湖南衡阳市第二十六中学2025-2026学年高二下学期期末考试数学试题

高二数学期末 本试卷分地第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分 时量120分钟 满分150分 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．已知A=，B={−1，1，2}，则A∩B= A．{1，2} B．{−1，1，2} C．[0，+∞） D．（0，+∞） 2．已知z在复平面内对应的点为（1，1），则z= A．2i B．1-i C．1+i D．2 3．已知直线l的方向向量为，平面的法向量为，则“//”是“l⊥”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．函数在x0=1处的切线方程为 A．y=2026x B．y=2026x-2025 C．y=2025x+2026 D．y=2025x+1 5．某学校高一年级科技节数学活动中，某班有10件3D打印作品，其中有6件3D花瓶作品，现需要从中选出3件做展示，则选出的作品中恰有1件3D花瓶作品的选法有 A．32种 B．36种 C．60种 D．72种 6．藻井通常位于室内的上方，呈伞盖形，由细密的斗拱承托，象征天宇的崇高，藻井上一般都绘有彩画、浮雕．据《风俗通》记载：“今殿作天井．井者，东井之像也．菱，水中之物．皆所以厌火也．”藻井的形式有四方八方，圆形等，构造复杂．如图1为北京法海寺藻井的局部图，从图中可以看到最中间为正八边形，则图2中∠OED的余弦值为 A． B． C． D． 7．在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=2，AA1=1，点O是B1D1的中点，点P为线段BC1的中点，则直线OP与平面BDD1B1所成角的正弦值是 A． B． C． D． 8．设数列{an}的前n项和构成数列{Sn}，{Sn}的前n项的平均数构成数列{Cn}，已知数列{an}满足a1=1，an+an+1=3，则C2026= A．3079520 B．1520 C．1521 D．3079521 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分） 9．已知的二项展开式共有7项，则下列说法正确的有 A．n=6 B．第3项的二项式系数为20 C．含x3项的系数为160 D．常数项为1 10．已知函数在x=7处取得极大值，f（x）的导函数为，则 A． B．f（x）有两个极值点 C． D．当0<x<1时，f（x）>f（x²） 11．若x1满足3x+1+x-4=0，x2满足log₃（x+1）+x-4=0，则下列说法正确的是 A．x1∈（0，1） B．>27 C． D．sin3-1<sinx2-cosx1<sin2-cos1 第Ⅱ卷 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．双曲线的离心隼为___________． 13．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知点D在BC边上，AD⊥AC，sim∠BAC=，AB=，BD=2，则AC=___________ 14．一个不透明的金子中有三张纸牌，分别标有数字1，2.3，每一次从盒子中摸出一张牌，记录数字后放回，直到连续两次摸到3号牌结束浩戏，记诺戏终止时模牌次数为X，则E（X）=___________， 四、解答题（本题共5小题，共77分，解答应写出文宇说明、证明过程成演算步骤） 15．（本小题满分13分） 已知． （1）求函数y=f（x）的单调增区间； （2）设，求函数y=g（x）在区间[0]上的值城， 16．（本小题满分15分） 匹克球是一种集网球、乒乓球、羽毛球技术特点于一体的隔网对抗性拍球运动，因其上手快、趣味性强且老少皆宜而广受欢迎．某校随机调查了100名男生和100名女生对匹克球的爱好程度，现统计得出样本中爱好匹克球的人数占样本总数的50%，其中爱好匹克球的女生有45人． 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 女生 45 合计 200 （1）请根据已知条件将上述列联表补充完整，依据小概率值α=0.1的独立性检验，分析爱好匹克球是否与性别有关； （2）现从这100名男生中采用比例分配的分层随机抽样的方法抽取20人，然后从这20人中随机抽取3人参加有奖问答，记3人中爱好匹克球的人数为X，求X的分布列和数学期望． 附： 0.100 0.050 0.010 2.706 3.841 6.635 17．（本小题满分15分） 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的棱长均为2，M，N，P分别为线段BB1，AB，A1C的中点． （1）证明：NP//平面BCC1B1； （2）作出过M，N，P三点的截面与正三棱柱表面的交线（请保留作图痕迹，并用文字语言叙述作图过程），并求出交线的长度之和． 18．（本小题满分17分） 若有导函数，二阶导数是对一阶导数再求导的结果，通常记．若函数在区间（a，b）内有二阶导数，∃x0∈（a，b），使f″（x0）=0，且存在δ>0，f"（x）在（x0-δ，x0）上的符号与在（x0，x0+δ）上的符号相反，则x0为f（x）的拐点．已知 （1）求函数的拐点； （2）已知直线y=a与的图象有两个交点，求实数a的取值范围； （3）已知0<x1<x2，函数在x=x1和x=x2处的切线斜率相等，证明：x1+x2>4． 19．（本小题满分17分） 已知△AnBnCn中∠An，∠Bn，∠Cn所对的三边分别为an，bn，cn，且an+1=an，（其中n∈N*），b1+c1=2a1， （1）证明：{bn+cn}为常数列； （2）若在△A1B1C1中，B1（-1，0），C1（1，0），点A1的轨迹为曲线Γ，E，F为曲线Γ上的两个动点，O为坐标原点，直线OE，OF的斜率分别为k1，k2，当k1k2=时，△EOF的面积是否为定值？若为定值，求出此定值；若不为定值，说明理由． （3）若b1>c1，△AnBₙCn的面积为Sn，判断数列{Sn}的单调性并说明理由． 高二数学期末参考答案 一、二、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 答案 A C C D B A C B ACD ABC ACD 1．A【解析】依题意，，所以． 2．C【解析】由在复平面内对应的点为，得． 3．C【解析】“a//n”可以推出“”，“”可以推出“a//n”，因此选C． 4．D【解析】， 因此切线方程为． 5．B【解析】3件作品恰有1件3D花瓶作品，则从6件3D花瓶作品中选1件，从4件非3D花瓶作品中选2件，一共有（种）选法． 6．A【解析】正八边形每条边所对的圆心角为，则， 则． （或） 7．C【解析】连接交于点，连接， 因为长方体中，平面，所以， 由，所以平面， 所以平面平面，所以点在平面上的投影落在直线上， 所以直线与平面所成角为与所成角． 取的中点，连接，则，所以，， 又，所以， 则直线与平面所成角的正弦值为． 8．B【解析】因为数列满足， 则， 所以 所以． 9．ACD【解析】对于的二项展开式共有项，由题意得，故A正确； 对于B，因为，所以的展开式中第项为，所以当时，，故B错误； 对于C，当时，，故C正确； 对于D，当时，，即常数项为1，故D正确． 10．ABC【解析】由，得， 则函数的定义域为， 则， 则， 因为函数在处取得极大值， 所以，即， 所以， 则， 令，得或； 令，得． 所以函数在区间和区间上单调递减，在区间上单调递增， 则函数在处取得极大值，在处取得极小值，符合题意，即，故A正确； 由上述过程知有两个极值点，故B正确； 由， 则， 所以，故C正确； 由上述可知函数在区间上单调递减， 当时，，则，故D错误． 11．ACD 【解析】令在上单调递增．， 的零点，故A正确； 由得，即函数与函数的图象交于点， 由得， 即函数与函数的图象交于点， 函数与函数的图象关于直线对称，的图象也关于直线对称， 点与点关于直线对称． 记直线与交于点解得 故点的坐标为， ，故B错误； ，故C正确； 由及知， ， 令． 在区间上单调递减，在区间上单调递增， 在区间上单调递减， ， ，故D正确． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12．【解析】等轴双曲线的离心率为． 13．【解析】如图，，， ， 在中，由正弦定理得， 即，解得， 为钝角， ， 在中，由余弦定理得，， 即， 解得， ． 14.12 【解析】设已经连续摸出次3号牌的情况下，还需摸次牌才结束比赛，每一次摸到3号牌的概率为，摸到的不是3号牌的概率为， 显然的分布列如下所示： 1 故．① 的分布列如下所示： 故．② 由①②解得，即． 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15．【解析】（1）． 令，解得． 所以的单调增区间为． （2）当时，，因此． 令，则， 该函数图象开口向上，对称轴为直线． 最小值：． 令，则， 令，则． 则在区间上的值域为． 16．【解析】（1）依题意可得列联表如下： 爱好匹克球 不爱好匹克球 合计 男生 55 45 100 女生 45 55 100 合计 100 100 200 零假设为：爱好匹克球与性别无关． ， 依据小概率值的独立性检验，没有充分依据推断不成立，因此认为成立，即认为爱好匹克球与性别无关． （2）依题意，从爱好匹克球的男生中抽取20×=11人， 从不爱好匹克球的男生中抽取人， 则的可能取值为0，1，2，3， 则， 则的分布列为 0 1 2 3 795 33 33 11 所以的数学期望为：． 17．【解析】（1）证明：法一：如图，连接，延长和，因它们共面且不平行，所以不妨设它们的交点为，连接，因为为的中点，所以为的中点，又点为的中点，所以为的中位线，所以//CD， 又在平面内，在平面外，所以平面． 法二：面面平行的判定定理，如图，取的中点，证明平面平面． 又在平面内，所以平面． 法三：向量共面定理，取的中点，利用，证明平面． 又在平面外，所以平面． 法四：连接，由正三棱柱的性质可得，当为的中点时，点也为的中点， 又点为的中点，则为的中位线，即， 所以平面． （2）如图，过的直线交的延长线于点，连接，并延长交于点，交于点，连接，直线与的延长线交于点，连接，与交于点，连接，则五边形即为所求． 因为正三棱柱的棱长均为2， 所以由图可知，， 因此，， 由余弦定理得，13分 在平面内，，过作交于点，则，则，，即为中点，所以， 所以五边形的周长为． 18．【解析】（1） ， 令，得， 因为在上为负，上为正， 所以的拐点为2. （2）由（1）知当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 当时，；当；当． 令，得， 的大致图象如下所示， 当直线与的图象有两个交点时，． （3）令， 因为函数在和处的切线斜率相等， 所以， 由（2）可知，在（0，2）上递减，在上递增，且时，的图象如下图所示： 故， 要证明，即证， 即证，即证． 不妨设， 则， 故在上递减， 因此，，即，即． 19．【解析】（1） 为常数列， 设，则 ． 是以为首项的常数列， ，即为常数列． （2） ，即， 点在以点为焦点的椭圆上， 设该椭圆方程为， 则解得故椭圆方程为， 又点不在直线上， 曲线的方程为． 当直线的斜率不存在时，由于，考虑到关于轴对称，不妨设， 则点的坐标分别为， 此时； 当直线的斜率存在时，设，直线的方程为， 由消可得，， 则有，即， 10分 所以 点到直线的距离， 又因为， 所以， 化简可得，满足， 代入， 综上，的面积为定值． （3）中，， 在以为焦点的椭圆上，为焦点三角形面积，． ， 是一个正负摆动的数列，但随的增大而减小， 三角形两边之差越来越小， 随着的增大，在轴上左右来回横跳，但离轴距离越来越近，越来越大， 随的增大而增大，即是递增数列． 学科网（北京）股份有限公司 $