子相加可得 . 因为 ，则 ，当 时， 符合题意. 所以 . 故选：D. 【点拨】本题考查利用累加法和裂项相消法求数列的通项公式. 5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则 （　　） A. 17 B. 37 C. 107 D. 128 【答案】C 【解析】∵ 能被 除余 且被 除余 ，∴ 既是 的倍数，又是 的倍数. 即是 的倍数，且 ，∴ . 即 ，∴ . 故选：C. 【点拨】本题考查数列的实际应用，理解整除的余数性质并找出数列的通项公式是解题关键. 6.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为 ，则 （　　） A. 650 B. 1050 C. 2550 D. 5050 【答案】A 【解析】由条件观察可得：，即 ，所以 是以 为首项， 为公差的等差数列. 故 . 故选：A. 【点拨】本题考查归纳推理与数列求和，通过观察相邻项的差找出规律是解题关键. 7.若数列 的前6项为 ，则数列 的通项公式可以为 （　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】通过观察数列 的前 项，可以发现有如下规律： 且奇数项为正，偶数项为负，故用 表示各项的正负. 各项的绝对值为分数，分子等于各自的序号数. 而分母是以 为首项， 为公差的等差数列. 故第 项的绝对值是 . 所以数列 的通项可为 . 故选：D. 【点拨】本题考查由数列的前几项归纳数列的通项公式，需分别观察符号、分子、分母的规律. 8.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数 构成数列 ，其前 项和为 ，则 （　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】由题意可知， . . . . 则 . 所以其前 项和为： . . 则 . 故选：B. 【点拨】本题考查归纳推理与裂项相消法求和，找出数列的通项公式是解题关键. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2026·安徽马鞍山·二模）数列 的前 项和为 ，且 ，，则（　　） A. 数列 是等差数列 B. 数列 是等比数列 C. D. 数列 的前 项和等于 【答案】ABD 【解析】由 ，得 . 即 . 因为 ，所以 ，所以 . 所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，故 A 正确. 所以 ，所以 . 当 时，. 当 时， 也满足上式，所以 ，故 C 错误. 因为 ，所以数列 是等比数列，故 B 正确. 因为 . 所以数列 的前 项和为 ，故 D 正确. 【点拨】本题考查数列递推关系的应用，通过代数变形构造等差数列求出 是解题关键. 10.（2026·山东泰安·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】由 ，得 ，即 . 当 时，，即 ，解得 ，故 A 正确. 所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列. 所以 ，即 ，故 B 错误. 当 时，，则 . 当 时，，则 ，故 C 正确. 当 时，. 当 时，，故 D 正确. 【点拨】本题考查利用 与 的关系求数列通项，以及数列不等式的证明. 11.（2025·江苏高邮·联考）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则下列说法正确的有（　　） A. 数列 为等差数列 B. 数列 为等比数列 C. D. 若 ，则数列 的前 项和 【答案】BCD 【解析】因为数列 的前 项和为 ，且满足 . 对于 A 选项，由已知等式变形可得 ，且 . 所以，，所以，数列 是首项和公比均为 的等比数列. 故 ，A 错. 对于 B 选项，由已知等式变形得 ，且 . 所以，数列 是首项和公比均为 的等比数列，则 ，B 对. 对于 C 选项，由 可得 . 所以，，C 对. 对于 D 选项，. 记 . 则 . 这两个等式作差得 . 所以，. 故 ，D 对. 故选：BCD. 【点拨】本题考查由递推关系求数列通项公式，以及利用错位相减法和分组求和法求数列的前 项和. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·山东济宁·模拟）已知数列 的前 项和为 ，若 成等差数列，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为 成等差数列，所以 ，即 . 当 时，，即 ，解得 . 当 时，，整理得 ，即 . 所以 ，又 . 所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列. 所以 ，即 . 【点拨】本题考查等差中项的性质以及利用 与 的关系求通项公式. 13.（2026·江苏名校联盟·一模）已知数列 满足 ，，则数列 的通项公式为 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】由 . 当 时，. 当 时，. 两式相减，得 ，即 . 所以 . 所以 . 所以 . 由于 时，不满足上式. 所以 . 【点拨】本题考查利用构造法作差求数列的通项公式，注意对 的单独检验. 14.（2026·河北·检测）已知 为数列 的前 项和，且 ，，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 【答案】 【解析】因为 ，即 ，所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，所以 ，所以 . 所以数列 是以 为首项， 为公差的等差数列，所以 ，所以 ，，，则 . 所以 . 【点拨】本题考查由递推关系求数列的通项公式，以及利用错位相减法求数列的前 项和. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（2026·安徽·检测）已知数列 满足： （1）求 ，； （2）猜想数列 的通项公式并给出证明. 【答案】（1）， （2）通项公式为 ，证明见解析 【解析】（1）已知对任意正整数 ，有 当 时，. 2 分 当 时，，代入 ，得 . 4 分 所以 ，. 5 分 （2）猜想通项公式为 . 7 分 由题设，当 时，有 . 9 分 ①－②得：③. 11 分 将 替换为 ，得 ④. 13 分 ④－③得：，即 . 结合 ，知数列 是首项为 ，公比为 的等比数列. 故通项公式为 ，得证. 15 分 【点拨】本题考查通过赋值法求数列的前几项，归纳猜想通项公式，并利用作差法进行证明. 16.（2026·山东济宁·二模）记 为数列 的前 项和，已知 . （1）求数列 的通项公式； （2）记 为数列 的前 项和，求 . 【答案】（1） （2）220 【解析】（1）由条件 可得，. 1 分 两式相减得，. 2 分 所以，. 3 分 累乘得，. 所以，. 6 分 当 时， 也符合上式. 所以，数列 的通项公式为 . 7 分 （2）记 ，由（1）可得 . 所以，. 11 分 所以，. 13 分 . . 15 分 【点拨】本题考查利用 与 的关系求通项公式，以及利用并项求和法求数列的前 项和. 17.（2026·山东潍坊·二模）已知数列 的前 项和为 ，等差数列 满足 . （1）求数列 和 的通项公式； （2）记 为 在区间 内项的个数， 为数列 的前 项和，求 . 【答案】（1）， （2） 【解析】（1）当 时，. 1 分 当 时，. 3 分 经检验， 时符合上式. 所以 . 4 分 因为 ，所以公差 ，所以 . 7 分 （2）因为 在区间 内项的个数为 . 11 分 所以 . 所以 . 15 分 【点拨】本题考查等差、等比数列的通项公式求法，以及新定义数列的求和问题. 18.（2026·山东聊城·二模）记数列 的前 项和为 ，满足 ，且 . （1）求证： 是等差数列，并求 的通项公式； （2）设 ， 为数列 的前 项和，若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1）证明见解析， （2） 【解析】（1）证明：由 ，① 得 ，② ②①得 ，③ 则 ，④ 2 分 ④③得 . 所以 是等差数列. 4 分 由 ，得 . 所以 . 5 分 因为 ，所以公差 . 所以 . 7 分 （2）解： . 10 分 所以 . 12 分 由 对 恒成立， 得 ，即 . 14 分 设 ，由 对 恒成立， 得 ，解得 或 . 故 的范围为 . 17 分 【点拨】本题考查等差数列的证明与通项公式求法，裂项相消法求和，以及不等式恒成立问题转化为最值问题求解. 19.（2026·广东广州·一模）数列 的前三项均为 ， 是公比为 的等比数列，且 . （1）求 的前 项和 ； （2）求 . 【答案】（1） （2） 【解析】（1）因为 是公比为 的等比数列，且 . 又因为 ，则 . 2 分 可得 ，则 . 可得 . 5 分 所以 . 7 分 （2）因为 ，即 ，则 . 可得 . 10 分 则 13 分 . 所以 . 15 分 【点拨】本题考查等比数列的通项公式与求和，以及利用递推关系和累加法求数列的特定项. 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第43讲 数列的通项公式 · 综合测试 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.（2026·江西赣州·一模）已知集合，，则（　　） A. B. C. D. 2.（2026·浙江·二模）已知数列 满足 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 3.（2025·浙江县域联盟·模拟）设数列 的前 项和为 ，且 ，则（　　） A. B. C. D. 4.已知数列 满足 ，，则 的通项为（　　） A. B. C. D. 5.“中国剩余定理”又称“孙子定理”，1852年英国来华传教伟烈亚力将《孙子算经》中“物不知数”问题的解法传至欧洲.1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”．“中国剩余定理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将正整数中能被3除余2且被7除余2的数按由小到大的顺序排成一列，构成数列 ，则 （　　） A. 17 B. 37 C. 107 D. 128 6.大衍数列，来源于《乾坤谱》中对易传“大衍之数五十”的推论，主要用于解释中国传统文化中的太极衍生原理，数列中的每一项都代表太极衍生过程，是中华传统文化中隐藏着的世界数学史上第一道数列题，其各项规律如下：0，2，4，8，12，18，24，32，40，50，．．．，记此数列为 ，则 （　　） A. 650 B. 1050 C. 2550 D. 5050 7.若数列 的前6项为 ，则数列 的通项公式可以为 （　　） A. B. C. D. 8.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，如图是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，从第三行起，每一行的第三个数 构成数列 ，其前 项和为 ，则 （　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.（2026·安徽马鞍山·二模）数列 的前 项和为 ，且 ，，则（　　） A. 数列 是等差数列 B. 数列 是等比数列 C. D. 数列 的前 项和等于 10.（2026·山东泰安·一模）已知数列 的前 项和为 ，且 ，则下列选项正确的是（　　） A. B. C. D. 11.（2025·江苏高邮·联考）已知数列 的前 项和为 ，且满足 ，则下列说法正确的有（　　） A. 数列 为等差数列 B. 数列 为等比数列 C. D. 若 ，则数列 的前 项和 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.（2026·山东济宁·模拟）已知数列 的前 项和为 ，若 成等差数列，则 ＿＿＿＿＿＿. 13.（2026·江苏名校联盟·一模）已知数列 满足 ，，则数列 的通项公式为 ＿＿＿＿＿＿. 14.（2026·河北·检测）已知 为数列 的前 项和，且 ，，若 ，则 ＿＿＿＿＿＿. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（15分）（2026·安徽·检测）已知数列 满足： （1）求 ，； （2）猜想数列 的通项公式并给出证明. 16.（15分）（2026·山东济宁·二模）记 为数列 的前 项和，已知 . （1）求数列 的通项公式； （2）记 为数列 的前 项和，求 . 17.（15分）（2026·山东潍坊·二模）已知数列 的前 项和为 ，等差数列 满足 . （1）求数列 和 的通项公式； （2）记 为 在区间 内项的个数， 为数列 的前 项和，求 . 18.（17分）（2026·山东聊城·二模）记数列 的前 项和为 ，满足 ，且 . （1）求证： 是等差数列，并求 的通项公式； （2）设 ， 为数列 的前 项和，若 ，不等式 恒成立，求实数 的取值范围. 19.（15分）（2026·广东广州·一模）数列 的前三项均为 ， 是公比为 的等比数列，且 . （1）求 的前 项和 ； （2）求 . 第 2 页，共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $