精品解析：湖南株洲市部分校2025-2026学年高二下学期期末联合考试数学试题

2026年上学期高二期末联合考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】由中位数定义即可得. 【详解】将这些数据从小到大排列可得：10，12，14，14，16，20，24，30，40， 则其中位数为16. 故选：B. 2. 在中，M，N分别是边BC，AC的中点，线段AM，BN交于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】解法一是由三角形的重心性质易知；解法二是用向量的共线运算和中线向量公式，利用向量三点共线的性质：即三点A、B、C共线等价于且，即可求得结果. 【详解】解法一：因为M，N分别是边BC，AC的中点，可由三角形重心的性质知. 解法二：设， 则， 又由B，D，N三点共线，可知，解得， 所以，故， 故选：C. 3. 若曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【分析】先对给定的函数求导，然后将带入即可. 【详解】由题意得，则，由导数的几何意义可知切线的斜率为， 故选：. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为，， 所以. 5. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题可知，，则焦点坐标为． 6. 若函数的最小值为，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数求出函数的单调性，根据单调性得到函数的最小值的表达式，结合题意即可求解. 【详解】已知函数，则， 令，由于，正实数，所以得， 令，则，由于，正实数，所以恒成立， 所以是一个单调递增的函数，当时，；当时，； 因此方程有且仅有一个实数根，设为，即， 因为，当时，有，解得，矛盾，因此， 当时，，即，函数单调递减； 当时，，即，函数单调递增； 所以函数在处取得最小值， 由于函数的最小值为，即，则有， 同时极值点满足， 代入上式得，解得， 则有，解得，故A正确. 7. 已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】先排除有5个偶数不可能，再找一个有7个偶数的实例后可得正确的选项. 【详解】45个正奇数的和不小于， 因为中有50个不同的正整数，故中不可能有不超过5个不同的偶数. 取， 则中共有元素个数为， 这个数的和为， 故的最小值为7. 故选：B. 【点睛】思路点睛：对于组合最值问题，我们一般先找到一个范围，再验证临界值存在即可. 8. 已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（ ） A. 增大，增大 B. 增大，减小 C. 减小，增大 D. 减小，减小 【答案】B 【解析】 【详解】随机变量服从两点分布，其分布列为：， ， 当增大时，减小，因此增大， 两点分布的方差公式为，其中，故： ， 由对勾函数性质，当时，随增大而递增，因此分母增大，减小． 综上，增大，减小． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. 在复平面内所对应的点位于第二象限 D. 【答案】BCD 【解析】 【详解】化简复数 选项A：的虚部为，不是，A错误； 选项B：复数的共轭复数为，的共轭复数为，B正确； 选项C：对应复平面内的点为，横坐标负、纵坐标正，位于第二象限，C正确； 选项D：先求， ， ， ，D正确. 10. 已知正方体的棱长为为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 若为线段上的动点，则与所成的范围为 B. 若为侧面上的动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为 C. 若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 D. 若为侧面上的动点，则存在点满足 【答案】BC 【解析】 【分析】利用异面直线所成角的定义推理计算判断A；证明面面平行，可得点的轨迹可判断B；判断轨迹形状并求出长度判断C；利用“将军饮马”模型，化折为直，结合勾股定理，可判断D. 【详解】对于A，当与不重合时，过作交于，连接，如图， 由平面，平面，得，有，显然， 则为与所成的角，，当与重合时， 当由点向点移动过程中，逐渐增大，逐渐减小，则逐渐增大， 因此，，当与点重合时，有，， 所以与所成角的范围为，A错误； 对于B,取的中点,的中点,连接，如图， 由中位线可知，,,平面，则平面， 同理可得：平面，又且都在面GNF内,所以面平面, 因为平面，所以点,则点的轨迹的轨迹的长度，故B正确； 对于C，由平面，易得是直角三角形，，，如图， 点的轨迹是以为圆心，为半径的圆弧，由,则，同理, 所以,轨迹长度为，C正确； 对于D，在平面内延长，截取，连接交于点，（如图） , 点与点重合时，, 点与点不重合时，， 所以不存在点满足，D错误. 故选：BC 11. 设为坐标原点，已知对任意实数，直线与圆都有两个交点，，则（ ） A. 直线过定点 B. C. 当时，的最小值为 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】直线过定点问题将含参数部分合并同类项，令其为零即可得到定点；判断定点与圆的位置关系结合两点间距离公式得到判断半径的范围；根据向量的数量积定义将数量积的最小值转化为求的最小值求解；利用弦长公式和圆心到直线距离的范围求解. 【详解】选项，将直线整理为， 令得，故直线过定点，故错误. 选项，由题可知直线与圆总有两个交点，则说明定点在圆内， 圆心为，半径为，可得， 因为在圆内，所以，即，故正确. 选项，当时， ， 要使最小，只需要最小即可， 圆心到直线的距离，且， 则. 由，将上式代入得 ， 整理得， 由， 解得，故最小值取， 因此最小值为， 故正确. 选项，当时， 弦长公式， 因为,则， 故,故错误. 故选： 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 【答案】3 【解析】 【分析】利用双曲线的定义求解即可. 【详解】由双曲线的定义， 则. 故答案为：3 13. 已知函数在区间上单调递减，则___________. 【答案】2 【解析】 【分析】依题意可得为的一个对称中心，可得满足，再由单调区间可求解. 【详解】易知， 由可得关于成中心对称，即为的一个对称中心； 所以，即； 又在区间上单调递减，所以，解得； 当时，此时，满足题意. 故答案为：2 14. 已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据数列的通项公式，判断出数列为严格递减数列，进而确定集合的所有非空子集中的最小元素及其个数，从而利用等差乘以等比数列求和的方法，求出，最后求出实数的取值范围. 【详解】解：因为，所以数列为递减数列， 则对集合，其非空子集的最小元素为该子集最大下标对应的元素， 所以元素作为最小元素的子集个数为（含元素，其余选择比大的个元素的任意子集）， 因此，又，所以. 因为①， 所以②， ①②错位相减得， 化简得，所以， 易知当时，，则，所以， 所以，即实数的取值范围为. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面之间的距离. 【答案】（1）证明见解析；（2）. 【解析】 【分析】（1）过点作的平行线交于点，连接.由已知条件证得四边形为平行四边形，得出.由线面平行的判断定理可得证； （2）由（1）得平面，有直线与平面之间的距离等于点与平面之间的距离.运用等积法可求得与平面之间的距离. 【详解】证明：（1）过点作的平行线交于点，连接. 因为，，所以，， 所以，又，，所以， 所以四边形为平行四边形，所以. 因为平面，平面， 所以平面. （2）由（1）得平面， 所以直线与平面之间的距离等于点与平面之间的距离. 如下图，连接，. 因为，，，，. 所以，. 因为面，所以，又，，所以平面，所以. 设点与平面之间的距离为. 由，得， 即，解得. 即点与平面之间的距离为. 故直线与平面之间的距离为. 【点睛】本题考查空间中的线面平行的判定定理，线面之间的距离，运用等体积法求点到面的距离，属于中档题. 16. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若为边上一点，，求. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求解即可； （2）法①：由题意可得，在中，由余弦定理可得，再由正弦定理可得，从而得，最后利用求解即可； 法②：在中，由余弦定理可得，由正弦定理可得从而得，利用求解即可； 法③：在中，由余弦定理可得，从而得，所以，再结合余弦定理求得，最后在直角中，由正弦的定义求解即可； 法④：利用面积公式可得，再由余弦定理可得，最后由正弦定理求解即可. 【小问1详解】 因为，且， 则， 即， 得， 则， 因为，所以. 【小问2详解】 由（1）得，，因为，所以， 所以， 法①：如图在中，由余弦定理可得： ， 即， 在中由正弦定理，即，所以， 因为，故， 在中，. 法②：同解法①， 在中由正弦定理，即， 所以， 又因为，即，所以. 法③：同上， 在直角中，，所以， 由（1）问知，所以， 即，得即， 所以，. 法④：由（1）知，则， 因为， 所以， 即，解得， 所以，即， 在中，由正弦定理，即， 解得. 17. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． （1）求甲以获胜的概率； （2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； （3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 【答案】（1） （2）的概率分布列为： 3 4 5 ， （3）甲应该采用“五局三胜制”． 【解析】 【分析】（1）根据乘法公式计算即可求解； （2）根据独立事件的乘法公式计算出，列出分布列，即可求出； （3）分别求出采用“五局三胜制”和“三局两胜制”甲获胜的概率，比较大小即可下结论. 【小问1详解】 若甲以获胜，则第四局甲获胜，且前三局的比分为， 所以． 【小问2详解】 易知取值为3，4，5． ， ， ， 故的概率分布列为： 3 4 5 所以的数学期望为：． 【小问3详解】 采用“五局三胜制”甲会以、、获胜，所以甲采用“五局三胜制”获胜的概率： ； 采用“三局两胜制”甲会以、获胜，所以甲采用“三局两胜制”获胜的概率： 因为，所以甲应该采用“五局三胜制”． 18. 已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为A，B，，渐近线为，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点（点M在点N上方），直线l与交于点P. （1）求双曲线C的标准方程； （2）求与面积之和的最小值，并求出此时直线l的方程； （3）在（2）的条件下，过点M，N分别作渐近线的平行线，两平行线交于点，过点作直线l的平行线与双曲线C交于点（点在点上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，求证：为定值，. 【答案】（1） （2） （3）设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，其中， 联立方程，消去可得， 该方程有两个正根，则，解得， 直线的方程为，而，即， 直线的方程为，而，即， 联立方程，解得， 即，，又， 则， ， 所以，设，则直线方程为， 即，则，， 而， ， 所以，为定值. 【解析】 【分析】（1）根据题设求出，进而求解即可； （2）由（1）得渐近线为，设直线l的方程为，，联立直线与双曲线方程，结合韦达定理可得的中点即为的中点，进而得到，即，再表示出，进而求解即可； （3）设斜率为，与双曲线右支相交于两点的直线方程为，与双曲线方程联立得交点坐标关系，从而可得直线与直线的方程，联立两直线可得，设，直线方程为，进而利用两点之间的距离公式求证即可. 【小问1详解】 由题意，得，且， 则，即， 则双曲线C的标准方程为. 【小问2详解】 渐近线为， 显然直线l的斜率不为0，设直线l的方程为，， 联立，得，则， 且，则， 所以， 联立，解得， 设直线l与交于点， 联立，解得， 则，即， 而， 因此，，则的中点即为的中点， 所以，则， 而， 点到直线l的距离为， 则 ， 则，即时，与面积之和取得最小值， 此时直线l的方程为，即. 【小问3详解】 略 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． （1）设，求集合； （2）设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由定义得，求出，，，列出的不等式组求出的范围，从而得到． （2）必要性：由为偶函数得到，求导得到，从而得到函数是奇函数，由得到，即，故必要性成立；不充分性：不妨取，求出，则有 ，满足题设，但函数显然不是偶函数，从而得到结论. （3）由对任意且，都有，可得：对任意且，都有，即函数在上是不减函数，求出，设， 求出，由得到对恒成立，即对恒成立，构造函数，求出，利用导数求出的单调性，利用单调性画出大致图像，求出，分别按照，，讨论求解得到的范围，从而得到实数的取值范围． 【小问1详解】 由定义得， 而，，， 故解得，， 综上，． 【小问2详解】 必要性：若函数为偶函数，， 则对任意的，有， 对上式两边同时求导，可得：， 故函数是奇函数，， 若，则，即， 进而有，即， 故对任意，，故必要性成立； 不充分性：不妨取，， 此时，满足题设，但函数显然不是偶函数，故充分性不成立， 综上，“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件. 【小问3详解】 由对任意且，都有， 可得：对任意 且，都有， 即函数在上是不减函数，即恒成立， 由，可得：， 设， 则， 则对恒成立，即对恒成立， 令，，故， 故函数在和是减函数，在是增函数， 大致图像如图，， （i）当时，不等式可化为，此时， （ⅱ）当时，不等式可化为， 此时，故； （ⅲ）当时，不等式可化为， 此时，故； 综上，实数的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年上学期高二期末联合考试 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 样本数据16，24，14，10，20，30，12，14，40的中位数为（ ） A. 14 B. 16 C. 18 D. 20 2. 在中，M，N分别是边BC，AC的中点，线段AM，BN交于点D，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 若曲线在处的切线的斜率为（ ） A. 2 B. C. 1 D. 4. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的最小值为，则正实数的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知由正整数组成的集合，表示集合中所有元素的和，表示集合中偶数的个数.若.则的最小值为（ ） A. 5 B. 7 C. 9 D. 10 8. 已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（ ） A. 增大，增大 B. 增大，减小 C. 减小，增大 D. 减小，减小 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数，下列说法正确的是（ ） A. 的虚部为 B. 的共轭复数为 C. 在复平面内所对应的点位于第二象限 D. 10. 已知正方体的棱长为为空间中动点，为中点，则下列结论中正确的是（ ） A. 若为线段上的动点，则与所成的范围为 B. 若为侧面上的动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为 C. 若为侧面上的动点，且，则点的轨迹的长度为 D. 若为侧面上的动点，则存在点满足 11. 设为坐标原点，已知对任意实数，直线与圆都有两个交点，，则（ ） A. 直线过定点 B. C. 当时，的最小值为 D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 三角形三边长为，则以边长为6的两个顶点为焦点，过另外一个顶点的双曲线的离心率为______. 13. 已知函数在区间上单调递减，则___________. 14. 已知数列的通项公式为，设集合，的所有非空子集中的最小元素的和为．若，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在直三棱柱中，，，，，. （1）求证：平面； （2）求直线与平面之间的距离. 16. 已知的内角所对的边分别为，且. （1）求； （2）若为边上一点，，求. 17. 某种体育比赛采用“五局三胜制”，具体规则为比赛最多进行五场，当参赛的两方有一方先赢得三场比赛，就由该方获胜而比赛结束，每场比赛都需分出胜负．现甲，乙双方参加比赛，已知甲每局获胜的概率为，假设每场比赛的结果相互独立． （1）求甲以获胜的概率； （2）设比赛场数为．试求的分布列及数学期望； （3）如果还有“三局两胜制”可以选择，你觉得哪种赛制对甲更有利？ 18. 已知双曲线，离心率为，左、右顶点分别为A，B，，渐近线为，过点的直线l与双曲线C的右支交于M，N两点（点M在点N上方），直线l与交于点P. （1）求双曲线C的标准方程； （2）求与面积之和的最小值，并求出此时直线l的方程； （3）在（2）的条件下，过点M，N分别作渐近线的平行线，两平行线交于点，过点作直线l的平行线与双曲线C交于点（点在点上方），再过点分别作的平行线，交于点，这样一直操作下去，可以得到一列点，求证：为定值，. 19. 已知函数在定义域上的导函数为，对任意实数，定义集合 ． （1）设，求集合； （2）设，集合，求证：“对任意，”是“为偶函数”的必要不充分条件； （3）设，，若对任意且，都有，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $