湖南衡阳市衡东县第一中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

衡东一中高2027届高二期末考试 数学试题卷 考试120分钟 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 0 C. D. 8 4. 已知，则“”是“函数在上单调递增”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 有 4 位同学各掷骰子 5 次（骰子出现的点数可能为1，2，3，4，5，6），分别记录自己每次出现的点数，四位同学根据统计结果，并对自己的试验数据分别做了如下描述，可以判断一定没有出现点数 1的是（ ） A. 平均数为3 ，中位数为4 B. 中位数为3 ，众数为5 C. 平均数为4 ，方差为1.2 D. 中位数为4 ，方差为1.6 6. 已知中，，点D在边BC上且，，的面积分别是，，若为定值，当取得最小值时，的值为（ ） A. 2m B. C. 2 D. 7. 已知实数满足，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 已知数列的前项和为，且满足，，则下列结论正确的为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线的左右焦点分别为，过左焦点作直线交双曲线的渐近线于点（点在轴的右侧），若为直角三角形，则双曲线的离心率可能为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 10. 已知函数为的导函数，则下列说法正确的是（ ） A. B. 为奇函数 C. 的极小值为 D. 在上单调递增 11. 在棱长为2的正方体中，点在底面ABCD内（含边界），为棱的中点，下列说法正确的是（ ） A. 满足平面的点的轨迹长度为 B. 若点在棱AB上运动，则点到直线的距离的最小值为 C. 若平面，则点是AC上靠近点的四等分点 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知角的终边经过点，，则______. 13. 已知等差数列的前n项和为，，若，，则__________． 14. 已知点不在抛物线上，抛物线的焦点为.若对于抛物线上的一点的最小值为5，则的值等于__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在三棱柱中，为等边三角形，，． （1）证明：平面； （2）求与平面所成的角的正弦值． 16. 已知椭圆（）的离心率为，椭圆被直线截得的线段长为． （1）求的标准方程； （2）斜率为的直线与圆相切，且该直线交椭圆于，（），是椭圆的上顶点．记直线，的斜率分别为，，求． 17. 已知分别为三个内角的对边，，． （1）求角的值； （2）如图，若，为线段上（不含端点）的两个动点，，的面积为． （i）求的值； （ii）求的取值范围． 18. 一种微生物群体可以经过自身繁殖不断生存下来，设一个这种微生物为第0代，经过一次繁殖后为第1代，再经过一次繁殖后为第2代……，该微生物每代繁殖的个数是相互独立的且有相同的分布列，设X表示1个微生物个体繁殖下一代的个数，． （1）已知，求； （2）设p表示该种微生物经过多代繁殖后临近灭绝的概率，p是关于x的方程：的一个最小正实根，求证：当时，，当时，； （3）根据你的理解说明（2）问结论的实际含义． 19. 若将图象绕原点逆时针旋转后，所得曲线仍是函数的图象，则称为“旋转函数”． （1）判断函数是否为“旋转函数”，并说明理由； （2）已知函数是“旋转函数”，求的最大值； （3）若函数是“旋转函数”，求的取值范围． 衡东一中高2027届高二期末考试 数学试题卷 考试120分钟 满分150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】C 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】A 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】A 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AD 【10题答案】 【答案】BD 【11题答案】 【答案】ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】30 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 不妨设，取的中点为， 则，，，同理， ,平面， 则平面，平面，四边形为正方形，， 且，，易求得， 在中，由勾股定理可得，故与， 而，平面， 所以平面； （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2）（i）；（ii）． 【18题答案】 【答案】（1）1； （2）证明：设， 因为，故， 若，则，故. ， 因为，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 若，因为在为增函数且， 而当时，因为在上为减函数，故， 故为的一个最小正实根， 若，因为且在上为减函数，故1为的一个最小正实根， 综上，若，则. 若，则，故. 此时，， 故有两个不同零点，且， 且时，；时，； 故在，上为增函数，在上为减函数， 而，故， 又，故在存在一个零点，且. 所以为的一个最小正实根，此时， 故当时，. （3）意义：每一个该种微生物繁殖后代的平均数不超过1，则若干代必然灭绝，若繁殖后代的平均数超过1，则若干代后被灭绝的概率小于1. 【19题答案】 【答案】（1）不是，理由见详解 （2） （3） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $